离散数学PPT教学 图论

握手定理的证明
每个图中，节点度数的总和等于边的2倍。
证明： 因为每条边必关联两个节点，而一 条边给 予关联的每个节点的度数为1，因此在一个 图中，节点度数的总和等于边数的2倍。
握手定理的运用
• 定理1：在任何图中，度数为奇数的节点个
数必定是偶数个。
证明： （自己思考！）
• 定理2：在任何有向图中，所有节点入度之和
等于所有节点的出度之和。
证明： 因为每一条有向边必对应一个入度及一个出度，所以 有向图中各节点入度之和等于边数，各节点的出度之 和也等于边数。
握手定理的应用
例：设图G为下列情况：
(1) 16条边，每个顶点都是2度； (2) 21条边，3个4度顶点，其余均为３度顶点； (3) 24条边，各节点的度数均相同； 试求每个图有几个节点？ 解答：利用握手定理，设图Ｇ有x个节点，则 ２x=16*2 x=16 21*2=12+3*x x=10 故图中有１３个节点． (3) x*m=24*2
二、图的矩阵表示
3. 可达矩阵 --- 行和列均为节点的数目;节点和节点之间若至少
存在一条路则为1,不存在路则为0.
4.布尔矩阵 --- 由可达距阵转变,把非0的数值均改为1即可. 5. 代价矩阵
--- 若邻接距阵元素为1的以权值表示,距阵元素为0 的则以∞表示.
三、生成树、最短路径和关键路径
• 生成树定义
(b)在连通图T中,任意取两点vi，v j,
因为T连通所以vi，v j存在一路经，
若增加新边 (vi,vj)，则得一回路，
且该回路是唯一的。
( 否则，删去新边，路经中必有回路。)
(4) 3=>4. 即无回路，但增加任一新边，
得到且仅得到一个基本回路 =>连通，但 删去任一边，图便不连通。(n>=2)
反证法.
证明：设T不连通，有k个连通分图 (k≥2)，顶点数及边数分别为 n1...nk,m1...mk,因每个连通分图是无回路连通图， 故符合树的定义，所以ni=mi-1成立 ∴ n=m-k k>1,这与m=n-1前提矛盾 ∴ T连通且具有m=n-1的图
(3)2=>3 即连通且m=n-1 的图=>无回路，但增加任 一新边，得到且仅得到一个基本回路。 证明：(a)T无回路，因T是连通,并且m=n-1的图， 故当n=1时，m=n-1=0,无回路 设顶点数为n-1时无回路。 当顶点数为n时，m=n-1，故至少有一个顶点v， 使d(v)=1，删去v及其关连边得图T’ 则由归纳假设T’无回路，再加回v及关联边得 图T，则T也无回路。
一 、图的基本概念
• 连通图、强连通图、弱连通图
若无向图中的任意两个顶点都相互可达，则称无向图G 是连通的（connected）； 若有向图G的任何两个顶点都是相互可达的，则称有向图 G是强连通的； 如果G的任何两个顶点都是相互可达的，称有向图G是单 向连通的； 如果G的任何两个顶点中，至少从一个顶点到另一个顶点 是可达的，称有向图G是弱连通的。
一 、图的基本概念
• 子图、真子图、生成子图
设图G1＝<V1，E1，Ψ1>，G2＝<V2，E2，Ψ2>， 称G1为G2的子图（subgraph）； 如果V1V2，E1E2，Ψ1 Ψ2，称G1为G2的真子图；
如果G1是G2的子图，且G1 G2，称G1为G2的生成子图 （spanning subgraph）；如果G1是G2的子图，且V1 = V2。
第四节 欧拉图和哈密顿图
• 通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶 点的通路称为欧拉通路（欧拉路）。通过 图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的 回路称为欧拉回路。
• 只有具有欧拉回路的图才能称为欧拉图。 • 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧 拉图。
第四节 欧拉图和哈密顿图
欧拉在1736年的论文中提出了一条简单准则， 确定了哥尼斯堡七桥问题是不能解的。 定理1：无向图是欧拉图当且仅当G是连通图 且没有奇度顶点。
设 n=k 命题成立，当 n=k+1 时，因树连通而无回 路，所以至少有一个度数为1的顶点v，在T中删去v， 及其关联边，得k个顶点的树T`由归纳假设，它有k-1 条边。 ∴原图T边数为k-1+1,顶点数为k+1 ∴m=n-1成立。 ∴树是无回路且m=n-1的图。
(2)无回路且m=n-1的图=>连通且m=n-1 的图
一 、图的基本概念
• • • • • • 邻接和关联 无向图和有向图 零图和平凡图 简单图 完全图（无向完全图和有向完全图） 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ> （l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图， 又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1，e2，为重边,或平行边。 • 正则图 各顶点的度均相同的图称为正则图（regular graph）。 各顶点度均为k的正则图称为k-正则图。 • 同构图
第四节 欧拉图和哈密顿图
• 欧拉图的应用： 一笔画问题： 一个图能一笔画出是指从图某一点出发， 不间断地画完整个图，最后回到起点。
第四节 欧拉图和哈密顿图
• 哈密顿图的由来—周游世界问题：
一个数学游戏，能不能在一个十二面体中 找到一条回路，使它含有这个图的所有结 点？把每个结点看成一个城市，连接两个 结点的边看成是交通线，也即能否找到旅 游线路，沿着交通线经过每个城市恰好一 次再回到原来的出发地？
证明：若图不连通，则存在 vi,vj,, ， 使 vi,vj 之间没有路，增加边 <vi,vj> 不产生 回路，与前提矛盾。
因 T 无回路，故删去任一边，图便不 连通。
(5)4=>5.即连通，但删去任一边，图便不连通。(n>=2) =>每一对顶点间有唯一的一条通路。 证明：因图连通，故任二顶点间有一条通路，若二顶 点间路径不唯一，则T中有回路，删去回路上任一条 边，图仍连通，与假设矛盾，所以，每一对顶点间必 有唯一的一条通路 (6) 5=>树定义 （无回路的连通无向图） 因每一对顶点有唯一的一条通路，故图连通，若图 有回路，则任二顶点有两条不同通路，与题设矛盾。
一 、图的基本概念
• 图的定义：
图（graph）G由三个部分所组成： （1）非空集合V(G)称为图G的结点集，其成员称为节点或顶点（nodes or vertices） （2）集合 E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。 （3）函数ΨG：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射。
第四节 欧拉图和哈密顿图
• 哈密顿图的应用 • 在某次国际会议的预备会中，共有8人参加， 他们来自不同的国家，已知他们中任何两 个无共同语言的人，与其余有共同语言的 人数之和大于或等于8，试证明能将这8个 人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的 人交谈。
第五节 一、无向树
1. 定义：
树、二叉树和哈夫曼树
定理2：无向图是半欧拉图当且仅当G是连通 的且恰有两个奇度顶点。
第四节 欧拉图和哈密顿图
• 定理3：有向图D是欧拉图当且仅当D是强 连通的且每个顶点的 入度等于出度。 • 定理4：有向图D是半欧拉图当且仅当D是 单向连通的且恰有两个奇度顶点，其中一 个顶点的入度比出度大1，另一个顶点出度 比入度大1，而其余顶点的 入度等于出度。
• 度的相关定义：
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。 而在有向图中，结点v的出度（out-degree）d+(v)是v作为有向边起点的 数目，v的入度（in-degree）d-(v)是v作为有向边终点的数目，这时结点 v的度是它的出度与入度的和；结点v的环使其度增加2。
第四节 欧拉图和哈密顿图
• 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路称 为哈密顿通路（哈密顿路）。通过图中所 有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回 路。
• 只有具有哈密顿回路的图才能称为哈密顿 图。 • 具有哈密顿通路而无哈密顿回路的图称为 半哈密顿图。
第四节 欧拉图和哈密顿图
定理1（必要条件）：设无向图G=<V,E>是哈密顿图， 则对于任意 V1 V且V1 ≠空集 ，均有 P（G-V1）≤∣V1∣ 定理2（充分条件）：设G是n阶无向简单图，若对于 G中任意不相邻的顶点u，v，均有 d（u）+d（v）≥n-1，则G中存在哈密顿通路。 推论：设G为n（n≥3）阶无向简单图，若对于G中任 意两个不相邻的顶点u，v均有 d（u）+d（v）≥n，则G中存在哈密顿回路。
4.连通但删去任一边，图便不连通。(n>=2) 5.每一对顶点间有唯一的一条通路。(n>=2)
证明：证明思路 (1)树=>1
(2)1=>2
(3)2=>3
(4)3=>4
(5)4=>5
(6)5=>6
(1)树=>1
即无回路的连通无向图=>无回路且m=n-1
证明：对顶点数作归纳证明。
n=1时，m=0， ∴m=n-1成立
二、图的矩阵表示
1. 关联矩阵 2. 邻接矩阵 3. 可达矩阵 4. 关联矩阵
• 无向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.若有环,则关联数为2,无关联则 为0.每行之和为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则 起点为1,终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于 该节点的度数;其中1的个数为该节点的出度,-1的个数为 对应节点的入度;所有元素的和为0,1的个数等于-1的个 数,都等于边数m.
1、深度优先遍历 2、广度优先遍历
• 最小生成树
构造最小生成树的三种方法： 1、Kruskal算法 2、管梅谷算法 3、Prim算法