西北师大附中数学兰外招生预选题

已知关于x的方程x3+（1﹣a）x2﹣2ax+a2=0有且只有一个实根．则实数a的取值范围是

、如图，已知△ABC的面积为S，D是边BC的三等分点，E是边AC的四等分点，F，G

皆是边AB的五等分点．则四边形DEFG的面积是S．

）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．

已知二次函数的图象开口向上且不过原点0，顶点坐标为（1，﹣2），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且满足关系式OC2=OA•OB．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求△ABC的面积．

）如图，已知在△ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交外接圆于M，求证：M为优弧的中点．

在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=8，CE=6，那么△ABC

足此条件的三角形共有2017036个．

设a，b都是正整数，若二次函数y=a2+bx+1的图象与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标x1，x2，满足-1＜x1＜x2＜0，

求：正整数a，b的最小值及此时x1，x2的值．

已知圆P的圆心在反比例函数y=（k＞1）图象上，并与x轴相交于A、B两点．且始终与

y轴相切于定点C（0，1）．

（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；

（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=12，设过A，B，C三点的⊙O1与边CD相交于点E，且，直线CB与过A，D，C三点⊙O2的相切．

（1）求边CD的长度；

（2）设⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，求的取值范围．

（1）如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+c的开口向下，顶点为D点，与y轴交于点，且经过A （﹣1，0），B（3，0）两点，若△ABD的面积为8．

①求抛物线C1的解析式；

②Q是抛物线C1上的一个动点，当△QBC的内心落在x轴上时，求此时点Q的坐标；（2）如图2，将（1）中的抛物线C1向右平移t（t＞0）个单位长度，得到抛物线C2，顶点为E，抛物线C1、C2相交于P点，设△PDE的面积为S，判断是否为定值？请说明理由．

如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动．

（1）如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形：

①△DAM∽△MBN_，②△DAM∽△DMN，选择其中一对加以证明；（2）①如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位

长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似？请说明理由；

②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM 与△MBN和△DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理

由．

一个袋子里装有2000个红球，1000个黑球，10个黄球，这些球仅颜色不同，要保证摸出的

分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（D）

B

的最小值是2．

应注意的是b²≥0，所以a≤1.切不敢a直接代成7/4.

若2x2﹣6y2+xy+kx+6能分解为两个一次因式的积，则整数k的值是7，﹣7．

已知正实数x、y、z、w满足2007x2=2008y2=2009z2=2010w2，且，求

之值．

已知a、b、c、d为不同的实数，且a、c是方程x2+ax﹣b=0的根，b、d是方程x2+cx+d=0根．求a、b、c、d的值．

如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：

（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；

（2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心．

甲、乙、丙三人站成三角形相互传球，由甲开始传球，每次可传给另外两人中的任何一人，按此规则继续往下传，传球4次后，球又回到甲手中的传球方式有6种．

如图3，n个排成一排的等圆与AB边都相切，又依次外切，前后两圆分别与AC、BC边相切，求这些等圆的半径rn．

则r n=【（5﹣Rr n）+（5﹣Rr n）﹣（5﹣Rr n）】=（5﹣2r n）

∴r n=5

3+2n(其中R=2n-2)

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=4，BC=，CD=9．

（1）在BC边上找一点O，过O点作OP⊥BC交AD于P，且OP2=AB•DC．求BO的长；（2）以BC所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求经过A、O、D三点的抛物线的解析式，并画出引抛物线的草图；

（3）在（2）中的抛物线上，连接AO、DO，证明：△AOD为直角三角形；过P点任作一直线与抛物线相交于A′（x1，y1），D′（x2，y2）两点，连接A′O、B′O，试问：△A′O′D′还为直角三角形吗？请说明理由．

已知二次函数图象经过两点A（1，0）、B（5，0），且函数有最小值﹣1．直线y=m（x﹣3）与二次函数图象交于C、D两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）证明：以CD为直径的圆与直线y=﹣2相切；

（3）设以CD为直径的圆与直线y=﹣2的切点为E，过点C、D分别作直线y=﹣2的垂线，垂足为F、G、S1、S2、S分别表示△CEF、△DEG、△CDE的面积．证明：S=S1+S2．

如图，将等腰梯形ABCD放在平面直角坐标系中，使底AB在x轴上，顶点D在y轴上，

且A（-3，0），D（0，4），C（4，4），再将梯形ABCD绕点D顺时针方向旋转90°，得到

梯形A1B1C1D1．

（1）填空：点A1的坐标是（-4，7），点B1的坐标是（-4，-3）．

（2）如果将梯形A1B1C1D1向右平移x（x≤7）个单位，求得到的梯形与梯形ABCD重叠部

分的面积S与∴CF的函数关系式，并求S的最大值？

（3）探究：当（2）中的S取最大值时，是否存在经过点A且以平移后得到的梯形的中位

线所在直线为对称轴的抛物线l（设顶点为P），使△ABP与△CDP的面积之和等于梯形300

＜x≤700的面积，若存在，求出抛物线l的解析式；若不存在，请说明理由．

如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射

线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥

AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．

（1）求证：BF=FD；