学习中学概率几点建议论文
浅谈初中数学中的概率教学方法
浅谈初中数学中的概率教学方法一、培养学生的概率意识学习概率首先要培养学生的概率意识，让他们意识到在日常生活中概率无处不在。
可以通过生活中的例子让学生感受到概率的存在，比如掷骰子、抽卡片、抽奖等活动，都可以引发学生对概率的思考。
老师应该引导学生思考，如何用概率的方式去描述这些活动的结果，如何计算这些活动发生的可能性。
通过这些实际例子的引导，可以激发学生的兴趣，培养学生对概率的敏感度和观察力。
二、引导学生探索概率规律在初中数学教学中，概率的基本概念是必须要讲解清楚的。
但是教师不宜仅仅停留在理论知识的传授上，更要引导学生去探索概率的规律。
在教学中，可以设计有趣的实验让学生进行探索，比如抛硬币的实验、掷骰子的实验等。
通过实验，让学生总结实验结果，引导他们探索实验结果的规律。
通过这种方式，可以激发学生的好奇心和求知欲，让他们在实践中感受到知识的乐趣。
三、注重概率计算方法的讲解概率的计算是概率学习中的难点之一，因此在教学中要注重概率计算方法的讲解。
在初中数学中，概率的计算主要包括古典概率和统计概率两种方法，教师要清晰地讲解这两种方法的计算步骤和原理。
要通过具体的例题讲解，让学生掌握概率计算的方法和技巧。
在讲解中，可以结合实际问题，让学生通过计算概率来解决实际问题，从而提高学生对概率计算方法的掌握和运用能力。
四、灵活运用多种教学方法在概率教学中，教师要根据学生的实际情况灵活运用多种教学方法，提高教学效果。
可以通过讲课、示范、练习、讨论等多种形式，让学生全方位地掌握概率的知识和技能。
在教学中，还可以使用多媒体教学、小组合作学习等方式，提高教学的趣味性和互动性，激发学生的学习兴趣。
五、注重实际应用与拓展概率的应用十分广泛，教师要注重将概率的知识与实际生活相结合，让学生明白概率知识是有实际用途的。
可以让学生通过调查、实验等方式，了解一些与概率有关的现实问题，如购彩中奖的概率、交通事故的概率等。
通过这种方式，可以增强学生学习概率的兴趣，同时也培养学生的实际运用能力。
浅谈初中数学中的概率教学方法
浅谈初中数学中的概率教学方法【摘要】概率教学在初中数学中扮演着重要角色，为学生提供了解决实际问题的方法。
本文从引入基本概念开始，讲解概率的定义和计算方法，结合实际问题引出学生的思考和解决方法，配以案例分析和练习加深理解。
课堂教学组织与引导也是关键，教师应根据学生的实际情况和水平有针对性地进行教学。
概率教学方法对学生的思维方式和能力有着积极的影响，有助于他们培养逻辑思维和解决问题的能力。
展望未来，概率教学将更加贴近学生生活，引入新的技术和方法，拓展学生的数学思维。
概率教学方法的重要性不言而喻，对学生的发展和学习都有着重要影响。
【关键词】概率教学、初中数学、方法、基本概念、实际问题、概率计算、案例分析、课堂教学、影响、发展、总结、重要性。
1. 引言1.1 概率教学在初中数学中的重要性概率教学在初中数学中扮演着极为重要的角色，它是数学教学中的一项重要内容，也是学生日常生活和学习中不可或缺的技能。
在学习概率的过程中，学生不仅可以掌握一种科学的分析和决策方法，还可以提高逻辑思维能力和数学实践能力，培养学生的抽象思维能力和判断能力。
概率教学可以帮助学生建立正确的数学思维方式和数学思维习惯，提高他们的数学素养和实际应用能力。
概率教学还可以培养学生的创新意识和实践能力，让学生在探索中学习，在实践中提高。
通过概率教学，学生能够从实际问题中感受到数学的魅力，激发他们学习数学的兴趣，并在解决问题的过程中不断提升自己的解决问题的能力。
概率教学在初中数学中的重要性不言而喻，它不仅是数学教学中的一项重要内容，更是培养学生综合素质和实际能力的重要途径。
通过深入学习概率，学生可以更好地适应未来社会发展的需求，拓宽自己的职业选择范围，为自己的未来发展打下坚实的数学基础。
1.2 概率教学的发展背景随着社会的发展和教育理念的更新，数学教育在初中阶段也在不断改革和完善。
概率作为数学的一个重要分支，在初中阶段的教学中也占据着重要的地位。
初中统计与概率教学现状分析和建议
偶数点，则一定可以一笔画出来，可以从任何一个点起笔，从另外的任何一个点止笔．2．费马点费马是法国数学家，1601年8月20日生于图卢斯附近的波蒙特，1665年1月12日卒于卡斯特尔．费马是解析几何的两个发明者之一．在笛卡儿的《几何学》发表之前，他在1629年就已经发现了解析几何的基本原理．费马被誉为近代数论之父，他提出了“费马大定理”，之后三百多年，最优秀的数学家都未能给出一般性的证明，直到1994年“费马大定理”才被英国数学家怀尔斯给出了严格证明．费马点已知△ABC ，找一点P 使得PA +PB +PC 的值最小（图3），这个点P 称为△ABC 的费马点．下面给出的一个简明的解法是巴克纳给出的，我们就锐角三角形的情况讨论．证明P 是锐角△ABC 内任意一点．把△ACP 绕A 点旋转60ʎ，得△AC'P'，使AC 在AC'和AB 之间．ʑ△APP'是等边三角形，ʑPP'=PA ，P'C'=PC．ʑPA +PB +PC =PB +PP'+P'C'．ȵAC'=AC ，∠C'AC =60ʎ，ʑC'是一定点．ʑ当P 点在BC'上时，才有BC'=PA +PB +PC 为最小．ȵ∠APC'=60ʎ，ʑ∠APB =120ʎ，同样可知，当∠APC =∠BPC =120ʎ时，PA +PB +PC 为最小．参考文献：［1］海因里希·德里．100个著名初等数学问题———历史和解［M ］．上海：上海科学技术出版社，1982：21－22．［2］失野健太郎．几何的有名定理［M ］．上海：上海科学技术出版社，1986：35－36．［3］高希尧．世界数学历史名题一百例［M ］．陕西：陕西青年杂志社，1980：101－102．［4］王宪生．巧用平面几何方法妙解解析几何问题［J ］．中学数学，1997（10）：24－26．［5］勒平．数学的100个基本问题［M ］．山西：山西科学技术出版社，2004：34－35．［责任编辑：李璟］初中统计与概率教学现状分析和建议李璟璜（福建省厦门市华中师范大学厦门海沧附属中学361000）摘要：概率教学是初中教学的薄弱之处，学生学习不够深入．原因是课时少，地位低，教师对概率知识的储备较少，导致了学生在初中的概率学习只针对考试，缺乏动手实践探究从而获得探究过程中的经验．因此本文通过案例给出统计与概率教学现状分析和教学建议．关键词：概率教学现状分析；频率估计概率；教学反思中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008－0333（2020）11－0025－02收稿日期：2020－01－15作者简介：李璟璜（1992．10－），男，福建省厦门人，本科，中学二级教师，从事中学数学教学研究．一、初中教学统计与概率的教学案例现状分析初中统计与概率分为三个部分，分别为七年级下册第十章数据的收集与整理，八年级下册第二十章数据的集中趋势，九年级上册第二十五章概率与统计．由于教材的编排位置都是在一本书最后一单元，加之我们前面所花费的课时，所以初中统计教学往往被压缩了极多的时间，教学参考安排的9课时往往让我们老师们用4到5课时就完成了整个单元的学习，造成了课时的缩短，把多出来的课时超前学习下一本书的学习内容，导致了我们对统计与概率部分，学生只会解题，没有让学生真正地去收集数据，整理数据，分析数据，缺少动手试验，从而未能从试验中得到活动经验．例题（2017－2018学年（上）厦门市九年级质量检测）某市一家园林公司培育出新品种树苗，为考察这种树苗的移植成活率，公司进行了统计，结果如下表所示．累计移植总数（棵）10050010002000500010000成活率0．9100．9680．9420．9560．9470．950现该市实施绿化工程，需移植一批这种树苗，若这批树苗移植后要有28．5万棵成活，则需一次性移植多少棵树苗较为合适？请说明理由．—52—试题分析问题的提出是以人教版九年级上册第二十五章第三节问题1进行改编，本题最终是为了考查学生的对于频率与概率关系的知识掌握情况．对某种现象进行反复多次试验，经过多次的实验结果表明，现象发生的频率总在某一常数附近上下浮动，体现出了该现象事件发生的稳定性，选取频率稳定值为概率近似值，然后用样本估计总体．本题的评分量表：测量目标会用频率估计概率（8分）．（数据分析观念）总体要求1．第一环节的重点在于首先观察表格，得到表层信息（即成活率随移植数量的增加而逐渐稳定），再根据对频率估计概率的理解，用稳定的频率估计移植树苗成活的概率．2．第一环节与第二环节可独立得分．各子目标及评分标准第一环节：在理解知识的基础上由表格获得信息（3分）1．本环节得分为3分，2分，1分，0分．2．得2分的要求：仅正确写出“随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定．”出现关键词“稳定”即可得2分．3．得1分的要求：仅正确对树苗移植成活率进行估计．出现关键词“成活率”以及“估计”（或“约为”）即可得分．第二环节：应用所获得的信息（5分）1．本环节得分为5分，3分，0分．未写结论不扣分．2．得3分的要求：仅列式正确．答题情况分析：本题的难度值并不会太大，加之背景材料为课后练习，学生的审题应该不存在太大的问题，但是实测出来结果出乎所有人的意料．满分8分，全市均分仅有1．957分，还达不到25%，我们学校均分仅有1．6分，和25题的第一问所得到的均分相同，这暴露出学生对本知识的不理解．错误的情况分析：1．学生对题意理解错误，用频率估计概率的理解有误．2．用平均数、中位数、众数作为成活率进行计算．3．选择表格中成活率最高的数作为成活率进行计算．4．概率统计的专业术语使用不到位，回答不到点上．5．只给个答案，没有任何过程．二、初中统计与概率的教学反思教学应用的案例题目主要是利用频率与概率之间的关联性进行设问，有效解决该类型的问题关键节点则是需要了解什么阶段的频率可对概率进行估计，了解到只有在实验次数不断背景的下，让实验时间发生频率逐步稳定于某一常数附近时，选取该频率稳定值作为概率的近似值．需要注意的是在教学中要注重对本节的教学，课本用了三个例子来描述该现象，我们教学时候不能因为课时安排的原因而忽略了本节课的内容，很多学校对于本节课处理是用一节课描述频率约等于概率没让学生动手实践，做几个例题就完成了对这部分的学习，这是远远不够的．本次课程教学的侧重点应在于需要对实验结果进行统计分析的基础上来研究概率问题．以抛硬币实验结果表明：抛硬币事件属于随机事件的一种，为此该事件不仅具备随机性，同时仍旧具备一定的统计规律．其统计规律性又体现于，抛硬币事件发生的次数与实验总次数的比值存在稳定性，即发生频率在某一常数附近摆动，这一频率稳定值也就被称为抛硬币事件的概率．其次，概率的题目较长，对学生的阅读能力要求很高，在教学中要重视引导学生的读题能力，审题能力，只有我们重视本部分内容，学生也才能更好地吸收知识．三、初中统计与概率的教学建议1．突出核心思想，把握重点和难点这一学段的概率内容还处在一个比较初级的水平，教学重点是概率意义的理解和随机观念的培养．而随机观念的培养以及概率意义的理解是一个长期的过程，需贯穿统计与该流程的教学始终．教师在教学中要注意把握重点，控制难度．2．充分了解学情，明确教学目标学生具备一定的概率知识基础，为此教师在进行教学期间，需要以学生的实际情况进行教学设计，并不能仅依靠自身的主观意见进行盲目教学．同时教学时不能够盲目地压缩统计与概率的教学课时，过于的只练题目，而忽略了知识所存在的思想方法．尤其在进行新增的教学内容教学时，教师需要对学生进行全面调查，提升教学方式的针对性．3．鼓励学生动手实验，注意现代信息技术的使用统计规律性是需要通过不断进行发现的，采取以样本推断总体的形式来找出其中的概率，因此是实验科学．教师需要设计合理恰当的实验，直观认识其中的规律思想，在某些具体问题中，也可采取实验科学的方法来纠正发生错误判断的概率问题．4．立足生活，凸显决策统计概率案例大多是以生活实例为主题，展现其与学生生活息息相关的特征．基于此，需要适当选择学生生活周边较为典型的案例，让学生主动地寻求知识的实际背景，探索其应用价值．参考文献：［1］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011版）［M］．北京：高等教育出版社，2012．［2］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017版）［M］．北京：高等教育出版社，2018．［责任编辑：李璟］—62—。
关于学习中学概率的几点建议
关于学习中学概率的几点建议一、学习概率要先学习计数原理学习概率知识之前要认真学习计数原理和排列组合，熟悉分步计数原理和分类计数原理，深刻理解其异同点。
我们接触的很多问题都可能是离散型的随机变量，而离散型随机变量的概率分布则往往要借助计数原理来统计、求解。
所以这些知识是进一步学习概率的基础，这些基础知识包括：分步计数原理及分类计数原理，排列组合及应用题的基本处理方法，如相邻问题插空法、不相邻问题捆绑法、定序相除法等，这些方法的使用，可以使复杂的问题明朗化、程序化，有助于降低问题的难度。
二、学习概率要有统计知识和意识概率论的研究对象主要是随机现象的发生发展规律，但这些规律却往往是错综复杂的、不明确的，表现形式也是分散的、不确定的。
概率却是确定的。
因此，对于随机现象，尤其是比较复杂的随机现象，我们一般要经历以下流程：考察对象，分析对象，搜集数据，整理数据，统计数据，建立模型，得出结论。
这中间最关键的一步就是数据的搜集、统计、分析。
因此，单纯的学习概率知识是一种误区，我们必须明确：概率的应用是非常广阔的，它的应用是和统计学分不开的。
例1：为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素某，y的含量（单位：毫克）。
下表是乙厂的5件产品的测量数据：■（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素某，y满足某≥175，且y≥75时，该产品为优等品。
用上述样品数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。
点评：本题在考察传统概率的同时，考查学生分析、筛选、统计数字信息的能力，虽然数据不是很多、很繁杂，但是其中渗透的数学值得我们关注。
三、学习概率要与函数、不等式等知识相结合概率是研究随机现象的科学，但是对于复杂的随机现象要进行定量的研究，往往要借助函数或函数模型来模拟、近似、逼近。
凉山州中考概率统计题对今后的建议(一)
凉山州中考概率统计题对今后的建议(一)凉山州中考概率统计题对今后的建议背景介绍作为一名资深的创作者，我深知数学在学生的学习中起着重要的作用。
凉山州中考中的概率统计题目一直颇具难度，给学生带来了不小的挑战。
在这篇文章中，我将给出一些建议，以帮助学生更好地应对凉山州中考中的概率统计题。
建议一：掌握基本概念•理解概率的基本概念，如样本空间、事件、概率等。
•掌握常见的概率分布，如均匀分布、二项分布、正态分布等。
建议二：熟悉解题思路•针对不同类型的概率统计题，学会灵活应对。
•示例分析：例如对于条件概率题，可以通过列举样本空间、计算事件的概率等方式来解题。
建议三：多做练习题•合理安排时间，多做概率统计题的练习。
•分类整理：将练习题按照题型进行分类整理，便于巩固知识点，强化解题能力。
建议四：寻求帮助和交流•遇到难题时，积极向老师或同学寻求帮助。
•参与讨论：加入数学学习群或论坛，与其他同学共同探讨概率统计题，相互学习与进步。
建议五：培养数学思维•注重培养数学思维能力，对于概率统计题要善于分析、推理和归纳。
•综合应用：将概率统计与实际生活问题相结合，练习综合应用能力。
结语通过掌握基本概念，熟悉解题思路，多做练习题，寻求帮助和交流，以及培养数学思维能力，学生们将能够更好地应对凉山州中考中的概率统计题。
希望上述建议能为广大考生提供一些帮助，取得好成绩。
同时，也提醒学生们不要只是追求结果，更要注重数学思维的培养和运用，以提升综合能力。
凉山州中考概率统计题对今后的建议（续）建议六：注意问题的细节•仔细阅读题目，理解问题所要求的内容。
•注意关键词：在解题过程中要注意抓住题目中的关键词，以确定解题方法。
建议七：善于分析图表数据•对于涉及到图表数据的概率统计题，要善于分析图表中的信息。
•注意单位换算：在处理数据时，要注意进行必要的单位换算，避免计算错误。
建议八：掌握计算方法和工具•掌握计算概率的方法，如排列组合、互斥事件等。
•运用计算工具：在解答复杂题目时，可以借助计算工具如计算器、电脑软件等提高计算的准确性。
初中阶段“统计与概率”课程内容的几点建议与调查
爱情坚定不渝的追求，也有对当时社会⽣活和时代背景的描述，如果仅通过课堂上刻板的形式讲授，很难将⽂学作品⽣动形象展现给学⽣。
设⽴影视作品欣赏群，通过观看影视作品，能提⾼学⽣的英语听说能⼒，让学⽣感受到真善美，提⾼⾃⾝的⼈⽂素养，激起学⽣学习英美⽂学的热情，⽽在群⾥交流对作品的看法，则有助于学⽣培养的思辨能⼒。
评价指标：将随访3个⽉失败率、1年失败率以及5年失败率加以计算，并将其实时进⾏记录，将其进⾏对⽐分析，失败率越低说明种植体⾻结合的效果越明显，反之，越不明显。
因此，建议课程标准中明确要求：通过案例，让学⽣感受不同类型的数据．具体教学中，可以提供某个班级学⽣的信息表（包括性别、年龄、⾝⾼、体重、体育测试以及有关⽂化测试成绩等），其中既有男、⼥这样表⽰类别的定性数据，也有优、良这样表⽰等级的定序数据，更有⾝⾼、体重等数值型的定量数据，要求学⽣阅读学⽣信息表，引导学⽣思考：表格中有哪些数据，这些数据可以分为哪些不同的类型，各类数据各有什么特点，实际⽣活中是否可以进⾏不同类型数据的转化，结合这个例⼦给出具体转化的办法．1.2 关于数据收集的⽅法关于数据收集，《课程标准（2011版）》明确要求学⽣“经历数据收集的过程”“体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样”[2]．《普通⾼中数学课程标准（实验）》则要求：“在参与解决统计问题的过程中，学会⽤简单随机抽样⽅法从总体中抽取样本，通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样．”[3]这样的定位，默认了简单随机抽样相对简单，⽽分层抽样和系统抽样更为复杂．当然，从逻辑上⽽⾔，似乎有些道理，系统抽样需要对总体中各个个体进⾏编号，分层抽样需要进⾏样本的分层．但从操作层⾯看，未必如此．当总体中个体不定或者个体数量⽆限时，⽆法采⽤简单随机抽样，个体数量有限但数量较⼤时，也很难进⾏简单随机抽样．⽽实际⽣活中，有时分层抽样、系统抽样倒⼗分⽅便，如从全校10个班级中抽取50名学⽣开展某项调查，班级、年级就是⾃然的分层，可以采⽤分层抽样，具体到某个班级从50名学⽣中抽取5名学⽣，采⽤系统抽样⼗分⽅便，可以从0~9⼗个数字中随机抽取⼀个数字（如3），则学号尾数是这个数字的学⽣即被抽中．因此，《课程标准（2011版）》中仅让学⽣通过实例感受简单随机抽样，反⽽束缚了学⽣的⼿脚，使得很多调查活动⽆法展开，经历数据收集的过程，流于形式，成为⼀句空话．建议课程标准中能增加“通过案例，感受简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等抽样⽅法”，从⽽，确保实际调查研究活动中，学⽣能根据情况选择适合的抽样⽅法，开展调查活动，切实形成数据收集的能⼒．具体教学中，可以呈现⼀个具体的情境，如，为了解全校学⽣对学校某项管理规定的认可程度，设计了调查问卷，要求学⽣给出具体的调查⽅式，并说明各⾃调查⽅式的特点，在学⽣交流的基础上，点出普查、简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．教学过程中，学⽣并不⼀定都能⾃主提出这么多种类的⽅案，可以引导学⽣思考已有⽅案的优点与不⾜，进⽽引出新的⽅式．如已经出现了简单随机抽样的情况下，引导学⽣思考，这样的抽样是将全校学⽣作为⼀个整体，但学校有7、8、9三个年级⼏⼗个班级，抽样时最好能兼顾到年级、班级，能否将名额分解到班级呢？这就引出了分层抽样；继续引导学⽣思考，如果每个班级恰抽取5个学⽣，对这些含有50名学⽣的班级都要分别随机产⽣5个学号吗？能否更加快速地得到5个学号？从⽽引出系统抽样．1.3 关于图表《课程标准（2011版）》中对统计图表的要求是“会制作扇形统计图，能⽤统计图直观、有效地描述数据”“能画频数直⽅图，能利⽤频数直⽅图解释数据中的信息”[2]兼之⼩学阶段的“认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图，能⽤条形统计图、折线统计图直观⽽有效地表⽰数据”[2]，义务教育阶段对统计图的总体要求是“能读懂、会制作”，统计图包括条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数直⽅图等．但，现实⽣活中的统计图表，往往更为灵活多样，常常会基于这些统计图表做出⼀些变化，如两组数据直接对⽐的“复式”的条形统计图、扇形统计图的变异形式——“环形”的统计图，还有根据实际背景问题设计的、更加直观形象的、甚⾄“变异”了的统计图，如图2．现有教科书，基本上严格按照课程标准的要求，仅仅介绍了相对规范的条形图、扇形图、折线图、直⽅图等，⽽很少介绍更为形式多样的统计图，这⽆疑与现实需要有所脱节．从开始侍酒师考试，到摘取侍酒师⼤师桂冠，这⼀路，他⾛了⼗年，谈起当初⽗母并不同意他转换专业去学葡萄酒，他觉得⽗母除了不了解这个⾏业以外，更多是不希望他轻易放弃，但他却轻描淡写地感慨了⼀句：“我做的最正确的⼀个决定，就是去学葡萄酒。
关于高中概率问题的几点教学建议
关于高中概率问题的几点教学建议概率问题是高中数学的一个重要组成部分，也是高中数学教学中的一个重点和难点。
就概率问题而言，教师在引导学生进行分析和解决问题的过程中，往往需要从确定性问题转到不确定性问题，这与学生以前所接受到的数学思想和数学方法有较大的冲突，容易在学生学习过程中造成高中概率知识抽象难懂的印象，导致学生学习积极性受挫，最终形成数学学习的“盲点”，影响学习成绩。
一、提高学生学习知识的积极性1.在课堂教学中融入概率发展历史。
教师在概率知识教学过程中可以适当地引入概率发展历史来提高学生学习概率知识的积极性。
就当今数学的发展历程而言，大概可以分为三个阶段：第一个阶段是从算数数学发展到代数数学；第二个阶段是从常量数学发展到变量数学；第三个阶段是从确定数学发展到随机数学。
也正是在第三个阶段，统计与概率作为一门独立的科学真正从数学当中分离出来，并随着后续的社会实践得到了较大的发展。
概率知识最早的应该可以追溯到18 世纪，天文学成为引导当时社会发展的主要潮流，但人们在天文观测时由于受技术条件的干扰很难对天文数学做出精确计量，每次的数学测量都存在数学误差，影响后续研究。
在这种情况下，德国著名数学家高斯率先将概率学当中的正态分布引入到天文学的研究当中，通过正态分布很好地“拟合”了误差分布，精确了天文学观测数据，对当时社会科学的发展起到了重大的推动作用。
通过这样一些话题的引入，一改单调枯燥的数学上课模式，以故事叙述的形式将概率发展历史引入到课堂教学中来，增加课堂趣味性，提高学生对于概率知识学习的积极性。
2.在课堂教学中强调概率学习的重要性。
从大的方面来讲，数学教学应该从掌握数学知识，具备数学能力，体会数学思想，应用数学方法四个方面进行着手，概率知识作为高中数学的一个模块，自然也要遵守教学要求。
作为一门不确定性科学，概率问题的研究就是要从不确定内容中找出确定规律，通过科学、有效的数学方法对整体情况进行较为准确的分析估计，最终得出与实际情况相符的结论。
浅谈初中数学中的概率教学方法
浅谈初中数学中的概率教学方法概率是数学中一个非常重要的概念，它不仅仅是数学领域的概念，也渗透到了我们生活的方方面面。
在数学教学中，概率教学是十分重要的一环，如何科学有效地教授概率知识，激发学生的学习兴趣，成为了每个数学教师都需要思考的问题。
本文将从初中数学中的概率教学的重要性、教学方法和教学策略三个方面进行浅谈。
一、概率教学的重要性在初中数学中，概率教学是数学教学中的一大重要内容。
概率教学的重要性主要表现在以下几个方面：概率教学有助于培养学生的逻辑思维能力。
学习概率，不仅仅是简单的计算，更重要的是培养学生对事件发生可能性的思考方式，培养学生的逻辑思维能力。
概率教学有助于提高学生的数学建模能力。
现实生活中有很多事件是具有不确定性的，概率教学的内容可以帮助学生理解并应用数学模型来描述和分析这些不确定性事件。
概率教学有助于培养学生的应用能力。
概率概念是一个抽象的数学概念，但是它在生活中的应用却是非常广泛的，例如游戏、赌博、保险等都与概率有关，通过概率教学，可以让学生了解到概率在实际生活中的应用，并提高学生的应用能力。
概率教学有助于培养学生的合作学习精神。
概率教学中有很多问题是需要通过合作解决的，学生需要彼此交流讨论，培养学生的合作学习精神。
以上几点表明了概率教学对学生的数学能力、逻辑思维、数学建模能力、应用能力以及合作学习精神都有重要的意义。
概率教学的方法主要包括以下几点：培养学生的实践能力。
概率教学是一个需要学生动手实践的过程，学生需要通过实际的事件来感受概率的概念，这样有助于加深学生对概率的理解。
激发学生的学习兴趣。
概率教学需要通过一些生动有趣的例子和情景来引发学生的兴趣，激发学生对概率的学习热情。
注重启发式教学。
概率教学强调的是培养学生的逻辑思维和创造力，因此在概率教学中需要注重启发式教学，引导学生通过问题解决的方式来学习概率。
注重综合能力的培养。
概率教学是一个复杂的过程，它需要学生具备一定的数学基础和综合能力，因此在概率教学中需要注重培养学生的综合能力，让学生在解决概率问题时能够综合运用各种数学知识。
《概率》教学的几点建议
《概率》教学的几点建议作者：梁木来源：《新教育时代·学生版》2016年第09期概率与统计是高中数学教学中学生难于理解的内容之一。
笔者结合多年的教学实践总结了以下教学经验，在教学中这些都是学生容易发生的错误，仅供参考。
一、等可能事件的判断例1：掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率。
错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，有利于事件A的结果只有3，故 P（A）=。
分析：公式仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况（1，1）才出，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推。
正确答案掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为6×6=36。
在这些结果中，事件A的含有两种结果（1，2），（2，1）。
二、等可能事件中事件总数与事件A包含事件数计算方法不一致的问题例2：从含3件次品的10件产品中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。
错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7个可能的结果。
设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），分析：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。
正解：（1）都用排列方法所有可能的结果共有个，事件A包含个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有种取法）（2）都用组合方法一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有个可能的结果，事件A含有种结果。
浅谈初中数学中的概率教学方法
浅谈初中数学中的概率教学方法1. 引言1.1 概率在初中数学教学中的重要性概率在初中数学教学中的重要性体现在多个方面。
概率是对事件发生可能性的量化表示，有助于学生对事件发生的概率有一个清晰的认识，提高学生的数学思维和逻辑推理能力。
概率教学可以帮助学生建立正确的数学观念，培养学生解决实际问题的能力。
通过概率教学，学生可以在实践中感受到数学知识的魅力，激发学生学习数学的兴趣，提高学习效果。
概率在初中数学教学中的重要性不言而喻，只有通过深入的概率教学，才能够使学生在数学学习中打下坚实的基础，为将来进一步学习和工作奠定良好的基础。
1.2 目前初中数学概率教学存在的问题一是教学内容单一，缺乏生动性与趣味性。
传统的教学方法往往以公式和理论为主，缺乏现实生活中的应用场景，导致学生对概率教学产生抵触情绪，认为概率是枯燥乏味的知识。
二是教学方式呆板，缺乏灵活性和互动性。
教师往往以讲授为主，学生被passively 接受知识，缺乏实际操作和动手能力的培养，导致学生对概率理论的理解程度不够深入。
三是教学资源匮乏，无法满足多样化的学习需求。
传统教学模式下，教师普遍缺乏多媒体技术的支持，难以引入实际概率游戏和概率实验，导致学生在学习过程中缺乏足够的参与度和实践机会。
当前初中数学概率教学存在诸多问题, 亟需通过教学方法的改革与创新，来提升学生的学习兴趣和掌握概率知识的能力。
2. 正文2.1 引入生活实例，增加学生兴趣引入生活实例是概率教学中非常重要的一环，通过与学生生活相关的例子，可以增加学生对概率概念的理解和兴趣。
在介绍概率的基本概念时，可以以抽彩票、投掷骰子等日常生活中常见的事件为例，让学生通过这些实际情境来感受和理解概率事件发生的可能性。
这样一来，学生不仅能够更容易地掌握概率相关知识，同时也能够将学到的知识运用到实际生活中，增强他们对数学的兴趣和学习动力。
通过引入生活实例，可以让概率教学更加具有趣味性和实用性，让学生在学习过程中感受到数学知识的实际价值，从而激发他们对数学学习的热情。
关于高中生概率学习的问题分析及教学建议
三、 淡化复杂计算 ， 领悟 古典概型和几何概型的实质 古典概 型和几何概 型都是概率模型 ， 教学 中最为关键 的是讲 清模型 ， 使 学生 知道该如何选择模型 ， 然后 运算 求解 。即知道该 如
何确定基本事件 空间和事件 Ａ所包 含的基本事件 。不同 的是 ， 古 典概型 的基本事 件空间和事件 Ａ包 含的基本事件 是有限 的 ， 而 几 何概型是无 限的。 。
的几种类型来归纳 。 随着事件 条件 的变化 ， 就会产生截然不同的结 果。 教学实践证明 ， 选择恰 当例题 ， 引导学生从不 同角度考 虑 ， 用多
５ ． 对立事件 与互斥事件 概念不 清也是学生 常犯 的错误 ， 搞不
清互斥 与对立 的联系与 区别 。
６ ． 对“ 不 可能事件概率 为 ０ ， 但 概率为 ０的事 件不一定是 不可 种方法求解 概率 问题是能够启发学生思维的 。对概率理解 陷入误 通过多种解答方法分析 比较 ， 从而使学生得 到对 问题 的 能事件 ；必然事件概率为 １ ，但概率为 １ 的事件不一定 是必然事 区的学 生 ，
几点 ：
生新 的错误观念 ， 而在学习结束后仍会存在某些错误认识 。 虽然教 学可以帮助学 生获取概率值 ，也就是说学生通过教科 书学习会做
一
ｌ 对 随机事 件这一概念的错误理解 。在高 中阶段 开始学 习概
率时 ， 学生对许多问题还无法进行理性判断 ， 往往只能借助于 自身 已有 的经验来 进行判断 ， 很难正确地 理解随机事件发 生的不确定 性及频率 的相 对稳定性 ， 对 日常生 活中所发生 的一些 问题存在错
件” 这个问题 ， 学生理解不透 。
正确认识 。 一题多讲模式可 以拓展学生思维 ， 使学生脱离死记硬背
对文科生复习概率的几点建议
对文科生复习概率的几点建议湖北省荆州中学（434020） 鄢先进新课程要求通过具体的实例理解古典概型、几何概型的特征，淡化了“计数”等繁难的计算问题，那么，文科学生怎样复习好概率这一章呢？笔者通过教学实践认为一定要做好以下几点。
一、深研教材，充分理解“等可能性”这一本质特征无论是古典概型，还是几何概型，都要求基本事件发生的可能性相同（等可能性）。
怎样才能确保事件的发生是等可能的呢？下面通过几个常见的实例来理解事件发生的等可能性。
（1）人教A 版必修3第128页中的思考：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？课本给出的第二种解法不标上记号可能的结果是21，和为5的结果有2个，它们是（1，4）和（2，3），则概率212=p ，这种解法中21个基本事件不是等可能发生的。
例如：出现1和3，在不标记号的解法中只算作一个基本事件，实际上出现1和3的可能结果有两个，先出现1再出现3，或者先出现3再出现1，而对于出现1和1的结果只包含一种情况，所以这种解法中的（1，3）与（1，1）就不是等可能的了，因此求出的概率是错误的。
（2）在Rt ABC ∆中，0090,30,1C A BC ∠=∠==，求①在线段AB 上取点M ，满足MA AC >的概率P 为多少？②若在ACB ∠内作射线CM 与边AB 相交于点M ，满足MA AC >的概率P 为多少？很多学生认为①②两个小题是一样的，概率P 均为23-，理由是射线的顶点只固定点C ，随机在三角形内所作射线与AB 上的点是一一对应的，因此，第②问与第①问结果是一样的。
两问结果真的一样吗？事实上，我们可以设计这样一个动画，以C 为顶点，以CA 为半径作出过AB 的弧，可以发现射线CM 在ACB ∠内作匀速运动，而在线段AB 上是作变速运动，中间快，两头稍慢，所以射线CM 在ACB ∠内部是等可能分布的，相应的点并不是等可能地分布在线段上。
概率在中学教育中的应用 学位论文
课题：概率在中学教育中的应用数学石烁华摘要：概率的应用范围很广泛，它也是数学最实用的学术方向之一. 因此，概率论也引入到了中学的教学内容之中，这将提高学生分析和解决实际问题的能力. 本文给出了概率在实际中的八个有趣应用. 前四偏向于趣味性，后四个偏向于应用性. 包括下赌注问题、决策问题、生日问题、小概率事件应用、等车问题、平安保险问题、责任追究问题，以及不需要码头空出的概率问题；这些都极具代表性，都代表一类问题的解决方法.关键词：趣味性，下赌注问题，小概率事件，平安保险，责任追究Abstract：The application of probability is very broad，and it is also one of the most practical mathematics academic directions. Therefore, the probability of introducing science content to the secondary school, and that this will enhance the student’s ability for analyze and solve practical problems. In this article the author cites eight interesting applications in the actual probability. The first four bias in favor of interest, and others bias in favor of the application. Consist of the bet issue, the decision making problem, the probability problem involved birthday of someone, the application of small probability events, the probability problem involved in waiting for the terminal (or bus), the probability of candidate taking, life insurance, as well as the problem of determining responsibilities. These are highly representative, on behalf of a class of the solution to the problem.Keyword：Interesting probability, bet issue, small probability events, life insurance, determining responsibility.0 引言概率理论在现实生活中得到广泛的应用，这是因为生活实际问题中都普遍存在着随机现象. 例如，我们在汽车站等候汽车大概要花费的时间，检查流水生产线上的一件产品是合格还是不合格；而且有些有趣的问题可能会与我们意识上认知不同，例如，同班同学至少有两个学生是同一天生日的可能性有多大；还有一些极小概率事件发生的可能性到底该引起我们什么样的认识；甚至包括一些疾病的确诊率的预测和决策问题等等. 所以本课题的研究内容就是通过概率知识去解决贴近生活的实际问题，意识得到概率在中学教育的中的地位是不可取代的. 1概率的趣味性应用随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。
初中数学阶段的概率教学方法优化
初中数学阶段的概率教学方法优化在初中数学阶段的概率教学中，为了提高学生的学习兴趣和效果，优化教学方法是至关重要的。
本文将探讨如何优化初中数学阶段的概率教学方法，以帮助学生更好地理解和应用概率知识。
一、引言概率是数学中一个重要的概念，它在现实生活和其他学科中都有广泛的应用。
因此，初中数学阶段的概率教学对学生的综合能力培养具有重要意义。
然而，传统的教学方法可能存在诸多问题，导致学生难以理解和应用概率知识。
因此，我们需要寻找一种有效的教学方法来优化初中数学阶段的概率教学。
二、培养学生的概率思维概率思维是指学生具备在不确定情况下进行分析和决策的能力。
在教学中，我们应该积极培养学生的概率思维能力。
一种方法是通过引入实际问题和案例，让学生运用概率思维解决问题。
例如，通过模拟赌博游戏，让学生计算胜率和预测结果，从而理解概率的基本概念和运算规则。
此外，教师还可以设计一些小组活动，让学生在团队合作中共同探讨和解决概率问题，培养学生的合作与交流能力。
三、引入多媒体教学手段传统的教学方法主要依靠教师的口头讲解和黑板书写，难以激发学生的学习兴趣。
然而，通过引入多媒体教学手段，如幻灯片、视频和互动教具等，可以更加形象生动地展示概率的概念和应用。
例如，教师可以使用幻灯片演示掷硬币的概率问题，通过动画和图表的形式帮助学生直观地理解概率的计算过程。
此外，通过让学生使用概率模拟软件进行实验和观察，可以帮助他们更好地理解概率的变化规律。
四、提供个性化学习资源不同学生的学习能力和风格存在差异，因此，为了优化概率教学方法，我们还应该提供个性化的学习资源。
一方面，教师可以为学生提供书面材料、练习册和参考书等，以便他们在课堂外进行自主学习和巩固。
另一方面，教师还可以利用互联网资源，如在线学习平台和应用程序，为学生提供个性化的学习内容和练习，以满足不同学生的学习需求。
五、启发式教学法的应用在初中数学阶段的概率教学中，启发式教学法是一种有效的教学方法。
浅谈初中数学中的概率教学方法
浅谈初中数学中的概率教学方法概率是初中数学中的一个重要内容，它是研究随机事件发生的可能性的一门数学学科。
初中学生在学习概率时，需要掌握基本概念、计算方法和应用技巧。
因此，在教学中，要结合教材内容和学生实际情况，采用多种教学方法，帮助学生掌握概率知识和解决实际问题。
一、提高学生的兴趣首先，教师应该注重概率教学中的实践性和趣味性，提高学生的学习兴趣。
可以通过案例和实际问题引入概率概念，让学生了解概率的应用，激发学生对数学的兴趣。
例如，在讲解掷骰子的概率时，可以通过实际掷骰子的方式，让学生亲身体验，感受掷骰子的随机性和可能性，从而深入理解概率的含义。
二、注重启发式教学其次，教师应该注重启发式教学，引导学生通过问题解决方法来理解概率概念和计算方法。
这样能够有助于学生自主探究和思考，增强学生解决问题的能力和自信心。
在教学中，可以设计一些具有启发性和创新性的问题，让学生自己探究解决方法。
例如，在讲解事件相互独立的概念时，可以给学生一个实际问题，让学生自己思考，如：小王每天去上学，他有两条路可以选择，分别经过一家咖啡馆和一家超市，小王去咖啡馆的概率为0.4，去超市的概率为0.3，不去任何地方的概率为0.3，那么小王连续三天都去咖啡馆的概率是多少？三、采用多媒体教学再次，教师应该采用多媒体教学的方式，利用多媒体资源来提高教学效果。
多媒体教学不仅可以使学生在视觉上得到刺激，还可以帮助学生更好地理解概念和计算方法。
例如，在讲解概率分布时，可以通过幻灯片演示，让学生看到概率分布图表和计算步骤，从而更加直观地理解概率分布的应用。
四、强化应用教学最后，教师应该强化应用教学，让学生了解概率在实际生活中的应用。
概率在各个领域都有广泛的应用，在教学中要结合实际问题，帮助学生掌握解决问题的方法和技能。
例如，在讲解概率的排列组合时，可以通过举例来演示实际应用，如计算选举中不同候选人得票率的组合情况等。
综上所述，初中数学中的概率教学方法应该注重实践性和趣味性，启发性和创新性，多媒体教学和应用教学。
怎样促进学生学习概率主动性论文
如何促进学生学习概率论的主动性摘要：在多年的概率论教学中,发现学生对这门课的学习缺乏主动性,究其原因,由于概率论这门课程的学习需要以微积分和线性代数等知识为基础,有的学生没有学好微积分和线性代数这部分内容,因此他们学习概率论这门课程就感到比较吃力,感觉到概率论这门课难学,概率知识的运用更是困难。
本文意在通过介绍概率知识在现实生活、经济管理、工程技术、气象等领域等的广泛应用和展望概率知识的广泛应用前景,让学生深刻感受到学好概率论这门课是非常必要的：因为学好概率论这门课不仅能够帮助自己更好地把握自己的行为,而且运用概率知识能对自己遇到的一些问题做出更好的解决,从而促进学生主动地学习概率论。
关键词：概率论；促进；主动性中图分类号：g642文献标识码：a文章编号：1009-0118（2012）05-0036-03一、引言如何促进学生主动地学习概率论,一直是教授这门课的老师们研究和探讨的主要问题,针对学生经常提问“学这门课有什么用?”这个问题,反映出学生对所学知识的应用问题是相当重视的,也就是说,某一门课应用广泛,那么学生就会主动地去学这门课,反之,学生学这门课就缺乏主动。
因此,在文中力求通过介绍概率论的广泛应用及其广泛的应用前景,来促进学生学习概率论的主动性。
二、概率知识的广泛应用（一）在现实生活的应用1、奖金如何分配才算公平在一次乒乓球比赛中设立奖金1000元。
比赛规定：谁先胜3盘,准获得全部奖金。
设甲、乙二人的球技相当,现已打了3盘,甲2胜1负,由于某特殊原因必须中止比赛。
问这1000元应如何分配才算公平?分析方案一：平均分,这对甲欠公平。
方案二：全部归甲,这对乙不公平。
方案三：按已胜盘数的比例对甲、乙进行分配。
方案三看似合理,双方可以接受的方法,即甲拿2/3,乙拿1/3。
仔细分析,发现这也并不合理。
理由如下：设想继续比赛,要使甲、乙有一个胜3盘,只要再比2盘即可,结果无非是以下四种情况之一：甲甲,甲乙,乙甲,乙乙,其中“甲乙”表示第4盘甲胜、第5盘乙胜,其余类推。
中学概率的学与教
中学概率的学与教摘要：概率是研究数据和机会的科学，在自然科学和社会科学以及当前的市场经济中，均有着广泛的应用。
在中学新课程标准中把统计与概率思想作为现代合格公民的基本素养纳入数学课程中，无论是在课程设置、课时安排上，还是在考试要求上都给予了高度的重视。
本文就学生在概率学习中的难点，重点进行剖析解读，并对此探讨了概率的有效教学方法，旨在为教师教学工作提供理论参考。
关键词：概率；学习；有效教学一、概率的学科特点概率与其他数学内容有明显的不同，正是这种不同，才一些概念。
因此，在教学中，有必要分析该学科本身。
概率有三个显著的特点：直观性、实践性和实用性。
1.直观性由于概率和现实的联系十分密切，其概念与方法有很深的直观背景。
因此,加强直观教学对学习概率就显得十分重要。
第一，直观性可以促使学生更好地理解概率的概念和理论。
第二，直观性有助于学生发现解决问题的途径和方法。
对于一些重要公式，若能着重理解它们的意义，根据所学的知识可以自行推出来或没法用图形表示出来，就不必死记硬背公式了。
第三，直观性有助于学生检验结论的正确性。
2.实践性概率是一门实践性很强的学科。
在教学过程中，教师可以引导学生通过抛掷硬币，大头针和骰子等大量重复试验来帮助学生形成随机意识。
当然教师不宜以完成教学进度为由，把做实验变成讲实验。
事实上，通过做实验不仅可以丰富学生对随机事件的体验，增加对概率背景的认识，而且可以积累大量的活动经验，更深刻地领会概率的思想方法。
3. 应用性概率来自于实践，又服务于实践。
现在，概率已广泛地运用于生产、生活和社会等各个领域。
因此，在课程实施过程中，不仅要让学生掌握概念的理论和知识，更重要的是培养学生的应用能力。
不论是讲授新概念还是新方法，我们都要从现实背景讲清它们在解决实际问题时的应用。
二、概率教学中几类易混淆概念的认识1.必然、可能、不可能的区别中学生对概率概念的理解有许多错误认识。
虽然绝大部分中学生都能区分必然事件,可能事件和不可能事件,但以为不太可能就是不可能，很有可能就是必然以及有可能发生与必然发生之间的混淆是两种普遍存在的错误。
中学数学部分概率内容的问题与建议
中学数学部分概率内容的问题与建议罗荔龄;曹广福【摘要】针对中学概率论中部分重要概念以及教学中常见的问题展开讨论,从历史发展的角度出发指出,教材最好先系统介绍概率论,在此基础上再介绍统计.应该明确基本事件与随机事件之间的关系,随机变量概念的定义适宜严格化,特别是不适合将随机变量与函数做类比,前者是随机现象的量化表示,是一个数学化过程,后者是不同确定性事件量化后的数量关系,两者不属于同一个范畴,随机变量的合适类比对象是确定性变量.同时指出,随机思想、随机方法是概率教学价值的两个重要方面.此外,对教材中出现的一些疏忽提出了一些建设性意见,并指出有必要将分布函数引入中学课堂.%This paper discussed some important concepts in the probability theory of middle school and the common problems in teaching. From the perspective of historical development, the article pointed out that the textbook should first systematically introduce the theory of probability, and on the basis of this, the statistics was introduced. The relationship between basic events and random events should be clarified, and the definition of the concept of the random variables should be strict. Especially, it was not suitable for the analogy between random variables and functions. The former was a quantitative representation of random phenomena, it was a mathematical process, the latter was the quantitative relationship after the quantification of different deterministic events. The two concepts were not in the same category, and the appropriate analogy of random variables was the deterministic variable. Meanwhile, it was pointed out that random thought and stochastic method were twoimportant aspects of probability teaching value. In addition, some constructive suggestions for some carelessness in teaching materials were put forward, and it is pointed out that it was necessary to introduce distribution function into middle school classroom.【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2018(027)002【总页数】5页(P65-69)【关键词】随机事件;样本空间;随机变量;分布函数【作者】罗荔龄;曹广福【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州 510006;广州大学数学与信息科学学院,广东广州 510006【正文语种】中文【中图分类】G632客观世界充满着随机性，老天爷阴晴不定，说变脸就变脸，土地老爷又何尝能够捉摸，很难说哪天不高兴了一跺脚，某地就发生地震了．宏观世界如此，微观世界也是如此，粒子的运动就充满着不确定性，空气中的悬浮微粒就在不停地做着无规则运动，这就是著名的布朗运动．虽然概率生于赌场，但随着理论的不断完善，这一理论在自然科学、社会科学中发挥着越来越重要的作用．无论是工程理论中的噪声问题还是经济、金融理论中的风险问题都与该理论有关（参见文[1]）．世界上中学阶段教授概率的国家不只有中国，美国、英国、日本等国家在高中阶段也开设概率课程．中学阶段是否有必要学习概率？这似乎是个有争议的话题，也许这里该讨论的不是开不开设概率的问题，而是怎么开设？开设到何种程度？教材通常将概率与统计交叉融合在一起，例如某版教材高中版在数学选修1-2、选修2-3以及必修3中都以交叉的方式介绍了概率与统计，必修3先介绍统计再介绍概率，选修2-3则反其道而行之．这与大学阶段的概率与统计教学很不相同．大学阶段通常是先系统地学习概率论，再学习统计学（参见文[2]），这么安排是有道理的，事实上，虽然概率与统计密不可分，但概率的诞生早于统计学，两者的思想方法也大相径庭，前者偏重于推理，后者侧重于归纳．概率是统计的基础，主要根据给定的数据观测、研究其性质，判断事件发生的可能性．而统计学则是通过搜集、整理、分析统计资料，认识客观现象的数量规律，根据观测的数据，思考其数据生成过程，预测、分类、聚类、估计等都是统计的主要形式，强调对于数据生成过程的研究，它具有客观、准确和可检验的特点．如果说中学概率教材有什么值得进一步改进的地方，其中之一或许将概率与统计分开更合适一点．中学教材并未对随机变量作严格的数学定义，只是给了一个直观描述．例如某版教材选修2-3是这样定义的：“如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．”这个定义没有把随机变量的本质特征揭示出来，而且很不严格，可能与教材没有在概率部分明确定义样本空间有关．随机变量的本质特征是什么？首先，随机变量是样本空间到实数域的一个映射，换句话说，给定一个样本点，就对应一个实数，但随机变量取什么值是不确定的，因为随机试验的结果是不确定的．其次，随机变量一旦确定下来，可以用它来表示随机事件．上述定义既没有强调随机变量的不确定性，也忽略了随机变量可以表示随机事件的重要特征．虽然对于中学生不一定非得给予随机变量严格的数学定义不可，但最好把随机变量的重要特征说清楚，否则，学生很可能对随机变量的引入莫名所以．这里针对中学概率论教学中常见的一些问题进行了深入的分析，试图找出一种行之有效的教学方案．概率论作为一门特殊的数学分支，其教育价值主要体现在两个方面．（1）随机思想．学生习惯了确定性数学方法，对随机试验、随机事件等概念都很陌生，而随机思想对于认识随机现象、理解随机事件是非常重要的．虽然古典概型、几何概型都基于等可能性假设，但这种假设的基础实际上也是统计经验，可见随机思想的核心是认识随机现象背后的统计规律．通过大量观察发现规律性的结论对于习惯了确定性数学思维的学生是一个难点，而随机思想正是通过对大量偶然现象的观察与分析从而发现隐藏在其中的必然结果（概率），进而把握随机现象．掌握随机思想的重要手段是随机试验，然而，大量重复试验在教学过程中是很难实现的，而概率恰恰是大量重复试验过程中随机事件出现频率的极限，这是教学中的一个难以解决的悖论．随着计算机技术的发展，随机模拟成为一个有效手段，例如著名的蒙特卡罗方法就是用来模拟随机试验的重要方法．不过对于目前的中学教师而言，把随机模拟引进课堂可能不太现实．不妨简单向学生介绍一下，利用计算机可以模拟随机试验，一些数学软件如Mathlab就可以做这些事．另一个办法是结合学生的生活经验，例如不会有学生怀疑投掷硬币时出现正反面的可能性不同，在此基础上说明，如果进行大量投掷，正面朝上的频率会越来越接近1/2，即正面朝上的概率为1/2．虽然中学阶段不可能向学生介绍大数定理，但通过这类简单问题的阐述应该容易让学生理解频率与概率之间的不同．（2）随机方法．中学教材涉及的概率中的概念并不少，不仅介绍了随机试验、随机事件、古典概型、几何概型，甚至对随机变量、二项分布、均值、方差、正态分布等都有介绍，但貌似缺少一点系统性与严谨性，让人感觉有些凌乱．直观不等于不要严谨，例如某版教材是这样介绍随机事件的：“对于某个现象，如果能让其条件实现一次，那么就是进行了一次试验，而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．”这里的事件指的是什么事件？基本事件还是随机事件？接着，教材以开始时的几个例子说明什么叫必然事件，什么叫不可能事件，什么叫随机事件．教材写道：“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．”在古典概型一节又回过头来定义什么叫基本事件，即“在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件”．这个说法有失严谨，什么叫基本结果？与“每一个可能的结果”有什么不同？随机事件与基本事件之间是什么关系？教材一概不提，这样很容易让学生如雾里看花般弄不清概念的内涵．事实上，基本事件是一个相对概念，正如掷一枚质地均匀的骰子，如果把奇数用白色涂上，偶数用黑色涂上，每次投掷骰子有两个可能的结果：“白色”或“黑色”，这与“奇数”或“偶数”本质上没有差别．处理随机现象的一般方法是什么？教材并未给予总结，众所周知，“感知、归纳、抽象、巩固、运用”是课堂教学的几个基本环节，作为一个与其它数学分支有着完全不同思维方法的重要内容，至少应该帮助学生梳理一下处理问题的基本方法．概念的定义也应该是严格的．那么概率的基本处理方法是什么？教师在一些实例的基础上不妨帮助学生总结一下．有几个基本概念是需要梳理清楚的：随机现象、随机试验、随机试验所有可能的结果（样本空间）、基本事件（样本点）、随机事件（样本空间的子集）、频率、概率、随机变量、分布函数．尽管教材中没有介绍分布函数，但既然提到了随机变量，而且也介绍了一些特殊的概率分布，完全可以没有难度地引入分布函数的概念．在此基础上说明处理随机现象的一般方法：（1）明确随机现象或随机试验（随机假设）；（2）确定问题的目标（要解决什么问题？即需要计算何种随机事件的概率？）；（3）根据目标确定样本空间（同样的随机试验可能导致不同的样本空间，所以问题的目标很关键）；（4）计算随机事件的概率．如果按照这样的处理方法，教材其实不必过分强调古典概型与几何概型，只需要强调等可能性是针对什么试验作出的假设就可以了，学生不仅不会对教辅材料中的随机射线问题产生疑惑，甚至对于贝特朗问题的不同解答也能理解．总而言之，等可能性假设不过是一种特殊的随机假设，只需根据随机假设与问题的目标确定样本空间与概率分布（分布函数）就可以了，这是处理概率问题的一般方法．通过对某个版本教材的分析，感觉概率与统计的编写存在许多有待改进的问题．从编写体例看，教材中例子很多，但缺少严格的数学定义，虽然中学阶段对概率的要求不高，尤其是随机变量只做直观解释，但直观不等于不要严谨，尤其是不能出现令人无法理解的概念．例如某教材是这样引入随机事件的．3.1.1 随机现象观察下列现象：（1）在标准大气压下把水加热到100℃，沸腾；（2）导体通电，发热；（3）同性电荷，互相吸引；（4）实心铁块丢人水中，铁块浮起；（5）买一张福利彩票，中奖；（6）掷一枚硬币，正面向上．这些现象各有什么特点？（1）、（2）两种现象必然发生，（3）、（4）两种现象不可能发生，（5）、（6）两种现象可能发生，也可能不发生．在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就叫随机现象．在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象．对于某个现象，如果能让其条件实现一次，那么就是进行了一次试验．而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．可以看到，如果把（1）、（2）的条件各实现一次，那么一定出现“沸腾”与“发热”的结果，“沸腾”与“发热”都是一个事件．这种在一定的条件下，必然会发生的事件叫做必然事件．当（3）、（4）的条件各实现一次时，“吸引”与“浮起”也都是一个事件，但这两个事件都是不可能发生的．在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件．当（5）、（6）的条件各实现一次时，“中奖”及“正面向上”也都是一个事件，但这2个事件可能发生，也可能不发生．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．必然事件域不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象．以后用A，B，C等大写英文字母表示随机事件，简称为事件．…………3.1.2 随机事件的概率前面已经学习过用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0~1之间的一个数，将这个事件记为A，用P(A)表示事件A发生的概率．对于任意两个随机事件A，P(A)必须满足如下基本要求：0≤P(A)≤1．怎样确定一个事件发生的概率呢？奥地利遗传学家孟德尔用豌豆进行杂交试验……有红心1、2、3和黑桃4、5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取1张，抽到的牌为红心的概率有多大？若进行大量重复试验，“用抽到红心”这一事件的频率估计概率，工作量较大且不够准确．有更好地解决办法吗？如果把“抽到红心”记为事件B，那么“抽到红心”相当于“抽到红心1”“抽到红心2”“抽到红心3”这3中情况，而“抽到黑桃”相当于“抽到黑桃4”“抽到黑桃5”这2种情况，因为是任意抽取的，所以可以认为出现这5种情况的可能性都相等．当出现抽到红心1、2、3这3种情形之一时，事件B就发生了，于是P(B)=3/5．在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．如在上面的问题中，“抽到红心1”即为一个基本事件．若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．上面的问题具有以下两个特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的．将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．…………先来分析一下上述基本内容．教材首先定义了随机事件：“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．”在第二节又定义基本事件：“在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．”什么叫基本结果？基本事件与随机事件之间是什么关系？教材一概没有解释．在定义古典概型时，教材利用统计意义下的概率来说明频率与概率的关系：“若进行大量重复试验，‘用抽到红心’这一事件的频率估计概率，工作量较大且不够准确．”这句话实际是具体否定了这一做法，进而转向等可能性事件，得到古典概型的定义．把概率的历史来了个乾坤颠倒．如此处理的合理性是什么不得而知，至少这是对历史的不尊重．众所周知，统计意义下的概率来自贝努利，它的产生在古典概型之后，这个定义本身就存在逻辑循环的问题，现在再来一个乾坤颠倒，即使是学过概率的人恐怕也被绕晕了．如果中学教材不介绍互斥事件，按上述方法处理也还可以理解（互斥是基本事件的重要特征之一），可接着又在第四节介绍了互斥事件．这让人无法通过教材理清逻辑关系．几何概型的定义也显得有些粗糙：设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等），每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．把满足这样调价的概率模型称为几何概型．这个定义应该来自数学辞海，什么叫区域？数学辞海是有定义的，但教材并没有定义，正如在定义古典概型时没有定义什么叫基本结果一样．其次，将概率说成区域的“测度”之比在这里是否合适？也许在这里将“测度”换成“度量”更合适一些．几何概型是古典概型的一种扩充，与古典概型的本质差别在于几何概型的样本空间是无限的，因此就不能用样本点的数量作为度量了．至于怎么度量无限的样本空间则需要专门的理论，这就是公理化概率论中提到的测度．不管学生对概念的理解是否有难度，作为标准化教材，概念的定义应该是严格的，宁可在概念之后向学生作出适当解释：由于涉及空间的度量问题，我们目前能做的仅限于部分几何概型．中学教材涉及的概率中的概念很多，在理科选修2-3中随机变量、概率分布、独立性、超几何分布、二项分布、均值与方差、正态分布等无所不包，但依旧是例子加直观描述．在人们的理解中，从感知性的例子到抽象化或符号化的数学概念与定理应该形成一个逻辑严谨的完整知识体系，数学概念的内涵与外延应该是清晰明确的，遗憾的是，从某版教材中似乎没有能看到这一点．教材为了讲超几何分布与二项分布，花了相当的篇幅介绍排列组合，达45页之多，超几何分布、二项分布则总共不过占据了6页的篇幅，显得有些头重脚轻．当然，排列组合本身也是重要的内容，作为一个独立的知识点讲授倒也无妨，但已超出这里谈及的主题．在条件概率部分，教材设计了一个思考题还是很好的：思考：若事件A与事件B互斥，则P(A|B)等于多少？这个问题可以有效地帮助学生理解互斥事件与后续介绍的独立事件之间的本质不同．但教材也有一个疏忽，首先给出了条件概率的一个描述性定义：一般地，对于两个时间A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)．在通过一个具体的例子说明了条件概率与概率的关系之后便指出：一般地，若P(B)>0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是：P(A|B)=P(AB)/P(B)．这个等式是定义还是定理？教材没有明确说明，但从上下文（前面已经给出了条件概率的描述性定义）显然给读者一种暗示：这是个定理．很遗憾，这是条件概率的数学化定义而非定理，虽然很多概率论教材也是通过若干具体问题说明条件概率满足上面的等式，但似乎没有一个概率论教材把它作为一个定理或命题．既然教材花了大量篇幅介绍排列组合，那么贝努力试验（二项式分布）的分析就不再是一件困难的事情，但教材又用了一个类似杨辉三角的图给予分析，这对学生理解二项式分布能带来什么帮助？它真的显得更直观吗？直接用组合（教材的第二种方法）分析方法不够吗？教材在排列组合一章已经介绍了二项式定理并给出了类似杨辉三角的二项式系数规律，这里完全没必要重复这一做法．选修2-3中还有一个值得商榷的问题：教材介绍了随机变量与概率分布的概念，却没有介绍分布函数，然而，在后面的很多地方又使用了诸如P(Z≤-1.49)、P(0.57<Z≤2.3)之类的符号．如果学生能理解这些符号，就应该能理解分布函数，教材屡屡使用了分布函数却偏偏讳莫如深，羞羞答答不好意思挑明一个概率中堪称最重要的概念．分布函数是随机事件与确定性数学方法之间的纽带，虽然古典概型可以不涉及分布函数，但只要涉及无穷的样本空间，就无法避开分布函数，即使是离散的情形也需要搞清楚分布列是什么．大学教材对随机变量的定义是公理化的，这个概念对于中学生或许有些抽象，但作为教师应该有所了解．定义1：假设(Ω, F, P)是概率空间，X是定义在Ω上的实值函数，即对任意a∈Ω，X(a)∈R，如果对任意x∈R，{a∈Ω|X(a)<x}∈F，换言之，{a|X(a)<x}是随机事件，则称X是一个随机变量．随机变量的本质是将某种随机现象量化，即赋予每个随机结果（样本点）一个实数值，然后将随机事件通过该随机变量的取值范围来确定，从而可以采用数学手段进行处理．实际教学过程中，可以将上述定义中的3个要素具体化一些，例如，可以将定义修改成：定义2：假设Ω是某个随机试验的样本空间（基本事件全体），F是随机事件全体（Ω的子集，不一定是全部的子集），X是Ω到实数域R的映射，即对任意样本点a∈Ω，X(a)∈R，如果对任意x∈R，{a∈Ω|X(a)<x}都是随机事件，即{a∈Ω|X(a)<x}∈F，则称X是一个随机变量．对于中学生详细讲授F是一个-域显然是不现实的，但完全可以引导学生分析，对任意x，y∈R，{a|x≤X(a)<y}、{a|X(a)≤y}、{a|X(a)>x}、{a|X(a)≥x}、{a|X(a)=x}等集合是不是随机事件？事实上，教材中有很多类似的例子，这个过程可以结合具体的随机试验进行．需要说明的是，教材将随机变量与函数做类比是不合适的，虽然他们都是映射，但从随机变量的本质看，两者不属于同一范畴．事实上，随机变量是样本空间（基本事件）的“量化”，但由于基本事件（样本点）具有不确定性，所以随机变量的取值也是不确定的，然而随机变量是将随机试验数学化的一个过程，或者说是对随机试验的符号化表达，是一个抽象过程．函数则是已经抽象之后的数学模型，也就是说，已经将现实中两个确定性的事件进行了数学化，通过两个事件之间的内在关系确定数学化后的两个量之间的内在关系，如果两个事件是变化着的，那么对应的量也是变化的，称之为变量，两个变量之间建立了某种关系之后，就称它们有函数关系，其中一个变量称为自变量，另一个变量称为因变量．从随机变量与函数可以看出，随机变量是从现实到符号的数学化过程，函数则是经过了对现实的数学化之后两个不同量之间的因果关系，也就是说利用数量之间的因果关系刻画现实的因果关系．随机变量与函数做类比仅仅抽取了两者的表象特征——“映射”，而“映射”是一个非常宽泛的概念，用“映射”做类比涵盖的可类比的东西很多，这种类比没有任何实际意义．如果以“映射”作为类比的特征，不仅随机变量可以与函数做类比，概率也可以与函数做类比，因为概率是随机事件到[0, 1]区间的映射，这种类比有意义吗？与概率有关的真正函数是分布函数，它是R到[0, 1]的映射．两个对象之间的比较应该遵循一定的原则，即两者之间具有某种共同的本质特征，这种特征的内涵应该具有某种特殊性，否则概念的外延会变得很大，从而使得类比没有价值．提取对象的何种特征则需要视问题的目标而定．例如一个动物学家可能以“哺乳”作为特征进行动物分类，在这种分类标准下，人、狗、猫、猪等都属于一类．但他也可能以“语言”为特征进行分类，显然，人与其它动物不能归为一类，因为动物之间虽然也能传递信息，但没有与人一样的书面语言，口语也不发达．所以类比的标准非常重要．就随机变量而言，如果一定要将它与某个数学概念做类比，该提取何种特征才是合适的？这就要看随机变量从何而来，为了解决什么问题，这样才有可能找到合适的类比对象．如前所说，随机变量是现实与数学之间的一座桥梁，是随机现象的量化表达，这是随机变量的本质特征，与之做类比的数学概念自然也应该具有这种特征．一个可以与之类比的数学概念就是“变量”，因为变量也是一种映射，它是现实到某个数集的映射，其本质是将现实中的确定性事件数量化，从而通过不同量之间的内在关系（函数）反映现实中不同事件之间的内在关系，这样的例子比比皆是．只不过在函数论中掩盖了变量的本质特征，尤其是自变量的本质特征，一般的微积分教材不像引入随机变量一样引入变量，而是直接假定自变量在某个实数域内变化．在定义了随机变量概念后，不妨回过头来用随机变量描述有限的概率空间，这样可。
关于学习中学概率的几点建议
关于学习中学概率的几点建议
刘白茹
【期刊名称】《新校园（学习）》
【年(卷),期】2012(000)010
【摘要】概率知识包罗万象，紧密联系实际生活，具有广阔的生活背景，同时又灵活多变，具有一定的思维深度、广度和灵活度，对学生的思维品质提出了较高的要求。
因此，对初学者来说具有一定的难度。
但是，由于概率知识相对独立，其对基础的依赖相对要比其他板块弱，对逻辑思维能力的要求也相对弱一些，
【总页数】1页(P95-95)
【作者】刘白茹
【作者单位】银川九中,宁夏银川 750001
【正文语种】中文
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关于学习中学概率的几点建议
概率知识包罗万象，紧密联系实际生活，具有广阔的生活背景，同时又灵活多变，具有一定的思维深度、广度和灵活度，对学生的思维品质提出了较高的要求。
因此，对初学者来说具有一定的难度。
但是，由于概率知识相对独立，其对基础的依赖相对要比其他板块弱，对逻辑思维能力的要求也相对弱一些，所以概率又是易学的。
鉴于此，笔者结合教学时的实际情况及近年高考考查趋势浅谈学习概率知识的几点建议。
一、学习概率要先学习计数原理
学习概率知识之前要认真学习计数原理和排列组合，熟悉分步计数原理和分类计数原理，深刻理解其异同点。
我们接触的很多问题都可能是离散型的随机变量，而离散型随机变量的概率分布则往往要借助计数原理来统计、求解。
所以这些知识是进一步学习概率的基础，这些基础知识包括：分步计数原理及分类计数原理，排列组合及应用题的基本处理方法，如相邻问题插空法、不相邻问题捆绑法、定序相除法等，这些方法的使用，可以使复杂的问题明朗化、程序化，有助于降低问题的难度。
二、学习概率要有统计知识和意识
概率论的研究对象主要是随机现象的发生发展规律，但这些规律却往往是错综复杂的、不明确的，表现形式也是分散的、不确定的。
概率却是确定的。
因此，对于随机现象，尤其是比较复杂的随机现象，我们一般要经历以下流程：考察对象，分析对象，搜集数
据，整理数据，统计数据，建立模型，得出结论。
这中间最关键的一步就是数据的搜集、统计、分析。
因此，单纯的学习概率知识是一种误区，我们必须明确：概率的应用是非常广阔的，它的应用是和统计学分不开的。
例1：为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）。
下表是乙厂的5件产品的测量数据：■
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品。
用上述样品数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。
点评：本题在考察传统概率的同时，考查学生分析、筛选、统计数字信息的能力，虽然数据不是很多、很繁杂，但是其中渗透的数学思想值得我们关注。
三、学习概率要与函数、不等式等知识相结合
概率是研究随机现象的科学，但是对于复杂的随机现象要进行定量的研究，往往要借助函数或函数模型来模拟、近似、逼近。
如会面问题，是通过一元二次不等式组转化成几何概型解决的；一个群体的身高近似的服从正态曲线，所以学习概率论要有函数意识，牢固掌握好函数基本概念和一些基本函数，对我们学习概率具有重
要意义。
实际上我们已经学习了基本初等函数和一些初等函数，学习了导数和积函数知识。
随着学习的深入，我们还会接触其他一些重要的函数，函数的性质、图像。
这些函数知识，将成为我们进一步学习概率的有力工具。
例2：某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品。
现用两种新配方（分别称为a配方和b配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到试验结果：a配方的频数分布表
■b配方的频数分布表
■
（i）分别估计用a配方、b配方生产的产品的优质品率；
（ii）已知用b配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为：
y=-2，t<942，94≤t<1024，t≥102
从用b配方生产的产品中任取一件，其利润记为x（单位：元）。
求x的分布列及数学期望（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）。
点评：本题主要考察概率知识，但引入了分段函数，使概率的内容得以升华，扩展了概率的应用，实为一个不错的尝试。
四、学习概率要联系和关注生活
概率论源于生活，所以找清概率的本源无疑是很重要的。
日常
生活中的许多随机现象都有其深刻的概率背景，它们总是服从或近似服从概率的基本规律，这些实际背景经过提炼加工，便能形成数学中的命题或基本问题。
如摸球问题，射击命中问题，投掷骰子问题，扑克牌问题，撒豆子问题等。
生活问题看似简单，但是它们蕴含的却是概率论最简单最基础的知识，也是中学概率的主干知识，这些知识也成了高考考查的热点，同时对生活的关注也是学习数学的主要目的之一。