高中高考数学分类汇编：专题十四不等式选讲.docx
高考数学大一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 不等式选讲课件 理
①作差比较法
知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明_______a－b>0 即可，这种方法称为作差比较法.
②作商比较法
由 a>b>0⇔ba>1 且 a>0，b>0，因此当 a>0，b>0 时，要证明 a>b，只要证 明 ab>1 即可，这种方法称为作商比较法.
解答
思维升华
解绝对值不等式的基本方法(fāngfǎ)
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等 式.
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值
符号的普通不等式. (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
12/11/2021
第二十四页，共七十五页。
12/11/2021
第六页，共七十五页。
(2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导 出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫作综合法，即“由因导果”的方
法. (3)分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结 为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而(cóng ér)得出要证的不等式成立，
＝－|x|－322＋54≤54， 当 x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.
故 1m2/11/的2021 取值范围为－∞，54.
第三十八页，共七十五页。
解答
题型四 用综合法与分析法证明(zhèngmíng)不等式
师生(shī shēnɡ)共研
典例 (1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋x2－21xy＋y2≥2y＋3； 证明 因为 x>0，y>0，x－y>0，2x＋x2－21xy＋y2－2y＝2(x－y≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第十四章 不等式选讲 理
第十四章 不等式选讲 理A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.2.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围.3.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.4.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.5.(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.6.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.7.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.8.(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.9.(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.10.(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a的取值范围是________.11.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.12.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }.(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2015·江西师大模拟)若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )A.a ＜－1或a ＞3B.a ＜0或a ＞3C.－1＜a ＜3D.－1≤a ≤32.(2016·咸阳二模)若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________.3.(2016·湖南长沙模拟)不等式|x －4|＋|x －3|≤a 有实数解的充要条件是________.4.(2016·长沙调研)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥t 2－3t 在[0，1]上无解，求实数t 的取值范围.5.(2016·武汉模拟)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.6(2016·贵州4月模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＜|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围.7.(2016·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|＜5；(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围.8.(2015·湖南十三校模拟)设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为______.9. (2015·陕西西安二模)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1＞0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )的图象的上方，求m 的取值范围.\答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.2.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).3.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时,由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1,所以,-1<x ≤-12；当-12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以，-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.4.4或－6 [由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝-1或x ＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]5.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. 6.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).7.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.8.{x |x ≤－3或x ≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.]9.－3 [依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [令f (x )＝|2x -1|＋|x +2|,易求得f (x )min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52⇔-1≤a ≤12.]11.(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.12.(1)解 当q ＝2,n ＝3时,M ＝{0,1},A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22,x i ∈M ,i ＝1,2,3}.可得,A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明 由s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ,可得s -t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q -1)＋(q -1)q +…+(q -1)·q n －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝-1<0.所以，s <t .B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [|x －1|＋|x －3|的几何意义是数轴上与x 对应的点到1、3对应的两点距离之和,故它的最小值为2,∵原不等式解集为∅,∴a 2－2a －1＜2.即a 2－2a －3＜0,解得－1＜a ＜3.故选C.]2.(1,3) [∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3.]3. a ≥1 [a ≥|x －4|＋|x －3|有解⇔a ≥(|x －4|＋|x －3|)min ＝1.]4.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥12，－3x －1，－2≤x ＜12，3－x ，x ＜－2，所以原不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x －3≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ＜12，－3x －1≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2，3－x ≥3，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪[6,＋∞). (2)只要f (x )max ＜t 2－3t ，由(1)知f (x )max ＝－1＜t 2－3t 解得t ＞3＋52或t ＜3－52.即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞，5.(1)解 由f (x )＝2|x －1|＋x －1≤1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x －3≤1，① 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，1－x ≤1② 解①求得1≤x ≤43，解②求得0≤x ＜1.综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43.(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，求得－14≤x ≤34，∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34，∴M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，∵当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，∴x 2f (x )＋x [f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14，故要证的不等式成立.6.解(1)不等式f (x )≤6，即|2x ＋1|＋|2x －3|≤6.可化为①⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－2x －1＋（3－2x ）≤6或②⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1＋（3－2x ）≤6或③⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32，2x ＋1＋（2x －3）≤6.解①得－1≤x ＜－12，解②得－12≤x ≤32，解③得32＜x ≤2.综上－1≤x ≤2.即原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}.(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4.(当且仅当－12≤x ≤32时，等号成立).∴f (x )的最小值为4.∴由题意知|a －1|＞4，解得a ＜－3或a ＞5. 故实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞).7.解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，∴－7＜|x －1|＜3， 得不等式的解为－2＜x ＜4.(2)因为任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}， 又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为a ≥－1或a ≤－5.8.9 [[(x -1)2+(y +2)2+(z -3)2](22+22+12)≥[2(x -1)+2(y +2)＋(z -3)]2＝(2x +2y +z －1)2＝81.]9.解(1)不等式f(x)＋a－1＞0即为|x－2|＋a－1＞0，当a＝1时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a＞1时，解集为R.当a＜1时，解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方.等价于|x－2|＞－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|＞m对任意实数x恒成立.又|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5.于是m＜5.故m的取值范围是(－∞，5).。
高三数学不等式选讲复习资料.doc
高三数学不等式选讲复习资料
高三数学不等式选讲复习资料
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c||＋|c－b|
(3)会利用绝对值的.几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a
2．了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明
(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|
(2) x1－x2 2＋ y1－y2 2＋ x2－x3 2＋ y2－y3 2
≥ x1－x3 2＋ y1－y3 2(通常称作平面三角不等式)
3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
4．了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法、反证法、缩放法.
近几年的高考试题增强了对密切联系生产和实际的应用性问题的考查力度．主要有两种方式：
1．线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围．
2．根本不等式的应用：用于求函数或数列的最值，侧重"正"、"定"、"等"条件的满足条件.。
高考数学复习 第十四章 不等式选讲 文(全国通用)1
【大高考】（五年高考）2016届高考数学复习第十四章不等式选讲文（全国通用）考点不等式的解法及证明1．(2014·陕西，15A)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．解析由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，将已知代入得m2＋n2≥5⇒m2＋n2≥5.答案 52．(2014·江西，15)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．解析因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，当且仅当x(x－1)≤0，即0≤x≤1时取等号，|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当y(y－1)≤0，即0≤y≤1时取等号，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥1＋1＝2.又已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，所以|x|＋|y|＋|x －1|＋|y－1|＝2，0≤x≤1且0≤y≤1，所以0≤x＋y≤2.答案[0，2]3．(2013·陕西，15A)设a，b∈R，|a－b|＞2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是________．解析∵|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|(a－x)＋(x－b)|＝|a－b|＞2，∴|x－a|＋|x－b|＞2对x∈R恒成立．故解集为(－∞，＋∞)．答案(－∞，＋∞)4．(2012·陕西，15A)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x到a点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a≤4.]答案[－2，4]5．(2011·陕西，15A)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析法一∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴使原不等式成立的a的取值范围是a≤3.法二 |x ＋1|＋|x －2|表示数轴上一点A (x )到B (－1)与C (2)的距离之和，而|BC |＝3， ∴|AB |＋|AC |≥3.∴a ≤3.法三 设f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ＜－1，3，－1≤x ≤2，2x －1，x ＞2，∴f (x )的图象如图所示，∴f (x )≥3.∴a ≤3.答案 (－∞，3]6．(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．解 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2, 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．7．(2015·江苏，21(D))解不等式 x ＋|2x ＋3|≥2.解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. 8．(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．9．(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（（4－t ））2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1， 即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.10．(2014·新课标全国Ⅰ，24)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.11．(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明 由a ＞0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2. (2)解 f (3)＝|3＋1a|＋|3－a |. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a， 由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a， 由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 12．(2013·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 13．(2013·新课标全国Ⅱ，24)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，得a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。
高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》分类汇编及解析
【最新】数学《不等式选讲》高考复习知识点一、141．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．40【答案】B 【解析】 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.2．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围， 再根据无实数解得出a 的范围。
【详解】解：由绝对值不等式的性质可得，||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=„，即|1||2|3x x +---…. 因为|1||2|x x a +--<无实数解 所以3a ≤-， 故选C 。
【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。
3．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ） A ．45[,)33B ．2112(,][,)3333--⋃ C ．12[,)33⋃45(,]33D ．随a 的值而变化【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=13，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-，又当203x <≤时,()f x 单调递增，∴11113(1)()(1)(){23313x f x f f x f x ->->⇔->⇔-≤，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33⋃45(,]33，故选C考点：本题考查了抽象函数的运用点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用4．若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆Q ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.5．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3【答案】C 【解析】 【分析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-； 当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.故选C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．6．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】 【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.7．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.8．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.9．已知1a >，且函数()2224f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,25B ．(]1,25C ．(]1,16D ．[]4,16【答案】C【解析】 【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解. 【详解】当25a =时，()22252425f x x x x x =-++-+且22250,4250x x x x -+≥-+≥ 所以()23975f x x x =-+，此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；当3a =时，()223243f x x x x x =-++-+，当()1,3x ∈时，2230,430x x x x -+>-+<，所以()()222324373f x x x x x x x =-+--+=-+-，此时()()1f x a x ≥-化成()27331x x x -+-≥-，即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立， 故D 不对，C 正确； 故选C. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.10．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n L L =+++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413S << B ．5443S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.11．若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或8【答案】D 【解析】试题分析：由题意，①当12a->-时，即2a >，3(1),2(){1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-=+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a -<-时，即2a <，3(1),1(){1,123(1),2x a x af x x a x ax a x --+≤-=-+--<≤-++>-，则当2a x =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12a-=-时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.12．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( )A ．33()()f x f a a -≤+B ．24()()f x f a a -≤+C ．()()5f x f a a -≤+D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B 【解析】 【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立 【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ． 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．13．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1 B ．13C ．12D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
完整版高三数学不等式选讲知识点和练习
不等式选讲一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理 1：假如 a,b 是实数，则 |a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当ab≥ 0 时，等号成立。
r r r r r 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当 a ， b 不共线时，| a +b |≤| a r|+| b | ，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。
（ 2）不等式 |a|-|b|≤ |a±b|≤ |a|+|b|中“ =”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b| ≤ |a|+|b|，在侧“ =”成立的条件是ab≥ 0，左边“ =”成立的条件是ab≤ 0 且|a| ≥|b|;不等式|a|-|b|≤ |a-b|≤ |a|+|b|，右边“ =”成立的条件是ab≤ 0，左边“ =”成立的条件是 ab≥ 0 且 |a| ≥ |b| 。
定理 2：假如 a,b,c是实数，那么|a-c|≤ |a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥ 0时，等号成立。
2．绝对值不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式|x| ＜ a 与|x| ＞ a 的解集不等式a＞ 0a=0a＜ 0|x| ＜ a{x|-a＜x＜a}|x| ＞ a{x|x ＞ a 或 x＜ -a }{x|x ∈ R 且 x≠ 0}R注： |x| 以及 |x-a|± |x-b|表示的几何意义（|x| 表示数轴上的点x 到原点O的距离； | x-a |± |x-b|）表示数轴上的点x 到点 a,b 的距离之和（差）（2） |ax+b| ≤ c(c ＞ 0) 和|ax+b| ≥c(c ＞ 0) 型不等式的解法① |ax+b| ≤ c-c ≤ ax+b≤c;② | ax+b|≥ c ax+b ≥ c 或 ax+b≤-c.（ 3） |x-a|+|x-b|≥ c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤ c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想；方法三：经过构造函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想。
高考数学压轴专题毕节备战高考《不等式选讲》分类汇编含答案解析
【高中数学】《不等式选讲》考试知识点一、141．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}． 故选：B ． 【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.3．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 2项的系数为( )A ．11B ．20C ．15D ．16【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数． 【详解】∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n ，∴n=6． 则二项式（x ﹣1x ）n =（x ﹣1x）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6r C •（﹣1）r •x 6﹣2r ， 令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为26C =15， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．4．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．40【答案】B 【解析】 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.5．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A ．33()()f x f a a -≤+B ．24()()f x f a a -≤+C ．()()5f x f a a -≤+D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B 【解析】 【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立 【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ． 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．6．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．若关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(7,)+∞ B ．[)7,+∞C ．(1,)+∞D ．(1,7)【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的意义可求得43x x -++的最小值为7，由此可得实数a 的取值范围，得到答案. 【详解】由题意43x x -++表示数轴上的x 对应点到4和3-对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，可得7a >， 即实数x 的取值范围是(7,)+∞，故选A. 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，以及函数绝对值不等式的有解问题，其中根据绝对值的意义，求得43x x -++的最小值为7是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个C ．20个D ．21个【答案】D 【解析】从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又001()sin()sin()(1)222k f x x k ππππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。
高考数学 专题14 不等式选讲教学案 文-人教版高三全册数学教学案
专题14 不等式选讲[2018年高考考纲解读]本讲内容在高考中主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法以及不等式证明问题，其中绝对值不等式的解法常与集合及不等式恒成立等结合在一起综合考查.求解时要注意去掉绝对值符号的方法，绝对值的几何意义以及转化与化归、数形结合思想的应用.高考对本内容的考查主要有：(1)含绝对值的不等式的解法；B 级要求．(2)不等式证明的基本方法；B 级要求．(3)利用不等式的性质求最值；B 级要求．(4)几个重要的不等式的应用．B 级要求.[重点、难点剖析]1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，那么a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，那么(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)假设a i ，b i (i ∈N *)为实数，那么(∑i ＝1n a 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nb 2i ≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…， n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，那么|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链11a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.[题型示例]题型一 含绝对值不等式的解法[例1][2017课标3，文23]函数()f x =│x +1│–│x –2│.〔1〕求不等式()f x ≥1的解集；〔2〕假设不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.[答案]〔1〕[1,)+∞；〔2〕5(,]4-∞[变式探究][2016高考新课标1卷]〔本小题总分值10分〕,选修4—5：不等式选讲函数()123f x x x =+--.〔I 〕在答题卡第〔24〕题图中画出()y f x =的图像；〔II 〕求不等式()1f x >的解集．[答案]〔I 〕见解析〔II 〕()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，[解析]⑴如下图：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ()1f x >,当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <,1x -∴≤ 当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x << 当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332x <∴≤或5x > 综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，[变式探究](2015·江苏，21(D))解不等式 x ＋|2x ＋3|≥2.解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. [变式探究] (2015·重庆，16)假设函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，那么实数a ＝________.答案 4或－6[变式探究](2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)假设f (3)<5，求a 的取值范围．[命题意图]此题主要考查绝对值三角不等式与基本不等式的应用，含绝对值的不等式的解法，意在考查考生的运算求解能力与分类讨论思想的应用．[解题思路](1)利用“绝对值三角不等式〞进行放缩，结合基本不等式即得证．(2)明确不等式后解关于a 的绝对值不等式，再分类讨论求解即可．[感悟提升]1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a ≥f (x )恒成立，那么a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立，那么a ≤f (x )min 〞求字母参数的取值范围．[举一反三](2015·陕西，24)关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，那么⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[〔3〕2＋12][〔4－t 〕2＋〔t 〕2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1， 即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.[举一反三](2015·新课标全国Ⅰ，24)函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)假设f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．题型二 不等式的综合应用例2、[2017课标1，文23]函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． 〔1〕当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；〔2〕假设不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围． [答案]〔1〕117{|1}x x -+-<≤；〔2〕[1,1]-．2. [2017课标II ，文23]330,0,2a b a b >>+=。
高考不等式选讲专题复习(经典)
不等式选讲高考导航考试要求重难点击命题展望1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式∑∑∑===•nininiiiiibaba112122)(≥，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用.7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：.)1,0,1＞(＞1)1(的正整数为大于nxxnxx n≠-++本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络§1 绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0； 当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解； 当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为∅；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件.若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a xf (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3.综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.§2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 由a ，b ，c 为正数，得lga ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c2≥lg ac . 而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1. 【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0. 故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立， 即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).① 因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0).(1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa -1e －1]上单调递增，在[aa-1e －1，＋∞)单调递减.(2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g (x )＝ln(1＋x )x (x ＞0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln(1＋x )x 2(1＋x ). 由(1)知x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)单调递减， 所以x －(1＋x )ln(1＋x )＜0，即g (x )是减函数， 而m ＞n ，所以g (m )＜g (n )，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.§3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【证明】 方法一：(放缩法) 因为a ＋b ＝1，所以左边＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2[(a ＋2)＋(b ＋2)2]2＝12[(a ＋b )＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2＜252，则 a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8＜252.由a ＋b ＝1，得b ＝1－a ，于是有a 2＋(1－a )2＋12＜252.所以(a －12)2＜0，这与(a －12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及a ＋b ＝1这个特点，选用重要不等式a 2 ＋ b 2≥ 2(a ＋ b 2)2来证明比较好，它可以将具备a 2＋b 2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0， 求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】用放缩法、数学归纳法证明： 设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 【证明】 方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2，(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22. 所以(k ＋1)(k ＋2)2＜a k ＋1＜(k ＋2)22.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综合①②知当n ∈N *，都有n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081，观察上述结果推测出计算S n 的公式且用数学归纳法加以证明. 【解析】猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时，S 1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2.则S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.即当n ＝k ＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n ∈N ＋，等式都成立. 题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量.(1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a 1＝a (1＋14)－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54(54a －b )－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a 3＝54a 2－b ＝(54)3a －[(54)2＋(54＋1)]b ，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54－4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时).(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a 2＋1＞||a ，n (n ＋1)＞n ； (2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2；(4)利用常用结论，如k ＋1－k ＝1k ＋1＋k ＜12k，1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k ； 1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； 1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1) (程度小). 3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.§4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a 1，a 2，…，a n 都为正实数，证明：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】方法一：由柯西不等式，有(a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1)(a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1)≥ (a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 1)2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2. 不等式两边约去正数因式a 1＋a 2＋…＋a n 即得所证不等式.方法二：不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式有a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 故不等式成立.方法三：由均值不等式有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式. 【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2b ac b c b b a ++++•＋2b a a c a c b a ++++•＋2c b ac a c c b ++++•＝9) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4(当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2≥(3x ＋2y ＋z )2，所以(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3. 题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【证明】(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序原理：顺序和≥反序和得 1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1， 即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n ，1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n，②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.③(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞x n.由①②仍然成立，于是③也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934⇒S≥334.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇。
19届高考数学大一轮复习第十四章系列4选讲14.2不等式选讲课件理
√
D.(－2,1]∪[4,7)
－2<x<7， 解得 不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7). x≥4或x≤1，
1
2
3
4
5
6
解析
答案
3.求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集. 解 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1； ②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2， ∴x<4，∴1<x<4； ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4).
过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，
用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互
为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.
跟踪训练 (2017· 全国Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：(1)(a＋b)(a5
＋b5)≥4；
证明 (a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于
当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]上的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1].
解答
2.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( × ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( √ ) (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立.( × ) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( × ) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( √ )
不等式选讲高考常考题型汇总(详解答案)
,1
上恒成立,
x 2 max a x 2 min ,
1 a 5 , 2
a
的取值范围为
1,
5 2
.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中熟 记含绝对值不等式的解法,以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键,着重 考查了推理与运算能力,属于中档题.
2
8．已知函数 f (x) x2 1, g(x) | x a | | 2x 1|, a R .
（1）当 a 1 时，解不等式 g(x2 ) 7 ；
2
2
（2）对任意 x1, x2 R ，若不等式 f (x1) ≥ g(x2 ) 恒成立，求实数 a 的取值范围.
试卷第 2页，总 6页
9．选修 4-5：不等式选讲
故 a 的取值范围为 (,5] [7, )
【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，绝对值的三角不等式，恒成立问题，考查了 计算化简，分析求值的能力，属中档题. 7．【详解】
（2）当 m 1时，函数 g(x) f (x) | x m | 的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的取值范围.
21．设函数 f x 2x 4 1． （1）画出函数 y f x 的图象； （2）若不等式 f x ax 的解集非空，求 a 的取值范围．
试卷第 6页，总 6页
参考答案
试卷第 5页，总 6页
19．已知函数 f (x) | 3x 1| 2 | x 1| ．
（1）画出 y f (x) 的图像；
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
20．[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 f x 2x 2 5 . （1）解不等式： f x | x 1| ；
高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》图文解析
【高中数学】数学复习题《不等式选讲》知识点练习一、141．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…；②a b a b -<+；③2(0)b aab a b+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.2．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围， 再根据无实数解得出a 的范围。
【详解】解：由绝对值不等式的性质可得，||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=„，即|1||2|3x x +---…. 因为|1||2|x x a +--<无实数解 所以3a ≤-， 故选C 。
【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。
3．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞U D ．(][),04,-∞+∞U【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式确定()f x 的最小值；把()2f x ≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a 的范围。
2013-2019年高考文科数学分类汇编：不等式选讲
2013-2019年高考文科数学分类汇编第二节 不等式选讲（选修4-5）题型159 含绝对值的不等式2014年1.（2014辽宁文24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .（1）求M ；（2）当x M N ∈时，求证：221()[()]4x f x x f x +≤. 2.（2014新课标Ⅱ文24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x a a=++-()0a >. （1）求证：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围.2015年1.（2015陕西文 24）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}|24x x <<.（1）求实数a ，b 的值；（2.1.解析 (1)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得24b a b a --=⎧⎨-=⎩， 解得3a =-，1b =；(2)=4==，=，即1t =时等号成立，故min 4=.2.（2015全国Ⅰ文24）已知函数()12f x x x a =+--，0a >.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2.解析 （1）当1a =时，()1f x >，即12110x x +--->．当1x -…时，()40f x x =->，无解；当11x -<<时，320x ->，解得213x <<； 当1x …时，20x -+>，解得12x <…． 综上所述，当1a =时，()1f x >的解集为2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）0a >，()12,1312,112,x a x f x x a xa x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩剟，作图， 图像与x 轴所围成三角形的三个顶点为： 21,03a A -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +， ()2213ABC S a =+△，即()22163a +>，解得2a >， 所以a 的取值范围是()2,+∞．3.(2015江苏21（D ）) 解不等式232x x ++…． 3.解析 当32x -…时，化简得332x +…，解得13x -…，故13x -…； 当32x <-时，化简得32x --…，解得5x -…，故5x -…． 故不等式的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭． 2016年1.（2016上海文1）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为 .1. ()2,4解析 由题意131x -<-<，即24x <<，则解集为()2,4.2.（2016全国甲文24（1））已知函数11()22f x x x =-++，M为不等式()2f x <的解集，。
高中数学题型全面归纳不等式选讲.docx
第三节 不等式选讲 ( 选修 4-5)考纲解读1. 了解绝对值的几何意义， 会利用绝对值的定义解不等式， 利用绝对值不等式证明不等式和求最值 .2. 了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位 .3. 了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4. 会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容， 是高考选考内容 . 题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1. 同向合成（ 1） a b, b c ac ；（ 2） a b,cda cb d ； （ 3） ab 0,cd0 acbd .（合成后为必要条件）2. 同解变形（ 1） a b a c b c ；（ 2） abc 0, acbcc0, ac bc ；（ 3） a b 01 1 0ab 0 .ba（变形后为充要条件）3. 作差比较法a ba b 0, a b a b 0二、含绝对值的不等式（ 1） a0,| x | aa x a ； a 0,| x |ax a, 或x a（ 2） | a | | b |a 2b 2（ 3） | x a | | x b | c 零点分段讨论三、基本不等式（ 1） a 2 b 22ab （当且仅当等号成立条件为 a b ）（ 2） a0, b 0,ab 2 ab （当且仅当等号成立条件为 a b ）；2a 0, b0, c0,a bc3abc （当且仅当 abc 时等号成立）3（ 3）柯西不等式(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 （当且仅当 ad bc 时取等号）①几何意义： | a b |≤| a || b | | ad bc | a 2 b 2 c 2d 2②推广： (a 12 a 22 a n 2 )( b 12b 22 b n 2) ( a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n )2 . 当且仅当向量 a = ( a 1 , a 2 ,, a n ) 与向量 b = (b 1 , b 2 , , b n ) 共线时等号成立 .四、不等式的证明（ 1）作差比较法、作商比较法 .（ 2）综合法——由因到果 . （ 3）分析法——执果索因 . （ 4）数学归纳法 .（ 5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （ 6）反证法 .（ 7）放缩法 .题型归纳即思路提示题型201含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式 思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值 . 常用的去绝对值方法是零点分段法 . 特别用于多个绝对值的和或差不等式问题 . 若单个绝对值的不等式常用以下结论：| f (x) |g (x)g( x)f ( x)g( x)；| f (x) | g (x)f ( x)g ( x)或f ( x)g( x) ；| f (x) | | g( x) |f 2 ( x)g 2( x) ( f ( x) g( x))( f ( x) g(x)) 0 .有时去绝对值也可根据 | x |2x 2 来去绝对值 .例 16.14 (2015 ·山东 ) 解不等式 |x － 1| －|x － 5|<2 的解集．变式1不等式 | x 5 || x3|10 的解集是（）A.[ 5,7]B.[4,6]C.(, 5][7,)D.(, 4][6,)变式 2已知函数 f ( x) | x 2 | | x 5| .（ 1）证明： 3 f (x) 3；（ 2）求不等式 f ( x) x28x15 的解集.二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题1例 16.15若不等式 |2x － 1| ＋ |x ＋2| ≥ a2＋2a＋ 2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ________.1变式 1 不等式x＋x≥|a－2|＋sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围 .变式 2若不等式|kx－4|≤ 2的解集为{x|1≤ x≤ 3}，则实数k＝ ________.变式 3(2017·石家庄调研 )设函数 f(x)＝|x －3| －|x ＋ 1| ， x∈ R.(1)解不等式 f(x)< － 1；(2)设函数 g(x)＝ |x ＋ a| － 4，且 g(x)≤f(x)在 x∈ [－ 2,2] 上恒成立，求实数 a 的取值范围．三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 (2016 ·深圳模拟 )若关于 x 的不等式 |2 014－ x|＋ |2 015－ x|≤ d 有解，求 d 的取值范围．变式 2已知 a R ，关于x的方程x2x | a 1| | a | 0 有实根，求a的取值范围. 4四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例 16.17 (全国卷I卷（理））已知函数 f （ x） =–x2+ax+4， g(x)= │x+1│ +x│– 1│.（1）当 a=1 时，求不等式 f（ x）≥g（ x）的解集；（2）若不等式 f（ x）≥g（ x）的解集包含 [–1， 1]，求 a 的取值范围 .变式 1设函数 f ( x)| x a |3x ，其中 a0 .(1)当 a 1时，求不等式 f ( x)3x 2的解集；(2)若不等式 f ( x)0的解集为x | x 1 ，求 a 的值.变式 2 (2017 ·开封模拟 ) 设函数 f(x)＝|x－a|，a<0.1(1)证明： f(x) ＋ f －x≥2；(2) 若不等式f(x) ＋ f(2x)<1的解集非空，求 a 的取值范围．2变式 3 (2012 山东理 13)若不等式| kx 4 | 2 的解集为x |1 x 3 ，则实数k=.题型 202不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商，与0 与 1进行比较，得到大小关系.2y+xy2+ 1≤x2y2+x+y.例16. 18 (2014·常州期末)已知x≥1，y≥1，求证：x变式 1(2015 ·徐州、连云港、宿迁三检)已知 a，b，c都是正数，求证：a2b2b2c2c2 a2a b c≥abc.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序：（ 1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0 ，另一端为所作辅助函数 f ( x) .（ 2）求f ( x)并验证 f (x) 在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为0或已知符号，作比较即得所证 .例 16. 19已知 0x 1，求证： x sin x 1 x3.6变式 1证明：当 0 x时，2xsin x x .2三、综合法与分析法思路提示字母A, A1 , A2 ,, A n , B 分别表示一组不等式，其中B 为已知不等式， A 为待证不等式.若有A A1A2A n B ，综合法是由 B 前进式地推导 A ，分析法是由 A 倒退式地分析到 B .用分析法时，必须步步可逆.1 11例 16.20已知 a，b，c>0 且互不相等， abc＝1. 试证明： a＋ b＋ c＜a＋b＋c.变式 1 已知a，b，c，d均为正数，且ad＝ bc.(1)证明：若 a＋ d>b＋ c，则 |a－ d|>|b－c|；(2)t· a2＋ b2 c2＋ d2＝ a4＋ c4＋ b4＋ d4，求实数 t 的取值范围．.16.21(2017 ·沈阳模拟 ) 设 a ， b ， c>0，且 ab ＋ bc ＋ ca ＝ 1. 求证：(1)a＋b ＋ c ≥3；abc(2)bc ＋ac ＋ab ≥3(a ＋b ＋c) ．c2＋a2＝ a2＋ b2＋c2( 当且仅当 a ＝b ＝ c 时等号成立 ) 证得．2所以原不等式成立．a bc a ＋b ＋c (2)bc ＋ac ＋ab ＝ abc.变式 1已知 a>b>c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0，求证： b 2－ ac< 3a.思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的 . 它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16. 22设二次函数f(x)=x2+px+q，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小1于2 .变式 1已知 a, b,R ，a 3b32求证： a b2.,思路提示预 证 AB ， 可 通 过 适 当 放 大 或 缩 小 ， 借 助 一 个 或 多 个 中 间 量 ， 使 得B B 1 , B 1 B 2 , , B K A 或 A A 1, A 1 A 2 , , A K B ，再利用传递性， 达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、 “分母”放缩和“单调”放缩 .例16. 23(2015 ·安徽卷 ) n ∈N * ，x n 是曲 y=x 2n+ 2+1在点 (1，2) 的切 与 x 交点的横坐 .(1) 求数列 { x n } 的通 公式；x 12 x 32x 22n-11(2) T n =，求 ： T n ≥4n.·⋯·变式 1证明：n n(n1)n 1( n 2,n N).变式 2 若 a，b∈R，求证：|a＋ b| ≤|a|＋ |b|.1＋ |a＋ b|1＋ |a|1＋ |b|例 16. 24b c d a求证： 12(a,b, c, d R ) .a b c b c d c d a d a b例 16. 25 设a,b, c, m R，且满足a m b m c m，问m取何值时，以 a,b, c 为边可构成三角形，并判断该三角形的形状 .六、三角换元法思路提示若x2y 21，x2y21等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，2但是务必注意换元前后参数的范围变化.例 16. 26（ 2017江苏卷）已知 a,b,c,d 为实数，且 a2+b2=4,c2+d2=16,证明 ac+bd 8.变式 1设x, y R，22，求证：x y5x y||4123七、构造法思路提示一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数 .（2）构造辅助数列 .（3）构造几何图形 .例 16. 27设 x, y R ，b0 ，若 0 a1，求证： b b21.b a1.例 16. 28已知a,b, c为三角形的三边长，求证：a b c.1 a 1b变式 1证明：| a b || a || b | .1 | a b | 1 | a | 1 | b |变式 2已知 x0 且 x1， m n 0 ，求证： x m1x nx m例 16. 29证明：当x 1 且 x 0 时，有(1x)n 1 nx (n 1 c1x n . N ) .例 16. 30设a,b, c R ，求证：a2b2b2c2a2c22( a b c) .变式 1设x, y R ，求证：x23x 3y23y 3x23xy y2 6 .八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1. 二维形式的柯西不等式设 x1 , x2 , y1, y2R ，(x12y12 )( x22y22 )( x1 x2y1 y2 ) 2. 等号成立x1 y2 x2 y1.2. 一般形式的柯西不等式设 a1, a2 ,,a n及 b1 ,b2 ,,b n为任意实数，则 (a1b1a2b2a n b n )2(a12a22a n2 )(b12b22b n2 ) ，当且仅当a1a2a n（规定 a i0 时 b i0 ，i1,2,,n ）时等号成立. b1b2b n证法一：当a i全为0时，命题显然成立.na i20 ，考查关于x的二次函数 f ( x)nb i )2，显然 f (x) 0恒成立.否则(a i xi 1i 1n n n n注意到f ( x)(a i2 ) x22(a i b i ) x b i2，而 f ( x)0 恒成立，且a i20，i 1i 1i 1i 1n n n故 f (x) 的判别式不大于零，即4(a i b i )2 4 a i2b i20 ，i 1i 1i 1n n n整理后得a i2b i2(a i b i ) 2.i 1i 1i 1证法二：向量的内积证法 .令 a( a1 , a2 ,, a n ) ，b(b1, b2 ,, b n ) ，为 a 与b的夹角.因为 a b|a ||b| cos a,b，且 | cos a,b | 1，所以 | a b| | a ||b|| cos a,b| |a ||b| |a b|2| a |2| b|2，即(a1b1a2 b2a n b n )2( a12a22等号成立0 或 180a,b 平行a1a2a n .b1b2b n柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，许多复杂的不等式，下面举例说明 .例 16.31已知x，y，z均为实数．(1) 若 x＋ y＋ z＝ 1，求证：3x＋ 1＋3y＋ 2＋3z＋3≤ 3 3；(2) 若 x＋ 2y＋ 3z ＝ 6，求 x2＋y2＋ z2 的最小值．2222a )(b b b ) ，n12n应用它可以简单地证明变式 1 已知大于 1 的正数 x，y，z 满足 x＋ y＋ z＝ 33.求证：x2y2z2＋＋z＋ 2x＋ 3yx＋ 2y＋ 3z y＋ 2z＋ 3x≥3 2 .变式 2已知 a0, b 0, c0 ， a cos2bsin 2 c .求证： a cos2 b sin2 c .例 16. 32设实数 a, b, c满足 a22b23c23，求证： 3 a9 b27 c 1 .2变式 1已知 n N ,且n 2 ，求证：1111111 2 .72342n 12n2变式 2已知正实数 a, b, c 满足 abc1，求证：111 3 .a3 (b c)b3 (c a)c3 (a b)2最有效训练题 61( 限时 45 分钟 )1.不等式 | 2x1| 23x 的解集是（）A.x | x 1B.x |1x3C.x | x3x | x3 225D.552.设 a, b, c(,0) ，则 a 1, b1, c1（）b c aA. 都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不大于 2D.至少有一个不小于23.若 P a a 7 ， Q a3a4( a0) ，则P, Q的大小关系是（）A.P QB.P QC.P QD.由 a 的取值决定4.用数学归纳法证明某不等式，左边11112n 11，“从 n k 到n k 1 ”应将左边加上（2341n2）A.1B.11C.111 k 12kD.2k 1 2k 21 2k 42k 25. f ( x)2x31x 的最大值为（）A. 5B.1213C.13D.521326. 若正数a,b满足ab a b 3 ，则①ab 的取值范围是；② a b 的取值范围是.7. 在实数范围内，不等式| 2x 1| | 2x 1| 6 的解集为.8.若存在实数 x 使| x a|| x1| 3 成立，则实数 a 的取值范围是.9.已知 a 0, b 0, c0,a b c .求证：a b c .1a 1 b 1 c10. 已知函数f (x) | x a || x 2 | .(1)当 a3时，求不等式 f ( x) 3 的解集；(2) 若f ( x) | x 4 | 的解集包含1,2 ，求 a 的取值范围.11. 已知函数f ( x)m| x 2 |, m R ，且f (x2)0 的解集为 [1,1].①求 m 的值；②若 a, b,c111m ，求证： a2b3c9 . R ，且2b3ca12. 已知函数f (x)x31) .设数列a n满足 a11， a n 1 f ( a n ) ，数列 b nx( x满1足 b n | a n 3 | ， S n b1b2b n ( n N ) .（1）用数学归纳法证明：b n( 31)n；2n 1（2）证明：23 S n.3。
高考数学复习：不等式选讲
高考数学复习：不等式选讲A 组1．(2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1． [解析] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1， 得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1． 2．(2018·全国卷Ⅰ，23)已知f ()x ＝||x ＋1－||ax －1.(1)当a ＝1时，求不等式f ()x >1的解集；(2)若x ∈()0，1时，不等式f ()x >x 成立，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.结合函数图象可知，不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a ＞0，|ax －1|＜1的解集为0＜x ＜2a， 所以2a≥1，故0＜a ≤2. 综上可知，a 的取值范围为(0,2]．3．(2017·全国卷Ⅰ，23)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为{x |－1≤x ≤－1＋172}． (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1．所以a 的取值范围为[－1,1]．4．设实数x ，y 满足x ＋y 4＝1． (1)若|7－y |<2x ＋3，求x 的取值范围．(2)若x >0，y >0，求证：xy ≥xy .[解析] (1)根据题意，x ＋y 4＝1， 则4x ＋y ＝4，即y ＝4－4x .则由|7－y |<2x ＋3，可得|4x ＋3|<2x ＋3，即－(2x ＋3)<4x ＋3<2x ＋3，解得－1<x <0.(2)x >0，y >0，1＝x ＋y 4≥2x ·y 4＝xy ， 即xy ≤1，xy －xy ＝xy (1－xy )，又由0<xy ≤1， 则xy －xy ＝xy (1－xy )≥0，即xy ≥xy .B 组1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且2a 4b ＝2. (1)求2a ＋1b的最小值； (2)若存在a ，b ∈(0，＋∞)，使得不等式|x －1|＋|2x －3|≥2a ＋1b 成立，求实数x 的取值范围．[解析] (1)由2a 4b ＝2可知a ＋2b ＝1，又因为2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋2b )＝4b a ＋a b＋4， 由a ，b ∈(0，＋∞)可知4b a ＋a b ＋4≥24b a ·a b＋4＝8， 当且仅当a ＝2b 时取等号，所以2a ＋1b的最小值为8. (2)由(1)及题意知不等式等价于|x －1|＋|2x －3|≥8，①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋(3－2x )≥8， 所以x ≤－43. ②⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <32，x －1＋3－2x ≥8，无解． ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，x －1＋2x －3≥8，所以x ≥4.综上，实数x 的取值范围为(－∞，－43]∪[4，＋∞)． 2．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若关于x 的不等式f (x )≥ax ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．[解析] (1)由于f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1<x ≤2，3x －3，x >2，则函数y ＝f (x )的图象如图所示．(2)当x ＝2时，f (2)＝3.当直线y ＝ax ＋1过点(2,3)时，a ＝1．由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax ＋1的图象知，当且仅当－3≤a ≤1时，函数y ＝f (x )的图象没有在函数y ＝ax ＋1的图象的下方， 因此f (x )≥ax ＋1恒成立时，a 的取值范围为[－3，1]．3．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝0时，解关于x 的不等式f (x )>4；(2)若∃x ∈R ，使得不等式|x －3|＋|x －a |<4成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由a ＝0知原不等式为|x －3|＋|x |>4.当x ≥3时，2x －3>4，解得x >72. 当0≤x <3时，3>4，无解．当x <0时，－2x ＋3>4，解得x <－12. 故解集为{x |x <－12或x >72}． (2)由∃x ∈R ，|x －3|＋|x －a |<4成立可得，(|x －3|＋|x －a |)min <4.又|x －3|＋|x －a |≥|x －3－(x －a )|＝|a －3|，即(|x －3|＋|x －a |)min ＝|a －3|<4，解得－1<a <7.4．已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |.(1)若f (1)<3，求实数a 的取值范围．(2)若a ≥1，x ∈R ，求证：f (x )≥2.[解析] (1)因为f (1)<3，所以|a |＋|1－2a |<3.①当a ≤0时，得－a ＋(1－2a )<3，解得a >－23，所以－23<a ≤0； ②当0<a <12时，得a ＋(1－2a )<3， 解得a >－2，所以0<a <12； ③当a ≥12时，得a －(1－2a )<3， 解得a <43，所以12≤a <43； 综上所述，实数a 的取值范围是(－23，43)． (2)证明：因为a ≥1，x ∈R ，所以f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |≥|(x ＋a －1)－(x －2a )|＝|3a －1|＝3a －1≥2.。
不等式选讲近几年高考题按题型汇编很好很全)
不等式选讲近几年高考题按题型汇编很好很全)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（不等式选讲近几年高考题按题型汇编很好很全)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为不等式选讲近几年高考题按题型汇编很好很全)(word版可编辑修改)的全部内容。
不等式选讲1。
绝对值不等式的解法一．简单的去绝对值情形1．不等式：1的解集是_______ ___．32-x ≤2。
不等式：3的解集是_______ _ _．1-x ≥3.解不等式：的解集是_______ _ _．312>-+x x 4．（2008·山东高考题）若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1、2、3,则b 的取值范围为 。
5．设集合，．若，则实数必{}1,A x x a x =-<∈R {}2,B x x b x =->∈R A B ⊆,a b 满足（ ）．Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3a b +≤3a b +≥3a b -≤3a b -≥6。
不等式：的解集是_______ _ _．123-<+x x 7．（2007广东，14）（不等式选讲选做题）设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则= ；若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 。
8.（2011年高考江苏卷21）选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式:|21|3x x +-<9. (2011年高考全国新课标卷理科24）（本小题满分10分） 选修4—5不等选讲设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1)当时，求不等式的解集；1=a 23)(+≥x x f （2)如果不等式的解集为，求的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《 2018 年高考数学分类汇编》
第十四篇：不等式选讲解答题
1.【2018 全国一卷23】已知 f (x) | x 1| | ax 1| .
（ 1）当a1时，求不等式 f ( x) 1 的解集；
（ 2）若x(0,1)时不等式 f ( x) x 成立，求a的取值范围.
2.【2018 全国二卷23】设函数f (x)5| x a || x
2 | ．
（1）当a 1时，求不等式 f ( x) 0 的解集；
（2）若 f (x) 1 ，求a
的取值范围．
3.【2018 全国三卷23】设函数 f x2x 1 x 1 ．
（ 1）画出y f x 的图像；
（ 2）当x∈0，，f x ≤ ax b ，求a b 的最小值．
4.【2018 江苏卷 21D】若 x， y， z 为实数，且x+2y+2z=6，求 x2y2z2的最小值．
参考答案
解答题
2, x1,
1.解：（1）当a 1 时， f ( x)| x1|| x 1| ，即 f (x)2x, 1 x1,
2, x 1.
故不等式 f (x)1的解集为 { x | x 1
} ．2
（ 2）当x (0,1)时| x 1|| ax1|x 成立等价于当 x(0,1) 时 | ax1| 1 成立．若 a 0 ，则当 x (0,1) 时 | ax 1| 1 ；
若 a
0 ， | ax 1| 1 的解集为 0 x
2 2 ，所以
1 ，故 0 a
2 ．
a
a
综上， a 的取值范围为 (0, 2] ．
2x 4, x
1,
2.
解： （ ）当 a 1 时， f ( x)2, 1 x
2,
1
2x 6, x 2.
可得 f ( x) 0 的解集为 { x | 2 x 3} ．
（ 2） f (x)
1等价于 | x a | | x 2 | 4 ．
而 | x a | | x 2 | | a 2 | ，且当 x
2 时等号成立．故 f ( x) 1 等价于 | a 2| 4 ．
由 | a 2 | 4 可得 a
6 或 a 2 ，所以 a 的取值范围是 (
, 6] [2, ) ．
3x, x
1
,
2
3.解：（ 1） f (x)x 2,
1
y f (x)
的图像如图所示．
x 1,
2 3x, x
1.
（ 2）由（ 1）知， y f ( x) 的图像与y
轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 3 ，故
当且仅当 a3且 b2时， f (x) ax b 在 [0,) 成立，因此 a b 的最小值为 5 ．4.证明：由柯西不等式，得( x2y2z2 )(122222 )(x 2y 2 z) 2．
因为 x 2 y 2 z=6 ，所以 x2y2z2 4 ，
当且仅当x
y
z 时，不等式取等号，此时x2， y4， z 4 ，122333
222
的最小值为 4．所以 x y z。