对称型内平动齿轮系统的非线性动力学分析

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基于非线性动力学模型的齿根裂纹故障分析

文章编号:1004-2539(2010)11-0058-04基于非线性动力学模型的齿根裂纹故障分析张青锋唐力伟郑海起杨通强(军械工程学院火炮工程系, 河北石家庄 050003)摘要基于齿轮系统动力学的理论方法,考虑质量偏心、齿面摩擦及时变刚度等因素的影响,建立了齿根裂纹非线性动力学的故障模型。

通过对模型的数值求解与分析,得出轴的转动振动信号比箱体上的振动信号故障特征更明显。

同时对不同转速、负载的工况下的仿真对比,获得了更有利于提取故障特征的工况,揭示了故障模式下的振动响应的原理和特征,为提取具有更好信噪比的振动信号提供了理论依据。

通过试验验证,证明了结论的正确性,为提高故障诊断的准确性提供了新的途径。

关键词齿轮系统动力学故障诊断仿真分析故障特征Nonlinear Dynamics Fault Model Analysis on Gear Tooth CrackZhang Qingfeng Tang Li w ei Zheng Haiqi Yang Tongqiang(Department of Guns Engineering,Ordnance Engineeri ng College,Shiji az huang050003,China)Abstract Based on gear system dyna mic s,nonlinear dynamics fault model on gear tooth crack is proposed firstly in consideration of the factors such as friction and eccentric mass.B y the numerical solution and simulation analysis, the c onclusion is that fault feature is more prominence in turning signal than vibration pared different work-ing condition of model including rotate speed and load,the better working condition is found for easy picking up the fault feature.The result revealed the principle and character of vibration response under fault model,and offered aca-demic base for obtaining better signal to faults diagnosis.B y experiment the result proves that this method can break a new path for improving accuracy of faults diagnosis about gear tooth.Key words Gear system dynamics Faults diagnosis Simulation analysis Fault feature0 引言在齿轮箱的故障诊断中,以振动响应信号为基础的齿轮故障诊断方法,相对于其它齿轮故障诊断方法具有测量简便、实时性强等优点,因此振动检测法已经成为目前齿轮箱故障诊断研究领域中应用最广泛的方法。

高速旋转机械系统齿轮轴承非线性动力学浅析

高速旋转机械系统齿轮轴承非线性动力学浅析摘要：文中围绕圆柱齿轮系统非线性动力学问题，说明了齿轮系统啮合过程非线性振动的基本概念，包括基本的力学模型、数学模型、不同类型的分析系统和求解方法；然后分别介绍了齿轮啮合刚度参数振动问题和齿侧间隙非线性振动问题。

关键词：齿轮传动；非线性振动；间隙非线性振动Nonlinear dynamics around the cylindrical gear system Abstract: This paper explains the basic concepts of nonlinear vibration of gear system engagement process, including basic mechanics models, mathematical models, different types of systems and solving method; then introduced gear meshing stiffness parameter vibration problems and tooth the side clearance nonlinear vibration problems.Keywords: gear; nonlinear vibration; gap nonlinear vibration1前言齿轮传动系统是各类机械系统和机械装备的主要传动系统，齿轮系统振动特性直接影响机械系统和机械装备的性能和工作可靠性。

因此，长期以来人们对齿轮系统的振动特性进行了大量的理论分析和试验研究，取得了许多重要的研究成果。

透平压缩机中的齿轮传动系统有几个特点：一是系统转速高, 有时转速高达几万转, 会产生非常明显的振动。

齿轮传动系统的振动及稳定性问题一直是重点。

二是系统复杂, 所涉及到的机械零件有齿轮副、转子(轴) 和轴承(支承) 等, 从传动结构上分有原动机、齿轮箱和压缩机转子等, 从力学特性上来看有齿轮间隙、轴承油膜力等非线性因素。

单级齿轮传动系统非线性动力学特性分析

Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｔｈｏｌｅｒｄｎｍｉｄｌｏｐｒｇａａｒｗｉｉｇｅｄｇｅｆｆｅｄｍｓｅｔｂｉｈｄｅｎｎｉａｙａｃｍｏｅｒａｓｕｅｒｐｉｔｓｎｌｅｒｅｏｒｅｏｗａｓａｌｅｎｆｈｓｗｈｒｈｏｔａｋａｈｉ－ａｙｎｔｆｅｓａｄｃｍｐｅｅｓｖｅｒｎｒｏｒｏｒｈｎｉｅｙｅｅｉｔｅｔｏｈｂｃｌｓ，ｔｎｍｅｖｒｉｇｓｉｎｓｎｏｒｈｎｉｅｇａｉｇｅｒｒｗｅｅｃｍｐｅｅｓｖｌｆ
轮系统动力学模型，究齿轮系统存在的次谐响应研
影响．齿轮系统具有转速较高、系统复杂和建模困难等特点，中非线性因素众多，其使得其求解变得非常困难，如果再考虑齿轮系统可能存在各种故障，模则型更为复杂［．究内容近年来开始逐渐考虑齿轮６研］
ｖｒａｌｔｐＲｕｇ－ｕｔｔｇａｉｎｍｅｈｄａｉｂｅｓｅｎｅＫｔａｉｅｒｔｔｏ．Ｔｈｙａｉｃａａｔｒｓｉｓｏｈｙｔｍｓａａｙｅｏｎｏｅｄｎｍｃｈｒｃｅｉｔｃｆｔｅｓｓｅｗａｎｌｚｄｆｒ
Ｐｏｎａ６ｍａｐｎｎｕｉｒｓｅｔａＴｈｅｕｔｓｏｄｔａｈａｕｆｔｅｔｏｈｓｄｌａａｃｕｄｉｃｒｐｉｇａｄＦｏｒｅｐｃｒ．ｅｒｓｌｈｗｅｈｔｔｅｖｌｅｏｈｏｔｉｅｃｅｒｎｅｗｏｌ

[37] 故障参数下齿轮系统非线性动力学行为

故障参数下齿轮系统非线性动力学行为王彦刚,　郑海起,　杨通强,　关贞珍,　杨　杰(军械工程学院火炮工程系　石家庄,050003)摘要　为分析齿轮系统在故障条件下的非线性动力学变化机理,对不同故障参数下非线性齿轮系统的动力学行为进行了研究;建立了单齿冲击、单齿刚度、单齿磨损及全齿磨损的非线性动力学模型,采用齿轮混沌振子方法对其进行了分析;探讨了上述4种故障激励产生后齿轮系统吸引子的变化。

研究表明,利用齿轮混沌振子能够较好地区分故障信号的大小,为更好地进行故障诊断提供了理论支持,也为旋转机械的故障诊断提供了一种新方法。

关键词　齿轮　故障诊断　非线性　分岔中图分类号　T H113引　言齿轮作为一种最常用的传动机构,高速工作时,特别是在含微弱故障时,其动态性能的好坏对机械设备的工作可靠性影响很大。

近几年来,国内外学者对考虑齿侧间隙和轮齿啮合刚度变化等非线性因素的齿轮系统动力学问题进行了深入的研究,并应用于齿轮系统振动控制,取得了良好的效果。

但在以往的齿轮系统非线性动力学研究中,过多的研究是针对正常状态下的齿轮系统动力学特性[1-3],而忽视了含故障状态下齿轮系统动力学行为的研究。

Parey等人[4-5]在研究带有缺陷的齿轮系统动力学时,建立了含各种故障的齿轮动力学模型并进行了响应信号分析。

朱艳芬[6]研究了含故障齿轮系统的幅频特性,认为脉冲故障在低频时影响较大,上述研究中都没有涉及到齿轮系统的故障参数的动力学特性分析。

陈予恕[7]在研究机械故障诊断的非线性动力学时认为,对可建模系统,基于分岔理论的故障机理分析,可对某些疑难振动故障的机理、控制和预测提供指导。

本文在分析非线性齿轮系统连续匀加速状态下的分岔特性基础上,参考混沌控制中的微扰理论,分别研究了单齿冲击、单齿刚度、单齿磨损及全齿磨损4种故障激励类型产生后对齿轮系统动力学行为的影响。

1　含故障参数的齿轮系统非线性动力学模型对于单级齿轮系统,考虑齿轮传动系统的齿侧间隙以及时变啮合刚度和内外部激励等因素的影响,其非线性齿轮系统无量纲动力学模型为[8-10] x¨(t)+2a x(t)+k(t)f(x(t))=F(t)F(t)=F m+F ah k2eh sin(k eh t+O h)(1)其中:a,k eh,F m,F ah,k(t)和f(x(t))分别为粘弹性阻尼、内部激励基频、平均载荷、内部激励幅值、啮合刚度和啮合力。

端曲面齿轮传动系统的非线性动态特性

2023年第47卷第3期Journal of Mechanical Transmission端曲面齿轮传动系统的非线性动态特性刘军张艳霞潘洁宗王学松（广西科技师范学院职业技术教育学院，广西来宾546199）摘要为了研究端曲面齿轮传动系统的非线性动态特性以及参数对系统动态特性的影响，建立了端曲面齿轮系统的非线性动力学模型；选取无量纲啮合频率为控制参数，通过分岔图、相图、时间历程图、Poincaré映射图，研究了系统的动力学特性。

研究表明，系统经跳跃分岔由无冲击状态转迁为单边冲击状态，随后经连续的倍化分岔通向混沌运动；当增大综合传动误差或减小转矩时，系统无冲击状态区域逐渐收缩，跳跃分岔值和倍化分岔值发生超前，使系统提前发生跳跃现象；无冲击—单边冲击的转迁方式发生改变，亚谐运动区域逐渐扩展并发生前移，系统运动类型增多，运动周期数增大，混沌运动区域逐渐扩大，系统稳定性下降。

关键词周期运动分岔混沌Nonlinear Dynamic Characteristics of the Curve-face Gear Transmission SystemLiu Jun Zhang Yanxia Pan Jiezong Wang Xuesong（College of Vocational and Technical Education, Guangxi Science and Technology Normal University, Laibin 546199, China）Abstract In order to study the nonlinear dynamic characteristics of the curve-face gear transmission system and the influence of parameters on the dynamic characteristics of the system, a nonlinear dynamic model of the curve-face gear system is established. The dimensionless meshing frequency is selected as the control parameter, and the bifurcation diagram, phase diagram, time history diagram and Poincaré diagram are analyzed. The mapping graph is used to study the dynamic characteristics of the system. The results show that the system changes from the non-impact state to the unilateral impact state by jumping bifurcation, and then leads to chaotic motion by continuous doubling bifurcation. When the comprehensive transmission error is increased or the torque is reduced, the non-impact state region of the system shrinks gradually, and the jumping bifurcation value and doubling bifurcation advance, which make the system jump ahead of time. The mode of transition from non-shock to unilateral shock changes, the subharmonic motion region expands gradually and moves forward, the types of motion increase, the number of motion cycles increases, the chaotic motion region expands gradually, and the stability of the system decreases.Key words Periodic motion　Bifurcation　Chaos0 引言随着社会和科技的快速发展，传统的圆形齿轮无法满足在变传动比工况下运行的要求，人们逐渐开始研究非圆齿轮。

非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法（6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析方法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分支现象；5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。

二、教学重点1、线性稳定性的分析方法；2、奇点的判别。

三、教学难点线性稳定性的分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。

六、教学过程本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。

相空间和稳定性一、动力系统在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。

再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。

然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。

研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。

假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。

有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r的函数。

如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。

这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。

),,,(2111n X X X f dtdX ),,,(2122n X X X f dtdX (1.1.1)…),,,(21n n nX X X f dtdX 其中代表某一控制参数。

对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是 i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。

由于 i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。

若 i f 明显地依赖时间t ，则称方程组为非自治动力系统。

非自治动力系统可化为自治动力系统。

对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。

齿轮传动系统的非线性冲击动力学行为分析_陈思雨

D+ ={(ti, xi, yi)xi >1, ·xi =yi}
(6)
假设初始值取在 Pi处 , 则轮齿经过短暂的运行之
后到达切换曲面 ∑ + -的 P0 点 , 本文忽略瞬态响应的影
响 , 以 P1 点为新的初始值。则间隙系统的冲击映射结
构为 ,
∑ ∑ +
P1 P2 =P1 ※ P2 ∶ +
第 28卷第 4 期
Байду номын сангаас
振动与冲击 JOURNALOFVIBRATIONANDSHOCK
Vol.28 No.4 2009
齿轮传动系统的非线性冲击动力学行为分析
陈思雨1 , 唐进元 1 , 谢耀东2
(1.中南大学机电工程学院现代复杂装备设计与极端制造教育部重点实验室 , 长沙 410083;2.株洲齿轮有限公司 , 株洲 412000)
1 2
c1 ω[
ann+an+2
(n+2)]
(11)
图 2 间隙系统的冲击示意图
当 xi >1时 , 映射路径只有 P1 P2和 P5 P6两种情形 , 除了受初始条件的影响外 , 还跟齿轮系统的时变刚度、摩
擦系数和载荷系数等参数有关系。当 xi <1时 , 可能出现的映射路径有 P7 P0 、 P3 P4 、 P9 P8和 P11 P10四种情形。此时映射跟初始条件、摩擦系数及载荷系数等有
转动角速度。
根据文献 [ 27] , 量纲一化的齿轮系统的运动方程
可以表示为 ,
·x· +c(t)·x+k(t)f(x) =F(t)
(1)
其中 , x为量纲一化的齿轮传动系统的动态传递误差 ;

考虑齿面接触温度的齿轮系统非线性动力学建模及分析_苟向锋

摘要：为了研究齿轮啮合过程中齿面接触温度对系统动力学的影响，基于 Block 闪温理论，计算主、从动轮的齿面闪温，推导齿面接触温度随时间变化的表达式，计算由齿面接触温度变化导致的齿廓形变；通过 Hertz 接触理论，推导随齿面接触温度变化的啮合刚度的表达式。建立综合考虑齿面接触温度、时变啮合刚度、齿面摩擦、齿侧间隙、综合啮合误差等因素的单级直齿圆柱齿轮系统非线性动力学模型。对该模型进行研究，分析摩擦因数、载荷对齿面闪温的影响及系统的动力学特性。计算结果显示，齿面闪温在齿根和齿顶啮合时达到最大，而在节点附近接近于零。这表明所建立的齿面闪温计算方法能在一定程度上反映齿轮啮合时的温度变化和滑动情况，该方法在计算齿面温度变化时其基本规律是正确的。对比考虑齿面接触温度与否的分岔图发现，齿面接触温度对系统动力学行为有明显的影响。关键词：齿轮齿面接触温度建模中图分类号：TH132.41 O322 非线性动力学
0

前言
*
齿轮是应用广泛的动力与运动传递装置之一。齿轮系统实际啮合中齿面摩擦消耗的能量大部分转
国家自然科学基金(51365025， 11462012)、教育部博士点基金 (2012620
4110001)和甘肃省创新研究群体计划(1308RJIA006) 资助项目。 20131107 收到初稿，20150228 收到修改稿
主、从动轮齿数。 rci (t)(i 1,2) 可由下式计算得到：
rc1(t) ((rb1 rb2 )sin ra22 rb22 cos2 rb11t)2 rb2 1
(6)
rc2 (t) ( ra22 rb22 cos2 rb11t cos)2 rb22 cos2
2
换为热量，导致齿面接触温度升高。在高速重载工况下，摩擦引起的齿面接触温度升高极易导致齿面胶合。TABURDAGITAN 等[1]建立了研究由摩擦引起齿面温度变化的有限元模型。MAO[2]使用有限差分法研究了一种复合材料齿轮的齿面接触温度，提出了一种更接近实际的齿面闪温计算方法。龙慧等 [3] 提出了一种齿面摩擦因数和热流量的计算方法，建立了高速齿轮传动瞬时接触温度分析模型。齿面接触温度变化将使轮齿齿廓发生形变，进而使轮齿啮合刚度发生变化，对齿轮系统的动力学性能产生较大影响，这使得齿面接触温度成为不可忽视的因素之一。近年来，以 KAHRAMAN [4]建立的单自由度齿轮系统动力学模型为基础，学者们提出了各种新的改进模型[5,6]，研究了更多复杂因素对齿轮副动态传递性能的影响。VAISHYA 等[7-8]研究了齿轮系统的摩擦力，建立了计及摩擦力的齿轮系统动力学模型。王三民等[9]建立了考虑摩擦、时变刚度、齿侧间隙的单自由度齿轮系统非线性动力学模型。唐，进元等[6 10]等建立了一种考虑齿面摩擦、时变刚度和齿侧间隙的改进的动力学模型。在目前有关齿轮系统的非线性动力学研究文献中，尚未见到考虑齿面接触温度对动力学性能影响的报道。本文在考虑齿面摩擦、时变啮合刚度、齿侧间隙等非线性因素的基础上，根据 Block 闪温理论及 Hertz 接触理论建立考虑齿面接触温度的单级直齿圆柱齿轮系统的非线性动力学模型，并通过对该模型的研究，分析摩擦因数、载荷对齿面闪温的影响以及齿面接触温度对系统动力学的影响。

齿轮非线性动力学研究展望

齿轮非线性动力学研究展望齿轮传动是动力学研究领域中的重要组成部分，同时也被运用于各种机械设备中，系统的使用精度由于齿轮的广泛应用而大幅提升。

齿轮传动系统的主要特点是系统高转速、建模难度大和求精确解困难。

当今精密机械设备以及高精尖仪器等均对齿轮的精度提出了更严苛的需求，这对齿轮非线性动力学的研究提出了更深入的要求。

标签：非线性动力学；非线性方法；齿轮传动系统设备中极为关键的齿轮的传动系统应用的十分广泛，其高转速下的振动问题、内部结构的复杂性和各种非线性的因素存在，不仅给齿轮传动系统动力学分析更给设计带来了极大的困难。

齿轮传动系统的主要特点是系统高转速、建模难度大和求精确解困难。

在齿轮的传动系统动力学研究中，系统输入、系统模型、系统输出这3方面为主要研究过程[1]。

本文根据近年来相关的研究情况，对于非线性动力学的研究现状和成果进行概述。

并提出未来相关研究的热点和方向，在宏观上为齿轮非线性系统的动力学分析提供了今后研究的重点。

1 齿轮传动系统动力学的发展加工齿轮的时候，存在一些变化因素，比如装配以及齿合刚度等，齿轮会存在震动等一些有害的变化，从而给传动系统精度造成较大的影响[2]。

现在对于齿轮传动系统动力学的相关研究已经从之前的线性转变成为了非线性，齿轮传动系统的升级也给社会更好的发展做出了自己的贡献。

在考虑间隙为非线性时非线性问题可划分为两种模型：非线性时不变模型没有考虑到啮合刚度的时变性，而非线性时变模型考虑到了该时变性，因此可以把齿轮系统当作非线性的参数振动问题从而进行研究。

近30年来，融汇了许多先进的理论学说、研究方法的非线性动力学的高速发展并且不断优化齿轮传动系统的动力学分析思路，将线性方法无法解决的分岔、跳跃、极限环、混沌等现象进行科学合理的解释和处理[3]。

2 齿轮传动系统的非线性动力学的研究现状至今，有关齿轮传动系统的非线性动力学研究主要有以下3种方法：近似解析法、数值法和实验法，现将部分学者近期具有代表性的研究成果列举如下。

一类三次方对称离散系统的非线性动力学分析

于是很容易确定系统 ( 1) 有 Z- 对称性吸引子出现的控制参数 a 的最小值 ar 为 ar = 1 + 可以验证系统( 1) 在对称变换 S : x
[ 2]
逐渐减小并且最终变成
负值, 这是就意味着系统( 1) 有 Z2- 对称性吸引子出现要满足方程
, 同时也表明系统( 1) 的吸引子恢复了对称性
利用文献[ 2] 的理论很容易确定系统 ( 1) 有 - 对称性吸引子出现的确切的分岔参数 a 的最小值 ar , 首先 f 2( x r ) = 0 并且在 a r 点有 x2 r = a- 1 3a 3 3 2 ( 7) ( 6)
图1
随着分岔参数 a 增大变化的蛛网映射图
2
通向混沌的道路
考虑一个依赖于一个控制参数 a 的离散动力系统, x af ( x , ) , x R n, R ( 5)
2. 1 数值判别
其中 , f 是关于变量 x 和控制参数拓扑区别
[ 9]
的光滑映射
系统 ( 5) 发生对称性破缺分岔处的 Floquet 乘子等于 1, 并且与倍周期分岔 ( Floquet 乘子是 - 1) 有着而对应的最大 L yapunov 指数在分岔点处都等于 0 增大的方向 , 式( 1) 由 0 逐渐增大到 2 时, 系统处于 0 平衡点 , F loquet 乘子呈线性沿着控制参数
图 2 在控制参数 a
[ 1 5, 4] 区间内系统 ( 1) 的 Floquet 乘子及 Lyapunov 指数谱
2. 2 系统的对称性分析由前面的分析已经知道, 在 a = 2 处平衡点 x = 0 失稳并且分岔出在区间 [ 2, 3] 内稳定且存在的一对平衡点 x 1 , 2 和在区间[ 3 , 1+ 5 ] 内稳定且存在的一对平衡点 x 3 , 4 , 然后这些平衡点历经倍周期分岔导致一对共轭吸引子 A + 和 A - , 并且每个吸引子包含在唯一的轨线中 , 并且这些轨线逐渐弥补实轴的部分区域 , 记这些轨线为 [ , ] 和 [ ,] 随着分岔参数 a 进一步的增大 ,

齿轮故障演化的非线性动力学机理与实验研究_苏勋文

２］３７－５１，包括圆柱齿轮、究［圆锥齿轮以及行星齿轮的参
０引言
齿轮正常工作时，由于齿面摩擦、齿侧间隙以及时变
］［］［］１８１２３７－５１３－４－１。啮合刚度的影响，振动具有强烈的非线性［
数振动等，特别是分叉与馄饨振动特性以及摩擦、间
第３９卷第２期齿轮故障演化的非线性动力学机理与实验研究
（）文章编号：４－２５３９２０１５０２－００１９－０６１００
１９
齿轮故障演化的非线性动力学机理与实验研究
苏勋文１王少萍２
（）１北京林业大学工学院，０８３００北京１）（１９１２北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，００北京１
］６－８。齿轮产生故障时，隙、时变刚度对二者的影响［由
由于齿轮的非线性振动方程无法求出解析解，日本学者对齿轮非线性振动方程做了线性化处理，求出了线性近似方程，并进行了试验验证
［５］５５８－５６４
于啮合刚度的变化，同样存在非线性特性。对于故障齿轮振动，学者针对齿轮的不同故障形式如磨
齿轮故障振动的非线性特性。目前，齿轮故障诊断多集中于对齿轮振动信号的不同处理方法，如时域分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ０
］１８７－１。方法、频域分析方法、时频域联合分析方法等［
机械传动２０１５年

三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析

收稿日期:20030710基金项目:航空科学基金项目(02C53019)资助作者简介:刘晓宁(1976-),男(汉),山东,博士研究生刘晓宁文章编号:100328728(2004)1021191203三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析刘晓宁,王三民,沈允文(西北工业大学,西安　710072)摘　要:在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上,利用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳定和不稳定的周期轨道,并利用Floquet 理论研究其稳定性、分岔类型,对系统的参数变化进行分析,研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制了系统周期解分岔图。

关　键　词:齿轮转子轴承传动系统;增量谐波平衡法;Floquet 理论中图分类号:TH13 文献标识码:AN onlinear Vibrations of 32DOF G eared R otor 2B earing SystemLI U X iao 2ning ,W ANG San 2min ,SHE N Y un 2wen (N orthwestern P olytechnical University ,X i ′an 710072)Abstract :The incremental harm onic balance (IH B )method is used to obtain periodic m otions of a 32DOF non 2linear m odel of a geared rotor system subjected to parametric and external harm onic excitations.The stability of the periodic m otions is investigated by the Floquet theory ,the bifurcation behavior is traced.Parametric studies are performed to understand the effect of system parameters such as excitation frequency on the nonlinear dy 2namic behaviors.K ey w ords :G eared rotor bearing system ;Incremental harm onic balance (IH B )method ;Floquet theory 齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。

面齿轮传动系统非线性动力学键合图模型及方程

面齿轮传动系统非线性动力学键合图模型及方程摘要：为了较好研究面齿轮的传动系统，本文以正交面齿轮传动系统为研究对象，基于Bondgragh理论建立了综合时变啮合刚度、传动误差、齿面摩擦力、啮合阻尼等因素的耦合非线性动力学模型.运用Bond gragh理论将面齿轮传动系统中的激励和响应转化为键合图元，分析系统运动的特性分别建立了面齿轮弹性变形键合图模型、传动误差键合图模型和齿面摩擦键合图模型，并分析因果关系和键合图中的功率流得到面齿轮传动系统非线性动力学耦合方程.关键词：面齿轮；动力学；键合图；非线性DOI：10.15938/j.jhust.2015.05.010中图分类号：TH113文献标志码：A文章编号：1007-2683（2015）05-0051-050 引言面齿轮除了具有大重合度、强轴间位置适应性、大变速比外，面齿轮传动还具有大传递功率、良好的分流效果、优良的工作平稳性、简单结构、低噪声、轻单位质量、小空间占用等优点，其应用领域广泛覆盖.经过长期的理论研究和技术实践，在国内外的众多研究机构和学者的努力下，对面齿轮传动系统结构的研究也更加深入和细化，重点研究领域主要有：面齿轮的齿面成形原理及啮合动态特性，基于有限元法的面齿轮结构强度、温度场分布，面齿轮的实际生产加工及制造装备，动力学分析与实验测量方法的研究.Bond graph理论是由美国麻省理工学院的H.M.Paynter教授在1959年提出的，其理论基础是热力学第一定律，即热量可以从一个物体传递到另一个物体，也可以与机械能或其他能量互相转换.具体形式是分析机械系统中的多种能量范畴耦合合成的基本物理过程，用四中形式的广义变量：势、流、广义动量和广义位移描述系统功率的传输、转化、贮存、耗散，并按照相互链接关系、能量传输情况、变量间因果关系、系统阶次等系统信息将与能量单元相关的理想元件用键连接，因此键合图可以更加形象具体的表现机械系统尤其是面齿轮系统的非线性传动特性，所用的状态变量即为系统的物理变量，在机械系统中各机械元件相互作用综合，是系统的输入与输出保持某种因果关系，其因果关系具体表现为各元件之间的功率传递，这也是Bond graph理论的根本依据.根据机械系统的工作原理，按照各元件的因果关系，即可建立起系统的键和图模型，分析其隐含着的系统动态性能状态方程，增广后可列写出相应的动力学方程.1 面齿轮传动系统的键合图建模1.1 弹性变形模型面齿轮轮齿在啮合过程中，在齿面载荷的作用下会发生形变.在轮齿任意位置的弹性变形δ与相应受到的载荷W具有如下关系W=khf（δ）.（1）式中：kh即轮齿的综合啮合刚度.根据Bond graph 理论，载荷W定义为势变量e（t），弹性变形δ定义为广义位移F（t），那么面齿轮轮齿的弹性变形可用基本的一端口元件容性元C来表示，参数为kh.由于齿轮在加工、制造与安装、运转过程中会产生误差，从而导致啮合齿廓偏离其理论位置，进而在轮齿啮合过程中产生位移型激励，即为误差激励.因此可用流源Sf表示面齿轮传动系统中误差激励en（t）的导数，面齿轮传动误差激励的键合图模型如图1所示，容性元件C表示弹性变形，阻性元件R表示啮合阻尼，并且流源S，可以定义为1.2 齿面摩擦模型图2所示为一对相互啮合传动的面齿轮传动副，根据牛顿第三定律可知圆柱齿轮和面齿轮所受的摩擦力大小相等、方向相反.滑动摩擦力产生于主动轮和被动轮的齿面在轮齿啮合的过程中发生相对滑动的过程中，因此与啮合线相垂直的方向是摩擦力的方向，基于库伦摩擦定律（Coulomb定律），摩擦力Ff可以定义为式中：μ为摩擦系数；sign表示符号函数，FN为正压力，根据Bond graph理论，齿面摩擦力为耗能元件，且不断变化，因此可以应用一端口元件阻性元MR表示.根据公式可知由于摩擦力臂Z的变化导致齿廓接触点间的相对速度Vh发生变化，进而影响摩擦力Ff改变，因此可以应用二端口元件变换器MTF来表示圆柱齿轮和面齿轮的摩擦力臂l变化，可得出面齿轮齿面摩擦的键合图模型如图3所示.1.3 包含齿侧间隙的时变刚度模型齿轮啮合传动时，为了在啮合齿廓之间形成润滑油膜，避免因轮齿摩檫发热膨胀而卡死，齿廓之间必须留有间隙，此间隙称为齿侧间隙.一般情况下齿侧间隙很小，但由于其误差的存在，会使得齿轮在啮合时产生啮合冲击，对于齿轮的平稳性和啮合的动态特性造成很大的影响，甚至降低齿轮系统寿命，影响整个机械系统的正常运转.上文公式提到面齿轮系统刚度kh的定义，其中f（*）即为齿轮啮合时考虑齿侧间隙的函数，考虑该函数对面齿轮传动系统动力学模型具有非线性的影响，传统的基本键合图元件无法详细表述，可采用一种非线性元件功率结型结构来形容.如图4所示，齿侧间隙模型可由两个质量元件m1和m2、一个间隙非线性弹性元件kf（*）和一个能量耗散元件C所组成.当齿轮系统中间隙大小为2b时，可以定义f（*）为非线性分段函数，表示为根据Bond graph理论，由于间隙函数f（*）是联系势变量e（t）（即载荷W）和广义位移q（t）（即弹性变形δ的函数，可以用一端口容性元件C定义，容度参数即为l/kh.由于间隙函数f（*）具有分段性特征，在建立键合图模型时需要引入布尔变量u来表述函数的时变性.相对于齿侧间隙的3个状态，分别用ui（i=1，2，3）.定义：u1：w=kh（δ-b），δ>b；u2：w=0，-b≤δ≤b；u3：w=kh（δ+b），δ图5考虑齿侧间隙的时变刚度键合图模型图5所示即为根据齿轮冲击副模型建立的考虑齿侧间隙的时变刚度键合图模型，定义状态变量δi（i=1，2，3），可得到该键合图模型的状态方程1.4 齿轮弹性支撑的键合图模型基于啮合原理和面齿轮传动的实际特点可知，主动轮为圆柱齿轮，在其轴向没有力的作用存在，从动轮为面齿轮，在其径向没有力的作用存在，因此面齿轮传动系统中圆柱齿轮和面齿轮轴承弹性支撑的动力学模型可分别用两个弹簧和阻尼器模拟，模型如图7所示.模型中m1，m1分别为圆柱齿轮和断齿轮的集中质量；根据Bond graph理论，齿问的载荷力的分量和齿间摩擦力的分量可用一端口势源元件Se表示，支撑刚度kx1，kz1，kx2，kkz2，可用一端口容性元件C表示，阻尼Cx1，Cz1，Cx2，Cz2由于造成功率损耗可用一端口阻性元C表示，齿轮集中质量m1，m2可用一端口惯性件，表示.齿轮瞬时传动比会因为齿轮加工误差和安装误差等误差因素的存在发生变化，产生轮齿间碰撞冲击现象，误差在键合图中可以用一端口势源Se表述.根据Bond graph理论，结合如图6所示的面齿轮非线性动力学模型，可以得到面齿轮非线性啮合的键合图模型如图7所示.2 键合图模型方程推导上文分析面齿轮传动系统中圆柱齿轮和面齿轮只在x轴和z轴存在弹性支撑，因此存在四个弹性支撑的键合图模型，根据啮合理论弹性支撑的存在是由于轮齿啮合时齿轮副间碰撞冲击，产生动载荷和摩擦.齿轮弹性支撑键合图模型中的容性元C、惯性元，和阻性元R的线性形式因果关系分别是其中k为齿轮的支撑刚度；m为齿轮的质量；c为阻尼，利用1结约束条件和按照已指定的因果关系，就可得到该系统的状态方程为由于弹性支撑方向与动载荷方向相关，分析可知圆柱齿轮和面齿轮受到的弹性支撑沿各自轴向且方向不同，当通过弹性支撑键合图模型推导动力学方程时，应该考虑输入变量势源Se的不同，即Fk+Fn不同.齿啮合时齿轮副受到的法向动载荷Fn及其沿x，z坐标轴上的分量为圆柱齿轮在沿x轴的横向振动是受到啮合齿面的法向载荷Fn沿x轴正方向的分力和摩擦力fx的共同作用即变量势源Se分别表示为面齿轮同理，因此根据图6所建立的面齿轮传动系统中弹性支撑的非线性动力学方程为式中λ为摩擦力方向函数；lp为时变摩擦力臂.已知齿轮副重合度ε，小齿轮基圆半径rb1，小齿轮齿顶圆半径ra1，小齿轮基圆齿距Pb1，小齿轮转速n1，则摩擦力臂lp及摩擦力方向函数可表示为：根据Bond graph理论，面齿轮啮合键合图列写动力学方程需确定系统的输入变量和状态变量，分别选定，元的广义动量P2，p9和C元的广义位移δ为状态变量，势源SeT1，T2为输入变量，键合图模型中的容性元C、惯性元I和阻性元R的线性形式因果关系分别是其中：kh为两齿轮的啮合刚度；I1，I2为两齿轮的转动惯量；ch为两齿轮的啮合阻尼.利用1结约束条件和按照已指定的因果关系，就可得到该系统的状态方程为对键合图中功率传输方向进行分析，可得出系统中势变量和流变量如下3 结论本文应用Bond graph理论建立了正交面齿轮传动系统动力学模型，并推导了面齿轮传动系统动力学方程，与传统动力学研究方法相比具有以下优点：1）基于Bond graph理论建立的面齿轮传动系统动力学方程，综合考虑了系统的时变啮合刚度、啮合误差、啮合阻尼、齿间摩擦等非线性因素，对于齿轮系统变化状态的描述具有较好的准确性.2）基于Bond graph理论建立的面齿轮传动系统动力学模型，由于只用四种形式的广义变量皆可以把面齿轮传动系统中物理过程表述出来，对于系统中各个物理量的关系和能量变化情况比较直观，并且灵活性和拓展性较高，可根据实际情况在模型中添加或是减少影响系统的激励因素.3）根据已建立的键合图模型推导面齿轮动力学方程，不但符合齿轮啮合的实际情况，而且由于其清晰的因果关系，对于方程的推导效率和准确程度也较满意.。

传动齿轮系统非线性动力学浅析

传动齿轮系统非线性动力学浅析
传动齿轮系统非线性动力学浅析
魏武涛;
【期刊名称】《科协论坛：下半月》
【年(卷),期】2009(000)005
【摘要】目前,在许多实际情况下,线性理论不能解释传动系统在工作时出现的自激振动、参数振动、多频响应、超谐和亚谐振动、内共振、跳跃现象和同步现象等复杂的非线性振动现象。

本文运用非线性振动理论和分析方法,针对车辆三轴传动系统,建立了非线性振动力学模型和数学模型,进行了理论研究和数值仿真研究。

【总页数】1页(P.113-113)
【关键词】车辆传动系统;非线性动力学
【作者】魏武涛;
【作者单位】陕西法士特汽车传动集团;
【正文语种】英文
【中图分类】TH132.41
【相关文献】
1.传动齿轮系统非线性动力学浅析 [J], 魏武涛
2.锥齿轮传动系统的非线性动力学行为 [J], 李明; 阿梅
3.内外激励下风电齿轮传动系统的非线性动力学特性[J], 向玲; 高楠; 唐亮; 郭鹏飞
4.基于增量谐波平衡法的复合行星齿轮传动系统非线性动力学[J], 刘振皓; 巫世晶; 王晓笋; 潜波。

齿轮转动系统的非线性振动特性的理论和实验研究

齿轮转动系统的非线性振动特性的理论和实验研究崔亚辉，刘占生，叶建槐，陈锋摘要：为了研究齿轮传动系统的振动与间隙，设计了齿轮转动系统的振动试验台，考虑非线性齿轮啮合动态激励、灵活的转子和轴承的影响，提出了系统的非线性动态模型。

集成方法被用来研究非线性系统的动态响应，结果发现当啮合频率接近于齿轮副的自然频率时，它就成了主共振，同时出现分歧，混沌运动和振动变得迅速。

当速度接近一级弯曲振动的固有频率时，它是第二主共振，通过倍周期分歧，周期运动的混乱改变。

齿轮传动系统的振动测量试验台就形成了。

加速度计是用来测量高频振动，实验结果表明齿轮传动系统的振动加速度包括网频率和边带。

低速度的数值计算结果基本上可以通过实验结果来验证，这意味着齿轮传动系统的非线性动力学模型是正确的。

关键词:齿轮;分叉;混沌;间隙;试验齿轮传动系统是最常用的机械的动力传动系统，他被广泛应用于冶金、化工、马路、航空、船舶等。

目前，振动的问题仍然是齿轮的关注点。

转子系统的振动大部分来自于齿轮啮合。

齿轮啮合的振动影响与间隙振动、时变啮合刚度和静态传动误差最相关。

很长一段时间，人们对齿轮系统做了大量的研究，并获得了很多重要的结果。

线性振动波装置的特点基本清晰，但是齿轮系统的非线性振动特性的研究仍在发展中。

近些年来，随着非线性动力学理论的发展，人们逐渐调查非线性齿轮系统的振动，研究的焦点源于间隙的非线性。

1991年，卡拉曼和辛格所写的关于齿轮系统的非线性动态的两篇重要的论文发表了。

他们开发了一种三自由度动力学模型，以及几个关键问题，例如内部静态传动误差激励并讨论了扭矩激励之间的差异。

确定了准周期的混论状况和次谐波稳定状态的解决方案，发现了齿轮传动系统中的两种典型航线混乱。

后来卡拉曼等研究了系统的稳态强迫响应与间隙接受相应的参数和外部强迫激励，广义谐波平衡过程多个词被应用于找到期…解决方案。

1997年，卡拉曼等提出了关于齿轮系统的间隙结合参数与外部激励的实验，实验数据证明了很多像混乱、谐波谐振、超级谐波共振、分支和长周期谐波运动，在强迫响应曲线不连续跳等非线性现象。

齿轮动力学国内外研究现状资料

1.2.1 齿轮系统动力学研究从齿轮动力学的研究发展来看，先后进行了基于解析方法的非线性齿轮动力学研究、基于数值方法的齿轮非线性动力学研究、基于实验方法的齿轮系统的非线性动力学研究和考虑齿面摩擦及齿轮故障的齿轮系统的非线性动力学研究。

其中，解析方法包括谐波平衡法、分段技术法和增量谐波平衡法等；数值方法则不胜枚举，包括Ritz法、Parametric Continuation Technique方法等。

[1]齿轮系统间隙非线性动力学的研究起始于1967年K.Nakamura的研究。

[2]在1987年，H. Nevzat Özgüven等人对齿轮系统动力学的数学建模方法进行了详细的总结。

他分别从简化的动力学因子模型、轮齿柔性模型、齿轮动力学模型、扭转振动模型等几个方面分类，详细总述了齿轮动力学的发展进程。

[3]1990年，A. Kaharman等人分析了一对含间隙直齿轮副的非线性动态特性，考虑了啮合刚度、齿侧间隙和静态传递误差等内部激励的影响，考察了啮合刚度与齿侧间隙对动力学的共同影响。

[4] 1997年，Kaharaman和Blankenship对具有时变啮合刚度、齿侧间隙和外部激励的齿轮系统进行了实验研究，利用时域图、频域图、相位图和彭家莱曲线等揭示了齿轮系统的各种非线性现象。

[5]同年，M. Amabili和A. Rivola研究了低重合度单自由度的直齿轮系统的稳态响应及其系统的稳定性。

[6]2004年，A. Al-shyyab等人用集中质量参数法建立了含齿侧间隙的直齿齿轮副的非线性动力学模型，利用谐波平衡阀求解了方程组的稳态响应，并研究了啮合刚度、啮合阻尼、静态力矩和啮合频率对齿轮系统振动的影响。

[7]2008年，Lassâad Walha等人建立了两级齿轮系统的非线性动力学模型，考虑了时变刚度、齿侧间隙和轴承刚度对动力学的影响。

对非线性系统分段线性化并用Newmark迭代法进行求解，研究了齿轮脱啮造成的齿轮运动的不连续性。

齿轮传动系统的非线性随机动力学与故障辨识(王靖岳著)PPT模板

2.1.2方法的有效性
第2章齿轮传动系统的非线性随机动力学分析
2.2非线系统解的形式
A
2.2.1周期运动及其
稳定性
B
2.2.2拟（准、概）周期运动
C
2.2.3周期运动的分
岔
D
2.2.4混沌振动及产
生路径
第2章齿轮传动系统的非线性随机动力学分析
2.3非线性系统解的分析方法和数值分析
方法
6.1.1基本原理 6.1.2含齿面磨损故障的系统运动微分方程
6.1.3仿真分析
6.2基于自相关形态滤波和
EMD的轴承故障检测方法
6.2.1基本原理 6.2.2实例验证 6.2.3对比分析
6.3本章小结
08
参考文献
参考文献
感谢聆听
7
第6章齿轮传动系统的故障辨识
8
参考文献
01 前言
前言
02 第1章齿轮传动系统的非线性随机动力学模型
第1章齿轮传动系统的非线性随机动力学模型
0 1
1.1齿轮传动系统所受激励的类型
0 2
1.2齿轮啮合的时变刚度
0 4
1.4齿轮传动误差
0 5
1.5齿面摩擦与磨损
0 3
1.3非线性齿侧间隙
4.1.3阻尼比对系统运动特性的影响
4.1.4齿侧间隙对系统运动特性的影响
4.1.5啮合刚度对系统运动特性的影响
4.2系统参数的合理匹配分析
02
4.2.1参数合理匹配的分析方法及选取原则
4.2.2实例分析
4.3本章小结
03
06
第5章齿轮传动系统混沌振动的控制
第5章齿轮传动系统混沌振动的控制

内载荷激励下齿轮系统分岔和混沌特性分析

内载荷激励下齿轮系统分岔和混沌特性分析刘魁【摘要】建立了一种单自由度直齿轮副系统的非线性动力学模型,该模型综合考虑引起齿轮内载荷的时变啮合刚度、齿轮传动误差和啮合冲击等因素.运用五阶自适应Runge-Kutta方法给出了系统随内载荷变化的分岔图及其相对应的最大Lyapunov指数图,并结合相图、Poincare映射图、动载荷和FFT频谱图对系统的动力学特性进行了分析.结果表明,较小的内载荷有利于齿轮保持稳定的运行.另外,通过齿轮的动载荷历程,得到了齿轮的啮合冲击状态与系统参数之间的关系.【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)003【总页数】5页(P212-216)【关键词】非线性动力学;分岔;最大Lyapunov指数;动载荷;FFT频谱【作者】刘魁【作者单位】成都铁路局重庆车辆段重庆西动车所,重庆 401122【正文语种】中文【中图分类】TH132;O322随着居民生活水平的提高,人们对动车组的舒适度提出了更高的要求. 为了减少振动,提高动车组的运行稳定性,对动车组的关键部件齿轮系统进行研究变得尤为重要.伴随着非线性动力学的发展,齿轮系统的非线性特点,如稳定性、周期解、分岔和混沌,已经成为国内外的重要研究领域.近年来,国内外的学者对齿轮传动过程中的时变啮合刚度、啮合阻尼和激励频率等非线性影响因素进行了大量的研究[1—7],但由于齿轮运行时其时变啮合刚度、齿轮传动误差和啮合冲击都会不可避免地产生内部激励,导致齿轮内载荷变得相当复杂,因而有关齿轮内载荷方面的研究还不深入.另外齿轮系统的非线性研究手段大部分还仅局限于针对分岔、相图和Poincare映射图进行的[8—11].本文以单自由度齿轮副的非线性动力学模型为研究对象,采用数值模拟的方法研究了齿轮内载荷对齿轮系统动力学特性的影响,并借助分岔图、相图、最大Lyapunov指数图、Poincare映射图、FFT频谱和最大动载荷等多种手段,从不同的角度分析系统的非线性动力学行为和系统参数变化对其混沌特性的影响,探究动车组稳定运行时的内载荷取值范围,并为齿轮的制造生产提供参考依据.1 非线性动力学模型及其齿轮系统微分方程齿轮系统非线性动力学模型如图1所示,建模时仅考虑齿轮的扭转振动;假设齿轮系统传动轴的横向和轴向刚度足够大;忽略由于运动使支撑刚度所造成的摩擦的影响;假设啮合的两齿轮均为渐开线圆柱齿轮且啮合力始终在啮合线方向上.其中,θi(i=1,2)为啮合齿轮的扭转振动角位移;Ii(i=1,2)为啮合齿轮的转动惯量;Rbi(i=1,2)为啮合两齿轮的基圆半径,Ti(i=1,2)为两啮合齿轮上的转矩, K(τ)和e(τ)分别为齿轮副的啮合刚度和综合误差;2b为啮合线方向上度量的齿轮侧隙;cg 为齿轮副的啮合阻尼.根据牛顿定律,可得系统的动力学运动微分方程:(1)在(1)式中,令x=(Rb1θ1+Rb2θ2-e(τ))/bc,t=ωnτ,ξ=cg/(2nωn),ε=k1/k0,Ω=ω/ωn,H=b/bc,pm=T1cosα/(Rb1bck0),pa=eaΩ2/bc,得到系统的无量纲化运动微分方程:(2)式中:x为齿轮量纲一扭转振动角位移;bc为特征长度;ζ为齿轮量纲一阻尼比;m为齿轮副的等效质量;ωn为齿轮系统固有频率;ε为齿轮副啮合刚度的波动幅值;k1为齿轮啮合刚度的一阶谐波分量;k0为齿轮副的平均啮合刚度;f(x)为齿轮齿侧间隙的非线性函数;pm为齿轮平均激励力;ea为齿轮综合误差幅值;α为齿轮节圆压力角;pa为交变激励力的幅值;t为量纲一时间;Ω为齿轮量纲一啮合频率;H为齿轮量纲一齿侧间隙.齿侧间隙f(x)的函数表达式如下:图1 齿轮副动力学模型2 齿轮非线性动力学特性分析设将 (2) 式转化为状态空间的微分方程:(3)其中量纲一化后的动载荷为p=(1-εcos ωnt)f(x1).选取参数pm=0.1, Ω=1.2,ζ=0.06,ε=0.1, 保持H=1,分析系统动态响应的变化.改变齿轮内载荷pa,观察系统的动力学行为,当pa∈[0.0,0.4]时系统随内载荷变化的分岔图和Lyapunov指数图如图2和图3所示.由图2可以看出当pa∈[0.0,0.059]时,系统始终保持单倍周期运动.pa=0.05时系统单倍周期运动的动态响应如图4所示,其中相图近似为椭圆,Poincare映射只有一个点,同时FFT频谱只出现在激励频率Ω上,另外动载荷始终处于零值以上,并且从相图我们可以看到振动仅在一端穿过间隙函数f(x)的转折点x=1,说明齿轮啮合为单边冲击状态.当pa=0.059时系统出现了跳变现象,振动幅值发生了变化,并且系统由单倍周期进入2倍周期运动,pa∈[0.059,0.132]时系统一直保持2倍周期运动.pa=0.1时的系统动态响应如图5所示,其中Poincare截面对应有2个不动点,FFT频谱出现在nΩ/2离散的点上,动载荷和相图的振幅出现了大幅度的增长,但是齿轮仍保持单边冲击状态.当pa≥0.132时,系统倍化分岔为4周期运动.图6为系统4周期运动的动态响应图,其相图的振幅略有增大,但是动载荷基本上保持不变,齿轮继续保持单边冲击状态,Poincare映射有4个不动离散点,同时FFT频谱分布在nΩ/4离散的点上.继续增大pa时,系统由P4→P8→P16→P32,并很快在短时间内进入混沌状态.从相应的Lyapunov指数图上我们可以看出,当pa∈[0.138,0.245]时,其Lyapunov指数大于0,系统处于混沌运动状态,但是,期间pa∈[0.166,0.178]时,系统存在短暂的周期窗口.随后系统发生逆周期分岔,当pa=0.256时,系统再次进入周期分岔,并很快于pa=0.278时进入混沌状态.图7为pa=0.36时系统处于混沌运动的动态响应图,图中相图和动载荷的振幅继续增大,但是动载荷出现负值,且相图上振动在两端均穿过间隙函数f(x)的转折点x=1,说明齿轮已经转化为双边冲击状态.综上可知,当内载荷不断增大时,系统的动力学行为非常丰富,其中出现了周期运动、混沌运动及其交替现象且其周期运动主要分布在内载荷较小时.另外,由图4～图7中动载荷的变化,我们可以发现齿轮的动态特性在不断恶化.图2 系统随pa动态响应的分岔图图3 系统随pa动态响应的最大Lyapunov指数图图4 内载荷pa=0.05时系统的动态响应图5 内载荷pa=0.1时系统的动态响应图6 内载荷pa=0.125时系统的动态响应图7 内载荷pa=0.36时系统的动态响应3 结论(ⅰ)内载荷较小时,系统处于单倍周期运动.随着内载荷的增大系统发生跳变现象,振动幅值发生变化,分岔为2倍周期运动.后又由倍周期分岔进入混沌运动,混沌运动区域出现了周期窗口.随后在极短的时间内发生了逆周期分岔和周期分岔,而后系统再次进入阵发性的混沌运动.随着齿轮内载荷的增大,其相图和动载荷的振幅呈不断上升趋势,且齿轮由原来的单边冲击状态转变为双边冲击状态.(ⅱ)从本文的数值模拟结果可以发现,齿轮内载荷的变化使齿轮传动系统呈现复杂的动力学特性.当齿轮的内载荷不断增大时,齿轮系统的动态特性在不断恶化.由此,内载荷较小时,能够有效地防止齿轮碰撞行为,使齿轮保持稳定的运行状态.(ⅲ) 由于时变啮合刚度、齿轮传动误差和啮合冲击是造成内部激励的根本原因.因此,若要保持较小的内载荷,必须选择适宜的啮合刚度,提高齿轮制造的加工精度.参考文献：【相关文献】[1] KAHRAMAN A, SINGH R. Non-linear dynamics of a spur gear pair[J]. Journal of Sound and Vibration,1990,142(1):49-75.[2] SHEN Yongjun, YANG Shaopu, LIU Xiandong. Nonlinear dynamics of a spur gear pair with time-varying stiffness and back lash based on incremental harmonic balance method[J].International Journal of Mechanical Sciences,2006,48(11):1256-1263.[3] AMABILI M, RIVOLA A. Dynamic analysis of spur gear pairs: steady-state response and stability of the SDOF model with time-varying mesh damping[J].Mechanical System Signal Process,1997,11(3):375-390.[4] RAGHOTHAMA A, NARAYANAN S. Bifurcation and chaos in geared rotor bearing system by incremental harmonic balance method [J].Journal of Sound andVibration,1999,226(3):469-492.[5] 王立华,李润方,林腾蛟,杨成云.齿轮系统时变刚度和间隙非线性振动特性研究[J].中国机械工程,2003,14(13):1143-1146.[6] 苏程,黄志丹.单自由度齿轮系统非线性动力学特性分析[J].兰州大学学报:自然科学版,2012,48(2):17-121.[7] 刘魁.非线性悬挂齿轮系统的动力学特性研究[D].兰州:兰州交通大学,2015.[8] 王晓笋,巫世晶,周旭辉,等.含间隙非线性齿轮传动系统的分岔与混沌分析[J].振动与冲击,2008,27(1):53-56.[9] LUO A C J, CHEN Lidi. Periodic motions and grazing in a harmonically forced, piecewise, linear oscillator with impact[J]. Chaos, Solitons and Fractals,2005,24(2):567-578.[10] SUN Tao, HU Haiyan. Nonlinear dynamics of a planetary gear system with multiple clearances[J]. Mechanism and Machine Theory,2003,38(12):1371-1390.[11] BONORI G,PELLICANO F. Non-smooth dynamics of spur gears with manufacturing errors [J].Journal of Sound and Vibration,2007,306(l/2):271-283.。