快速傅里叶变换(FFT)原理及源程序
FFT-快速傅里叶变换
p=6.283185306/n;
pr[1]=cos(p);
pi[1]=-sin(p);
if (l)
pi[1]=-pi[1];
for(i=2;i<=n-1;i++){
p=pr[i-1]*pr[1];
q=pi[i-1]*pi[1];
s=(pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);
注：亲测，这个版本无法运行，作者删改了重要内容[1] 请参考源码（2）
//快速傅立叶变换
// 入口参数：
// l: l=0, 傅立叶变换;l=1, 逆傅立叶变换
// il: il=0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il=1,计算模和幅角
// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，64，128，...,1024等
wi = wi*wpr + wtemp*wpi + wi;
}
mmax = istep;
}
}
在C++环境下的源码
bool FFT(complex<double> * TD, complex<double> * FD, int r)
{
//一维快速Fourier变换。
//complex<double> * TD ——指向时域数组的指针; complex<double> * FD ——指向频域数组的指针; r ——2的幂数，即迭代次数
// fr[]: l=0, 返回傅立叶变换的实部
// l=1, 返回逆傅立叶变换的实部
// fi[]: l=0, 返回傅立叶变换的虚部
快速傅立叶变换(FFT)源程序
//实验用的头文件MYFFT.H//作用：为帮助小虎子做实验，这个头文件提供了完整的一维与二维FFT算法，我想应改是够你折腾了吧！#include <complex> // complex<float>using namespace std;typedef complex<float> Comp; // 复数类型定义const float _2PI_ = 2.0f * 3.14159265f; // 常数2PI定义const int MAX_N = 256; // 最大DFT点数/*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----* FFT算法模块接口定义*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*----*////////////////////////////////////////////// Function name : BitReverse// Description : 二进制倒序操作// Return type : int// Argument : int src 待倒读的数// Argument : int size 二进制位数int BitReverse(int src, int size){int tmp = src;int des = 0;for (int i=size-1; i>=0; i--){des = ((tmp & 0x1) << i) | des;tmp = tmp >> 1;}return des;}////////////////////////////////////////////////// // Function name : Reorder// Description : 数据二进制整序// Return type : void// Argument : Comp x[MAX_N] 待整序数组// Argument : int N FFT点数// Argument : int M 点数的2的幂次void Reorder(Comp x[MAX_N], int N, int M){Comp new_x[MAX_N];for (int i=0; i<N; i++)new_x = x[BitReverse(i, M)];// 重新存入原数据中(已经是二进制整序过了的数据)for (i=0; i<N; i++)x = new_x;}////////////////////////////////////////////////// // Function name : CalcW// Description : 计算旋转因子// Return type : void// Argument : Comp W[MAX_N] 存放因子的数组// Argument : int N FFT的点数// Argument : int flag 正逆变换标记void CalcW(Comp W[MAX_N], int N, int flag){for (int i=0; i<N/2; i++){if (flag == 1)W = exp(Comp(0, -_2PI_ * i / N)); // 正FFT变换elseW = exp(Comp(0, _2PI_ * i / N)); // 逆FFT变换}}///////////////////////////////////////////////// // Function name : FFT_1D_Kernel// Description : FFT算法核心// Return type : void// Argument : Comp* x 数据// Argument : int M 幂次// Argument : int flag 正逆变换标记以下本应由自己完成。
快速傅里叶变换FFT的C语言实现及应用
快速傅里叶变换FFT的C语言实现及应用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的算法。
它能够在较短时间内计算出巨大数据集的傅里叶变换，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
C语言是一种广泛应用于嵌入式系统和科学计算的编程语言，拥有高效、灵活和可移植等特点。
下面将介绍FFT的C语言实现及应用。
首先，我们需要了解离散傅里叶变换的定义。
离散傅里叶变换将一组离散的时域信号转换成一组对应的频域信号，可以表示为以下公式：X(k) = Σ[ x(n) * W^(kn) ]其中，X(k)是频域信号，x(n)是时域信号，W是单位复数旋转因子，其计算公式为W=e^(-j*2π/N)，其中j是虚数单位，N是信号的长度。
实现FFT算法的关键在于计算旋转因子的值，一种常用的计算方法是采用蝶形算法（butterfly algorithm）。
蝶形算法将DFT分解成多个子问题的求解，通过递归调用可以快速计算出结果。
以下是一种基于蝶形算法的FFT实现的示例代码：```c#include <stdio.h>#include <math.h>typedef structfloat real;float imag;if (N <= 1)return;}for (int i = 0; i < N/2; i++)even[i] = signal[2*i];odd[i] = signal[2*i + 1];}fft(even, N/2);fft(odd, N/2);for (int k = 0; k < N/2; k++)signal[k].real = even[k].real + temp.real;signal[k].imag = even[k].imag + temp.imag;signal[k + N/2].real = even[k].real - temp.real; signal[k + N/2].imag = even[k].imag - temp.imag; }int maiint N = sizeof(signal) / sizeof(signal[0]);fft(signal, N);printf("频域信号：\n");for (int i = 0; i < N; i++)printf("%f + %fi\n", signal[i].real, signal[i].imag);}return 0;```以上代码实现了一个简单的4点FFT算法，输入时域信号为{1,0,1,0}，输出为对应的频域信号。
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
快速傅里叶变换FFT算法源码经典
快速傅里叶变换FFT算法源码经典以下是一个经典的快速傅里叶变换（FFT）算法的源码，包含详细的注释解释每个步骤的作用。
```pythonimport cmath#递归实现快速傅里叶变换def fft(x):N = len(x)#基本情况：如果输入向量只有一个元素，则直接返回该向量if N <= 1:return x#递归步骤：#将输入向量分成两半even = fft(x[0::2]) # 偶数索引的元素odd = fft(x[1::2]) # 奇数索引的元素T = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * odd[k] for k in range(N // 2)]#组合结果return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + \[even[k] - T[k] for k in range(N // 2)]#逆傅里叶变换def ifft(X):N = len(X)#将输入向量取共轭X_conj = [x.conjugate( for x in X]#应用快速傅里叶变换x_conj = fft(X_conj)#将结果取共轭并归一化return [(x.conjugate( / N).real for x in x_conj]#示例测试if __name__ == "__main__":x=[1,2,3,4]X = fft(x)print("快速傅里叶变换结果：", X)print("逆傅里叶变换恢复原始向量：", ifft(X))```这个源码实现了一个经典的快速傅里叶变换（FFT）算法。
首先，`fft`函数实现了递归的快速傅里叶变换，接收一个输入向量`x`作为参数，返回傅里叶变换后的结果`X`。
如果输入向量只有一个元素，则直接返回。
否则，将输入向量分成两半，分别对偶数索引和奇数索引的元素递归应用FFT。
快速傅里叶变换多项式乘法
快速傅里叶变换多项式乘法快速傅里叶变换（FFT）是一种快速计算多项式乘法的算法。
在计算机科学中，多项式乘法是一个十分广泛的问题，因为它有很多应用，例如信号处理、密码学、图像处理、数据压缩等等。
FFT算法的出现解决了这个问题的时间复杂度，使得计算大型多项式乘法成为了可行的任务。
1. FFT算法的原理和步骤 FFT算法是一种基于分治思想的算法，它把多项式乘法分解成两个较小的多项式乘法，然后以递归的方式继续分解直到小到可以直接计算的程度。
FFT算法的主要步骤如下：Step 1：将两个多项式的系数表达式分别展开，组成两个系数向量，由于向量在FFT算法中的操作更加方便，因此将分别展开出的系数给予两个向量。
Step 2：给向量补齐空缺值，由于$n$（两多项式次数之和）为$2$的幂，于是补齐至$2^n$个。
Step 3：对向量进行傅里叶变换，得到两个傅里叶变换向量。
这一步可以利用DFT（离散傅里叶变换）或IDFT （离散傅里叶逆变换）实现。
具体实现方式后续详细介绍。
Step 4：将两个傅里叶变换向量逐位相乘（注意：乘法运算是复数乘法，不是单纯的数乘），得到一个新的傅里叶变换向量。
Step 5：对新的傅里叶变换向量进行傅里叶逆变换（IDFT），得到的结果就是最后的多项式系数向量。
2. DFT的计算及优化思路DFT（离散傅里叶变换）是FFT算法中的重要计算基础，因此，如何快速准确地计算离散傅里叶变换的值是至关重要的。
对于长度为$n$的一个序列$a$，它的DFT计算公式如下：$$A(k)=\sum _{j=0}^{n-1}a(j)\cdot e^{-i2\pikj/n}$$其中$i$表示虚数单位，$e$表示自然常数，$k$表示频率，$j$表示时间，$n$表示序列长度。
根据公式，可以采用暴力枚举的方式计算出$A(k)$的值，但是时间复杂度达到$O(n^2)$，很不适合计算大量数据。
于是，FFT算法采用了一种基于蝴蝶运算的DFT优化方式，能够将时间复杂度降到$O(nlog(n))$：如果序列的长度为偶数，可以将序列分成两个序列，再分别进行DFT；如果序列长度是奇数，则可以将序列复制一份，增加一个零元素，然后将序列分成两部分，分别进行DFT的计算。
FFT 及其Python实现方法
FFT 及其Python实现方法FFT 及其Python实现方法快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)是一种高效的计算傅里叶变换的算法，广泛应用于信号处理、图像处理、数字滤波等领域。
本文将介绍FFT 的原理及其在Python中的实现方法，以帮助读者更好地理解和应用FFT算法。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学变换方法，通过将信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的和来描述信号的频谱特性。
傅里叶变换的公式为：其中，X(k)表示频域的系数，x(n)表示时域的信号，N表示信号的长度。
二、FFT算法原理FFT算法是一种高效的计算傅里叶变换的算法，其基本思想是将一个N点的DFT（离散傅里叶变换）分解成多个较小规模DFT的和，从而降低计算复杂度。
FFT算法的核心是蝶形运算，通过将原始序列分成两部分，分别进行计算后再合并，从而实现快速的傅里叶变换。
三、Python库介绍在Python中，我们可以使用NumPy库来实现FFT。
NumPy是一个科学计算的基础库，提供了丰富的数学函数和数组操作工具，可以方便地进行FFT 计算。
四、FFT的Python实现步骤导入必要的库在使用NumPy实现FFT之前，我们需要导入相应的库，并加载我们要处理的信号。
以下是导入库和加载信号的示例代码：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 加载示例信号t = np.arange(0, 1, 0.01)signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + np.sin(2 * np.pi * 10 * t) + np.random.randn(len(t))进行FFT计算在Python中，我们可以使用NumPy库中的numpy.fft.fft函数来实现FFT 计算。
以下是一个进行FFT计算的示例代码：# 进行FFT计算fft_result = np.fft.fft(signal)使用np.fft.fft函数，我们将信号作为输入，得到其FFT计算的结果。
FFT算法设计(含程序设计)
FFT算法设计（含程序设计）简介快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法，它的运算复杂度是O(nlogn)。
FFT在信号处理、图像处理、通信以及其他领域中广泛应用。
本文将介绍FFT算法的原理，并给出一个简单的FFT算法的程序设计示例。
FFT算法原理FFT算法基于DFT的性质，通过利用对称性和周期性，将一个长度为n的序列划分为多个规模较小的子序列，并对其进行逐步变换，最终得到整个序列的傅里叶变换结果。
FFT算法的核心思想是分治法，即将一个长度为n的序列划分为两个长度为n/2的子序列，然后对子序列分别进行FFT变换，再进行组合得到原序列的DFT。
具体的步骤如下：1. 如果n=1，DFT即为序列本身；2. 将长度为n的序列划分为两个长度为n/2的子序列，分别为序列A和序列B；3. 对序列A进行FFT变换得到A的傅里叶变换结果；4. 对序列B进行FFT变换得到B的傅里叶变换结果；5. 将A和B的傅里叶变换结果按照以下公式组合得到原序列的傅里叶变换结果：![FFT公式]()FFT算法程序设计示例下面是一个使用语言实现的简单FFT算法的程序设计示例：import cmathdef fft(x):N = len(x)if N <= 1:return xeven = fft(x[0::2])odd = fft(x[1::2])T = [cmath.exp(-2j cmath.pi k / N) odd[k] for k in range(N // 2)]return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + [even[k] T[k] for k in range(N // 2)]测试代码x = [1, 2, 3, 4]X = fft(x)print(X)以上代码实现了一个递归版本的FFT算法。
输入序列x为长度为2的幂次的复数序列，输出序列X为其傅里叶变换结果。
fft的用法 -回复
fft的用法-回复FFT，即快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform），是一种高效的信号处理算法，用于快速计算傅里叶变换。
它广泛应用于数字信号处理、图像处理、通信和音频处理等领域。
在本文中，我将详细介绍FFT的原理、算法步骤以及应用。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将信号从时域转换为频域的数学工具，它可以将一个信号分解为不同频率成分的叠加。
傅里叶变换公式为：F(w) = ∫f(t)e^(-jwt)dt其中，F(w)表示频域的复数函数，f(t)表示时域的函数，w为频率。
二、快速傅里叶变换原理FFT算法是在1965年由J.W. Cooley和J.W. Tukey发现的，它利用了傅里叶变换的对称性质，将O(n^2)复杂度的计算降低为O(nlogn)的复杂度。
FFT算法通过将信号采样点划分为不同的子集进行计算，并利用了旋转因子运算的特性，实现了快速的计算。
三、FFT算法步骤1. 输入信号首先，我们需要准备一个输入信号，该信号是以时间为自变量的实数函数。
通常，我们会对信号进行采样，得到一组离散的采样点。
2. 信号的长度针对采样点的数量，我们需要确定信号的长度为N。
在实际应用中，为了确保FFT的正确性，通常会选择2的整数次幂，即N=2^k。
3. 填充零如果信号的长度小于N，我们需要对其进行零填充，使其长度等于N。
这样做是为了保证FFT算法的正确性以及计算的高效性。
4. 快速傅里叶变换采用分治法的思想，FFT算法将信号分为两个子集，并分别计算它们的频谱。
然后，通过合并这些子集的结果以及旋转因子的运算，得到整个信号的频谱。
5. 频谱结果最后，我们可以得到信号的频谱结果，它表示了信号中不同频率成分的振幅和相位。
四、FFT的应用1. 音频处理在音频处理中，FFT被广泛应用于音频信号的频谱分析、波形绘制和滤波处理等方面。
通过FFT算法，我们可以将音频信号转化为频域表示，实现音频特征提取、音频识别以及音频效果的处理。
快速傅里叶变换FFT原理及源程序
快速傅里叶变换FFT原理及源程序快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的算法。
在信号处理、图像处理、通信等领域中广泛应用。
它的原理基于傅里叶变换的线性性质和周期性质，通过分治的思想将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算的效率。
下面是FFT算法的一种实现：1.假设需要计算N点离散傅里叶变换（DFT），将N分解为N=N1*N2，其中N1和N2都是正整数。
这里采用的分解方法是使得N1为2的幂次，N2为能被2整除的数。
2.将原始序列x[n]的下标按照奇偶分为两组，分别得到x1[n]和x2[n]。
3.对x1[n]和x2[n]分别进行N1点的DFT计算，得到X1[k]和X2[k]。
4. 根据蝴蝶（Butterfly）算法，将得到的X1[k]和X2[k]重新组合成X[k]，具体操作如下：- 对于每一个k，X[k] = X1[k] + W_Nk * X2[k]，其中W_Nk是旋转因子，满足W_Nk = exp(-i * 2 * π * k / N)，i是虚数单位，π是圆周率。
-对于每一个k，X[k+N/2]=X1[k]-W_Nk*X2[k]。
5.重复步骤2至4，直到计算完成。
最终得到的X[k]就是原始序列x[n]的N点DFT。
下面是一个简单的FFT的源程序（使用Python实现）：```pythonimport cmathdef fft(x):N = len(x)if N == 1:return xeven = fft(x[0::2])odd = fft(x[1::2])X=[0]*Nfor k in range(N // 2):W_Nk = cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) X[k] = even[k] + W_Nk * odd[k]X[k + N // 2] = even[k] - W_Nk * odd[k] return X#测试示例x=[0,1,2,3,4,5,6,7]X = fft(x)print(X)```。
DSP--FFT-深入浅出-详细讲解快速傅里叶变换
第一节 引言
一、迅速付里叶变换FFT
• 有限长序列经过离散傅里叶变换 (DFT)将其频 域离散化成有限长序列.但其计算量太大(与N 旳平方成正比）, 极难 实时地处理问题 , 因 此 引 出 了 快 速 傅 里 叶 变 换(FFT) .
• 一种复数乘法涉及4个实数乘法和2个实数相 法。
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)
2次实数加法
4次实数乘法
4.计算DFT需要旳实数运算量
N 1
X (k) {(Re[x(n)]Re[WNkn ] Im[x(n)]Im[WNkn ]) n0
j(Re[x(n) Im[WNkn ] Im[x(n)]Re[WNkn ])}
4
4
X (k) N X (k) N
(
N
)
4 2
4
+
(
N 4
4
)2
=
N 4
2
这么一直分下去，剩余两点旳变换。
2、将长序列DFT利用对称性和 周期性分解为短序列DFT--结论
• 迅速付里时变换(FFT)就是在此特征基础上 发展起来旳，并产生了多种FFT算法，其基 本上可提成两大类：
• 按抽取措施分： 时间抽取法(DIT);频率抽取法(DIF)
r 0
r 0
W 2
j 2 2
e N
j 2
e N/2
W
3.求出子序列旳DFT
上式得：
N / 21
N / 21
X（k)
x1(r)WNrk/ 2
x2 (r)WNrk/ 2WNk
fft快速傅里叶变换c语言
fft快速傅里叶变换c语言快速傅里叶变换（FFT）是一种在计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换时非常有效的算法。
在C语言中实现FFT，需要理解FFT的基本原理和步骤，包括位反转、分治和蝶形运算等。
以下是一个简单的FFT实现，使用了Cooley-Tukey的算法：```cinclude <>include <>include <>define PIvoid fft(complex double a, int n) {if (n <= 1) return;complex double a0[n/2], a1[n/2];for (int i = 0; i < n/2; i++) {a0[i] = a[i2];a1[i] = a[i2 + 1];}fft(a0, n/2);fft(a1, n/2);for (int k = 0; k < n/2; k++) {complex double t = cexp(-IPIk/n) a1[k];a[k] = a0[k] + t;a[k + n/2] = a0[k] - t;}}int main() {int N = 8; // 输入的点数，必须是2的幂complex double x[N]; // 输入数据，即要进行FFT的序列for (int i = 0; i < N; i++) {x[i] = i; // 例如，输入为简单的等差序列 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}fft(x, N); // 进行FFT变换for (int i = 0; i < N; i++) {printf("%f + %fi\n", creal(x[i]), cimag(x[i])); // 输出FFT的结果，即序列的频域表示}return 0;}```这个程序首先定义了一个`fft`函数，它接受一个复数数组和数组的大小作为参数。
快速傅里叶变换（FFT）算法原理及代码解析
快速傅里叶变换（FFT）算法原理及代码解析•FFT与DFT关系：快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是离散傅里叶（DFT）变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域；FFT（快速傅里叶变换）其本质就是DFT，只不过可以快速的计算出DFT结果，它只是傅立叶变换算法实现过程的一种改进。
要弄懂FFT，必须先弄懂DFT，DFT(DiscreteFourier Transform) 离散傅里叶变换的缩写，咱们先来简单讨论一下DFT。
DFT(FFT)的作用:可以将信号从时域变换到频域，而且时域和频域都是离散的，通俗的说，可以求出一个信号由哪些正弦波叠加而成，求出的结果就是这些正弦波的幅度和相位。
•DFT的公式：其中X(k)表示DFT变换后的数据，x(n)为采样的模拟信号,公式中的x(n)可以为复信号，实际当中x(n)都是实信号，即虚部为0,此时公式可以展开为：那么，对于一个的序列进行不断分解，就可以得出如下所谓的蝶形图：•FFT处理蝶形运算蝶形运算的规律：同一级中所有蝶形的输入点在同一竖直线上，意味着我们可以按级来运算，对于M级的蝶形，编个M次循环就好了；所有数据点在运算后不会窜位，即计算后可以将结果存入原来的地址空间。
每级N/2个蝶都需要用到系数WN，这里称它为旋转因子。
我们来观察旋转因子WN的规律。
以8点的蝶形图为例：可见，第L级的旋转因子为：可以看到，每个蝶的两个输入点下标跨度是不一样的。
比如第一级中是相邻两个数据作蝶运算，第二级中是两个输入点隔开一个点，而第三级隔开三个点。
不难找到规律：第L级中，第二个输入点的坐标是第一个点的坐标+space，space=Math.Pow(2, L)=num。
FFT的算法是写一个三重循环：•第一重循环对每一级运算（每级含num=Math.Pow(2, L)个蝶形）；•第二重对每一个旋转因子对应的蝶运算，那么有几个蝶呢？很简单，每级都应该有N/2个蝶，而每个因子对应N/2 / num个蝶；•第三重循环对每个蝶进行计算，需要注意的一是循环下标起始点的位置，二是每次计算需要申明临时变量来保存输入数据点。
FFT-C快速傅里叶变换超级详细的原代码
快速傅立叶变换（FFT）的C++实现收藏标准的离散傅立叶DFT 变换形式如：y k=Σj=0n-1a jωn-kj = A (ωn-k).（ωn k为复数1 的第k 个n 次方根，且定义多项式A (x)=Σj=0n-1a j x j）而离散傅立叶逆变换IDFT (Inverse DFT)形式如：a j=(Σk=0n-1y kωn kj)/n .yk=Σj=0n-1 ajωn-kj = A (ωn-k).（ωnk 为复数1 的第k 个n 次方根，且定义多项式 A (x) = Σj=0n-1 ajxj ）而离散傅立叶逆变换IDFT (Inverse DFT)形式如：aj=(Σk=0n-1 ykωnkj)/n .以下不同颜色内容为引用并加以修正：快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）的快速算法，它是根据离散傅立叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅立叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设Xn 为N 项的复数序列，由DFT 变换，任一Xi 的计算都需要N 次复数乘法和N -1 次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N 项复数序列的Xi ，即N 点DFT 变换大约就需要N2 次运算。
当N =1024 点甚至更多的时候，需要N2 = 1048576 次运算，在FFT 中，利用ωn 的周期性和对称性，把一个N 项序列（设N 为偶数），分为两个N / 2 项的子序列，每个N / 2点DFT 变换需要(N / 2)2 次运算，再用N 次运算把两个N / 2点的DFT 变换组合成一个N 点的DFT 变换。
FFT原理讲解及实现指南
FFT原理讲解及实现指南FFT（快速傅里叶变换）是一种高效的算法，用于将一个离散的时间域信号转换为频域信号。
在信号处理、图像处理以及通信领域，FFT是一种非常重要的工具。
一、FFT原理讲解傅里叶变换是一种将一个连续时间域信号转换为频域信号的方法。
其数学表达式为：X(f) = ∫x(t)e^(-j2πft)dt其中，X(f)表示频域信号，x(t)表示时间域信号，f表示频率，j表示虚数单位。
然而，对于离散时间信号，我们可以使用离散傅里叶变换（DFT）来对其进行频域分析。
DFT的公式如下：X(k) = Σx(n)e^(-j2πnk/N)其中，X(k)表示离散频域信号，x(n)为离散时间信号，N为采样点数，k表示频率。
FFT是一种用于快速计算DFT的算法，其基本原理是将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
FFT的算法思路是：将N个采样点分为偶数和奇数序列，然后对偶数和奇数序列分别进行DFT变换，得到两个较小的DFT结果。
然后再将这两个较小的DFT结果合并，得到最终的DFT结果。
二、FFT实现指南1.选择合适的FFT库：在实际应用中，我们可以选择一些已有的FFT库来实现FFT算法，例如FFTW、MKL等。
2.确定输入信号：首先，需要确定待处理的离散时间信号x(n)。
3.计算FFT：使用FFT库提供的函数，对输入信号进行FFT计算。
常见的FFT库一般提供了相应的API，通过输入参数，得到计算出的离散频域信号X(k)。
4.获取频域信息：根据需要，可以从计算出的离散频域信号X(k)中提取相应的频域信息，例如频率分量、频谱等。
5.可选步骤：根据实际需求，可以进行滤波、频率域增强等操作。
6.反变换：如果需要将频域信号转换为时间域信号，可以使用反变换。
需要注意的是，FFT算法主要适用于离散时间信号的频域分析。
在实际应用中，可能还需要考虑信号预处理、采样率等因素。
三、总结FFT是一种高效的算法，用于离散时间信号的频域分析。
实验八-快速傅立叶变换(FFT)实验
实验七 快速傅立叶变换（FFT ）实验一 实验目的1． 熟悉CCS 集成开发环境；2． 了解FFT 的算法原理和基本性质；3． 熟悉DSP 中cmd 文件的作用及对它的修改；4． 学习用FFT 对连续信号和时域信号进行频谱分析的方法；5． 利用DSPLIB 中现有的库函数；6． 了解DSP 处理FFT 算法的特殊寻址方式；7． 熟悉对FFT 的调试方法。
二 实验内容本实验要求使用FFT 变换对一个时域信号进行频谱分析，同时进行IFFT 。
这里用到时域信号可以是来源于信号发生器输入到CODEC 输入端，也可以是通过其他工具计算获取的数据表。
本实验使用Matlab 语言实现对FFT 算法的仿真，然后将结果和DSP 分析的结果进行比较，其中原始数据也直接来自Matlab 。
三 实验原理一个N 点序列][k x 的DFT ][m X ,以及IDFT 分别定义为：1,,1,0,][][10-==∑-=N m W k x m X km NN k 1,,1,0,][1][10-==--=∑N k W m X N k x km N N m如果利用上式直接计算DFT,对于每一个固定的m,需要计算N 次复数乘法，N-1次加法,对于N 个不同的m,共需计算N 的2次方复数乘法,N*(N-1)次复数加法.显然,随着N 的增加,运算量将急剧增加, 快速傅里叶算法有效提高计算速度（本例使用基2 FFT 快速算法）,利用FFT 算法只需(N/2)logN 次运算。
四 知识要点 .1、 CMD 文件的功能及编写2、 一种特殊的寻址方式：间接寻址间接寻址是按照存放在某个辅助寄存器的16位地址寻址的。
C54x 的8个辅助寄存器（AR0—AR7）都可以用来寻址64K 字数据存储空间中的任何一个存储单元。
3、 TMS320C54x DSPLIB 中关于FFT 变换的一些函数的调用（SPRA480B.pdf ）利用DSPLIB 库时，在主程序中要包含头文件：54xdsp.lib4、 FFT 在CCS 集成开发环境下的相关头文件#include <type.h> //定义数据类型的头文件#include <math.h> //数学函数的头文件，如sqrt.#include <tms320.h> //定义数据类型的头文件#include <dsplib.h> // DSPLIB库文件五实验程序说明1、实验主要函数/***************************正变换*************************************/cbrev(x,x,NX/2); //倒序rfft(x,64,0); //实数FFT变换//求频谱由于FFT程序计算得到的数据只是频谱的实部和虚部，不包含计算幅度谱的//成分（所以描述DSP的参数中给出计算N点FFT的时间，是指不含计算幅度谱的时间），//因此要得到幅度频谱，必须另外增加程序语句来实现。
快速傅里叶变换fft mathmatica
快速傅里叶变换（FFT）是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、计算机视觉等领域有着广泛的应用。
快速傅里叶变换算法的发明有利于对信号频谱的快速计算，从而加快了信号处理的速度。
在本文中，我们将从多个角度来探讨快速傅里叶变换，并深入理解它的原理和应用。
1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个函数从时间或空间域转换到频率域。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号拆分成不同频率的成分，从而更好地理解信号的特性。
在信号处理领域，傅里叶变换被广泛应用于声音、图像等数据的分析和处理中。
2. 快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，它可以在对数时间内完成信号频谱的计算。
其原理是基于分治法和递归思想的，通过将信号分解成子问题，并利用对称性质和周期性质，从而快速计算出频谱信息。
快速傅里叶变换算法的发明极大地加速了信号处理的速度，使得实时处理成为可能。
3. 快速傅里叶变换的应用快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
在音频处理中，通过快速傅里叶变换，我们可以快速计算出音频信号的频谱信息，从而进行音频分析、音频合成等操作。
在图像处理中，快速傅里叶变换可以用于图像的频域滤波、图像压缩等操作。
在通信领域，快速傅里叶变换也被应用于调制解调、信道估计等方面。
4. 我对快速傅里叶变换的个人观点和理解作为一种重要的数学工具，快速傅里叶变换在现代科学技术中扮演着不可或缺的角色。
它的高效性和广泛应用性使得它成为了信号处理领域中的核心算法之一。
虽然快速傅里叶变换算法本身较为复杂，但通过对其原理和应用的深入理解，我们可以更好地利用这一工具，为实际问题提供更好的解决方案。
总结在本文中，我们对快速傅里叶变换进行了全面的探讨，从傅里叶变换的基本概念到快速傅里叶变换算法的原理和应用，希望读者能更全面、深刻和灵活地理解这一重要的数学工具。
通过对快速傅里叶变换的研究，我们可以更好地处理和分析信号数据，为实际问题的解决提供更好的方法和工具。
快速傅里叶变换fft算法程序原理
快速傅里叶变换fft算法程序原理快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法是一种高效的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）计算方法。
它的发展历程可以追溯到1805年，由法国数学家傅里叶提出的傅里叶级数理论奠定了基础。
然而，直到20世纪60年代，Cooley 和Tukey才发现了FFT算法中的重要技巧，将其计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，从而使FFT算法在实际应用中成为可能。
FFT算法的原理基于傅里叶变换的思想，将时域上的信号转换为频域上的表示。
在信号处理领域，傅里叶变换可以将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，得到该信号在不同频率上的幅度和相位信息。
而DFT是傅里叶变换的离散形式，将连续信号转换为离散信号，常用于数字信号处理。
FFT算法的核心思想是将DFT问题分解为多个规模较小的DFT问题，并利用递归的方式进行计算。
具体来说，对于长度为N的序列，FFT算法将其分为两部分，分别计算奇数下标和偶数下标的序列的DFT，然后再将这两部分序列的DFT合并，得到最终结果。
将长度为N的序列划分为两个长度为N/2的子序列，称为偶数部分和奇数部分。
然后对这两部分序列分别进行FFT计算，得到它们的频域表示。
接下来，将得到的频域表示合并，得到长度为N的序列的频域表示。
合并的过程是通过乘以旋转因子来实现的。
旋转因子由欧拉公式给出，可以表示为e^(-2πik/N)，其中k为频域上的下标，N为序列长度。
通过乘以旋转因子，可以将奇数部分的频域表示与偶数部分的频域表示合并成整体的频域表示。
在合并过程中，需要注意到旋转因子具有周期性，即e^(-2πik/N) = e^(-2πi(k+N)/N)。
因此可以利用这个性质，将合并过程中的计算量减半。
具体来说，将序列的长度N分为两部分，分别计算相邻下标的频域表示，然后再将这两部分的频域表示依次合并，直到得到最终结果。
快速傅里叶变换法(FFT)
FFT 程序设计报告快速傅里叶变换法（FFT ）是离散傅立叶变换的一种快速计算方法，它能使N 点DFT 的乘法计算量由N 2次降为N N2log 2次。
下图是采样点数为8点FFT 时间抽取算法信号流图，本程序也是以这种形式设计的。
程序设计的基本思路是在程序开始时刻要求输入采样点数，如果采样点数是2的整数次方（不包括0次方），则要求输入采样点的数值，并根据采样点数分配响应的数组大小，计算迭代次数。
然后对采样点进行逆二进制排序，再按上图所示的算法进行计算，程序流程图如下图所示：本程序运用VC 语言对程序进行设计，下面分别对程序设计中复数类的应用，判断和求迭代次数，逆二进制排序，蝶形运算进行具体说明。
1． 复数类的应用C 语言本身并不包含复数数据类型，但C 语言可以根据需要定义自己的数据类型，本程序定义了一个复数结构体complex ，包括实部real 和虚部img 两部分，代码如下： typedef struct { double real; double img; }complex;在FFT 程序设计中，复数类主要被用来计算两复数的加法和乘法以及旋转因子Wk N，其中Nj NW/2π-=，式中N=2的m+1次方，m 代表计算流图的第m 级，而k 代表第k 次蝶形运算，由于C 中的math.h 函数库中没有带参数的复数运算函数，所以本程序编写了带参数的复数运算cw(double x,double y)，用于计算Nj NW/2π-=，设计的基本思路，首先把e 的次幂用欧拉公式化成三角函数，然后化复数乘法和除法运算为几个复数基本单元的加法运算和除法运算，其中运算的次数由函数输入参量double x 决定。
函数mul(complex x1, complex x2)用于计算复数的乘运算。
2． 判断和求迭代次数本程序编写iternumb(int numb)函数对采样点数进行判断，如果采样点数不符合2的整数次方或采样点数为1或0，则跳出程序，程序设计基本思路是对输入采样点数的十进制形式进行模2运算和除法运算，在除法运算结果大于1之前，一旦模2运算的结果等于1，则说明输入采样点数不符合要求，而如果符合要求，则把出发结果存入数组当中，函数代码如下：int iternumb(int numb) {int iternumb1=0;if((numb==0)||(numb==1)) {printf("numb error!\n"); exit(0); }while ((numb!=0)&&(numb!=1)) {if (numb%2) {printf("numb error!\n"); exit(0); }numb=numb/2;iternumb1=iternumb1+1; }return iternumb1; }3． 码位倒置在逆二进制排序程序中，设置for 循环分别将输入数据数组input[i]的索引号i 进行模2运算，所得的结果按逆序存入inverse[ ]数组（存入inverse[ ]数组的顺序是从数组尾部开始）。
快速傅里叶变换(FFT)原理及源程序
《测试信号分析及处理》课程作业之相礼和热创作快速傅里叶变换一、程序计划思绪快速傅里叶变换的目的是减少运算量，其用到的方法是分级进行运算.全部计算分解为M 级，其中N M 2log =；在输入序列()i x 中是按码位倒序陈列的，输入序列()k X 是按顺序陈列；每级包含2N个蝶形单元，第i 级有i N 2个群，每个群有12-i 个蝶形单元； 每个蝶形单元都包含乘r N W 和r N W -系数的运算，每个蝶形单元数据的间隔为12-i ，i 为第i 级； 同一级中各个群的系数W 分布规律完全相反.将输入序列()i x 按码位倒序陈列时，用到的是倒序算法——雷德算法. 自然序陈列的二进制数，其下面一个数总比下面的数大1，而倒序二进制数的下面一个数是下面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的.若已知某数的倒序数是J ，求下一个倒序数，应先判别J 的最高位能否为0，与2N k =进行比较即可得到结果.假如J k >，阐明最高位为0，应把其酿成1，即2NJ +，这样就得到倒序数了.假如J k ≤，即J 的最高位为1，将最高位化为0，即2NJ -，再判别次高位；与4Nk =进行比较，若为0，将其变位1，即4NJ ，即得到倒序数，假如次高位为1，将其化为0，再判别下一位……即从高位到低位顺次判别其能否为1，为1将其变位0，若这一位为0，将其变位1，即可得到倒序数.若倒序数小于顺序数，进行换位，否则不变，防治反复交换，变回原数.注：由于0的倒序数为0，以是可从1开始进行求解. 二、程序计划框图（1）倒序算法——雷德算法流程图(2)FFT 算法流程三、FFT 源程序void fft(x,n)int n;double x[];{int i,j,k,l,m,n1,n2;double c,c1,e,s,s1,t,tr;for(j=1,i=1;i<n/2;i++){ m=i;j=2*j;if(j==n)break;} //得到流程图的共几级n1=n-1; for(j=0,i=0;i<n1;i++){if(i<j) //假如i<j,即进行变址{tr=x[j];x[j]=x[i];x[i]=tr;}k=n/2; //求j的下一个倒位序while(k<(j+1)) //假如k<(j+1),暗示j的最高位为1{j=j-k; //把最高位酿成0k=k/2; //k/2，比较次高位，顺次类推，逐一比较，直到某个位为0}j=j+k; //把0改为1}for(i=0;i<n;i+=2){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+1];x[i+1]=tr-x[i+1];}n2=1;for(l=1;l<=m;l++) // 操纵蝶形结级数{n4=n2;n2=2*n4;n1=2*n2;e=6.28318530718/n1;for(i=0;i<n;i+=n1) //操纵同一蝶形结运算，即计算系数相反蝶形结{tr=x[i];x[i]=tr+x[i+n2];x[i+n2]=tr-x[i+n2];x[i+n2+n4]=-x[i+n2+n4];a=e;for(j=2;j<=(n4-1);j++) //操纵计算分歧种蝶形结，即计算系数分歧的蝶形结{i1=i+j;i2=i-j+n2;i3=i+j+n2;i4=i-j+n1;cc=cos(a);ss=sin(a);a=a+e;t1=cc*x[i3]+ss*x[i4];t2=ss*x[i3]-cc*x[i4];x[i4]=x[i2]-t2;x[i3]=-x[i2]-t2;x[i2]=x[i1]-t1;x[i1]=x[i1]+t1;}}}}四、计算实例及运转结果设输入序列)(i x为其离散傅里叶变换为这里n j eWπ2 -=.选n=512,计算离散傅里叶变换)(kX.所用软件为Turbo c 2.0，操纵界面如图1所示图1 Turbo c 2.0操纵界面程序运转结束后的界面如图2所示图2 程序运转后的界面例子的具体程序如下：#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define pi 3.14159265359void fft(x,n)int n;double x[];{int i,j,k,l,i1,i2,i3,i4,n4,m,n1,n2;double a,e,cc,ss,tr,t1,t2;for(j=1,i=1;i<n/2;i++){ m=i;j=2*j;if(j==n)break;}n1=n-1;for(j=0,i=0;i<n1;i++){if(i<j){tr=x[j];x[j]=x[i];x[i]=tr;}k=n/2;while(k<(j+1)){j=j-k;k=k/2;}j=j+k;}for(i=0;i<n;i+=2){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+1];x[i+1]=tr-x[i+1];}n2=1;for(l=1;l<=m;l++){n4=n2;n2=2*n4;n1=2*n2;e=6.28318530718/n1;for(i=0;i<n;i+=n1){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+n2];x[i+n2]=tr-x[i+n2];x[i+n2+n4]=-x[i+n2+n4];a=e;for(j=2;j<=(n4-1);j++){i1=i+j;i2=i-j+n2;i3=i+j+n2;i4=i-j+n1;cc=cos(a);ss=sin(a);a=a+e;t1=cc*x[i3]+ss*x[i4];t2=ss*x[i3]-cc*x[i4];x[i4]=x[i2]-t2;x[i3]=-x[i2]-t2;x[i2]=x[i1]-t1;x[i1]=x[i1]+t1;}}}}main(){FILE *p;int i,j,n;double dt=0.001;double x[512];p=fopen("d:\123.c","w");n=512;for(i=0;i<n;i++){x[i]=sin(200*pi*i*dt);}for(i=0;i<n;i++){ fprintf(p,"%10.7f",x[i]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f",x[i]);printf("\n");}fft(x,n);fprintf(p,"\n DISCRETE FOURIER TRANSFORM\n"); printf("\n DISCRETE FOURIER TRANSFORM\n"); fprintf(p,"%10.7f",x[0]);printf("%10.7f",x[0]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f\n",x[1],x[n-1]);printf("%10.7f+J%10.7f\n",x[1],x[n-1]);for(i=2;i<n/2;i+=2){fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[i],x[n-i]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[i+1],x[n-i-1]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f+J%10.7f",x[i],x[n-i]);printf("%10.7f+J%10.7f",x[i+1],x[n-i-1]);printf("\n");}fprintf(p,"%10.7f",x[n/2]);printf("%10.7f",x[n/2]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f\n",x[n/2-1],-x[n/2+1]);for(i=2;i<n/2;i+=2){fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i],-x[n/2+i]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i-1],-x[n/2+i+1]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i],-x[n/2+i]);printf("%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i-1],-x[n/2+i+1]);printf("\n");}}将程序运转后所得数据绘制成曲线图（其中FFT变换的数据要先取尽对值后再画图）如下由上图可知，变换后的图开在频率100Hz处出现一个峰值，这与理论上的结果同等.。
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《测试信号分析及处理》课程作业快速傅里叶变换一、程序设计思路快速傅里叶变换的目的是减少运算量，其用到的方法是分级进行运算。
全部计算分解为M 级，其中N M 2log =；在输入序列()i x 中是按码位倒序排列的，输出序列()k X 是按顺序排列；每级包含2N 个蝶形单元，第i 级有i N 2个群，每个群有12-i 个蝶形单元； 每个蝶形单元都包含乘r N W 和r N W -系数的运算，每个蝶形单元数据的间隔为12-i ，i 为第i 级； 同一级中各个群的系数W 分布规律完全相同。
将输入序列()i x 按码位倒序排列时，用到的是倒序算法——雷德算法。
自然序排列的二进制数，其下面一个数总比上面的数大1，而倒序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的。
若已知某数的倒序数是J ，求下一个倒序数，应先判断J 的最高位是否为0，与2N k =进行比较即可得到结果。
如果J k >，说明最高位为0，应把其变成1，即2N J +，这样就得到倒序数了。
如果J k ≤，即J 的最高位为1，将最高位化为0，即2N J -，再判断次高位；与4N k =进行比较，若为0，将其变位1，即4N J +，即得到倒序数，如果次高位为1，将其化为0，再判断下一位……即从高位到低位依次判断其是否为1，为1将其变位0，若这一位为0，将其变位1，即可得到倒序数。
若倒序数小于顺序数，进行换位，否则不变，防治重复交换，变回原数。
注：因为0的倒序数为0，所以可从1开始进行求解。
二、程序设计框图（1）倒序算法——雷德算法流程图(2)FFT算法流程三、FFT源程序void fft(x,n)int n;double x[];{int i,j,k,l,m,n1,n2;double c,c1,e,s,s1,t,tr;for(j=1,i=1;i<n/2;i++){ m=i;j=2*j;if(j==n)break;} //得到流程图的共几级n1=n-1;for(j=0,i=0;i<n1;i++){if(i<j) //如果i<j,即进行变址{tr=x[j];x[j]=x[i];x[i]=tr;}k=n/2; //求j的下一个倒位序while(k<(j+1)) //如果k<(j+1),表示j的最高位为1{j=j-k; //把最高位变成0k=k/2; //k/2，比较次高位，依次类推，逐个比较，直到某个位为0 }j=j+k; //把0改为1 }for(i=0;i<n;i+=2){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+1];x[i+1]=tr-x[i+1];}n2=1;for(l=1;l<=m;l++) // 控制蝶形结级数{n4=n2;n2=2*n4;n1=2*n2;e=6./n1;for(i=0;i<n;i+=n1) //控制同一蝶形结运算，即计算系数相同蝶形结{tr=x[i];x[i]=tr+x[i+n2];x[i+n2]=tr-x[i+n2];x[i+n2+n4]=-x[i+n2+n4];a=e;for(j=2;j<=(n4-1);j++) //控制计算不同种蝶形结，即计算系数不同的蝶形结{i1=i+j;i2=i-j+n2;i3=i+j+n2;i4=i-j+n1;cc=cos(a);ss=sin(a);a=a+e;t1=cc*x[i3]+ss*x[i4];t2=ss*x[i3]-cc*x[i4];x[i4]=x[i2]-t2;x[i3]=-x[i2]-t2;x[i2]=x[i1]-t1;x[i1]=x[i1]+t1;}}}}四、计算实例及运行结果设输入序列)(i x 为)1,...,2,1,0(,200sin )(-=∆=n i t i i x π其离散傅里叶变换为)1,...,2,1,0(,)()(10-==∑-=n k W i x k X N i ik N 这里n j e W π2-=。
选n=512,计算离散傅里叶变换)(k X 。
所用软件为Turbo c 2.0，操作界面如图1所示图1 Turbo c 2.0操作界面程序运行结束后的界面如图2所示图2 程序运行后的界面例子的具体程序如下：#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define pi 3.void fft(x,n)int n;double x[];{int i,j,k,l,i1,i2,i3,i4,n4,m,n1,n2;double a,e,cc,ss,tr,t1,t2;for(j=1,i=1;i<n/2;i++){ m=i;j=2*j;if(j==n)break;}n1=n-1;for(j=0,i=0;i<n1;i++){if(i<j){tr=x[j];x[j]=x[i];x[i]=tr;}k=n/2;while(k<(j+1)){j=j-k;k=k/2;}j=j+k;}for(i=0;i<n;i+=2){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+1];x[i+1]=tr-x[i+1];}n2=1;for(l=1;l<=m;l++){n4=n2;n2=2*n4;n1=2*n2;e=6./n1;for(i=0;i<n;i+=n1){tr=x[i];x[i]=tr+x[i+n2];x[i+n2]=tr-x[i+n2];x[i+n2+n4]=-x[i+n2+n4];a=e;for(j=2;j<=(n4-1);j++){i1=i+j;i2=i-j+n2;i3=i+j+n2;i4=i-j+n1;cc=cos(a);ss=sin(a);a=a+e;t1=cc*x[i3]+ss*x[i4];t2=ss*x[i3]-cc*x[i4];x[i4]=x[i2]-t2;x[i3]=-x[i2]-t2;x[i2]=x[i1]-t1;x[i1]=x[i1]+t1;}}}}main(){FILE *p;int i,j,n;double dt=0.001;double x[512];p=fopen("d:\123.c","w");n=512;for(i=0;i<n;i++){x[i]=sin(200*pi*i*dt);}for(i=0;i<n;i++){ fprintf(p,"%10.7f",x[i]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f",x[i]);printf("\n");}fft(x,n);fprintf(p,"\n DISCRETE FOURIER TRANSFORM\n");printf("\n DISCRETE FOURIER TRANSFORM\n");fprintf(p,"%10.7f",x[0]);printf("%10.7f",x[0]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f\n",x[1],x[n-1]);printf("%10.7f+J%10.7f\n",x[1],x[n-1]);for(i=2;i<n/2;i+=2){fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[i],x[n-i]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[i+1],x[n-i-1]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f+J%10.7f",x[i],x[n-i]);printf("%10.7f+J%10.7f",x[i+1],x[n-i-1]);printf("\n");}fprintf(p,"%10.7f",x[n/2]);printf("%10.7f",x[n/2]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f\n",x[n/2-1],-x[n/2+1]);for(i=2;i<n/2;i+=2){fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i],-x[n/2+i]);fprintf(p,"%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i-1],-x[n/2+i+1]);fprintf(p,"\n");printf("%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i],-x[n/2+i]);printf("%10.7f+J%10.7f",x[n/2-i-1],-x[n/2+i+1]);printf("\n");}}将程序运行后所得数据绘制成曲线图（其中FFT变换的数据要先取绝对值后再画图）如下由上图可知，变换后的图开在频率100Hz处出现一个峰值，这与理论上的结果一致。