第9章 振动学基础

2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
2.弹簧振子振动的微分方程 弹簧振子偏离平衡位置
上式可求得 在 0,2π 区间内两个解，应进一步
由 x0,v0 的符号判定 cos 和 sin 的符号后选定其中
的一个解.
二、相位差
1.相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，
相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
O为平衡位置做简谐振动.
x Acos(t )
可见，旋转矢量的长度
A、角速度 和t=0时与x轴 的夹角 分别代表投影点简
M
A t x
OP
谐振动的三个特征量：振幅、
角频率和初相位.
振动的任相一位时.刻规旋定转矢A 量沿逆与时x轴针的方夹向角转动t ，则为相投位影点t 简谐
(t 2 ) (t 1)
2 1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关.
2.超前和落后
若 2 1 0，则x2比x1较早达到正最大，
称x2比x1超前(或x1比x2落后).
3.同相和反相
当 =2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，称
间发生周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常
量，即系统的机械能守恒.
E
1 k A2 2
Ek
Ep
o t T T 3T T 42 4
(5)振动曲线
x Acos(t )
x
A
o
T
A
2
Tt
3.简谐振动的定义 任一物理量x随时间t的变化关系如果满足微分方程
d2x dt 2


2x

0
其中ω 是系统固有性质
（1）t x ，v 存在一一对应的关系；即其决
定质点在时刻的t的位置和速度(即时刻t的运动状态).
（2）初相位 (t 0)描述质点初始时刻的运动状态(初
位置 x0和初速度v0 . 已知初始条件 x0,v0 也可确定初相.
tan v0 / A v0
x0 / A
x0
同相.
当=(2k+1)， ( k=0,1,2,…)，两振动步调相反，
称反相.
A1 A2
x2x1 同相 T
O
- A2
t
-A1
两同相振动的振动曲线
x
A1
x1 反相
A2
T
O
- A2
x2
t
-A1
两反相振动的振动曲线
三、如简图谐，振一动长的度旋为A转的矢矢量量表A 示绕其法始端O以恒角速度
沿逆时针方向转动，其矢端M在Ox轴上的投影点P将以
振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？ 2. 了解两个互相垂直的简谐振动的合成.
一、两个同方向同频率的简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A2

A
x x1 x2
x Acos(t )
x O
x2 2 1
为标准椭圆方程，逆时针运行.
y A2
O
A1 x
y A2
O
A1 x
3. | 2 1 | π 反相位
y A2 x A1
为直线方程.
y
A2
A1 O
x
4. 2 1 3π / 2
x 2 y 2 1 A1 A2
为标准椭圆方程，逆时针运行.
x1A1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动， 角速度不变.
1.当 Δ 2 1 2kπ (k 0,1, 2,) 时,
A A1 A2 合振动振幅最大.
2.当 2 1 （2k 1）π (k 0,1,2,) 时,
A |A1 A2| 合振动振幅最小.
3. 一般情况
A1 A2 A A1 A2
x
x
o
to
t
*二、两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成
分振动 x A1 cos( t 1 ) y A2 cos( t 2 )
周期 T 2π

频率 1
T 2π
角频率 2π 2π
T
,T , 都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
由 2 k
m
弹簧振子固有周期 T 2π
m k
例: 质量为m长度为l的均匀细棒，绕O点作小角度摆 动. 求振动周期.
解: 重力矩 M 1 mgl sin
sin2 (t
)
Ep

1os2 (t
)
由 2 k /m
Ek

1 2
mv2

1 2
m2 A2
sin2 (t
)
1 kA2 sin2(t )
2
弹簧振子的总的机械能
E

Ek

Ep

1 2
k A2
弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时
第九章
振动学基础
振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作 周期性的变化。 机械振动：物体在一定的位置附近做来回往复的 运动。 任何复杂的振动都可以看做是由若干个简单而又基 本的振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称 为简谐振动。
9-1 简谐振动的规律
预习要点
1. 注意简谐振动的规律和特点. 如何判断一个振动是 否为简谐振动？
便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态.
所以，作匀速转动的矢量，其矢端在过其始端的 直线(x轴)上的投影的运动就是简谐振动.
物理模型与数学模型比较
简谐振动
旋转矢量
A
振幅
半径长
t+

T
初相 相位 圆频率 谐振动周期
初始角坐标 角坐标 角速度
旋转周期
9-3简谐振动的合成
预习要点 1. 注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律. 分
由 x Acos(t ), A xmax
v A sin(t )
t 0 时, x0 A cos
v0 A sin
有
x02

v0

2

A2 ,
得
A
x02


v0

2

2. 相位
在x Acos(t )中，t 称为振动的相位.
O后，仅因回复力(弹性力) 和惯性而自由往返运动.
F kx ma
F弹
x ox
a

d2x dt 2
F
m
k x m
d2x dt 2

k m
x

0
令 2 k
m
有
d2x dt 2


2
x

0
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得 (1) 位移时间关系(振动方程)
x A cos(t )
O
2
“ – ”表示力矩与逆时针张角方向相反.
M

J

J
d2
dt 2
l
J
d2
dt 2
1 mgl sin
2
mg
当 5 时, sin
d2
dt 2

mgl
2J

0
由 J 1 ml2 3
令 2 3g
2l
d2
dt 2

3g
2l

0
得到振动微分方程
y A2
O
A1 x
李萨如图形
两个相互垂直，频率不同的简谐运动，其合成运动较 为复杂。若两个分振动的频率为简单的整数比，合运 动的曲线形状由分振动的振幅、频率和相位差决定。
1 : 2
2 1 0
F弹
x
决定的常数,则此物理量作简 谐运动.
ox
4.简谐振动的判据
(1)运动的微分方程(定义式).
(2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断.
二、简谐振动的固有周期
振动往复一次所需时间.
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
Acos(t T )
两式消去t，合振动
2
2

x A1



y A2


2 xy
cos(2
A1 A2
1)

sin2 (2

1)
为椭圆轨迹方程，顺时针运行.
讨论
1. 1 2 同相位
y A2 x 为直线方程. A1
2. 2 1 π / 2
x 2 y 2 1 A1 A2
d2
dt 2
2

0
表明棒作角简谐振动
T 2π 2π 2l
ω
3g
简谐振动的规律： 振动物体的位置随时间按余弦或正弦规律变化； 振动周期由系统固有性质决定； 系统的机械能守恒。（孤立系统）
三、谐振子模型
符合简谐振动微分方程的振动体称为谐振子，它 是振动学的研究基础. 弹簧振子、无阻尼LC振荡电路 等是典型的经典谐振子模型，依据量子物理研究微观 谐振子可揭示其能量量子化.
(2)速度时间关系
v dx A sin(t ) A cos(t π)
dt
2
(3)加速度时间关系
a d2 x A 2 cos(t ) A 2 cos(t π)
dt 2
ω2x
(4)能量特征
Ek

1 2
mv2

1 2
m2 A2
9-2 简谐振动的描述
预习要点 1. 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确
定它们的数值？ 2. 注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 3. 注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.
一、振幅和初相位
1. 振幅 A
质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值. 表征了系统的能量，由初始条件决定.