傅立叶 Fourier 级数的展开方法

存在
第一类间断点
第二类间断点：不是第一类的间断点。 第二类间断点
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件.
5、傅立叶展开的意义： 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。
例1 设f（x）函数是周期为2π周期函数，它在[π，π]
(k 1,2,L )
0
l
叫做傅里叶正弦级数，f(0)=f(l)=0
若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为
f ( x ) a 0
a k cos
kπx l
k1
ak
1 l
l
f
(x )dx (k
1,2,L)
0
ak
2 l
l
f
(x ) cos kx
dx
(k
1,2,L)
0
l
叫做傅里叶余弦级数, f(0)f(l)0
§5.1 傅里叶（Fourier）级数
一 .周期函数的傅里叶展开
在工程计算中, 无论是电学、力学、光学, 经常要和随时
间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。 最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(ωt+φ) 其中=2π/T
t
例2 设 f（x）是周期为2π的周期函数，它在[-π，π]
上的表式为f（x）=x。将它展为傅立叶级数。
解 首先，所给函数满足狄氏条件，在
x (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 ....)
处不连续，因此，f（x）的傅立叶级数在
x (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 ....)
收敛于 f(0 )f( 0 )( )0
2
2
在连续点处收敛于f（x）。
f (x)
x
不计点x (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 ...函.数)是周期为2π，且是奇函
数。
则
2
2
bkwk.baidu.com
0
f(x)sinkxdx
0
xsinkxdx
2(1)k1 (k1,2,3...) k
f(x) 2(1)k1sinkx
k1n
( x ;x , 3 ...)
满足狄里希利(Dirichlet)条件, 即在区间[-l,l]上
1) 连续或只有有限个第一类间断点； （简称狄氏条件） 2) 只有有限个极值点.
则函数f(x)可在[-l,l]展为傅里叶级数
f ( x ) a 0
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的. 1、定义在 [-l, l] 上的函数 f(x)展开；
方法 将函数 f（x）解析延拓到[-∞，∞]区间， 构成的周期函数g（x），其周期为2l
f (x)
l
l
x
f (x)
x
l
l
f (x)
l
l
x
f (x)
x
l
l
仅在 [-l，l]上，g(x)≡f(x).
表达式
1 (x0)
f(x)
1
(0x)
将f（x）展为傅立叶级数。
解 函数满足狄氏条件，它在x=kπ（k=0，1，-1，2，-2…)
点不连续,收敛于
11 0 2
在连续点上收敛于 f (x) f ( x)
x
则
ak 1f(x)coksxdx0
bk1 f(x)siknx d x k0 4
(k1,3,5...) (k2,4,6..)
重点
1、傅立叶（Fourier）级数的展开方法； 2、傅立叶（Fourier）积分的展开条件与展开方法； 3、傅立叶谱的物理意义。
傅里叶生平
1768年生于法国
1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数的级数表示”
1822年发表“热的分 析理论”，首次提出 “任何非周期信号都 可用正弦函数的积分 表示”
l
l
l cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a 1 l 0 l l
f
xdx
a n1 l T 2 T 2 f xcon sxdx (n1,2,3, )
b 1l
n l l
f xsin nxdx
(n1,2,3 ).
称为傅里叶系数
3、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数
为基进行分解
x
2x
kx
基
矢 量
1, cos , cos ,... cos ,...
l
l
l
x 2x
kx
sin , sin ,... sin ,...
l
l
l
4、第一类间断点和第二类间断点的区别:
函数的间断点分为两类
第一类间断点：x0是函数的间断点，且
左极限 limf(x)limf(x)右极限
xx0
xx0
4 1
f(x)k12k1si2 nk (1)x
二、奇函数和偶函数的傅里叶展开
f ( x ) a0
(a k cos
k 1
kπx l
bk sin
kπx ) l
若f(x)是奇函数，则ak为0，展开式为
f ( x )
kπx bk sin l
k 1
b k
2 l
l
f
( ξ ) sin
k πξ
dξ
2
1
ak
21
21
0
2
f(x)coksxdx xcoksdx 1coksxdx
1
0
1
1
(1)coksxdx
1
k22
[1(1)]k2
sink
2
2
1
bk
21 21
0
f(x)sinkxdx xsinkdx
工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.
方波 4个正弦波的逼近
数学表示为
100个正弦波的逼近
n
f(x) Aksink(tk) k1 n akcosktbksin kt k1
1、 傅里叶级数
若函数f(x)以2l为周期，即f(x+2l)=f(x)，并在区间[-l,l]上
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l sin
2 k x dx
例3 在（-1，1）上定义了函数f（x）为：
x
f
(x)
1
1
( 1,0 )
(0, 1 ) 2
( 1 ,1 ) 2
将函数展为傅立叶级数
解 函数曲线如图
f (x)
将函数做周期为2的解析延
1
拓，如图。
1 0 2 1
x
f (x)
1
1 0 2 1
x
将延拓后的函数做傅立叶展开 1
a01 2 1 1f(l x)dx 1 2[ 0 1xdx 0 21d x1 1(1)d12]x 1 4