第八章作业解题方法与示例参考

第八章作业

评分要求：

1. 合计76分

2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).

3. 总得分换算为百分制, 在采分点1处正确设置.

一设A={a,b,c,d}, B={0,1,2}.【15分】

(1)给出一个函数f: A→B, 使得f 不是单射的, 也不是满射的;【3分】

(2)给出一个函数f: A→B, 使得f 不是单射的, 但是满射的;【3分】

(3)能够给出一个函数f: A→B, 使得f 是单射但不是满射的吗?【3分】

(4)设|A|=m, |B|=n, 分别说明存在单射, 满射, 双射函数f: A→B的条件.【6分】

解

(1) f ={,,,}是A到B的函数, 既不是单射也不是满射.

(2) f ={,,,}是A到B的函数, 不是单射, 是满射.

(3) 不能, 因为|A|=4>3=|B|, 不存在从A到B的单射函数.

(4) 存在单射函数f:A→B的充分必要条件是m≤n.

存在满射函数f:A→B的充分必要条件是m≥n.

存在双射函数f:A→B的充分必要条件是m=n.

二设A={a,b,c}, R={,}∪I A为A上的等价关系.【7分】

(1)求A/R;【3分】

(2)求自然映射g: A→A/R.【4分】

解由于[a]R=[b]R={a,b}, [c]R={c}, 所以

(1) A/R={ {a,b}, {c} }

(2) 自然映射g: A→A/R,

g(a)=g(b)={a,b}, g(c)={c}.

三设f: R×R→R×R, f()=<(x+y)/2,(x－y)/2>, 证明 f 是双射的.【8】

证明

先证f是单射的: ∀,,

f()=f() ⇔<(x+y)/2,(x－y)/2>=<(u+v)/2,(u－v)/2>

⇔(x+y)/2=(u+v)/2 ∧(x－y)/2=(u－v)/2

⇔x=u ∧y=v ⇔= 【4分】

再证f是满射的: ∀∈R×R, 有∈R×R 并且满足

f() = . 【4分】

得证

四设A, B为二集合, 证明: 如果A≈B, 则P(A)≈P(B) 【10分】

证因为A≈B, 存在双射函数 f :A→B, 反函数f-1: B→A.

构造函数g:P(A) →P(B),

g(T) = f(T), ∀T⊆A其中f(T)是T在函数f 下的像.【4分】下面证明g是双射:

证明g 的满射性. 对于任何S ⊆B, 存在 f -1(S) ⊆A, 且

g(f-1(S)) = f︒f -1(S) = S【3分】

证明g的单射性. 对任意T1,T2∈P(A),

g(T1) = g(T2) ⇒f(T1) = f(T2)

⇒f -1(f(T1) = f -1(f(T2))

⇒I A(T1) = I A(T2) ⇒T1=T2

综合上述得到P(A)≈P(B).【3分】

五N是自然数集合, R是实数集合, A是任意非空集合. 证明【合计36分】

(1) N×N≈N 【8分】

(2) (0,1)≈[0,1) 【8分】

(3) {0,1}N≈R 【10分】

(4) P(A)真优势于A 【10分】

证

(1) 构造函数f: N×N→N如下:

∀∈N×N, f()=(m+n+1)(m+n)/2+m. 【2分】

可以证明f是单射也是满射(此处略). 即f为双射. 【6分】

(2) 构造函数f: [0,1)→(0,1)如下:

如果x≠0∧x≠1/2k (k=1,2,3,…), f(x)=x;

如果x=0, f(0)=1/2;

如果x=1/2k (k=1,2,3,…), f(x)=1/2k+1. 【2分】

可以证明f是单射也是满射(此处略). 即f为双射. 【6分】

(3) 由于[0,1)≈R, 根据传递性只需证明{0,1}N≈[0,1)即可(参考第八章幻灯片). 【10分】

(4) 作函数f: A→P(A), f(x)={x}, ∀x∈A.

显然f是单射, P(A)优势于A,【2分】下面只需证明P(A)与A不等势.

对任意函数g: A→P(A), 证明g不可能为满射(此处参考第八章幻灯片). 【8分】