第三章 《电工学》上册 电工技术 主编 陈国鼎 林珊

3.2 储能元件和换路定则
SR
uC
暂态
+
U
–
iC
C
+ –
uC
U
o
(b)
t
图(b)
合S前: iC 0 , uC 0
稳态
合S后： uC由零逐渐增加到U
所以电容电路存在暂态过程(C储能元件)
产生暂态过程的必要条件：
(1) 电路中含有储能元件 (内因)
换电路(2路):电接电路通路发、状生切态换断的路、改(变短外。路因如、) ：电压改变则或若i参C u数cd改发du生t变C 突变，
导电性能有关，表达式为：R l
S
电阻的能量 W
t
uidt
t Ri2dt 0
0
0
表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。
3.1.2 电感元件
描述线圈通有电流时产生磁 场、储存磁场能量的性质。
1.物理意义
电流通过一匝线圈产生 Φ(磁通)
i +
u
-
电流通过N匝线圈产生 ψ NΦ(磁链)
+ u_ L L
解：(1) iL(0 ) 1A
t = 0 -等效电路
uC (0 ) R3iL(0 ) 41 4 V
由换路定则：
iL(0 ) iL(0 ) 1A
uC (0 ) uC (0 ) 4 V
例2：换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
_
8V
i1
t =0iC
R1 4
u+_C
R2 iL R3
4 4
+ u_L
电量
t 0 t 0
uC / V iL / A
41 41
iC / A uL / V
00
1 11
3
3
换路瞬间，uC、iL 不能跃变，但 iC、uL可以跃变。
结论
1.换路瞬间，uC、 iL 不能跃变, 但其它电量均可以跃 变。
R
iR
+ 2
U
_
8V
i1
t =0iC
R1 4
u+_C
R2 iL R3 + 2
4
4 U
+ u_L
_ 8V
R1
iC R2 iL R3
4 4
+
4V_ 1A
t = 0+时等效电路
解：(2) 由t = 0+电路求 iC(0+)、uL (0+) uc (0+) iL (0+)
由图可列出 U Ri(0 ) R2iC (0 ) uC (0 )
1) 由t =0+的电路求其它电量的初始值； 2) 在 t =0+时的电压方程中 uC = uC( 0+)、
t =0+时的电流方程中 iL = iL ( 0+)。
例1．暂态过程初始值的确定
S C R2
已知：换路前电路处稳态，
+ t=0
U
R1
-
(a)
L
C、L 均未储能。
试求：电路中各电压和电
流的初始值。
当电压u变化时，在电路中产生电流:
i C du
电容元件储能
dt
将上式两边同乘上 u，并积分，则得：
t ui dt
u Cudu 1 Cu2
0
0
2
i
+
u
C
_
电容元件
电容元件储能
电场能 W 1 Cu2 2
即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压 增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能； 当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还 能量。
3.3 RC电路的响应
一阶电路暂态过程的求解方法 一阶电路
仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线 性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电 路。 求解方法
1. 经典法: 根据激励(电源电压或电流)，通过求解 电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。 2. 三要素法 初始值
求 稳态值 （三要素） 时间常数
U R1 R3

4
4
4

2
U 4
4
1A
R1 R3
44
例2：换路前电路处于稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
R
R
+ 2
U
_
8V
i1
t =0iC
R1 4
u+_C
R2 iL R3 + 2 i1
4
4
U
+ u_L
_ 8V
iC
R2 iL R3
4 4
R41 u+_C C
态响应、全响应的概念，以及时间常数的物 理意义; 3. 掌握换路定则及初始值的求法; 4. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
第3章 电路的暂态分析
稳定状态： 在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。
暂态过程： 电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
研究暂态过程的实际意义
1. 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。
代入数据
i(0 ) iC (0 ) iL(0 ) 8 2i(0 ) 4iC (0 ) 4
i(0 ) iC (0 ) 1
例2：换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
R
iR
+ 2
U
_
8V
i1
t =0iC
R1 4
u+_C
R2 iL R3 + 2
本节所讲的均为线性元件，即R、L、C都是常数。
3.2 储能元件和换路定则
1.电路中产生暂态过程的原因
例：
i
S R1
I
+
U
-
+
R2 R3 u2 -O
t
(a) 图(a)：
合S前：i 0 uR1 uR2 uR3 0
合S后：电流 i 随电压 u 比例变化。
所以电阻电路不存在暂态过程 (R耗能元件)。
2.换路前, 若储能元件没有储能, 换路瞬间(t=0+的等 效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。
3.换路前, 若uC(0-)0, 换路瞬间 (t=0+等效电路中), 电容元件可用一理想电压源替代, 其电压为uc(0+); 换路前, 若iL(0-)0 , 在t=0+等效电路中, 电感元件 可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。
0
0
2
磁场能
W 1 Li2
2
即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电
流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电
能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电
源放还能量。
3.1.3 电容元件
描述电容两端加电源后，其两个极板
上分别聚集起等量异号的电荷，在介质
中建立起电场，并储存电场能量的性质。
电容： C q (F ) u
3.3.1 RC电路的零输入响应
零输入响应: 无电源激励, 输
入信号为零, 仅由电容元件的 + 初实始质储：能RC所电产路生的的放电电路过的程响应。U -
2 t0 R
1
S
+
iC
uRu–C+–
c
图示电路
uC (0 ) U
换t =路0时前开电关路S已处1稳, 电态容uCC (经0电) 阻URu_L
_ 8V
iC
R2 iL R3
4 4
R41 u+_C C
+ u_ L L
解：(1)
由t
=
0-电路求
uC(0–)、iL
t=
(0–)
0
-等效电路
换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；
由t = 0-电路可求得： 电感元件视为短路。
iL(0 )
R1 R1 R3 R
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
3.3.2 RC电路的零状态响应
零状态响应: 储能元件的初 始能量为零， 仅由电源激励
Si + t 0+
R _
1.电容电压 uC 的变化规律(t 0)
(1) 列 KVL方程
uR iR
代入上式得
uR uC
iC C
RC duC dt
0
duC dt
uC
0
一阶线性常系数 齐次微分方程
(2)
解方程：RC duC dt
uC
特征方程 RCP 1
0 通解
0 \P
: uC
1

产生暂态过程的原因：
一般电路不可能！
由于物体所具有的能量不能跃变而造成
在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变
∵
C
储能：
WC

1 2
CuC2
∵ L储能：
WL

1 2
LiL2
\ uC 不能突变
\ i L不 能 突 变
2.换路定则
设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0-— 表示换路前的终了瞬间 t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）
时间越长。
(3) 暂态时间
理论上认为 t 、uC 0电路达稳态 工程上认为 t (3 ~ 5) 、uC 0电容放电基本结束。
e t随时间而衰减
t

2 3 4 5 6
t