07-08A卷 常微分方程定性理论
常微分第五章
(1)唯一的一条轨线.
动力系统概念 自治系统的基本概念
本讲要点
了解相空间、向量场、轨线（奇点和闭轨）。 了解定性理论的研究对象和主要任务。 掌握自治系统区别于非自治系统的特殊性质。
动力系统概念 自治系统的基本概念
第三讲 Liapunov直接法 Liapunov直接法
第五章 定性和稳定性理论简介
一、Liapunov直接法的思想 Liapunov直接法的思想
这称之为函数V (x)通过系统(1)的全导数 全导数. 全导数
动力系统概念 直接法 Liapunov直接法 Liapunov
三、Liapunov稳定性判别法则 Liapunov稳定性判别法则
(i) 若存在正定 正定函数 V (x) ,其通过系统(1)的 正定 全导数为常负 常负函数（或恒为零）,则(1)的零解稳定 稳定. 常负 稳定 (ii) 若存在正定 正定函数 V (x) 使得全导数是负定 负定的, 正定 负定 则(1)的零解渐近稳定 渐近稳定. 渐近稳定 (iii) 若存在正定 正定函数 V (x) 使得全导数是正定 正定 正定 的,则(1)的零解不稳定 不稳定. 不稳定
动力系统概念 直接法 Liapunov直接法 Liapunov
四、Liapunov直接法的几何意义 Liapunov直接法的几何意义
以二维为例,系统(1)的解x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t )) 可看成 平面上以 t 为参数的轨线. 设 V ( x1 , x2 )正定, 当 c充分小时, 随着 c 逐渐增大, 曲线族
动力系统概念 自治系统的基本概念
把这种空间以及在其上面每一点处都定义的速度 的整体称为一个向量场 向量场,把物体在这个向量场支 向量场 轨线. 配下走出的曲线称为（相）轨线 轨线 自治系统(1)在满足解的存在唯一性条件下对 任何初值条件 x(t0 ) = x 0都确定唯一的一条在 tx 空 间R × R n上的积分曲线. 它相应地在相空间上确定 了一条轨线,而这条轨线是该积分曲线沿t 轴方向 的投影.因此物体从不同的点出发可能会有不同 的轨线.
《常微分方程》考试参考答案（A卷）
《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。
(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
常微分方程定性与稳定性方法试卷（★）
常微分方程定性与稳定性方法试卷（★）第一篇：常微分方程定性与稳定性方法试卷常微分方程定性与稳定性方法试卷2x1⎧dx1=-+2x2,22⎪dt(1+x1)⎪1.（20分）讨论系统⎨dx 零解的稳定性。
2x2x212⎪=--2222⎪dt(1+x)(1+x11)⎩d2xdxdx22m+b-β()+αx-αx=0,mb≠0 对2.（20分）证明振动方程 2dtdtdt任何参数都不存在闭轨线和奇异闭轨线。
⎧dx=2xy∆P(x,y),⎪⎪dt⎨3.（20分）设有系统dy试分析其轨线⎪=1+y-x2+y2∆Q(x,y).⎪⎩dt的全局结构。
⎡0-1⎢104.（20分）设A=⎢⎢00⎢⎣2000⎤dx00⎥=Ax,x(0)=x0的解，⎥，求初值问题 dt0-1⎥⎥10⎦并分析其奇点邻域内轨线的性态。
⎧dx3=-y+λx-x,⎪⎪dt5.（20分）讨论系统⎨dy 奇点(0,0)邻域内极限环的⎪=x-y3⎪⎩dt分支问题。
第二篇：常微分方程实验报告一吕梁学院数学系《常微分方程》实验报告《常微分方程》实验报告一专业班级姓名学号实验地点实验时间实验名称：向量场、积分曲线作图实验目的：熟悉实验内容：Matlab软件；掌握画向量场、积分曲线的命令。
（给出实验程序与运行结果）吕梁学院数学系《常微分方程》实验报告实验分析：第三篇：常微分方程答案第三章习题3.11.求方程dy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解。
dx解：f(x,y)=x+y2，令ϕ0(x)=y0=0，则ϕ1(x)=y0+⎰f(x,ϕ0(x))dx=⎰xdx=x00xx12x 2ϕ2(x)=y0+⎰f(x,ϕ1(x))dx=⎰x0xx0⎡⎛1⎫2⎤1215x+xdx=x+x⎢⎪⎥220⎢⎝2⎭⎦⎥⎣ϕ3(x)=y0+⎰f(x,ϕ2(x))dxx0x=⎰x⎡⎛1215⎫2⎤121518111x+x⎢x+x+x⎪⎥dx=x+x+20⎭⎦2201604400⎢⎝2⎥⎣为所求的第三次近似解。
常微分方程定性理论引论_蔡燧林
［Ｇｅｎｅｒａｌ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ］ 书名＝常微分方程定性理论引论 作者＝蔡燧林 钱祥征 页数＝３３７ ＳＳ号＝１００６９６６０ 出版日期＝１９９４年０４月第１版
前言 目录 目录 第一章 动力系统基本理论 §１Ｒｎ上动力系统的基本概念及性质 §２Ｒ２上的Ｐｏｉｎｃａｒé－Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ理论 习题一 第二章 平面奇点的局部结构 §１常点的局部结构 §２常系数线性系统的奇点 §３双曲奇点的局部结构 §４Ｆｒ？ｍｍｅｒ方法 §５判定问题 §６具有零特征根的非线性系统的奇点 §７奇点邻域的几何分划 习题二 第三章 极限环 §１基本概念和极限环的存在性 §２极限环的稳定性与重次 §３极限环的唯一性 §４旋转向量场中的极限环 习题三 第四章 平面系统的全局结构 §１奇点的指数 §２无穷远奇点 §３平面系统的全局分析 §４二次系统的极限环研究简介 §５生物化学反应方程的定性分析 习题四 第五章 平面系统的结构稳定性 §１结构稳定性概念 §２结构稳定性的主要定理 习题五 第六章 高维系统奇点与周期轨线，分支理论简介 §１高维系统的奇点与中心流形 §２高维空间的周期轨线，非线性振荡电路的一个实例 §３Ｈｏｐｆ分支理论简介 习题六 答案与提示 参考文献 索引
常微分方程定性理论
课程号
00130410
学分
3
英文名称
Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations
先修课程
常微分方程、偏微分方程、泛函分析
中文简介
在本课程中，我们将要讲授定性理论的基本内容，包括：相平面分析，分支理论初步，周期解的存在性，Poincare-Bendixson定理，圆周上同胚的Denjoy定理，映射和向量场的规范性理论。
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
微分方程几何理论和分支问题,微分方程定性理论；
参考书
教学大纲
介绍微分方程定性理论的基本内容和基本思想，尽快引领学生进入科研阶段。
第一章 基本概念
（1） 动力系统的定义和一般概念
（2）平面系统的奇点、闭轨与极限环，Poincare-Bedixson环域定理
第四章 平面向量场的常见分岔现象
（1）奇点分岔
（2）Hopf分岔
（3）闭轨分岔
（4）同宿分岔与异宿分岔
（5）Poincare分岔
（6）Bogdanov-Takens分岔"
课堂讲授
期末80，平时20
教学评估
甘少波：
（3）平面系统的无穷远奇点，全局拓扑结构
（4）空间系统的奇点、闭轨，稳定与非稳定流形定理
（5）动力系统的结构稳定与分岔的基本概念
第二章 中心流形定理
（1）全局中心流形定理
（2）局部中心流形定理
第三章 正规形理论
（1）向量场在奇点附近的正规形
常微分方程定性理论5
(i)m为奇数,且 gm >0时,作
V 1 2 x
2
gm 2
y y (a2 x a3 x
2
2
3
a m x ),
m
V=c(c>0)表示 Sδ (O)内一族闭曲线(绕O的 单闭曲线),ai待定.
dV dt
|
(1 )
V x
x
V y
2
y m am x
m 1
[ x y (2 a2 x 3a3 x [ g m y (a2 x a3 x gm (x
m 1
am x ) o(x
)
gm y o(x
) gm y 1
2
可取a2,a3‥‥‥am使得
b2 a 2 0 , 0, b3 a 3 a 2 0, b4 a 4 a 3 1 0 . bm a m a m
例
x a x , y y,
2
2
(a 0)
奇点A(-a,0),B(a,0). 点A处的Jacobi矩阵 ,p=-(2a+1), q= 2a,Δ =p2-4q=(2a-1)2≥0.特征根是两正实 根,所以A是不稳定的结点; 点B处的Jacobi矩阵 ,p=2a-1,q=-2a <0,Δ =(2a+1)2>0.特征根是异号实根,所以 B是鞍点.
定理的证 (1)的示性方程是 G(θ )=sinθ cosθ ,所以(1)的特征方向只
, 能是 并且它们都是示性方程的 2 2 单根.又H(θ )= sin2θ ,
0,
, ,
3
H(
, 3 2
07-08A卷--常微分方程定性理论
b
sin
x
0
平衡点为
(k , 0), k z 。
(i)
若
k
为奇数，则
A
0 b
1 a
,
det
A
b
a.
故此时 (k
,
0)
为原系统的鞍点。
(ii)
若k 为偶数，则
A
0 b
1 a
,
det
A
b
0,
trA
a,
a2 4b.
a 0 时，若a2 4b 0 ，则线性近似方程以原点为稳定的结点，则原系统平衡点此时也为稳
华中师范大学 2007 –2008 学年第一学期 期末考试试卷（A 卷）
课程名称 常微分方程定性理论 课程编号 42121000 任课教师 黄继才
题型 计算 计算 计算 计算 证明 计算 总分 分值 20 20 20 10 24 6 100 得分
学号：
学生姓名：
年级：
得分 评阅人
一．计算题：（共 20 分）
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
在（1，0）处，轨线方向为（2，4）。则系统相图可容易画出。
（2）
A
1 2
1
1
，trA
2
0,
det
A
3
0
，
4 43 8 0 ，故平衡点（0，0）是不稳定焦点。
常微分方程定性理论6
在y轴的负半轴上取A(0,-y0)，过A作
(3.5)
的积分曲线,交L2于点B．显然 AB 有正斜率．
dy dy x |(3.4) |(3.5) 0 dx dx y
方程组(3.3)在 AB 上出发的轨线均自左向 B C 右穿过．
A
G
H
E
D
D
E
F
H
C G
B
A
过B 作水平线交x=-1于C(-1,y1).注意到上 (3.3)的第二方程右边>0,所以上向量场由下 指向右上(点B处水平向右). 过C作以O为圆心的圆弧交负x轴于D(-x3,0). 注意到沿 CD
定理３若轨线所确定的映射把正y轴上某一 不含原点（唯一奇点）的闭区间映到它自己， 则方程存在闭轨．
证 由轨线唯一性及解对初值的连续性知， 此映射为拓扑映射．再使用Brouwer不动点 定理． 此定理可用于研究非线性振动中常出现的分 区线性系统或不连续系统的闭轨存在性．因 此时的拓扑映射可用分析式子表示．
定义6 若Γ 的任意外(内)侧邻域中既存在 闭轨又存在非闭轨,则称Γ 为(3.1)的外侧 (内侧)复合环.
解析系统不可能有复合环,这是由于后继函 数也是解析的.
定理1 Poincaré-Bendixson环域定理. 设Ω 为一环域，其中不含奇点，凡与Ω 的境 界线相交的轨线都从它的外（内）部进入 （跑出）它的内（外）部，则Ω 中至少存在 一包含内境界线在内部的外稳（不稳）极限 环和一条内稳（不稳）极限环．它们可能均 为双侧环，也可能重合为一稳（不稳）极限 环． 注1 Ω 的内境界线可缩为一个负向（正向） 渐近稳定奇点； 注２Ω 的外境界线可以有部分是轨线，其上 也可有鞍点或负向（正向）渐近稳定奇点．
常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）作为数学中重要的研究领域之一，早在古代数学家就开始研究。
然而，对于常微分方程的深入研究直到16世纪才真正开始。
定性理论阶段在常微分方程的发展历史中，定性理论阶段是一个重要的里程碑。
在17世纪，欧洲的许多数学家开始对常微分方程进行研究，并取得了一些重要的成果。
其中最著名的数学家是伯努利家族，他们的研究成果对定性理论的发展产生了巨大的影响。
定性理论的主要目标是研究常微分方程的解的性质，而不是具体的解的形式。
欧拉则提出了一种提供常微分方程解单值化的方法，通过引入无穷远点的概念，将复杂的解变为简单的解。
之后，拉普拉斯又发展了一种完全不同的方法，基于群论的观点，用幂级数来表示解，并通过对幂级数的收敛性进行分析。
解析理论阶段19世纪初，解析理论阶段开始。
拉格朗日和伽罗瓦两位法国数学家在解析理论的发展中发挥了关键的作用。
伽罗瓦则通过研究方程的对称性和置换群的理论，将求解常微分方程的问题转化为求解多项式方程的问题。
他的工作对解析理论的发展产生了深远的影响。
除了法国数学家的贡献外，俄罗斯数学家切布雪夫和德国数学家雅可比也做出了重要的贡献。
切布雪夫发展了关于常微分方程解的唯一性和存在性的理论，而雅可比则通过引入雅可比行列式，研究了常微分方程解的特征。
总结总的来说，常微分方程的发展经历了三个阶段：古代数学家的初步研究、定性理论阶段和解析理论阶段。
定性理论阶段主要是研究解的特性，而解析理论阶段则关注具体的解的形式。
这些理论的发展为后来的数学家提供了基础，也为应用数学领域的发展打下了坚实的基础。
常微分方程定性理论7
令z=u2则 (7)变为
d u = au − y dt du 2u = au − y ⇔ dy d y = 2u dt (8)
(8)的特征方程是λ2-aλ+2=0,当 a ∈ (0, 8)时, 特征根是复根,O为(8)的焦点(?).所以(8) 的从B点出发的轨线必与y轴的正,负半轴交 A ′, C ′, y A ′ > 0, y C ′ < 0. 于 (7)也有同样的性质. 现比较(6),(7)的方向场. z >δ 时,(6)的过B的积分线必交z=δ于
2 y0 → 1, z ∈ [0, z0 ]. [ F1 ( z ) − y1 ( z )][ F2 ( z ) − y2 ( z )]
证 记 m = zmax]{| F1 ( z ) |,| F2 ( z ) |}.对任意ε>0取y0使 ∈[0, z
0
| y0 |≥ m +
z0
在D:0≤z≤z0,|y-y0|≤ε内,由(*)式得
考察闭曲线 ABCDA,其中BC 是闭曲线λ1=h +G(M)位于x=M右方部分, AD是闭曲线λ2=h +G(-M)位于x=-M左方部分,AB,DC是直线段.
Q yB = K1 + 2h ≥ y1, yC = K1 − 2h ≤ − y1 , yA = K2 + 2h ≥ y1 , yD = K2 − 2h ≤ − y1 , ∴ AB // CD, 斜率为 K1 − K2 2M
F(z)<a z (F(z)>-a z ),
2)若K出发的积分线与z=z0交于P,则(7)的 过P的积分线必与z=z0再次相交于P′,且 P′ 在 曲线y=F(z)的上方(若在下方,则 d z |( 7 ) > 0 ) d y dz dz Q (7) > (6) , z > z 0 , dy dy 所以从P出发的(6)的积分线必在 PP′ 的左 边,不能再与 PP′ 相交,因此必与z=z0交于Q, 且yQ>F(z0). 而当y>F(z)时
常微分定性与稳定性理论
01SAH9006
论文题目:
微分方程稳定性与吸引性的研究
作者姓名:
江冬冬
学 号:
15720022
成 绩:
论文评语:
评阅人:
评阅日期:
-1-
微分方程稳定性与吸引性的研究
江冬冬
（上海大学 理学院,上海 200444）
摘要：本文通过对微分方程的稳定性、吸引性的定义和定理进行整理和归纳,给出了微分方程各种稳定性与吸引 性之间的关系.同时,给出了稳定性的几个等价命题. 关键词：稳定性 吸引性
12预备概念考虑用微分方程组描述的一般非自治系统空间的n维开子集保证2式的初值问题右行解的整体存在惟一性对任意的作为t的函数的渐近性质时就必须精细地考虑稳定性与吸引性21稳定性与吸引性的概念定义如图2所示
上海大学
2015 ～ 2016 学年 冬 季学期研究生课程论文
课程名称：
微分方程定性理论
课程编号：
The Research of Stability and Attractivity about Differential Equation
JIANG Dong-dong
(College of Science, Shanghai University, Shanghai 200444, China)
-6-
切 t , 有
x (t , , x0 ) ,
设 x (t0 , , x0 ) 2 (0 t0 , x0 1 ). 令 min(1 , 2 ), 当 x0 , t0 [0, ] 时,对一切 t t0 , 有
x (t , t0 , x0 ) .
y1 g1 (t , y ) y g (t , y ) y := 2 , g (t , y ) : 2 . yn g n (t , y )
常微分方程-定性理论
分岔理论
当系统的参数发生变化时，常微分方程的解可能会发生突 然变化，这种现象被称为分岔。分岔理论研究了分岔的产 生条件和分岔的类型。
数值解法
对于无法解析求解的常微分方程，定性理论还研究了各种 数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等，以近似求解其解 。
稳定性是指系统在平衡点附近的动态行为，如果一个平衡点 是稳定的，那么当系统受到小的扰动时，它会回到平衡点； 反之，如果平衡点是不稳定的，那么系统会远离平衡点。
线性常微分方程
线性常微分方程是指形式为dy/dt = ay + b的常微分方程，其中a和b是 常数，y是未知函数。
VS
线性常微分方程的解可以通过求解线 性代数方程得到，其解的性质可以通 过特征值和特征向量来描述。
定性理论通过分析微分方程的解轨线 在相空间中的行为，来理解和预测系 统的动态行为。它为解决实际问题提 供了重要的数学工具和理论基础。
研究目的和意义
研究目的
常微分方程定性理论的研究目的是揭示微分方程解的内在性质和规律，理解解的动态行为，并应用于解决实际问 题。
研究意义
定性理论在数学、物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具。通过研究常微分 方程定性理论，可以深入理解自然现象和社会现象的动态演化过程，为解决实际问题提供重要的数学方法和理论 基础。
人口动态
常微分方程可以用来描述人口的变化规律，例如 Malthus模型。
行为科学
常微分方程可以用来描述人类行为的变化规律，例如 心理动力学模型。
05 结论与展望
研究结论
稳定性理论
常微分方程定性理论
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2. 奇点Lyapunov稳定性的判别方法
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渔场产量模型
假设
无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
建模
捕捞情况下渔场鱼量满足
r~固有增长率, N~最大鱼量
h(x)=Ex, E~捕捞强度
第13页/共21页
产量模型
稳定性判断
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
E~捕捞强度
r~固有增长率
第14页/共21页
3. 周期轨道Lyapunov稳定性的判别方法
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作业
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作业
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大学课件常微分方程第8章定性理论
的任何解x=x(t), y=y(t)有
d (x2 (t) y2 (t)) 2 (x2 (t) y2 (t))2
dt
若x=x(t),y=y(t)满足初值条件x(0)=x0,y(0)=y0，则由上式可解
出
x2 (t) y2 (t)
x02 y02
1 2 (x02 y02 )t
由此看出：当σ=-1时，零解全局渐近稳定；当σ=0时，零解 稳定；当σ=1时，零解不稳定.
lim
0
(t,
,
)
(t,
,
0
)
即对任给的ε>0,都有δ>0,使得只要|ξ-ξ0|<δ,就有
(t, ,) (t,,0 ) , t T
然而如果将有限区间τ≤t≤T换成无限区间t≥τ，情况就大 不相同了，这时初值的微小变化有可能引起解的巨大变化.
例8.1 初值问题
的饱和解为
d x x, x( )
dt
(t, , ) et
它对所有t≥τ有定义.因为φ(t,τ,0)≡0，所以|φ(t,τ,ξ)- φ(t,τ,0)| =|ξ|et-τ，它在无限区间t≥τ上是无界的，不论|ξ|多么小，只要 它不为零.
研究解在无限区间上对初值的连续性，便导致李雅普诺 夫意义下的稳定性问题.
假设解x=φ(t,τ,ξ0)在t≥τ上有定义.如果对任意选定的ε>0, 都对应存在δ>0,使得当|ξ-ξ0|<δ时，解x=φ(t,τ,ξ)在t≥τ上有定 义，且满足
为零的情形，方程组(8.3)的零解的稳定性不能应用定理8.3
来判定.这时方程组(8.3)的零解的稳定性视具体情况而定.
例8.3 讨论方程组
d x d t
y
(x3
(完整word版)常微分方程发展简史--适定性理论阶段
第二讲 常微分方程发展简史——适定性理论阶段高阶方程● 1734年12月, Bernoulli Daniel 在给当时在圣彼得堡的Euler 的信中说, 他已经解决了一端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题, 他得到了一个四阶线性常微分方程444,d y k y dx = 其中k 是常数, x 是横梁上距自由端的距离, y 是在x 点的相对于横梁为弯曲位置的垂直位移. Euler 在1735年6月前的回信中说道, 他也已经发现了这个方程, 对这个方程, 除了用级数外无法积分. 他确实得到了四个级数解, 这些级数代表圆函数和指数函数, 但在当时Euler 没有了解到这一点.1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中指出, 上述方程的解可以表示成1[(cos cosh )(sin sinh )],x x x x y a k k b k k=+-- 其中b 可由条件()0y l =来确定.● 弹性问题促使Euler 考虑求解常系数一般线性方程的数学问题. 1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中首次提到了常系数齐次常微分方程, 并说他已取得了成功. ● 在1743年至1750年间, Euler 考虑了$n$阶常系数齐次线性方程()(1)11(),n n n n y a y a y a y f x --'++⋅⋅⋅++=第一次引入了特解、通解的概念, 指出通解必包含n 个任意常数, 而且是由n 个特解分别乘以任意常数后相加而成的, 创立了求解$n$阶常系数线性齐次微分方程的完整解法--特征方程法. 讨论了特征根是单根、重根、共轭复根和复重根的情形, 这样Euler 完整解决了常系数线性齐次方程求解问题.● 1750年至1751年, Euler 讨论了n 阶常系数线性非齐次方程, 他又提出了一种降低方程阶的解法. Euler 还是微分方程近似解的创始人, 他提出了的``欧拉折线法"不仅解决了常微分方程解的存在性的证明, 而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一. 1750年, Euler 又给出了求解微分方程的级数解法. 1768年至1769年, Euler 还将积分因子法推广到高阶方程, 以及利用变换可以将变系数的Euler 方程化为常系数线性方程. ● 在Euler 工作的基础上, 1763年D'Alembert 给出了求非齐次线性方程通解的方法, 即非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解.● 1762年至1765年间, Lagrange J 对高阶变系数线性齐次方程的研究也迈出了一步, 并引出伴随方程 (这个名字是1873年Fuchs Lazarus 取的, Lagrange 并未给它取名), 同时发现一个定理: 非齐次线性常微分方程的伴随方程的伴随方程, 就是原来方程对应的齐次方程. Lagrange 把Euler L 在1743年至1750年间关于常系数线性齐次微分方程的某些结果推广到了变系数线性齐次方程. Lagrange 发现, 齐次方程的通解是由一些独立的特解分别乘以任意常数后相加而成的, 而且若已知高阶方程的m 个特解就可以将方程降低m 阶.● 1774-1775年, Lagrange 提出了“常数变易法”, 解出了一般$n$阶变系数非齐次线性常微分方程. 这是18世纪微分方程求解的最高成就.● Newton I 在创建微积分时就给出了求解微分方程的“级数展开法”和“待定系数法”;1842年Cauchy A 完善了“待定系数法”.探索常微分方程的一般积分方法大概到1775年就停止了, 此后100年没有出现新的重大的新方法, 直到19世纪末才引进了Laplace 变换法和算子法.从总体上看, 17世纪的微分方程仍然是微积分的一部分, 并未单独形成一个分支学科. 在18世纪, 由解决一些具体物理问题而发展起来的微分方程, 已经成为有自己的目标和方法的新的数学分支. 这段时期, 数学家把注意力主要集中在求常微分方程的解上, 并且取得了一系列重大进展. 对解的理解和寻求, 在本质上逐渐起了变化. 最初, 数学家们用初等函数找解, 接着是用一个没有积出的积分来表示解. 在用初等函数及其积分来寻求解的巨大努力失败之后, 数学家们转向用无穷级数求解了. 但后来人们逐渐发现, 很多常微分方程求解是非常困难的, 甚至是不可能的.2、常微分方程适定性理论：19世纪初期和中期19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期。
2008年版博士资格考试大纲
2008年版博士资格考试大纲考试时间：150分钟分析学(100分，三门中选二门)复分析(50分)1.Cauchy积分理论2.Weierstrass级数理论3.解析延拓4.Riemann的几何理论(a)正规族理论(b)Riemann映射定理及边界对应原理5 分式线性变换群和特殊区域的解析自同胚群6 Schwarz引理(a) Schwarz-Pick-Ahlfors定理(b) Poincare度量7 Riemann曲面的基本理论(a) Riemann曲面的概念(b) 亏格和Riemann-Roch定理(c) 紧Riemann曲面的分类实分析(50分)1．Fourier变换(a)1L函数的Fourier变换(b)Schwartz函数与缓增分布(c)Plancherel公式，p L函数的Fourier变换(d)收敛与求和，Poisson核、Gauss核2．Hardy-Littlewood极大函数(a)恒等逼近(b)Marcinkiewicz插值定理(c)Hardy-Littlewood极大函数3．奇异积分(a)Hilbert变换(b)Riesz变换(c)卷积型奇异积分算子(d)一般（非卷积型）Calderon-Zygmund算子4．Hardy空间与BMO空间(a)原子Hardy空间(b)BMO空间5．Littewood-Paley理论与乘子(a)Littewood-Paley理论(b)H?rmander乘子定理泛函分析(50分)1.Banach空间和Hilbert空间的基本理论及典型例子2.Banach空间和Hilbert空间上有界线性泛函和线性算子基本理论3.紧算子(a)Riesz-Fredholm理论(b)紧算子的基本性质, 谱理论(c)对称紧算子(d)有界自伴算子的谱分解(e)闭算子的理论（f）自伴扩张(g) 无界自伴算子的扰动4.算子半群(a)Hille-Yosida定理(b)单参数算子酉群的Stone定理参考书目：【1】Ahlfors: Complex Analysis. McGraw-Hill Book Company【2】伍鸿熙等: 紧Riemann曲面引论科学出版社【3】J. Duoandikoetxea, Fourier analysis, Amer. Math. Soc.;【4】程民德，邓东皋，龙瑞麟编著，实分析，高等教育出版社.【5】张恭庆, 林源渠等: 泛函分析讲义上, 下册【6】Yosida: Functional Analysis Springer-Verlag;)二. 代数学（100分）群1 群, 子群, 正规子群, 商群; 同态与同构, 同态定理与同构定理.2.群例: 循环群, 二面体群, 四元数群, 置换群, 线性群, $A_n$, $S_n$.3.自由群,生成元与定义关系.4.群在集合上的作用; Sylow定理和群.5.Jordan-Holder 定理,直积分解定理.6.可解群.7.算子群.8.特殊射影线性群的单性.9.空间上的型与典型群.10.辛群.环1.环, 子环, 理想, 商环; 同态与同构, 同态定理与同构定理.2.环的直和.3.素理想和极大理想, 幂零根和Jacobson根.4.环的整除性理论, 唯一分解环, 主理想整环, 欧几里得环.5.整环的分式域.6.交换环上的多项式环, Gauss引理.7.形式幂级数环.8.四元数体.域1.有限扩张, 扩张次数乘积公式.2.多项式的分裂域, 正规扩张.3.可分扩张.4.单扩张定理.5.Galois基本定理, 简单的Galois扩张.6.用根式解方程的判别准则.7.有限域.模1.模, 子模, 商模; 模同态与同构, 模同态定理与同构定理.2.模的自同态环.3.模的直和与直积.4.自由模.5.主理想整环上的有限生成模的结构定理.6.Nakayama引理.7.模的张量积.8.同态函子和张量函子9.整性相关.结合代数和有限群的表示论1.代数和模.2.不可约模和完全可约模.3.半单代数的结构.4.群的表示、特征标、正交关系、特征标表.初等数论1. 算术基本定理2. 数论函数3. 孙子定理4. 二次互反律5. 连分数6. Pell方程参考书目【1】聂灵沼，丁石孙，《代数学引论》，高等教育出版社，2000.【2】徐明曜，赵春来，《抽象代数（II）》，，北京大学出版社【3】N.Jacobson: Basic Algebra 1, 2nd Edition W.H. Freeman & Company 1974 【4】柯斯特利金：代数学引论（第一卷）高等教育出版社【5】潘承洞，潘承彪：初等数论，第二版，北京大学出版社，2004三. 几何与拓扑（100分，其中几何与拓扑各50分）1．代数拓扑a) 基本群与覆叠空间b) 曲面的分类c) 同调与上同调的理论、计算、常见例子和应用d) 同伦群及其基本性质2．微分流形a)微分流形的概念b)切丛与向量丛c)横截性理论d)微分形式，Stokes定理，de Rham上同调3．微分几何a)联络和曲率的基本概念b)Riemann几何的基本理论c)紧曲面上的Gauss-Bonnet 公式参考书目：【1】尤承业著，《基础拓扑学讲义》。
微分方程定性理论(张芷芬等著)PPT模板
05 第五章无穷远奇点
§1．Poincaré变换
第五章无穷远奇点
§2．平面系统的全局结构
§3．用无穷远奇点研究极限环的存 在性
§4．二维紧致曲面 S<sup>2</sup>， P<sub>2</sub>和 T<sup>2</sup>上连续向量场的 奇点指数和<sup>[1]</sup>
习题五
第五章参考文献
06 第六章二维周期系统的调和解
第六章二维周期系统的调和解
§1．预备知识
§3．拟线性系统
§5．Duffing方程的小 摄动
§2．具有周期性强迫 力的常系数线性系统
§4．平均方法
§6．高频强迫振动的 小振幅调和解
第六章二维周期系 统的调和解
§7．高频强迫振动的大振幅调和解 <sup>[5]</sup> §8．耗散系统 §9．无阻尼的Duffing型方程 习题六 第六章参考文献 §8．耗散系统 §9．无阻尼的Duffing型方程 习题六 第六章参考文献
03 第三章平面奇点指数
第三章平 面奇点指 数
0 1
§1．连续向量场 的旋转数 <sup>[2]</su p>
0 2
§2．平面奇点指 数
0 3
§3．Cauchy指 标
0 4
§4．齐次方程孤 立奇点指数的有 理计算
0 5
§5．*临界奇点 指数的有理计算
0 6
§6．*Bendixso n公式
第三章平面奇点指 数
02
§2．常系数线性 方程组的奇点
04
§4．特征根实部 不为0时附加非线
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a
0
时，
A
0 b
1 0
,
此时原点为线性近似方程的中心，而此时原系统为线性方程，则此时原点
为原系统的中心。
得分 评阅人
四．计算题：（共 10 分）
四．画出下面系统的相图。
dx
dt
y
x(x2
y2 ) sin
1 x2 y2
dy
x
y(x2
y2 ) sin
1
dt
x2 y2
解：令 x r cos , y r sin ，作极坐标变换，则原系统变为：
dy
x2 y x y
，其中 a a
是一个参数。求系统的分支值，并讨论可能的分支现象。
dt
解： 讨论平衡点个数随参数的变化，以及平衡点的双曲性的变化。
第 3 页(共 3 页)
数，并且可证 F(x, y) 沿着原系统的轨线对时间 t 的导数 dF 恒为零。故知此时 dt
(k , 0) （k 为偶数）为原系统的中心。
（ 2 ） 先 求 其 平 衡 点 为 （ 0 ， 0 ）， 则 原 系 统 在 原 点 附 近 的 线 性 近 似 方 程 的 系 数 矩 阵 为
A
0 b
x y yx2
2
y2x y3
dt
3
dx
（5）
dt dy
x( y 1) x y 2y2
dt
dx
（6）
dt dy
y x
y
x2
y2
dt
解：（1）容易看出原系统无平衡点，故原系统无闭轨，则当然无极限环。
（2）考虑 Px Qy 3(x 1)2 4y2 1 0 ，故由 Bendixson 判据知原系统无极限环。
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
三．求出下列系统的平衡点并指出类型。
dx
（1）
dt dy
dt
y ay
b
sin
x
(a
0,
b
0)
（提示：先讨论情形：a 0,b 0 ；再讨论情形： a 0,b 0 。）
dx
（2）
dt dy
dt
y a(1
x2 ) y
(a bx
0, b
0)
解：（1）先求其平衡点：由
y 0 ay
华中师范大学 2007 –2008 学年第一学期 期末考试试卷（A 卷）
课程名称 常微分方程定性理论 课程编号 42121000 任课教师 黄继才
题型 计算 计算 计算 计算 证明 计算 总分 分值 20 20 20 10 24 6 100 得分
学号：
学生姓名：
年级：
得分 评阅人
一．计算题：（共 20 分）
一． 用两种方法判断下面方程零解的稳定性。并用两种方法判断极限环的稳定性。
dx dt
y
x(x2
y2
1)
dy
x
y(x2
y2
1)
dt
解：（1）零解的稳定性： 1． 先求出原系统在零解处的线性近似方程，判断线性近似方程的原点的类型为稳定的焦点，则由 双曲性质知原系统的零解也是稳定的焦点。
2． 构造一个零解附近的 Liapunov 函数： F (x, y) c(x2 y2 ) （c>0）。可证 F(x, y) 在
在（1，0）处，轨线方向为（2，4）。则系统相图可容易画出。
（2）
A
1 2
1
1
，trA
2
0,
det
A
3
0
，
4 43 8 0 ，故平衡点（0，0）是不稳定焦点。
垂直等倾线为： y x ；水平等倾线为： y 2x 。又注意到在（1，0）处，轨线方向为（1，2）。则系统
相图可容易画出。
第 1 页(共 3 页)
dr
dt
dy
r3 1
sin
1 r
，
dt
随着 t 的增大而增大，故轨线为逆时针方向。令 r3 sin 1 =0，则 r
r 1 (k z )（闭轨）或r =0（即为平衡点（0，0））。首先考虑r 1 ，若r 1 ，则0 1 ，dr 0 ，
k
r
dt
故r 随着t 的增大而增大。当 1 r 1 (k z ) 时，显然 dr 0 ，故r 随着t 的增大而减小；
2k
(2k 1)
dt
当 1 r 1 (k z ) 时，显然 dr 0 ，故r 随着t 的增大而增大； 经过上面分析，系统的相
(2k 1)
2k
dt
图不难画出。
第 2 页(共 3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
D {(x, y) / x2 y2 1} 上是定正的，并且可证 F(x, y) 沿着原系统的轨线对时间 t 的导数
dF 在 D 上是定负的。即证零解是渐近稳定的。（10 分） dt
极限环的稳定性： 1． 对原系统作极坐标变换，把原系统化成极坐标系统，作出极坐标系统的相图，即可判断出极限 环是不稳定的。
2． 由极坐标系统可以知道极限环的方程是： x cos(t t0 ), y sin(t t0 ) ，再由极限环的指数
公式计算容易知道指数 =2 >0，则极限环是不稳定的。（5 分）
（2）用首次积分的方法求下面系统的通解并证明首次积分的独立性。（5 分）
专业：
院（系）：
得分 评阅人
二．计算题：（共 20 分）
得分 评阅人
五．证明题：（共 24 分）
五．判断下列系统是否有极限环。
dx
（1）
dt dy
y 1
x2
(1
x) y
dt
dx
（2）
dt dy
(1 x)3 y y3
xy 2
dt
dx
（3）
dt dy
1 x3 2xy
y2
dt
dx
（4）
dt dy
x y 1 x3 3
得分
评阅人
三．计算题：（共 20 分）
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
（3）系统有唯一平衡点（1，0），但经过判断它是一个鞍点，由于闭轨必须包含平衡点且闭轨的旋转度是+1 等于其包含平衡点指数的和，而鞍点的指数是-1，故原系统无极限环。
（4）考虑 Px Qy 2x2 y2 2 0 ，故由 Bendixson 判据知原系统无极限环。
（5）容易知道原系统的平衡点是：（0，0），（0，1/2）和（1，1）。显然 y 轴正负半轴是特殊的轨线，而
定的结点；同理，若a2 4b 0 ，则原系统平衡点此时为稳定的退化结点(不是临界
结点，因为线性系统此时只有一个特殊方向)；
若a2 4b 0 ，则原系统平衡点此时为稳定的焦点。
a
0
时，
A
0 b
1 0
,
此
时原
点
为
线
性
近
似方
程
的
中
心
，
构
造
Liapunov
函数：
F (x, y) 1 y2 b cos x b ，容易证明它为(k , 0)（k 为偶数）附近一个定正函 2
1 a
,
det
A
b
0,
trA
a
0
，
a 0 时，若a2 4b 0 ，则线性近似方程以原点为不稳定的结点，则原系统平衡点此时也为不稳定
的结点；同理，若a2 4b 0 ，则原系统平衡点此时为不稳定的退化结点(不是临；若a2 4b 0 ，则原系统平衡点此时为不稳定的焦点。
b
sin
x
0
平衡点为
(k ,0), k z 。
(i)
若
k
为奇数，则
A
0 b
1 a
,
det
A
b
a.
故此时
(k
,
0)
为原系统的鞍点。
(ii)
若k 为偶数，则
A
0 b
1 a
,
det
A
b
0, trA
a,
a2 4b.
a 0 时，若a2 4b 0 ，则线性近似方程以原点为稳定的结点，则原系统平衡点此时也为稳
二．指出平衡点类型以及稳定性并作出系统的相图（注意特殊方向，水平和垂直等倾线以及轨线走向）。
dx
（1）
dt dy
dt
2x 4x
y y
dx
（2）
dt dy
dt
x y 2x y
解：
（1）
A
2
4
1 1
，trA
1,
det
A