高中数学公式柯西不等式

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人教版-高中数学选修4-5-柯西不等式

定理(一般形式的柯西不等式) 设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是实数,则
2 2 2 2 2 (a1 a2 an )( b12 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当且仅当bi 0(i 1, 2,, n)或存在一个数 k , 使得ai kbi (i 1, 2,, n)时, 等号成立
证明 : (a c d )(b c d a ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
已知 a2＋2b2＝6，则 a＋b 的取值范围是____________． 1 2 1 2 【解析】 ∵(a ＋2b )[1 ＋( ) ]≥(1· a＋ 2b· ) ＝(a＋b)2 2 2
2 2 2
3 ∴(a＋b) ≤6× ＝9，∴－3≤a＋b≤3， 2
2
故 a＋b 的取值范围是[－3,3] 【名师点睛】解此题关键在于构造因式，使其符合柯西不等
证明: ( x 2 y 2 z 2 )(12 2 2 3 2 ) ( x 2 y 3 z ) 2 1 1 2 2 2 x y z 14 x y z 1 1 3 当且仅当即x , y , z 时 1 2 3值 14
2 2 2 2
二维形式的三角不等式
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
2 2 2 2 2 2 三维形式的三角不等式 x1 y1 z1 x2 y2 z2

(完整版)高中数学：柯西不等式

(完整版)高中数学：柯西不等式柯西不等式是十九世纪三十年代德国数学家柯西的一项重要贡献，它是组合数学中的重要理论，也是非线性规划中常用的工具。

柯西不等式是关于凸集的一种重要结构性性质，它可以被应用于最大值与最小值、优化以及多元函数定理的证明。

柯西不等式是通过一种特殊的方式来研究凸集内部结构的，这种方式叫做“凸组合”，它指的是将凸集分割成几部分，每一部分都是对凸集的一种模拟，两个凸组合直接组合在一起可以构成一个新的凸集。

柯西不等式的英文全称为“Carathéodory’s ConvexCousin Theorem”，它是开始于1909年提出的，是关于凸组合的数学定理，它的英文解释为“如果凸组合的所有子集的每一个子组合都存在相应的点中，那么它们包含的点总数也至少有相应的数量”。

柯西不等式可以用来证明给定凸多面体 $V_1,V_2,V_3,\ldots,V_n$ 中任意 $m$ 个多面体组合在一起构成的凸组合多面体 $K$ 的点数至少为 $m$。

柯西不等式的应用不仅仅是理论上的，它也广泛地被用于工程上，总结一下它在工程上可以用来做什么：1、共轭梯度下降法：共轭梯度下降法是一种求解最优化问题的数值方法，用柯西不等式可以得到一个凸集的边界，从而得到一个最优解；2、统计学：柯西不等式可以用来处理多元函数，进而可以用来应用到多重相关性分析方面，从而推出统计学中的相关概率论；3、V-S型模型：柯西不等式可以用来优化可变结构模型中的V型凸组合，从而得到更具有效性的可变结构模型；4、路径规划：柯西不等式可以通过函数将多余的点过滤掉，从而得到更优的路径规划结果。

以上就是柯西不等式的内容，由于它的重要性，它已经广泛地被应用到多个学科领域，有助于构建凸组合分割、优化以及路径规划等问题。

综上所述，柯西不等式是一个重要的数学定理，它在研究凸集内部结构，求解最优化问题和构建凸组合分割、优化以及路径规划等问题中皆有广泛的应用，也是高中数学中的一项重要知识点。

(完整版)高中历史-公式-柯西不等式

(完整版)高中历史-公式-柯西不等式介绍柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是代数学和数学分析中的一项基本不等式。

它是由法国数学家奥古斯特·柯西（Augustin-Louis Cauchy）发现的，是描述内积空间性质的重要定理之一。

在高中数学中，柯西不等式经常被用于解决一元二次方程组、线性方程组、向量的运算和证明等问题。

公式表达柯西不等式可以用以下数学公式来表达：对于实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有|∑(ai×bi)| ≤ √(∑(ai^2) × ∑(bi^2))其中，∑代表对所有i从1到n的求和。

这个公式的意义在于，两个向量的内积的绝对值小于等于它们的模的乘积。

证明思路证明柯西不等式的思路可以简化为以下几步：1. 将公式化简为一个关于t的一元二次方程。

2. 判断该方程的判别式是否小于等于0，如果是，则该方程无解，柯西不等式成立。

3. 如果判别式大于0，根据求解一元二次方程的公式可以得到两个解t1和t2。

4. 对求得的两个解进行讨论：- 如果t1和t2均在0到1之间，则柯西不等式成立。

- 如果t1和t2不全在0到1之间，则柯西不等式不成立。

应用示例柯西不等式可以在以下应用中发挥重要作用：1. 解决线性方程组：通过将线性方程组中的系数视为向量，使用柯西不等式可以对方程组求解。

2. 证明不等式：柯西不等式的证明思路可以应用于其他数学不等式的证明过程中，例如均值不等式、三角不等式等。

3. 向量运算：柯西不等式可以用于向量的模、向量夹角及向量的投影等问题的计算中。

小结柯西不等式是高中数学中常用的重要不等式之一，可以用于解决线性方程组、证明不等式和进行向量运算。

它的公式表达简洁清晰，证明思路相对简单。

熟练掌握柯西不等式的应用可以提高数学解题的能力，同时也有助于深入理解代数学和数学分析的相关知识。

高中语文-公式-柯西不等式

高中语文-公式-柯西不等式什么是柯西不等式？柯西不等式，也称为柯西-施瓦茨不等式，是数学中的重要不等式之一。

它用于描述两个向量内积的不等性。

柯西不等式可以表示为：其中，a和b是两个向量，a的长度为|a|，b的长度为|b|，θ是a 和b之间的夹角，且0 ≤ θ ≤ π。

柯西不等式的应用柯西不等式在数学中有着广泛的应用。

下面列举了几个例子：1. 向量的长度柯西不等式可以用来证明两个向量的内积不大于两个向量的长度的乘积。

即|a·b| ≤ |a|·|b|。

2. 余弦相似度柯西不等式可以用来计算两个向量之间的余弦相似度。

余弦相似度可以衡量两个向量在方向上的相似程度，它的取值范围在[-1, 1]之间。

3. 不等式证明柯西不等式可以用于数学证明中，特别是当涉及到向量和内积的不等式时。

柯西不等式的示例下面是一个柯西不等式的示例：给定两个向量a = (2, 3)和b = (4, 5)，计算它们的内积和长度，并验证柯西不等式是否成立。

解答：根据柯西不等式，有|a·b| ≤ |a|·|b|。

计算内积：a·b = 2*4 + 3*5 = 8 + 15 = 23计算长度：|a| = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13|b| = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41计算长度的乘积：|a|·|b| = √13 * √41 = √(13 * 41) ≈ √533因此，|a·b| = 23 ≤ |a|·|b| ≈ √533。

柯西不等式成立。

总结柯西不等式是数学中的重要不等式之一，用于描述两个向量内积的不等性。

它在向量计算、余弦相似度和不等式证明中有着广泛的应用。

柯西不等式可以帮助我们理解和解决各种数学问题。

2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

高中数学一般形式的柯西不等式

典例精讲例3 已知x 2 y 3z 1 ，求x 2 y 2 z 2的最小值.
2 2 2 2 2 2 2
证明 : ( x y z )(1 2 3 ) ( x 2 y 3 z ) 1， x2 y2 z2 1 . 14 y z x 3 1 1 当且仅当，即x ， y ， z 时， 1 2 3 14 7 14 2 2 2 1 x y z 取最小值 . 14
应用举例
例1 浙江(2010 卷03)
2 2 2 a b c (1)设正实数a，，， b c 满足abc 1，求 a 2b b 2c c 2a 的最小值.
例2 若a ， b ，为正实数 c . 求证： a b c 3 . bc ca ab 2
a 1 b 1 c 1 bc ca ab a b c b c a c a b (a b c ) 1 1 1 bc ca ab bc ca ab 1 ( b c ) ( c a ) ( a b ) 1 1 1 2 bc ca ab 1 (1 1 1)2 9 . 2 2 a b c 3. bc ca ab 2 证明：
2 n
1 an ) 2 .
an ) ，
2
a ) (a1 a2
2 2 an )2 a1 a2
1 (a1 a2 n
2 an .
变式练习
变式1 ：已知a 、 b、 c、 d 0，，且a b c d 1. 求证： a b c d 1. 4
2 2 2 2
(a b c d ) .
2
即4(16 e ) (8 e ) ，即64 4e 64 16e e

柯基不等式高中公式

柯基不等式高中公式
柯西不等式公式：
√（a^2＋b^2）≥（c^2＋d^2）。

柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“，通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F（x，y，…，z）≤G（x，y，…，z）（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。

柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。

柯西不等式高中公式

柯西不等式高中公式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步。

基本信息中文名:柯西不等式外文名:Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Inequality应用学科:数学适用领域范围:数学-积分学推广者:维克托·布尼亚科夫斯基提出时间:18世纪提出者:奥古斯丁·路易·柯西柯西不等式[1]是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1(柯西不等式)所以(a^2+b^2+c^2)>=1/3(1式)又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...（平方的和的乘积不小于乘积的和的平方）|a|*|b|≥|a*b|,a=（x1，y1），b=（x2，y2）(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1](a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...( bn^2))√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。

4个不等式的公式高中连一起的

4个不等式的公式高中连一起的（实用版）目录1.概述四个不等式的公式2.高中数学中不等式的重要性3.四个不等式公式的关联和应用4.如何结合这四个不等式公式提高数学能力正文一、概述四个不等式的公式在高中数学课程中，有四个非常重要的不等式公式，它们分别是：1.算术平均数 - 几何平均数（AM-GM）不等式2.柯西 - 施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式3.排序不等式（也称为排序定理或序列不等式）4.赫尔德（Jensen）不等式二、高中数学中不等式的重要性不等式是高中数学中的重要组成部分，它涉及到很多核心概念，如代数、几何、函数等。

掌握不等式的解决方法，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。

同时，不等式在实际生活和科学研究中也有着广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等领域。

三、四个不等式公式的关联和应用1.AM-GM 不等式：该不等式描述了算术平均数和几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数 a1，a2，...，an，有 (a1+a2+...+an)/n >= (a1*a2*...*an)^(1/n)。

在实际应用中，它可以用于求解最值问题，如求解一个凸函数的最小值。

2.柯西 - 施瓦茨不等式：该不等式描述了向量空间中两个内积向量的平方和与它们的模的平方之间的关系，即对于任意向量 a 和 b，有(a·b)^2 <= |a|^2 * |b|^2。

在实际应用中，它可以用于求解最值问题，如求解一个二次型的最小值。

3.排序不等式：该不等式描述了有序数列中元素的乘积与元素的平方和之间的关系，即对于任意非负实数 a1，a2，...，an，有 (a1*a2*...*an) <= ((a1+a2+...+an)/n)^n。

在实际应用中，它可以用于求解最值问题，如求解一个凸函数的最小值。

4.赫尔德不等式：该不等式描述了凸函数的 Jensen 指数与函数的平均值之间的关系，即对于任意凸函数 f 和实数 x1，x2，...，xn，有f(x1+x2+...+xn)/n >= (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n。

人教版高中数学选修4-5《3.1 柯西不等式》

2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n
2
k,使得a i kbi ( i 1,2, , n)时, 等号成立。 2n 问题： 1、柯西不等式里一共涉及多少个实数？个 2、柯西不等式的结构有何特征？
平方和的乘积不小于乘积和的平方
1、柯西是什么人？
• 法一：问柯西本人；
2、他是怎么发现该不等式的？
4 4 2 2 3 3 2
（2）复杂问题：变形后运用柯西不等式。
例3 求函数 y 5 x 1 10 2 x的最大值
思考：该题目用了哪些变形技巧？凑配系数，平方。
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25 )
( 2) a b c d ac bd2 ຫໍສະໝຸດ 2 2222
2
自主探究： 1、这两个变式怎么来的呢？ 2、这三个不等式取“=” 的条件分别是什么？
进一步—理解—柯西不等式
• 1、代数理解。
2 2 2 2
• 2、几何理解。
(1) a b c d ac bd
小组讨论：根据变式一，你能给出柯西不等式的几何解释吗？
柯西不等式
选修4-5 不等式选讲
定理(一般形式的柯西不等 ) 式设a1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b2 , b3 , , bn是实数 ,则
(a a a )( b b b ) (a1b1 a2b2 anbb ) 当且仅当 bi 0( i 1,2, , n)或存在一个数
教学目标：
• 1、发现、推导
柯西不等式

高中数学柯西不等式知识点

高中数学柯西不等式知识点高中数学中的柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一项重要的不等式定理，它在代数和几何中有着广泛的应用。

柯西不等式是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy和德国数学家Hermann Amandus Schwarz在19世纪提出的，其形式为：对于任意实数或复数序列a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ，有：|a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ| ≤√(a₁²+ a₂²+ ... + aₙ²) √(b ₁²+ b₂²+ ... + bₙ²)这个不等式可以用来比较向量的内积和向量的长度，它在线性代数、几何学、概率论、信号处理等领域具有广泛的应用。

柯西不等式的证明可以使用多种方法，其中最常见的是使用向量的内积和长度的性质进行推导。

以下是柯西不等式的一种证明方法：设向量u = (a₁, a₂, ..., aₙ)和v = (b₁, b₂, ..., bₙ)，考虑它们的内积(u·v)²：(u·v)²= (a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ)²根据内积的性质，(u·v)²≤||u||²||v||²，其中||u||和||v||分别表示向量u和v的长度。

所以，有(u·v)²≤(a₁²+ a₂²+ ... + aₙ²)(b₁²+ b₂²+ ... + b ₙ²)再对上式两边取平方根，即可得到柯西不等式的形式：|a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ| ≤√(a₁²+ a₂²+ ... + aₙ²) √(b ₁²+ b₂²+ ... + bₙ²)柯西不等式在数学中有着广泛的应用，一些常见的应用领域包括：1. 向量几何：柯西不等式可用于证明向量之间的夹角关系，以及证明向量的正交性。

(完整版)高中化学-公式-柯西不等式

(完整版)高中化学-公式-柯西不等式高中化学-公式-柯西不等式1. 柯西不等式的基本概念柯西不等式，又称柯西-施瓦茨不等式，是数学中的一种重要不等式，用于描述向量空间中两个向量之间内积（或点乘）的上界。

2. 柯西不等式的表达式柯西不等式的表达式为：a·b ≤ ||a|| × ||b||其中，a和b为向量，||a||表示向量a的长度（模），||b||表示向量b的长度（模），a·b表示向量a和b的内积。

3. 柯西不等式的含义柯西不等式通过比较向量的长度和内积的关系，给出了向量之间的关系限制。

当向量a和b夹角为锐角时，a·b的值越大，则向量a和向量b的夹角越小；当向量a和b夹角为钝角时，a·b的值越大，则向量a和向量b的夹角越大。

4. 柯西不等式的推导为了推导柯西不等式，我们可以从向量的内积的定义入手，即：a·b = ||a|| × ||b|| × cosθ其中，θ表示向量a和向量b的夹角。

根据三角函数的性质，cosθ的值介于-1和1之间，所以：-||a|| × ||b|| ≤ a·b ≤ ||a|| × ||b||这就得到了柯西不等式的推导过程。

5. 柯西不等式的应用柯西不等式在数学和物理等领域都有广泛的应用。

在向量空间中，柯西不等式可用于推导其他重要不等式，如三角不等式、内积的性质等。

在物理学中，柯西不等式可用于推导能量不等式、功不等式等重要关系。

6. 总结柯西不等式作为数学中的重要不等式，可以帮助我们理解向量之间的关系限制。

通过比较向量的长度和内积的关系，柯西不等式给出了向量夹角大小的限制。

在实际应用中，柯西不等式有助于推导其他重要不等式和建立重要物理关系。

以上是对柯西不等式的介绍和应用的完整版文档。

(完整版)高中生物-公式-柯西不等式

(完整版)高中生物-公式-柯西不等式柯西不等式的概念和应用柯西不等式是数学中一种重要的不等式关系，广泛应用于不同领域，包括生物学。

柯西不等式在高中生物学中的应用主要是为了推导和证明生物学中的一些重要关系。

柯西不等式是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy在1821年提出的，它用于描述内积空间中的向量关系。

柯西不等式可以用来衡量两个向量的夹角以及向量的长度之间的关系。

在高中生物学中，柯西不等式可以应用于基因频率、遗传变异以及种群遗传学等问题。

通过柯西不等式，我们可以推导出群体内的基因频率分布、估计不同基因型之间的遗传距离，从而更好地理解和研究生物遗传的规律和机制。

柯西不等式的公式表达柯西不等式的数学表达形式如下：对于两个n维向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，它们的内积记作a·b，满足以下不等式：|a·b| <= ||a|| ||b||其中，||a||表示向量a的长度，||b||表示向量b的长度。

柯西不等式表明两个向量的长度乘积不会超过它们的夹角的余弦值的绝对值。

柯西不等式在生物学中的应用举例1. 基因频率分布分析：柯西不等式可以帮助我们推导出不同基因频率之间的关系，从而推断出群体内基因型的分布。

这在遗传学研究中特别有意义。

2. 遗传距离的估算：柯西不等式可以用来估算不同基因型之间的遗传距离。

通过对不同基因型之间的内积进行计算，可以得出它们之间的相似度或差异度，从而帮助我们理解遗传变异和种群遗传结构。

3. 物种间的相似性分析：柯西不等式可以应用于比较不同物种或个体之间的相似性。

通过计算不同特征向量之间的内积，可以得到它们之间的相似性指数，进一步探究物种遗传关系的演化和发展。

总结柯西不等式是一种重要的数学工具，在高中生物学中具有广泛的应用。

通过柯西不等式，我们可以推导出基因频率、遗传距离和相似性等生物学中的重要关系。

高中数学柯西不等式公式

高中数学柯西不等式公式
柯西不等式公式是高中数学中重要的数学工具，被广泛用于解决数学问题。

柯西不等式公式的数学表示形式为：
对于任意的 a₁, a₂, b₁, b₂∈ R，柯西不等式公式可以表示为：
(a₁b₁ + a₂b₂)² ≤ (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²)
其中，a₁, a₂分别为向量 A = (a₁, a₂) 的分量，b₁, b₂分别为向量 B = (b₁, b₂) 的分量，符号"≤" 表示小于等于。

从几何上来看，柯西不等式公式表示了两个向量点乘的平方不大于它们各自长度平方的乘积。

柯西不等式公式的重要性在于它为我们提供了判断两个向量之间的关系的数学工具。

当两个向量的点积的平方小于等于它们各自长度平方的乘积时，即(a₁b₁ + a₂b₂)² ≤ (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²)
我们可以得出结论，向量 A 与向量 B 之间满足柯西不等式，这样的结论在数学证明中常常被使用。

柯西不等式公式的应用非常广泛，例如在几何中，可以用来证明三角形的边长关系；在代数中，可以用来证明不等式问题。

它还与内积空间和内积范数有着密切的关系，是这些概念的基础。

总之，柯西不等式公式是高中数学中重要的数学工具，用于判断两个向量之间的关系。

了解和掌握柯西不等式公式的用法，有助于解决各种数学问题，并拓展数学思维。

4个不等式的公式高中连一起的

4个不等式的公式高中连一起的摘要：1.引言：介绍4 个不等式的公式2.主体：详细解释每个不等式的公式及其应用3.结论：总结4 个不等式的公式在高中数学中的重要性正文：在高中数学中，有4 个非常重要的不等式的公式，它们分别是：1.均值不等式：如果a，b 是实数，那么(a+b)/2 >= sqrt(ab)。

这个公式告诉我们，两个实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。

这个公式在求解一些与平均数相关的问题时非常有用。

2.柯西不等式：如果a1，a2，b1，b2 是实数，那么(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2) >= (a1a2+b1b2)^2。

这个公式告诉我们，两个向量的模长的乘积大于等于这两个向量的数量积的平方。

这个公式在求解向量相关的问题时非常有用。

3.排序不等式：如果a1，a2，...，an 是实数，且a1<=a2<=...<=an，那么对于任意的实数x，有(x-a1)(x-a2)...(x-an) >= 0。

这个公式告诉我们，对于任意的实数x，如果一个实数的序列是严格递增的，那么x 与这个序列中每个元素的乘积的符号与x 与序列中最大元素的乘积的符号相同。

这个公式在求解排序相关的问题时非常有用。

4.切比雪夫不等式：如果x1，x2，...，xn 是实数，且x1<=x2<=...<=xn，那么对于任意的实数k，有(x1^k+x2^k+...+xn^k)/n >= (x1+x2+...+xn)/n。

这个公式告诉我们，对于任意的实数k，如果一个实数的序列是严格递增的，那么这个序列中每个元素的k 次方的算术平均数大于等于这个序列的算术平均数。

这个公式在求解与最大最小值相关的问题时非常有用。

柯西不等式高中公式

柯西不等式高中公式柯西不等式是数学中的一种重要的不等式，它由法国数学家Augustin Louis Cauchy于1821年提出。

柯西不等式在初等数学中具有广泛的应用，特别在高中数学课程中经常用到。

本文将介绍柯西不等式的公式及其应用。

柯西不等式的公式表达为：(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2其中，a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为任意实数。

这个公式说明了一个重要的性质：两个向量的内积的平方，不会超过这两个向量长度的乘积。

更具体地说，左边的乘积是两个向量的模的平方之和，而右边的乘积是这两个向量的内积的平方。

柯西不等式的证明也很简单。

我们可以通过向量的几何性质来理解柯西不等式，假设有两个向量a和b，它们之间的夹角为θ。

我们可以将向量a和b进行单位化，即将其长度除以模来得到单位向量A和B。

假设A和B的坐标分别为(a1/||a||, a2/||a||, ..., an/||a||)和(b1/||b||, b2/||b||, ..., bn/||b||)。

根据两个向量的定义，它们的内积为：a·b = ||a|| ||b|| cos(θ)而向量A和B的长度为1，所以：A·B = (a1/||a||)(b1/||b||) + (a2/||a||)(b2/||b||) + ... +(an/||a||)(bn/||b||) = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)/(||a|| ||b||)根据三角函数的性质，cos(θ)的取值范围是[-1, 1]。

所以，a·b的取值范围也是[-||a|| ||b||, ||a|| ||b||]。

平方后即得：(a·b)^2 ≤ (||a|| ||b||)^2由于a·b是一个实数，所以(a·b)^2 ≥ 0。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯

一
二
维
形
第
式
三
的
讲
柯
西
不
等
式
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
考点一考点二
一
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1)定理 1：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立．
(2)二维形式的柯西不等式的推论： (a＋b)(c＋d)≥ ( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)；
利用柯西不等式证明不等式
[例 1] 已知 θ 为锐角，a，b∈R＋，求证：coas22θ＋sibn22θ≥(a ＋b)2.
[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ.”然后用柯西不等式证明．
[证明] ∵coas22θ＋sibn22θ
＝coas22θ＋sibn22θ(cos2θ＋si＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2
侧时，等号成立．
(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x22＋y1－y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1，P2，P3 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3 的边长关系有|P1P3| ＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1，P2，P3 共线，并且点 P1，P2 在 P3 点的异侧时，等号成立．
≥coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ2

＝(a＋b)2，

柯西不等式及应用

柯西不等式及应用柯西不等式：设a 1,a 2,…a n,b 1,b 2…b n 均是实数，则有（a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ）2≤（a 12+a 22+…a n 2）（b 12+b 22+…b n 2）等号当且仅当a i =λb i (λ为常数，i=1,2.3,…n)时取到。

注：二维柯西不等式：（一）、柯西不等式的证明证明：令f(x)=(a 1x+b 1)2+(a 2x+b 2)2+…+（a n x+b n ）2=(a 12+a 22+…+a n 2)x 2+2(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )x+(b 12+b 22+…+b n 2) ∵ f(x)≥0 ∴ △≤0 即（a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ）2≤(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12＋b 22+…+b n 2)等号仅当 a i =λb i 时取到。

（二）、柯西不等式的应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。

使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。

1．证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。

如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，（1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 分析∵a 、b 、c 均为正∴为证结论正确只需证：9]111)[(2>+++++++ac c b b a c b a 而)()()()(2a c c b b ad b a +++++=++ 又2)111(9++=2．（2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 分析：不等号左边为两个二项式积，+-∈∈R x x R b a 21,,,，每个两项式可以使柯西不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

高中数学-公式-柯西不等式.docx

第一课时3.1二维形式的柯西不等式(一)2.练习：已知°、b、c、d 为实数，求证(a2 + b2)(c2+d2)>(ac+bdf①提出定理1：若a、b、c、d 为实数,则(a2 + lr )(c2 + J2) >(6fc + bd)2.证法一：(比较法)(a2 +b2)(c2 + J2)-(ac + bd)2=....= (ad-be)2 >0证法二：(综合法)(a2 +b2)(c2 +d2)=a2c2 -\-crd1 +b1c1 +b2d2=(ac + bd)2 + (ad -be)2 > (ac + bd)2.(要点：展开配方)证法三：(向量法)设向量m = (a,b), n = (c,d),贝^\\m\=\la2 +b2 , |n|= yjc2 +d2 .T trf n = ac + bd 9n=\m\\n \ cos<m.n>，证法四：(函数法)设/(x) = (a2 + b2)x2 - 2(ac + bd)x + c2 + d2，贝9 f(x) = (ax-c)2 +(bx-d)120 恒成立.・•・ A = {-2{ac + bd)f -4(a2 + b2)(c2 + J2) 0,即..…③二维形式的柯西不等式的一些变式：4cr -^h1A/C2+d2 >| ac+hd \或y/a2 +lr \l(r +d~ >\ac\-^-\hd\或如+戾Jc2+d? »ac + bd ・④提出定理2：设o,0是两个向量，贝I J|Q0|S|Q||0|.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）一讨论：上面时候等号成立？（0是零向量，或者％0共线）⑤练习：己知a、b、c、d 为实数,求证\/a2 + b1 + \/c2 + J2＞yj（a-c）2 +（/?-J）2 .证法：（分析法）平方一应用柯西不等式一讨论：其儿何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：_______ _________ _____________________①出示定理3：设兀|,廿，2，丿2 ^尺，则肩 ++ Jxj+ ”2 » J（X| _兀2尸+ O| _ •分析其儿何意义一如何利用柯西不等式证明-变式：若西,必,兀2，力，兀3，〉'3丘尺，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西床等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时3」二维形式的柯西不等式（二）教学过程：______ _________ ___________________（/ + b2）（c2 + ）»（皿 + bd）2: J兀］2 + yj + Qxj +）叮＞』（西一勺尸+（必一力），3.如何利用二维柯西不等式求函数二的最大值？要点：利用变| ac + bd \＜ ^a2 +b2 y{c2+d2 .二、讲授新课：1・教学最大（小）值：①出示例1：求函数y = 3厶-1 + J10-2兀的最大值？分析：如何变形？-＞构造柯西不等式的形式〜板演________________—变式：y = ＞/3x-l + J10-2兀—推广：y = ajbx+c + dje-fic,（a,b,c,d,e,f w&）②练习：已知3x + 2y = l,求x2 + ^2的最小值.解答要点:（凑配法）x2 +y2 =—（x2 + y2）（32 +22）＞—（3x+2j）2 =—.-13 13 132.教学不等式的证明：①出示例2：若x,y e, x+y = 2 f求证：丄+丄＞2.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比一构造）要点:讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、bw© ,求证：（d + b）（—+ —）^4.a b3.练习：①已知兀,且—+ — = 1,则x+y的最小值.兀>'要点：x+ y = （— + —）（x+ y）= .... f 其它证法兀y②若x,y,zw/?+，且x+y + z = l,求x2 + /+z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若兀,y,zw/?+，且x+y + z = l ,求yfx + Jy +\fz的最大值.第三课时3.2 一般形式的柯西不等式2.提问：二维形式的柯两不等式？如何将二维形式的柯两不等式拓广到三维？答案：（a2+b2）（c2+〃2）n（dc+加）2；（a2 + Z?2 4- c2）（d2 +e2+f2）> （ad + be + cf）2二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式|&0曰&||0|,如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：〃维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设44，,Q…2,4 wR ,则（q? + 电 + aj）0]2 + 优2 + + b：） > （afy + a2b2 + +ci rl b fl）2讨论：什么时候取等号？（当且仅当半=学=吋取等号，假设勺工0）*优仇联想：设8 =如+也++讷,A = a l2+a22+ a； , C = b；+b/+ +” ,则<B2-AC>0,可联想到一些什么？"③讨论：如何构造二次函数证明兄维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令f（x）=（壬 + a；+ …+ a；）x~ + 2（马勺 + ①b, + …+ ci n b n）x +（b「+/?》+••• + /?；）,则/（x） =（6Z I x + /?1）2+（%兀 + 化）2 +•••+ （a“兀+b“）2 >0.又dj+%2+... + a”2>0,从而结合二次函数的图像可知，△ = [2（d]b] + a2b2 + ）『—4（d]2 + + a：）（bj + bj + + b：） WO即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式：+ 6f22 + 町X丄（吗+$+…+ %）2.（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：己知13x + 2y + z = l,求X2 4- y2 4- z2的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？一板演一变式：②练习：若x.y.zeR^ ,且丄+丄+ - = 1,求X + —+ -的最小值.兀y z 2 31 1 4③出示例2：若a>b>c,求证： -------- + ----- > ------ .a-h b-c a-c要点：（Q — C）（—「+亠） = [（d-b） + （b-c）]（—「+ 亠》（1 + 1）2=4a—b b — c a — b b — c②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:a{<a2<…<a n;b} <b2<…<b n. c l9c2, ••• c“是b l9b2, ••• ,b n的任一排列，则有+ a2h2 + • • • + a n b n（同序和）>qq + a2c2+ …+ a n c n（乱序和）>a}h n + a2b n_} + ・・・ + a tl h}（反序和）当且仅当a x =(72 =…=ci“或勺=/?2=・•- =b tl 时，反序和等于同序和. (要点：理解長思想，记住其形式］2.教学排序不等式的应用：①出示例1：设即禺,…,％是几个互不相同的正整数，求证：分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式?证明过程:设b },b 2.-,b n 是ms …心的一个排列,且b Y <b 2<--<b n ,则勺>\,b 2 …也>n . 又1＞丄〉丄＞•••＞」，由排序不等式，得2- 3- nra +鱼+色+ ... +玉” +色+乞+ (2)1 22 32 H 2_ ' 22 32 才―…小结：分析目标，构造有序排列.②练习：已知 a,b,c 为正数,求证：2(/ + 戾 +cP)＞a 2(b + c)+b 2(a-}-c)-}-c 2(a+b).解答要点：由对称性，假设aSbWc ，贝\]a 2<h 2<c\于是 a 2a + b 2h + c 2c > a 2c + b 2a + c 2h , a 2a + b 2h + c 2c > crb + b 2c + c 2a , 两式相加即得. 1冷£ +・士"+斜守+…厂/?2。