《简谐振动的描述》
简谐振动的特征和表示方法
简谐振动的特征和表示方法简谐振动是物理学中一种重要的振动现象，广泛应用于各个领域。
本文将论述简谐振动的特征和表示方法，以帮助读者更好地理解和应用简谐振动。
一、简谐振动的特征简谐振动是指受力恢复力与物体偏离平衡位置成正比的振动过程。
简谐振动具有以下主要特征：1. 平衡位置：简谐振动存在一个平衡位置，该位置处物体不受力作用，相对于该位置发生振动。
2. 振动频率：简谐振动的频率是指单位时间内完成的振动周期数。
频率与弹性系数、质量有关，表征了振动快慢。
3. 振幅：简谐振动的振幅是指物体在振动过程中偏离平衡位置的最大距离，振幅与振动能量相关。
4. 相位：简谐振动的相位是指物体在振动过程中的状态，用来描述物体与平衡位置的关系。
相位角随时间变化而变化。
二、简谐振动的表示方法简谐振动可以用多种方式表示，常见的表示方法包括：1. 位移-时间表示：用物体的位移随时间的变化来描述简谐振动。
位移随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为x(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角速度，φ为相位角。
2. 速度-时间表示：用物体的速度随时间的变化来描述简谐振动。
速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为v(t) = -Aωsin(ωt + φ)。
3. 加速度-时间表示：用物体的加速度随时间的变化来描述简谐振动。
加速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为a(t) = -Aω^2cos(ωt + φ)。
4. 质点运动轨迹表示：简谐振动的质点运动轨迹可以用二维坐标系中的曲线来表示。
常见的简谐振动运动轨迹有直线、椭圆和圆周等形状。
5. 动能-势能图表示：简谐振动的动能-势能图是一种图形表示方法，用来描述振动系统的能量变化。
动能-势能图呈现周期性交替变化的特点，体现了能量从动能到势能再到动能的转换。
三、简谐振动的应用简谐振动在物理学、工程学和生物学等领域有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 力学系统中的弹性振动：弹簧振子、单摆等力学系统中的振动往往可以近似看作简谐振动，通过振动频率和振幅等参数来描述振动特性。
《简谐振动》课件
3
谐振共振现象
在一些特殊情况下，简谐振动会出现共振现象，引起丰富的物理现象和效应。
课堂练习与小结
实验：简谐振动的观测
通过实验，我们可以直观地观测 和验证简谐振动的各种特性和规 律。
练习题：简谐振动的计算
通过练习题，我们可以更加熟练 地掌握和运用简谐振动的计算方 法。
小结：简谐振动的本质及 其应用
简谐振动的本质是物体在恢复力 作用下的周期性振动，具有广泛 的应用价值和理论意义。
《简谐振动》PPT课件
什么是简谐振动？
定义
简谐振动是指物体在一个固 定轨迹上以恒定速度来回振 动的运动。
周期、频率与角频率的 关系
周期与频率是简谐振动的关 键参数，它们之间遵循特定 的数学关系。
物ห้องสมุดไป่ตู้实例
弹簧振子和单摆振动是常见 的简谐振动实例，它们展示 了简谐振动的特征。
简谐振动的数学描述
1 振动方程的一般形式
简谐振动可以用振动方程的一般形式来描述，这是简谐振动理论的核心。
2 欧拉公式及其应用
欧拉公式是描述简谐振动的数学工具，对于求解振动问题具有重要意义。
3 谐振曲线与相位差
谐振曲线和相位差是简谐振动中常见的图像表示形式，能帮助我们更好地理解振动的性 质。
简谐振动的能量
动能与势能的变化
简谐振动中的动能和势能随时 间的变化呈周期性规律，相互 转化。
振动量的计算方法
我们可以通过计算振动量来了 解简谐振动的强度和特性。
能量守恒定律
简谐振动遵循能量守恒定律， 能量在振动过程中始终保持不 变。
简谐振动的阻尼与受迫振动
1
阻尼振动的特征
阻尼振动是简谐振动受到阻碍或阻尼力的情况，具有一些特殊的行为与性质。
简谐运动的描述(高中物理教学课件)完整版
四.简谐运动的表达式
简谐运动的表达式：x＝Asin（ωt＋φ）
位移 振幅
时刻 初相位
圆频率 ω＝2π/T＝2πf
也可以写成：x Asin(2 t )
T
相位
根据一个简谐运动的振幅、周期、初相位，可以知道做 简谐运动的物体在任意时刻的位移，故振幅、周期、初 相位是描述简谐运动特征的物理量。
三角变换
因为 2 ， T 2 2 m
T
k
振动系统本身性质决 定的。
同时放开的两个小球振动步调总是 一致，我们说它们的相位是相同的；
而对于不同时放开的两个小球，我 们说第二个小球的相位落后于第一个 小球的相位。
如何定量的表示相位呢？
三.相位
1.相位：物理学中把（ωt＋φ）叫作相位，其中φ 叫初相位，也叫初相。 由简谐运动的表达式x＝Asin（ωt＋φ）可以知道， 一旦相位确定，简谐运动的状态也就确定了。 2.相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位 的差值。 如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1 和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1) －(ωt＋φ2)＝φ1－φ2此时我们常说1的相位比2超前 Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。
x甲 0.5sin(5t )cm 或者x甲 0.5sin 5tcm
x乙
0.2 sin(2.5t
2
)cm
或者x乙 0.2 cos 2.5tcm
注意： 振动物体运动的范围是振幅的两倍。
二.周期和频率
做简谐振动的振子，如果从A点开始运动，经过O点运动到Aˊ点再 经过O点回到A点，这样的过程物体的振动就完成了一次全振动。 如果从B点向左运动算起，经过O点运动到Aˊ点，再经过O点回到 B点，再经A点返回到B点时，这样的过程也是一种全振动。
简谐运动的描述教学设计
简谐运动的描述教学设计课时名称简谐运动的描述学科物理课时 1使用年级高二班额55 课程类型新授课设计者教学内容分析《简谐运动的描述》人教版选择性必修一第二章《机械振动》的第二节内容。
振动和波是贯穿力（包括声）、热、电、光等物理子学科中最典型的运动形式，在力学中有机械振动和机械波，在电学中有电磁振荡和电磁波。
本节课是在学生认识了什么是简谐运动之后来学习描述简谐运动的几个物理量，是进一步认识简谐运动的基础课，同时也为交流电、电磁振荡等知识的联系和深化打下扎实的基础。
周期和频率的概念在前面的匀速圆周运动的学习中已有所涉及，联系艺术中的乐音，让学生在艺术中感受物理知识的美妙。
学情分析1.第一节学习了简谐运动的运动学定义；2.数学中学生对正弦函数表达式，及振幅、相位等概念都有涉及。
教学时要密切联系旧有的知识，引导学生寻找物理与数学的连接点。
利用演示、讲解，传感器实验等方法，把突破难点的过程当成培养学生科学思维和科学探究素养的过程，启发引导学生积极思考，加强师生间的双向活动，从而全面达到预期的教学目的和要求，使学生的学科素养得到提高。
教学中，相位的概念是最为抽象的，也是这节课的教学难点，但学生在初中学过“月相”这一节内容，让学生很好的理解。
教学目标1.通过对拇指琴发出声音强度的变化这个实例的分析，通过观察竖直弹簧振子这个理想模型的振动过程，明确振幅定义及意义，培养从实际情境中捕捉信息，获取知识，并应用知识的能力；2.分析拇指琴不同琴键发出不同声音的原因，知道周期和频率是影响简谐运动的重要参量；通过手机物理工坊的实验探究，找到竖直弹簧振子的周期和频率的影响因素；通过观察匀速圆周运动和简谐运动的关系，寻找各种运动之间的联系，知道大自然的和谐之美，并在实验中培养科学态度和责任感。
3.通过观察两个弹簧振子的振动步调关系，理解相位的概念，并会从相位差的角度分析和比较两个简谐运动。
教学过程教学环节教学活动学生活动设计意图学思静悟一、振幅1．定义：振动物体离开平衡位置的__________。
描述简谐振动
要求掌握:
1、描述简谐运动的物理量
2、简谐运动的能量 3、简谐运动的图象 4、简谐运动的公式描述
请说出弹簧振子a、F、V、S的变化规律？
描述简谐运动的物理量
1、回复力F
F kx 方向：总是指向平衡位置方向
2、加速度a F kx 方向：总是指向平衡位置方向 a m m 3、位移X 从平衡位置指向振子的有向线段。 X方向总是背离平衡位置方向。 4、速度V 与振子运动方向相同。平衡位置最大，两端为0。
O C D
1.6或8/15
例10 一个弹簧振子，振幅为5cm时，振动周期为 0.5s,最大速度为V，当振幅为10cm时，下列说法中 正确的是（ D ） A、周期为0.5s，最大速度为V； B、周期为1.0s，最大速度为V; C、周期为√2/2s，最大速度为√2V; D、周期为0.5s，最大速度为２V.
例3：一弹簧振子作简谐运动，下列说法中正确的有 [ ] A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定 为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大 C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一 定相同 D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但 加速度一定相同
4、如图所示,是质点的振动图象,则振幅是____m, 频率是_______Hz, 0-4s内质点通过路程是____m. 6s末质点位移是_______m. 6s内质点的位移 m.
0
0
x
t
t
X
2、若取向下为正方向？
0
t
曲线的形状与所选的计时起点有关。
1．简谐运动位移-时间（X—t）图象 通常称为振动图象，也叫振动曲线。 2．图象特点：是一条正弦或余弦曲线。 3．物理意义：描述振动物体的位移随时间变化的规律。
简谐振动的描述
【课堂练习】
例题2：如图，写出振动方程
。
祝同学们学习愉快
1/4T的路程和振幅没有定量关系
注意：1/4个周期内的路程可以等于A，可以 大于A，也可以小于A。只有初始时刻在平 衡位置和最大位移处时，1/4周期内的路程 等于A.
做一做
如图所示，一竖直弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位 置向下拉一段距离 A，放手让其运动，A 就是振动的振幅。给你一 个秒表，怎样测出振子的振动周期T？
观察，弹簧振子的运动最显著的特点是什么？
对称性 周期性
全振动 -----一个完整的振动过程
由于简谐运动具有周期性，振子由某一点开始运动，经过一段时间，将 回到该点，振子完成了一次全振动。
从O点开始，一次全振动的完整过程为O→M→O→M´→O 从M点开始，一次全振动的完整过程为M→O→M´→O→M 从M´点开始，一次全振动的完整过程为M´→O→M→O→M´ 从P0点开始，一次全振动的完整过程为P0→M→O→M´→O→P0
振动特征：一个完整的振动过程 时间特征：历时一个周期T 路程特征：振幅的4倍 相位特征：增加了2π 在一次全振动过程中，一定是振子连续两次以相同速度通过同一点，所经历的过程
【课堂练习】 (多选)例题1：两个简谐振动，其表达式分别是：x1=3sin（100πt+π/3）cm， x2=6sin（100πt+π/4）cm，下列说法正确的是（ BC ）
φ叫初相位，即t=0时的相位。
4）相位差：两个简谐运动的相位差，简称相差
（1）若相同频率，则相位差为：△φ=φ1-φ2
（2）取值范围：-π≤△φ≤π △φ=0，表明两振动步调完全相同，称为同相。 △φ=-π，表明两振动步调完全相反，称为反相。 △φ>0，表示振动1比振动2超前△φ。 △φ<0，表示振动1比振动2落后△φ。
简谐振动的特点与描述
简谐振动的特点与描述简谐振动是指一个物体在固定位置附近做往复振动的运动，其特点是周期性、均衡运动和振幅恒定。
简谐振动广泛应用于物理、工程等领域，如弹簧振子、摆钟等，具有重要的理论和实际意义。
本文将从简谐振动的描述、特点和应用三个方面进行阐述。
一、简谐振动的描述简谐振动的描述通常使用正弦（sin）函数或余弦（cos）函数，根据时间t表示物体的位置x或速度v。
振动的位置可以表示为：x = A sin(ωt + φ)其中，x为位置，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
角频率ω与周期T的关系为：ω = 2π/T角频率反映了振动的频率，周期T表示振动从一个位置到达相同位置所需的时间。
初相位φ则是振动的起始点。
速度v可以表示为：v = Aωcos(ωt + φ)根据简谐振动的描述公式，我们可以确定物体的位置和速度随时间的变化规律。
二、简谐振动的特点1. 周期性：简谐振动具有明显的周期性，物体会在一个固定的时间间隔内完成一次完整的振动。
周期性的特征使得我们可以预测振动的未来状态，并对振动进行分析和研究。
2. 均衡运动：简谐振动的均衡位置是振动的中心位置，物体在均衡位置附近的振动是以均衡位置为基准的往复运动。
均衡位置是简谐振动的稳定状态，物体在外力作用下会向均衡位置回复。
3. 振幅恒定：简谐振动的振幅是指物体在振动过程中达到的最大位移，振幅决定了振动的幅度大小。
简谐振动的特点之一是振幅恒定，即振幅不受时间和频率的影响，保持不变。
4. 无摩擦和阻尼：简谐振动假设在振动过程中没有外界摩擦和阻尼的存在，即物体在振动中不受阻力影响。
这样的假设可以简化振动系统的分析，使得我们可以更好地研究其特性。
三、简谐振动的应用1. 物理实验：简谐振动广泛应用于物理实验中，可通过自由振动的系统来研究和验证振动的规律。
例如，利用弹簧振子实验可以研究简谐振动的周期和相位。
2. 工程应用：简谐振动的理论在工程中有重要的应用，例如建筑物的结构振动分析和振动控制。
简谐振动的描述
x
5
第17章 振动
3. 动力学方程
以弹簧谐振子为例 设弹簧原长为坐标原点 由牛顿第二定律
k
m
0
kx
x x
固有(角) 频率
F kx ma
d2 x kx m 2 dt
d2 x k x0 2 dt m
2
令
k m
动力学方程
6
d x 2 x 0 简谐振动 2 dt
第17章 振动
解：设 t 时刻到达末态。 由已知画出t = 0 时刻的旋矢图。 由题意选实线所示的位矢。 设始末态位矢夹角为，则
o
t 0
x
t
得
17
7π k t 7π 6 m 6
第17章 振动
振动方程
旋转矢量
振动曲线
例 质点在 x 轴上作谐振动，从A→B→O→C→D，请指出各 点时的相位，并说明相应的状态。 解
dt
d mgl sin 0 dt J
J T 2 mgh
单 摆
5时, sin
d mgh 0 2 dt J
2
mgh J
振动方程
7
0 cosω t
第17章 振动
l T 2 g
d 2 mgl 对比 0 2 dt J
T t1
o
A
x
t1 T 6 2 6 t2 T 12
A/2→0： 相位变化从π/3→π/2 ， 由
2 2 T t2
注：求的是最短时间，实际时间可以是上述时间加上周期的整数倍。
19 第17章 振动
例 解
已知振动曲线，求振动方程。
2、简谐振动的描述(广)
Δφ＝φ1－φ2，即是两振动的相位差．
它们的相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的简
谐运动具有固定的相位差。
关于相位差Δφ＝φ1－φ2的说明： (1)取值范围：－π≤Δφ≤π. (2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相．
O →B →O →A → O t=?
T
O→B →O
t=? T/2
O→B
t=? T/4
（2）频率f:单位时间内完成全振动次数
T= 1/f 赫兹(Hz)
（3）周期越小，频率越大，运动越快。
(4)物理意义：表示简谐运动的快慢
简谐运动的周期公式
通过实验可以证明：
结论：弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定， 而与振幅无关，所以常把周期和频率叫做固有周期和固有频率。
思考与讨论
若从振子向右经过某点P起，经过半个周期以后振子运动到什
么位置？
v
x
x
A
P′
O
P
A′
平衡位置
半个周期后振子到了P′点
P′点与P点关于O点对称
半个周期内的路程是多少呢？ 2A
思考与讨论
弹簧振子在四分之一周期内的路程是A吗？
v
有可能是A，
x
x
A
P′ O
P
平衡位置
有可能大于A， A′ 有可能小于A.
简谐运动的能量
简谐运动中动能和势能在发生相互转化， 但机械能的总量保持不变，即机械能守恒。
简谐运动的能量由劲度系数和振幅决定.振幅越大， 振动的能量越大.
试画出物体在做简谐运动时的Ek-t和Ep-t
《简谐振动的描述》-PPT
根据牛顿第二定律，有： kx m d 2 x dt 2
令 2 k 有：
m
d 2x dt 2
2x
简谐振动方程
解微分方程→
A, 为积分常数
0
注意：除弹簧振子外，单摆、复摆做
小角度（一般<=5°）摆动等都可以
视为简谐振动
§简谐振动的速度、加速度
x 简谐振动的位移： A cos(t )
v 简谐振动的速度： dx A sin( t )
▪
广义地讲：振动指任何一个物理量在某一定值附近作周期性的往复变化
▪
狭义地讲：振动指物体在其平衡位置附近的往复运动
▪
振动依机理不同区分为机械振动、电磁振动，但描述和研究方法相同。简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可以认为是由许多简谐振动的合成。因此研究简谐振动是进一步研究复杂振动的基础。接下来我们就一起来看一看简谐振动的描述。
t 0.83(s)
26
y
x
o
A
3
谢 谢！
2A
a
Ax
T
o tAvFra bibliotek如何通过振动曲线判断v正负、φ值？
5
5
§描述简谐振动三个特征量
▪ 圆频率（角频率）：在2π秒内物 体所作的完全振动的次数（rad·s1）
A
x
2 0
v0
2
▪
相位：相位是描述振动状态的物理量
▪
与状态参量 x,v 有一一对应关系
▪
每一时刻运动状态（x,v）是唯一的
0
arctg(
简谐振动除了用三角函数 式及振动曲线描述外还可 以用一个旋转矢量来表示 简谐运动，直观地表明简 谐运动的三个特征量的物 理意义。
简谐振动
G A
H
简谐振动曲线如图 以上描述简谐振动的方法称为简 谐振动的矢量图解法.
T
N
J
M
K T
L
t
12
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A，并使矢量 A A 在 Oxy平面内绕点 t 0 O作逆时针方向的 o x0 x 匀角速转动，其角 x0 A cos 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
18
解：设物体沿x 轴作简谐振动
A = 10.0 cm = 0.100 m
m 0.500 当t = 0 时 ，x = A ，cos =1 ，
所以 x = 0.100 cos 8.00 t m
k
32.0
rad s
1
8.00 rad s
-1
即 =0
速度、加速度的最大值为 vm = A = 8.00×0.100 m s1 = 0.800 ms1 am= 2 A = (8.00)2 ×0.100 m s2 = 6.40 ms2 所以 v = 0.800 sin 8.00 t ms1
x0 A cos
2 A x0
2
2 v0
v0 Asin
v0 t an x0
10
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
π 2 v0 A sin 0
0 A cos
v
x
x
T 2
第十三章(振动一讲)
T
t( s)
( 2)相轨迹 ( 相图) x v图线. x A cos(0t )
v A0 sin(0 t ) 2 v 2 2 得: x 2 A
由
v x o
11
0
四、简谐振振动的矢量表示法 vm 0 A 如图:振幅矢量 A 以圆频 v0 率 0 绕平衡点 o 逆时针 A( t ) 方向转动 . 2 an A0 A( t 0) A在x轴上的投影点运动, 0t 0 表示一特定的简谐振动.
0 t 0 t t 0 初相位
8
注意：相位是相对的； 同相、反相； 超前、落后。
例如,二同频率不同振幅的谐振动:
x1 A1 cos(0t 1 ) x2 A2 cos(0t 2 )
t时刻的相位差:
相位
1 0t 1
2 0t 2
t时刻 :
x A cos(0t )
k 0 m
例题1.设一物体沿x轴做简谐振动，振幅为12cm， 周期为2.0s；在t=0时的位移为6.0cm，且这时物 体向x正向运动。试求： (1) 初相位、振动方程; (2) t =0.5s时物体的位置、速度和加速度； (3) 在 x=-6.0cm处，且向x负向运动时，物体的速 度和加速度，以及它从这个位置到达平衡位置所 用的时间。 [解] A 0.12m , 0 2 T 5或 据题意设物体的运动方程为 A 3 A 2 x 0.12 cos( t ) 0 x 则t 0时刻 : 0.06 0.12cos 3 A 14 而v 0.12 sin 0, 故 3 0
(3) 在x=-6.0cm处，且向x负向运动时，有 0.06 0.12cos( t 3)
第四章第1节 简谐振动的描述
3. 相位、初相
x A cos(t )
定义：相位—— t 初相—— 相位表征任意时刻t，振子的运动状态。 d 和时间一一对应。 dt
初相表征初始时刻振子的运动状态。
1）质点的振动状态完全由相位确定
x =Acos( t+ )
dx A sin( t ) dt ( t+ )=0, x=A,=0 —正最大
力与势能的关系： F E p
dE p 则 dx 0 x 0 泰勒展开式一般形式： 2 2+· d E 1 f(x）=f(x0)+f(x0)'(x-x )+[f(x )''/2 ！ ](x-x ) · · + p 2 0 0 0 E p ( x ) E p ( 0) x 2 2 d x x 0
2）振动的超前与落后
设有两个同频率的谐振动：
x1=A1cos( t+1) x2=A2cos( t+2)
>0, 振动x2超前x1(2 -1 ) 相差 =2 -1 =0, 振动x2和x1同相 <0, 振动x2落后x1(︱2 -1︱) =, 振动x2和x1反相
x1=A1cos( t+1) x2=A2cos( t+2)
动，即为简谐振动。 三种定义方式： 从回复力与位移的关系定义: F kx 从动力学方程定义: a 2 x 从运动学方程定义: x A cos(t ) 证明某一物体的运动是简谐振动，可以从上述三方 面之一给予证明。
例题4.1 证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动
证明：设物体以的角速度作匀速圆周运动
x0 0
一象限 三象限
简谐振动
3
1. 简谐振动（Simple Harmonic Motion）
x Acos( t ) →运动学判据
即:按时间t的余弦或正弦函数描述的运动
x 可作广义理解（位移、电流、场强、温度…） 简谐振动是最简单、最基本的振动，可用来研究 复杂的振动。
F kx →动力学判据
d2x dt 2
时，振幅矢量转过的角度为： 5
t 0.83(s)
26
21
例：一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根
据此图写出该振动的表达式。 x(cm)
解：由振动曲线可知：A 0.04 4
由振动曲线可得t＝0和t＝
o
2对应的旋转矢量如图
2
2
t(s)
对应的相位：
t＝2
cos2 (t
)
因 此 ，弹 簧 振 子 的 总 机 械 能 为:
E
Ek
Ep
1 2
kA2
结论：（1）作简谐运动的物体，其机械能守恒。
（2）简谐运动的总能量和振幅的平方成正比。
9
5.其它简谐振动 例如单摆
取逆时针为 张角正向，以悬
点为轴，重力的切向分量
Ft mg sin
“ – ”表示力与 张角方向相反。
设振动物体在任一时刻t 的位移为x ，速度为v ，于是
它所具有的动能EK 和势能EP 分别为
Ek
1 2
mv2
Ep
1 2
k x2
考虑到 x Acos(t ) 及v Asin(t )与2 k / m
Ek
1 kA2 sin 2 (t )
2
1.2《简谐运动的描述》
…
结论：弹簧振子的周期T由振子的 质量m和弹簧的劲度系数k决定,而 与振幅A无关。
…
结论：弹簧振子的周期T由振子的质量m和弹 簧的劲度系数k决定,而与振幅A无关。
（观察两个弹簧的劲度系数不同的弹簧振子的周期）
简谐运动的周期由振动系统本身性质决定， 与振幅大小无关，称为振动的固有周期?
猜想：弹簧振子的振动周期可能由 哪些因素决定? 设计实验：
(1)实验过程中，我们应该选择哪个位 置开始计时?
(2)一次全振动的时间非常短，我们应 该怎样测量弹簧振子的周期?
进行实验： 实验1：探究弹簧振子的T与k的关系. 实验2：探究弹簧振子的T与m的关系. 实验3：探究弹簧振子的T与A的关系.
s
例题3： 一个质点在平衡位置0点附近
做简谐运动,若从0点开始计时,经过3s质 点第一次经过M点;若再继续运动,又经 过2s它第二次经过M点;则质点第三次 经过M点所需要的时间是： CD A、8s B、4s C、14s D、(10/3)s
（观察两个弹簧的劲度系数相同、振幅不同的弹簧振子的周 期）
二、简谐运动的图像描述
简谐运动的物体运动情况每时每刻的变 化，用图像的方法可以形象地描述
• 简谐运动的图像是一条正弦（或余弦）曲 线，说明简谐运动的位移随时间按正弦 （或余弦）曲线规律变化。
你从图像上得到了哪些信息呢？
你从图像上得到了哪些信息呢？
振幅和位移的区别
(1)振幅等于最大位移的数值. (2)对于一个给定的振动，振子的 位移是时刻变化的，但振幅是 不变的. (3)位移是矢量，振幅是标量.
若从振子向右经过某点B起，经过 怎样的运动才叫完成一次全振动?
C
O
B
一次全振动: 物体从B到O,O到C,C到O,O到B运动过程. 振子的运动过程就是这一次全振动的不断 重复.
大学物理(振动波动学知识点总结)
波密媒质 界面处存在半波损失）
1）相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定
2）加强与减弱的条件： 干涉加强：
2k
20
( k 0 ,1 , 2 ,...)
若 10
r 2 r1 k
( k 0 ,1 , 2 ,...)
干涉减弱：
( 2 k 1 )
y
2
2 /2
2
4
t(s)
由 t 0, 所以y
2 cos ; 得 π 2 t π 3 );
0
0, 所 以 1, y
π 3
; (t - x) π 3
2 cos(
(2)u
T
2 cos[
π 2
]
[例2] 一平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率 为250Hz，且此时质点P 的运动方向向下 , 200 m 。 求：1）该波的波动方程； 2）在距O点为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。 y(m ) 解：1）由题意知： 2 500 2A /2
3 2
t T
2
) cos 2
t T
2
7 / 12
)
6
cos( 2
t T
2
2 A
cos( 2
)
3 A sin 2 t ( SI )
例5. 设入射波的表达式为 y
1
A cos 2 (
x
yA 0 vA 0 yB A vB 0
A
A
u
o
什么是简谐振动介绍简谐振动的特性与应用
什么是简谐振动介绍简谐振动的特性与应用知识点：简谐振动的概念与特性简谐振动是一种基本的振动形式，它是指物体在恢复力作用下，沿着固定轴线进行的往复运动。
在简谐振动中，物体的加速度与位移成正比，且方向相反。
这种振动具有以下特性：1.周期性：简谐振动的运动规律具有周期性，即物体完成一个完整的往复运动所需的时间是固定的。
这个周期被称为振动周期，用T表示。
2.振幅：简谐振动的最大位移称为振幅，用A表示。
振幅反映了振动的强度，即物体从平衡位置偏离的最大距离。
3.频率：简谐振动的频率f是指单位时间内完成的振动次数，它与振动周期T的关系为：f = 1/T。
频率的单位是赫兹（Hz）。
4.角频率：简谐振动的角频率ω是指物体在单位时间内沿圆周运动的弧度数，它与振动周期T的关系为：ω = 2πf。
角频率的单位是弧度每秒（rad/s）。
5.相位：简谐振动的不同时刻，物体所处的位置和速度状态称为相位。
相位差反映了两个简谐振动之间的相对位置关系。
6.谐波：简谐振动可以看作是无数个谐波（正弦或余弦波）叠加而成。
谐波是指振动方程中的频率为整数倍的角频率的振动分量。
知识点：简谐振动的应用简谐振动在生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1.机械振动：简谐振动在机械领域中具有重要意义，如桥梁、建筑物的抗震设计，以及各种振动机械的研究和制造。
2.声学：声波是一种常见的简谐振动，它在生活中应用于音乐、语音传播等方面。
声学的研究有助于提高音质和降低噪声污染。
3.电磁学：电磁波也是一种简谐振动，它在无线电、电视、手机等通信技术中发挥着重要作用。
4.物理学：简谐振动在物理学中具有基础地位，如弹簧振子、单摆等实验模型，它们有助于研究物体运动的规律。
5.生物学：生物体内外的许多振动现象都可以看作是简谐振动，如人的呼吸、心跳等。
研究简谐振动有助于了解生物体的生理功能和生态平衡。
6.控制工程：在控制工程领域，简谐振动用于分析和设计各种振动控制系统，以提高系统的稳定性和性能。
简谐振动的特点和动力学描述
简谐振动的特点和动力学描述简谐振动是物体在恢复力作用下沿着某个轴线上做往复振动的一种特殊运动形式。
它具有以下几个特点：1. 平衡位置稳定：简谐振动的平衡位置是物体的稳定位置，当物体偏离平衡位置时，会受到一个恢复力的作用，使得物体趋向于返回平衡位置。
2. 振幅固定：简谐振动的振幅是一个固定值，表示物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离。
3. 频率恒定：简谐振动的频率与振动系统本身的性质有关，而与振幅无关。
频率是指单位时间内振动的完整周期数，单位为赫兹（Hz）。
4. 正弦函数描述：简谐振动的运动可用正弦函数来描述。
物体在简谐振动过程中，其位置、速度和加速度随时间的变化都可以用正弦函数表示。
根据简谐振动的特点，在动力学上可以进行如下的描述：1. 动力学方程：对于简谐振动，其动力学方程可以由胡克定律得到。
胡克定律指出，弹性力与物体偏离平衡位置的距离成正比，即恢复力F 与位移x的关系为F = -kx，其中k为弹性系数。
2. 牛顿第二定律：根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
对于简谐振动，可以将牛顿第二定律应用于沿轴线的振动，并根据动力学方程得到加速度与位移之间的关系。
3. 振动的能量：在简谐振动中，物体的能量在势能和动能之间不断转换。
当物体通过平衡位置时，其动能最大，而势能最小；当物体运动到最大位移时，其势能最大，而动能最小。
总能量保持不变。
4. 平衡位置的稳定性：简谐振动的平衡位置是稳定的，当物体偏离平衡位置时，会受到恢复力使其回到平衡位置。
这种稳定性是由弹簧的弹性恢复力所决定的。
综上所述，简谐振动具有稳定平衡位置、固定振幅、恒定频率等特点，并可以通过动力学方程和能量转换进行描述和分析。
研究简谐振动有助于理解振动现象的基本规律，对于很多领域如机械、电子、光学等都有重要的应用价值。
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2x
0
数
注意：除弹簧振子外，单
摆、复摆做小角度（一般
<=5°）摆动等都可以视为
简谐振动
§简谐振动的速度、加速度
简谐振动的位x移：A cos(t )
简谐振动的速v度：dx A sin( t )
dt A cos(t )
2
简谐振动的加速a度：dv A2 cos(t )
dt A2 cos(t )
M
简谐振动除了用三 度对应圆频率ω。
角函数式及振动曲
t A
线描述外还可以用
一个旋转矢量来表
示简谐运动，直观 则：矢量在x轴的 地表明简谐运动的 投影对应位移x
ox P x
三个特征量的物理 意义。
x A cos(t )
为简谐振动。
利用旋转矢量法作 x-t 图:
x
x(cm)
t=0
tT A
12
O
tT 6
重力G与弹力N平衡；F回＝F 弹＝kx，可看出回复力方向
[例1] 由振动曲线决
定初相
cos
x 0
0
(1)
0A
v0 A sin0 0
x
A v0
x0
sin 0 0
0 t0
t
x arccos 0
0
A
为四象限角
(2) 与标准余弦函数比
较
0
t0 T
2
t0
§简谐振动的旋转矢量表示 y
矢量旋转的角速
A
在ox上的投影
端点速度在ox上的
A
投影
端点加速度在ox上
• 文字叙述说t时刻弹簧振子质点
在正的端点旋矢与轴夹角为零
t0 意 x A
味
A
x
oA
• 质点经二分之一振 幅处向负方向运动
t π 意
x A 2
3 味 <0
x
21
•质点过平衡位置向负方向运
动
t
π
x0
2 υ< 0
A
A
A
同
x
样
t π π 3
0
arctg(
v0 x0
)
A
x
2 0
v0
2
• 相位：相位 是描述振动 状态的物理 量
• 与状态参量
§描述简谐振动的物理量
§简谐振动的能量
我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。
设振动物体在任一时刻t 的位移为x ，速度为v ，于是它所具有
的动能EK 和势能EP 分别为
Ek
1 2
mv2
可见，有： a 2 x 加速度与位移成正比而反向
§简谐振动的 x-t,v-t,a-t曲线
x A cos(t )
v A cos(t / 2 )
x ,v,a
a A 2 cos(t )
2A
a
Ax
T
o t
A v
如何通过振动曲线判断v正负、 5 5
§描述简谐振动三个特征量
▪ 圆频率（角频率）：在 2π秒内物体所作的完全 振动的次数（rad·s-1）
简谐振动的描述
物联网工程1601 xxxxx
振 动 (vibration):
•振动是自然界中普遍存在的运动现象 。实际上，人类就生活在振动的世界 里
•地面上的车辆、空气中的飞行器、海 洋中的船舶等都在不断的振动着。房 屋建筑、桥梁水坝等在受到激励后 也 会发生振动。就连茫茫的宇宙中，也 到处存在着各种形式的振动，如风、 雨、雷、电等随时间不断变化。就人 类的身体来说，心脏的跳动、肺叶的 摆动、血液的循环、为长的蠕动、脑
xA < 2
A oA
0
t π xA
x
注意到：2 3 4
<
0
54 3
向负方向运动
2
1
向正方向运
动
t
ห้องสมุดไป่ตู้
π
π
3
或
2π 3
xA 2
> 0
x
o
t 3π
2
x0
>
A
A
A
或 π 0 2
6 78
x
t
3
x A
2 >
0
678 >0 向正向
运动
[例2]一质点沿x轴作简谐振动，振幅
A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平
衡位置的位移x0=0.06m，此时刻质点向x 轴正向运动。求（1）此简谐振动的表达
式解；取（平2衡）位从置初为始坐时标刻原开设始x第一A次cos通(过t 平)
衡：位点置2，的 时(r刻ad。/ s), A 0.12(m)
T
由旋转矢量法
可x得 0：.12cos(t
)(SI)
3
3
（2）由旋转矢量法可知，质点第一次
通过平衡位置时，振幅矢 量 转 过的5角度
为：t 0.83(s)
26
y
x
o A3
谢 谢！
§弹簧振子振动过程中各物理量大小、方向变
小结：弹簧振子的运动过程是完全 对称的。 B、O、A为三个特殊状态 • O为平衡位置，即速度具 有最大值vmax，而加速度a ＝0 • A为负的最大位移处，具 有加速度最大值amax，而速 度v＝0 其• B运为动正为的变最加大速位运移动处，具 与 过有 度变 程加 v＝减，速0速在度运此最动过大的程值交中ama替，x，而速 机械能守恒，动能和 弹性势能之间相互转 化 加速度a与速度v的 变化不一致
§简谐振动的描述
•• 以弹簧振子为例 将物体视为质点，建立坐标系，o
F弹 x
点选在弹簧平衡位置处。水平向右
为x轴正方向。
ox
F 物体受到的合外力： 弹
k x
kx 根据牛顿第二定律，有： m d 2x dt2
简谐振动方
x A程 解微分方程→ cos(t )
A, 为积分常
令 2 k
m
有：
d 2x dt 2
v0> 0
3
y
x0 x0 v0 v0
x0 x0 x
v0 v0
§旋转矢量与谐振动的对应关系
谐振动
旋转矢量A
A
振幅
半径
T
谐振动周 期
圆周运动周期
角频率
角速度
相位
x =Acos(t+ 0)
v =- Asain=(-t+ 0) 2Acos(t+ 0)
初相位 位移 速度
加速度
初始A角坐标
t时刻A ， 与ox夹角
Ep
1 2
kx2
考虑到 x Acos(t ) 及v Asin(t )与2 k / m
Ek
1 2
kA2
sin 2 (t
)
Ep
1 2
kA2
cos2
(t
)
因此，弹簧振子的总机械能为:
E
Ek
Ep
1 kA2 2
1 2
m
2A
2
结论（：1）作简谐运动的物体，其机械能守 （恒2。）简谐运动的总能量和振幅的平方成正 比。
tT O 2
t(s) T
旋转矢量法优 点：
由x、v 的符号A确定
直观地表达谐振动的 各便特于征解量题, 特别是确定 初相位 便于振动合 成
所在的象限：
利用旋转矢量法确定简谐振动 的(1初)由位x相的:值得两根矢量
(2)根据速度的正负取其 一
例：x0 A 2 ?
v0 0
v0< 0
x0
0 A/2 x 答：