系统建模与仿真排队论
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排队系统
目前在一些办事大厅如银行、 电信、医院等公共服务场所，客 户办理业务排长队的现象比较普 遍，长时间的站立、拥挤，不仅 使客户感到疲惫不堪，而且排队 秩序也很难保持，既影响了办事 效率也容易使客户产生不满情绪。 排队管理系统是为改善办事大厅 传统管理所存在的一些混乱、无 序等弊端而开发的。
1
排队论(Queuing Theory)
, )
W 1 (1 )
Pn (1 ) n
20
M/M/1 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate
5
Service rate
6
Number of servers
1
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统 计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著 名的埃尔朗电话损失率公式。
4
20世纪30年代中期，当费勒(W.Feller)引进了生灭过程时， 排队论才被数学界承认为一门重要的学科。
20世纪50年代初，堪道尔(D.G.Kendall)对排队论作了系统 的研究，他用嵌入马尔柯夫(A.A.Markov)链方法研究排队 论，使排队论得到了进一步的发展。是他首先（1951年） 用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。其中A表示顾 客到达时间分布，B表示服务时间的分布，C表示服务机构 中的服务台的个数。
研究系统随机聚散现象和随机服务系统工 作过程的数学理论和方法，又称随机服务 系统理论，为运筹学的一个分支
有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购 票排队，市内电话占线等现象
日排队论起源于20世纪初的电话通话。
1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗 （A.K.Erlang）用概率论方法研究电话通话问题，从而开 创了这门应用数学学科，并为这门学科建立许多基本原则。
P(Ttt/Tt)
P(TttanTdt) P(Tt)
P(Ttt) P(Tt)
ee(t(t)t)
eete tt
et
P(Tt)
不管多长时间( t)已经过去， 逗留时间的概率分布与下一个事件的相同.
18
指数分布性质3
指数分布
et
fT(t)
0
E(T ) 1
f ort 0 for t0
服务时间的概率 = t
11
基本排队模型－统计平稳条件下 的记号
n = 系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间平均到达的顾客 人数即是平均到达率）
n = 系统有n个顾客时的平均到达率 =对任何n都是常数的平均到达率.
m =对任何n都是常数的平均到达率.
1/ =
期望到达间隔时间
1/ =
期望服务时间
=服务强度， 或称使用因子, /(s )
顾客数量
有限
无限
经常性的顾客来源.
顾客到达间隔时间: 到下一个顾客到达的时间.
服从某一概率分布. (指数分布)
顾客的行为假定为:
在未服务之前不会离开;
当看到队列很长的时候离开；
♂
从一个队列移到另一个队列。
7
基本排队模型－队列/排队规则
队列
队列容量
有限/无限
排队规则
先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务；有 优先权的服务；
1/ : 平均服务时间
Poisson分布
P(X(t)n)(t)net
n!
E(X(t))t
在t时间内已经服务n个顾客的概率
平均服务率=
19
M/M/1/ / 或 M/M/1 模型
一个基本地排列模型. 一个服务台, 到达率 和服务率 都服从指数分布。
等待队长
Lq
2 1
,
L 1
等待时间
Wq
(1
♂
8
基本排队模型－服务规则
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量 服务时间分布:
指数, 常数, k级Erlang
♂
9
基本排队模型－记号方案
Arrival
Queue
Server
顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数目/排队系统 允许的最大顾客容量/顾客总体数量/排队规则 (Kendall 记号)
M/M/1/ / /FCFS M/M/1 /
M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
10
基本排队模型－记号
系统状态 = N(t) =
队列长度 = Pn(t) = s=
排队系统顾客的数量。 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 等待服务的顾客的数量。 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 服务台的数目。
83.33% 0.1667 4.1667 5.0000 0.8333 1.0000
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 NUMBER IN SYSTEM
基本组成
输入 来源
顾客
排队系统
队列
服务机构
服务完离开
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的方式,服务时间分 布等) ♂
6
基本排队模型 － 输入过程
顾客来源
有限/无限
12
统计平稳条件下的记号
L 平均队长
L 平均等待队长 q
W 平均等待时间 q
W 平均逗留时间
13
L, W, Lq, Wq
LW
Little’s formula
Lq Wq
♂
W
Wq
1
14
到达间隔时间与服务时间的分 布
泊松分布 负指数分布 爱尔朗分布 统计数据的分布判断
指数分布
随机变量 T 密度函数
et fort0
fT(t)
0
for t0
分布函数
P(Tt)1et
均值 方差
fT(t)
E(T ) 1
Var(T) 1 2
1
t
E(T )
16
指数分布性质1
fT(t) 是一个严格下降函数
P ( 0 T t) P ( t T t t)
fT(t)
t
t
Hale Waihona Puke Baidu
t
17
指数分布性质2
无后效性
P ( T t t/T t) P ( T t)
目前在一些办事大厅如银行、 电信、医院等公共服务场所，客 户办理业务排长队的现象比较普 遍，长时间的站立、拥挤，不仅 使客户感到疲惫不堪，而且排队 秩序也很难保持，既影响了办事 效率也容易使客户产生不满情绪。 排队管理系统是为改善办事大厅 传统管理所存在的一些混乱、无 序等弊端而开发的。
1
排队论(Queuing Theory)
, )
W 1 (1 )
Pn (1 ) n
20
M/M/1 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate
5
Service rate
6
Number of servers
1
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统 计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著 名的埃尔朗电话损失率公式。
4
20世纪30年代中期，当费勒(W.Feller)引进了生灭过程时， 排队论才被数学界承认为一门重要的学科。
20世纪50年代初，堪道尔(D.G.Kendall)对排队论作了系统 的研究，他用嵌入马尔柯夫(A.A.Markov)链方法研究排队 论，使排队论得到了进一步的发展。是他首先（1951年） 用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。其中A表示顾 客到达时间分布，B表示服务时间的分布，C表示服务机构 中的服务台的个数。
研究系统随机聚散现象和随机服务系统工 作过程的数学理论和方法，又称随机服务 系统理论，为运筹学的一个分支
有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购 票排队，市内电话占线等现象
日排队论起源于20世纪初的电话通话。
1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗 （A.K.Erlang）用概率论方法研究电话通话问题，从而开 创了这门应用数学学科，并为这门学科建立许多基本原则。
P(Ttt/Tt)
P(TttanTdt) P(Tt)
P(Ttt) P(Tt)
ee(t(t)t)
eete tt
et
P(Tt)
不管多长时间( t)已经过去， 逗留时间的概率分布与下一个事件的相同.
18
指数分布性质3
指数分布
et
fT(t)
0
E(T ) 1
f ort 0 for t0
服务时间的概率 = t
11
基本排队模型－统计平稳条件下 的记号
n = 系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间平均到达的顾客 人数即是平均到达率）
n = 系统有n个顾客时的平均到达率 =对任何n都是常数的平均到达率.
m =对任何n都是常数的平均到达率.
1/ =
期望到达间隔时间
1/ =
期望服务时间
=服务强度， 或称使用因子, /(s )
顾客数量
有限
无限
经常性的顾客来源.
顾客到达间隔时间: 到下一个顾客到达的时间.
服从某一概率分布. (指数分布)
顾客的行为假定为:
在未服务之前不会离开;
当看到队列很长的时候离开；
♂
从一个队列移到另一个队列。
7
基本排队模型－队列/排队规则
队列
队列容量
有限/无限
排队规则
先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务；有 优先权的服务；
1/ : 平均服务时间
Poisson分布
P(X(t)n)(t)net
n!
E(X(t))t
在t时间内已经服务n个顾客的概率
平均服务率=
19
M/M/1/ / 或 M/M/1 模型
一个基本地排列模型. 一个服务台, 到达率 和服务率 都服从指数分布。
等待队长
Lq
2 1
,
L 1
等待时间
Wq
(1
♂
8
基本排队模型－服务规则
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量 服务时间分布:
指数, 常数, k级Erlang
♂
9
基本排队模型－记号方案
Arrival
Queue
Server
顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数目/排队系统 允许的最大顾客容量/顾客总体数量/排队规则 (Kendall 记号)
M/M/1/ / /FCFS M/M/1 /
M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
10
基本排队模型－记号
系统状态 = N(t) =
队列长度 = Pn(t) = s=
排队系统顾客的数量。 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 等待服务的顾客的数量。 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 服务台的数目。
83.33% 0.1667 4.1667 5.0000 0.8333 1.0000
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 NUMBER IN SYSTEM
基本组成
输入 来源
顾客
排队系统
队列
服务机构
服务完离开
排队系统的三个基本组成部分. •输入过程 (顾客按照怎样的规律到达); •排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务); •服务机构 (服务机构的设置,服务台的数量,服务的方式,服务时间分 布等) ♂
6
基本排队模型 － 输入过程
顾客来源
有限/无限
12
统计平稳条件下的记号
L 平均队长
L 平均等待队长 q
W 平均等待时间 q
W 平均逗留时间
13
L, W, Lq, Wq
LW
Little’s formula
Lq Wq
♂
W
Wq
1
14
到达间隔时间与服务时间的分 布
泊松分布 负指数分布 爱尔朗分布 统计数据的分布判断
指数分布
随机变量 T 密度函数
et fort0
fT(t)
0
for t0
分布函数
P(Tt)1et
均值 方差
fT(t)
E(T ) 1
Var(T) 1 2
1
t
E(T )
16
指数分布性质1
fT(t) 是一个严格下降函数
P ( 0 T t) P ( t T t t)
fT(t)
t
t
Hale Waihona Puke Baidu
t
17
指数分布性质2
无后效性
P ( T t t/T t) P ( T t)