一维双原子链

∑ x n = (1 − x) −1
n
n
Pn = e − nhω / k BT (1 − e − hω / kBT )
1 = ∑ ( n + ) hω Pn 2 hωn
k BT n
∑ P = ∑ Ce
n n n
频率为 ω谐振子的平均能量 ε = ∑ ε n Pn
−ε n / k B T
=1
=
归一化 常数
O O Emin = hω min
O Emin = 0.396 eV
4
3) 某一特定谐 振子具有激发能 ε n = ( n + ) hω
1 2
的几率
Pn =
e − nhω / k BT ∑ e −nhω / kBT
n
x = e − hω / k BT
Pn = Ce− εn / kBT
根据归 一化条件
β 2β ) {( m + M ) − ( M − m)} = ( ) mM M 1 β 1 2β 1 2 2 =( ) {(m + M ) + ( M − m)} = ( ) 2 mM m
1 2 1 2 1 2
π 2a
(ω + ) min > ω > (ω − ) max —— 不存在格波
频率间 隙
B ( )− = 1 A
—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 —— 代表原胞质心的振动
—— 声学波的色散关系与 一维布 喇菲格子形式相同
3
长波极 限 q → 0
2 光学波 ω + = β
4mM sin 2 (aq ) << 1 (m + M ) 2 ω+ ≈ 2β mM , µ= µ m+M
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µ2n = Aei[ωt −(2na)q] and µ2n+1 = Bei[ωt−(2n+1)aq]
—— 系统有 N个 原胞
第 2n+1个M原子 第 2n个 m原子 方程的解
&&2 n = − β (2 µ 2 n − µ 2 n+1 − µ 2n −1 ) mµ
&&2 n +1 = − β (2 µ 2 n+1 − µ 2n +2 − µ 2 n ) Mµ
Pn =
e −ε n / k B T ∑ e −ε n / k BT
n
Pn =
e− nhω / k BT ∑ e −nhω / kBT
n
ε =(
ni (q ) =
1 e hωi / k BT − 1
T = 300 K
k B T = 0.026 eV
O O nmax (ω max )=
光学波 频率的声子数目
—— ω 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
2 − 2β B mω + —— 光学波 ( )+ = − A 2β cos aq
2 B mω − − 2β —— 声学波 ( )− = − A 2 β cos aq
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q的取值 M和 m原子振动方程 相邻原胞之间位相差 波矢 q的值
第 2n+1个M原子的方程
&&2n +1 = − β (2 µ 2n +1 − µ 2n + 2 − µ 2n ) Mµ
&&2n = − β (2µ 2 n − µ 2n +1 − µ 2n −1 ) 第 2n个 m原子的方程 m µ
—— N个原胞，有 2N个独立的方程 方程解的形式 —— 两种原子 振动的振幅 A 和 B一般来说 是不同的
2β µ
µ=
mM = 0.2M m+M
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ω
O max
2β = 5 = 6.7 × 1014 rad / s M
O ω max =
O O E max = hω max
O Emax = 0.442 eV
O 光学波的最小频率 ωmin =
2β m
= 6 × 1014 rad / s
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O ω min =
O Emax = 0.442 eV
1 e hωmax / kBT − 1
O
4）如果 用电磁波激发光学波，要激发 波波长在什么波段？
O ω max 的声子 所用的电磁
O O nmax (ω max ) = 4.14 ×10-8
O O 对应电磁波的能量和波长 Emax ω max = 0.442 eV
E
A Emax = 0.198 eV
A A nmax (ω max )=
1 ehωmax / kBT − 1
A
A A nmax (ω max ) = 4.93 ×10-4
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§ 3.3 一维双原子链 声学波和光学波 一维复式格子的情形 —— 一维无限长链 —— 两种原子 m和M _( M > m) ____ 构成一维复式格子 —— M原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离 2a____晶格常数
2 β − mω 2 − 2 β cos aq
ω2 = β
− 2 β cos aq 2 β − Mω 2
=0
µ2 n = Aei [ωt −( 2 na ) q ] µ2 n +1 = Bei [ωt −( 2 n +1) aq ]
−mω 2 A = β (eiaq + e− iaq ) B − 2 β A − M ω 2 B = β (eiaq + e− iaq ) A − 2 β B
—— 声学波 —— 光学波
两种格波的振幅
2 =β ω± 1 (m + M ) 4mM {1 ± [1 − sin 2 aq ]2 } mM ( m + M )2
1 (m + M ) 4mM {1 + [1 − sin 2 aq] 2 } ω =β mM (m + M ) 2 2 +
(2 β − mω 2 ) A − ( 2 β cos aq) B = 0 − ( 2 β cos aq) A + ( 2 β − Mω 2 ) B = 0
q=
π Na
/a
π / =N a Na
—— 晶 体中的原胞数目
采用周期性边界条件
µ N +n = µn
N (2aq) = 2πh
—— 对应一个 q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总 的格波数目为 2N ： 原子的数目 : 2N
h q= 2π 2aN
2
色散关系的特点 短波极 限 q → ± 两种格波的频率
2 −
ω− ≈ ( a
4mM sin 2 ( aq ) << 1 (m + M ) 2
ω− = 2β sin(qa) m+ M
2β )q m+M
应用
1− x = 1− x / 2
q = 0, ω − = 0
2 B mω − − 2β ( )− = − A 2 β cos aq
ω− ≈ ( a
2β )q m+M
A 的最大值 ω max ； A O O 2) 相应声子的 能量 E max , E min 和 E max ；
mω − 2 β B m ( )+ = − M A 2 β cos aq
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相 反 —— 原胞质心保持不变 的振动，原胞中原子之间相对运 动
3) 在 T = 300 K 下，三种声子数目各为多少？ 4) 如果用电磁 波激发光学波， 要激发的声子所 用的电磁波 波长在 什么波段？
A = * 1) 声学波的最大频率 ω max
2β M
2）相应 声子的能量
M = 4 β = 15 N / m m
A ω max = 3 ×1014 rad / s
A = ω max
2β M 2β µ
2β m
A A Emax = hω max
A Emax = 0.198 eV
O 光学波的最大频率 ω max =
µ2 n = Aei [ωt −( 2 na ) q ] µ2 n +1 = Bei [ωt −( 2 n +1) aq ]
q的取值
q=
h 2π —— h为整数 2aN
每个波矢在第一布里渊区占的线度
2aq
− π π <q≤ 2a 2a
−π < 2aq ≤ π
—— 第一布里渊区 布里渊区大小 π 第一布里渊区允许的 q值的数目 π
C=
∑e
n
1
−ε n / k BT
∑ nx
n
n
=
x (1 − x ) 2
hω + (1 − e 2
−
)hω ∑ ne − nhω / k BT
x = e − hω / k BT
频率为 ω谐振子的能量 第 i个 q态的 平均数声子
ε =(
1 1 + ) hω ehω / k BT − 1 2
1 1 + )hω ehω / k BT − 1 2
(ω + ) min ~ (ω − ) max
—— 一维双原子晶格 叫做带通滤波器
(ω − ) max = ( (ω + )min
因为 M＞m
(ω+ ) min > (ω− ) max
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长波极 限 q → 0 声学波
长声学波中相邻原子的振动
1
(m + M ) 4mM ω =β {1 − [1 − sin 2 aq ] 2 } mM (m + M ) 2
O min
= 0.396 eV
O O nmin (ω min )=
1 e
hω O min / k BT
−1
λ = 2.8 µ m
—— 要激发的声子所用的电磁波波长在 近红外线波段 （ Near Infrared） (NIR)
O O nmin (ω min ) = 2.42 × 10-7
声学波 频率的声子数目
+(2 β − mω ) A − (2 β cos aq ) B = 0 −(2 β cos aq) A + (2 β − M ω 2 ) B = 0
2
1 (m + M ) 4 mM {1 ± [1 − sin 2 aq ]2 } mM (m + M )2
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
2 +
(m + M ) 4mM {1 + [1 − sin 2 aq] 2 } mM (m + M ) 2
1
例题 一维复式格子中， 如果
m = 5 × 1.67 × 10－27 kg
M = 4 β = 15 N / m m
计算 O O 1) 光学波 频率的最大值 ω max 和 最小值 ω min ，声学波频率
2 ω− =β
(m + M ) 4mM {1 − [1 − sin 2 aq ]2 } mM ( m + M )2
1 (m + M ) 4mM {1 + [1 − sin 2 aq ] 2 } mM (m + M )2
1
2 ω+ =β
—— A、 B有非零的解，系数行列式为零
1
2 ω− =β
1 (m + M ) 4mM {1 − [1 − sin 2 aq] 2 } mM (m + M )2