第十四讲梁正应力

维伸长；
2）以中性层为基准，纤维的伸长或缩短与纤维所在的位置
至中性层的距离成正比关系。
y
4、应力分布规律（物理关系） ：
y M x
假设：
1）纵向纤维无挤压，因而各纤维只受正应力的作用各点， 处于单向应力状态。
Mechanic of Materials
§5.2 纯弯曲时的正应力
2）拉压的弹性模量一样
Iz
Mechanic of Materials
若直接以M的正负来判断应力的正负，则直接弯矩 M和有y代绝对值计算。
以中性层为界，变形后的凸边为拉应力，凹边为 压应力。。
§5.2 纯弯曲时的正应力
Mechanic of Materials
（2）横截面上正应力的画法：
M为正，上压下拉
(a)
M(+)
σ
M(-) (b)
0
M
A
y
E
y
dA
E y
E
A y dA 0 Sz 0
E
yzdA 0
A
I yz
0
E
A
y 2 dA
E
Iz
M
M y
Iz
z轴过形心
y轴是对称轴
1M
EIz
（E
I
是梁的抗弯刚度）
z
Mz
中性轴 y
z
σdA
中性轴
z y
§5.2 纯弯曲时的正应力
5、讨论
M y
（1）正应力符号规定：拉为正，压为负
一、弯曲时横截面上的应力
Mz Fs
★剪力Fs----切应力；弯矩M----正应力
dA σdA
★ 纯弯曲时，横截面上只有正应力
τdA
y
★ 一般情况下，影响弯曲程度的是正应力 ，而切应力
的影响较弱，大部分情况下可忽略，用纯弯曲时的正应
力近似横力弯曲情况。
二、纯弯曲时的正应力
分析思路：
静力关系
应力
内力分布
Mechanic of Materials
第十四讲的内容、要求、重难点 教学内容：
梁弯曲的概念、弯曲正应力
教学要求：
１、理解弯曲正应力的公式推导； ２、掌握正应力的计算。
重点：中性层、中性轴，正应力计算。 难点：对梁的正应力公式推导的理解。 学时安排：2学时
Mechanic of Materials
x
z
中性轴
y
My Iz
max
M Iz
ymax
Iz
M / ymax
M Wz
-----出现在截面的上下边缘！
1）抗弯截面模量
Wz
Iz ymax
Wz
Iz h/2
§5.2 纯弯曲时的正应力
2）常见截面的 IZ 和 WZ
Mechanic of Materials
圆截面 圆环截面 矩形截面 箱形截面
IZ
d 4
几何关系
实验观察
物理关系
变形几何规律
§5.2 纯弯曲时的正应力
★实验观察变形
Mechanic of Materials
§5.2 纯弯曲时的正应力
Mechanic of Materials
§5.2 纯弯曲时的正应力
1、实验观察
m
m
Mechanic of Materials
现象：
1） ac a'c'仍为直线
bd b'd'
a
bwk.baidu.com
c
d
2） ab a'b' 转为弧线 cd c'd'
a
b
3）a'c' 仍与 a'b' 垂直 m
c
d
m
§5.2 纯弯曲时的正应力
Mechanic of Materials
2、平面假设和几个重要概念：
1）平面假设成立： 变形前后横截面维 持为平面。
2）中性层： a.拉伸区、压缩区
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 （与外力所在平面相重合或平行）
§5.1 纯弯曲
引言3：回顾-----火车车轮轴弯曲
●如何简化出火车车轮轴的计算模型? ● 如何计算火车车轮轴内的应力? ●如何设计车轮轴的横截面?
§5.1 纯弯曲
二、平面弯曲( Plane Bending)的分类
64
WZ
d 3
32
IZ
D 4
64
横截面对称轴
b.拉压区交界面，与 截荷作用面垂直。其 上正应力为0。
中性轴
纵向对称面
压缩区
轴线
拉伸区
中性层
3）中性轴z： 中性层与横截面的交线。
中性轴在横截面内， z ⊥P，过形心。其上点正应力为0。
Mechanic of Materials
§5.2 纯弯曲时的正应力
3、变形几何关系：指用应变表达的几何关系
M y
Iz
M(+) M(-)
ym-ax y+
max
(c)
ym-ax
σ- max
σ+ max
σ+ max
M为负，上拉下压
y+ max
(c)
σm-ax
σ在横截面上的分布规律——线性分布，中性轴上点的正应力为
0，距中性轴越远的点正应力绝对值越大。
§5.2 纯弯曲时的正应力
（3）最大正应力
y
M
M
Mechanic of Materials
弧b1b2 dx
=
y d d
y
（2）物理关系
E E y
（3）静力学关系
Fx 0
M y 0
M z M
A dA 0
A
z
dA
0
ydA M
Mz
中性轴 y
dA
z
y
Mechanic of Materials
§5.2 纯弯曲时的正应力
A A
E y
zE
dA y
0 dA
在 p 时， E
E y
M
★应力分布规律：
1）应力随离中性层的距离
z
线性变化
2）正应力沿高度线性分布， 同一y值，y 相同；中性轴上正 应力等于0，离中性轴最远的上 下边缘，应力达到最大。
y M x
中性轴 M x
§5.2 纯弯曲时的正应力
Mechanic of Materials
4、正应力公式的推导 （1）变形几何关系
第十四讲目录
第五章 弯曲应力
§5.1 纯弯曲 §5.2 纯弯曲时的正应力 §5.3 横力弯曲时的正应力
目 目录
§5.1 纯弯曲
一、引言1：回顾与比较----应力公式 内力
应力
F
A
T
IP
M
?
?
FAy
Fs
目录
Mechanic of Materials
§5.1 纯弯曲
引言2：回顾-----平面弯曲：
1、纯弯曲( Pure Bending)
只有弯矩而无剪力的弯曲 （如图中AB 段 ） 。
2、横力弯曲(TransFserse Bending)—既有弯矩，又有剪力
Ｐa
aＰ
（如图中AC 段和BD 段 ）
CA
BD
Fs
P+ x
P
-
P M
x
-
Pa
Mechanic of Materials
§5.2 纯弯曲时的正应力
（1）推导 F
mn
F
o
mn
m
n
d
mn
m
n
dx
为推导几何规律取dx微体
考虑离中性轴y远的bb1，则
弧b1b2
dx
y d
d
y
y dx
b m
d
b2
b1 n
§5.2 纯弯曲时的正应力
Mechanic of Materials
（2）讨论：变形几何规律
1）以中性层为基准，凹的一侧，纤维变短，凸的一侧，纤