高中数学 三个二次的关系教学案 苏教版必修1

二次函数
一、基础知识回顾：
1、二次函数解析式的三种形式： （1） 一般式： （2） 顶点式： （3） 交点式：
2、二次函数)(x f =)0(2
≠++a c bx ax 的图象是一条_抛物线_，对称轴方程为_2b
x a
=-
_，顶点纵坐标是_244ac b a
-_。

（1）当0>a 时，抛物线开口向_上_，函数在_2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，
_上递减，在_,2b a ⎛⎫
-+∞ ⎪
⎝⎭
_上递增，当__2b x a =-_时，[]2
min
4()__4ac b f x a
-=；
（2）当0<a 时，抛物线开口向_下__，函数在__,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭_上递减，在_2b a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
，_上递增，当_2b x a =-__时，[]2
max
4()_4ac b f x a
-=；
3、二次函数)(x f =)0(2
≠++a c bx ax ，当2
40b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点
11221212(,0),(,0),_x _____
___M x M x M M x a
=-=。

4、二次函数)(x f =)0(2
≠++a c bx ax 在区间[]q p ,上的最值问题，一般情况下，需要分_2b
q a
-
>_，__p 2b q a ≤-
≤__和__2b p a
-<__三种情况讨论解决。

二、例题讲解：
例1、若区间),1(+∞为二次函数)(x f =2)2(2
--+x a ax 的递减区间，求a 的取值范围。

（0a <）
例2、已知二次函数)(x f 同时满足条件：（1）)1()1(x f x f -=+；（2）)(x f 的最大值为15；（3）)(x f =0的两根立方和等于17。

求)(x f 的解析式。

（2
()6129f x x x =-++）
例3、已知)(x f =a ax x -++32
，若[]2,2-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围。

（[]72-，）
例4、已知函数2142
+-+-=a ax x y 在区间[]1,0上的最大值是2，求实数a 的值。

（106,3
a =-） 三、课堂小结：
四、布置作业：
1、 已知函数322
+-=x x y 在区间[]m ,0上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。

（[]12，）
2、 函数)(x f =2)1(22
+-+x a x 在区间(]4,∞-上是减函数，求实数a 的取值范围。

（(]3-∞-，）
3、已知函数)(x f =[]5,5,222
-∈++x ax x 。

（1）当1-=a 时，求函数)(x f 的最大值和最小值；()max min 37,1f f == （2）求实数a 的取值范围，使)(x f y =在[]5,5-上是单调函数。

(][)()55-∞-+∞U ，
， 4、若函数[]b a x x a x y ,,3)2(2
∈+++=的图象关于直线x=1对称，求b 的值。

()6
5、二次函数)(x f 满足3)0(,1)2(),2()2(==-=+f f x f x f 又，若)(x f 在[]m ,0上有最小值1，最大值3，求实数m 的取值范围。

[]()
24，
6、已知二次函数)(x f 满足条件x x f x f f 2)()1(1)0(=-+=且。

（1）求)(x f ；（2）求)(x f 在[]1,1-上的最大值和最小值。

2
min max 3
1,,3)4
x f f -+=
=（f(x)=x 教学案：一元二次不等式
教学目标：
1、 掌握一元二次不等式的解法；
2、 会用一元二次不等式解法的基本思想解决有关问题。

教学重点、难点：一元二次不等式的解法及其基本思想的应用。

教学过程：
一、复习回顾：一元二次不等式与二次函数之间的关系。

二、例题讲解：
例1、解下列不等式：
（1）02322
>--x x ；（2）2632
>+-x x ；（3）01442
>+-x x ；（4）0322
>-+-x x
（1）()122⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，；（2）⎝⎭
；（3）1122⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，；（4）φ 例2、解下列不等式：（1）
073<+-x x ；（2）04
1
2≥+-x x
（1）()73-，；
（2）()1
42
⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
U ，， 例3、已知二次不等式02
≥++c bx ax 的解集为[]3,2-，求不等式02
>++a bx cx 的解集。

（1123⎛
⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U ，
，） 三、课堂练习：
1、解下列不等式：
（1）02732
<+-x x ；（2）0262
≤+--x x ；（3）01442
<++x x ；（4）0532
>+-x x (5)
085<-+x x ；（6）01
1
2≤+-x x
（1）123⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（2）2132⎛⎤
⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣⎭U ，，；（3）φ；（4）R ；（5）()58-，；（6）112
⎛⎤
- ⎥⎝
⎦
， （2）x 是什么实数时，函数142
+-=x x y 的值：①等于0；②是正数；③非正数；
（1）2±；（2）(()
22-∞+∞U ，；（3）2⎡⎣
四、小结： 五、巩固练习： （一）课堂作业： 1、解不等式：
（1）15442
>-x x ；（2）x x ≥-2
414；（3）1)3()2(+-<+x x x x ；（4）0)2)(7(>-+x x ； （5）0)35)(121
(≥+-x x ；（6）
02
515
2≤+-x x
（1）3522⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，
，；（2）724⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（3）112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（4）()72-，；（5）[)325⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ，，；（6）21552⎛⎤- ⎥⎝⎦
， 2、x 取什么值时，下列函数的值等于零？大于零？不大于零？ ①1062
++=x x y ；②45142
+-=x x y
(1)φ；R ；φ；（2）12x 5,x 9==；()()59-∞+∞U ，，；[]59，
3、不等式02<++n mx x 的解集是()3,1-，求m ，n 的值。

()m 2,3n =-=-
（二）课后作业：
1、解下列不等式：
①0822
≥+--x x ；②0)4)(5(<+-x x ；③0)12)(23(<-+x x ；④
05
24
3>+-x x
（1）[]42-，；（2）()()45-∞-+∞U ，，；
（3）2132⎛⎫
- ⎪⎝⎭，；（4）5423⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U ，， 2、x 是什么实数时，下列函数的值等于零？小于零？不小于零？
（1）2
25x y -=；（2）442
-+-=x x y
（1）5±；()()55-∞-+∞U ，，；[]55-，；（2）2；{}
x 2x R x ∈≠且；{}2 3、已知U=R ，且{
}{
}
034,0162
2
≥+-=<-=x x x B x x A ，求： （1）B A I ；（2）B A Y ；（3）)(B A C U I ；（4）)()(B C A C U U Y
（1）(][)4134-U ，，；（2）R ；（3）(]()[)4134-∞-+∞U U ，，，；（4）(]()[)4134-∞-+∞U U ，，， 4、不等式022
>++bx ax 的解集是⎪⎭⎫
⎝
⎛-
31,21，求b a +的值。

()14- 教学案：一元二次方程的根与系数关系及一元二次方程根的分布
教学目标：熟练运用二次函数的图象和性质及一元二次不等式的有关知识确定一元二次方程的实根分布。

教学重点：对一元二次方程实根分布的理解。

教学难点：解决一元二次方程的实根分布问题。

教学过程： 一、知识回顾：
1、 方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根与系数之间的关系：当__2
b 40a
c ∆=-≥__时，12b __x x a
+=-
，12__c x x a ⋅=，2322
33121223
1211b 23__,_,_b ac b abc x x x x x x c a a
--++=-+=+=。

2、 实系数一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的实根的符号与二次方程的系数之间的关系：
（1）方程有两个不等正根0_0__0b
a c a ⎧
⎪∆>⎪⎪⇔->⎨⎪⎪>⎪⎩；
（2）方程有两个不等负根0__0_0b
a c a
⎧
⎪∆>⎪⎪⇔-<⎨⎪⎪>⎪⎩；
（3）方程有异号二实根c
__
0_a
⇔<。

3、二次方程)(x f =)0(02
≠=++a c bx ax 的区间根问题，一般情况下需要从三个方面考虑： （1）判别式；（2）区间端点函数值的正负；（3）对称轴a
b
x 2-
=与区间端点的位置关系。

设21,x x 是实系数二次方程)0(02
>=++a c bx ax 的两实根，则21,x x 的分布范围与二次方程系数之间的关系，
例1、集合(){}
(){}
20,01,,2,2≤≤=+-=++==x y x y x B mx x y y x A ，若φ≠B A I ，求实数m 的取值范围。

(](),1-∞-
例2、设21,,x x R m ∈是方程0122
2=-+-m mx x 的两个实数根，求2
22
1x x +的最小值。

()1
例3、若方程02
=++b ax x 的两个根21,x x 满足2
22
1x x +=1。

（1）求a ，b 之间的函数关系式)(a f b =；（2）求
b 的最小值和最大值。

2min max 111b ,;,222a a b b ⎛⎫-⎡=∈=-= ⎪⎣⎝
⎭ 例4、已知关于x 的方程022
1
2
=-++
k kx kx 有两个实根，其中一根在()1,0之间，另一根在()0,1-之间，试求实数k 的取值范围。

4
23⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
三、课堂小结： 四、作业：
1、已知方程02)1(3)1(2
=+---x m x m 有两个不等的负根，求m 的取值范围。

19⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
2、方程05)2(2
=-+-+k x k x 的两根均大于2，求k 的取值范围。

(]()54--，
3、已知函数),,0(4)(2
R b a a b x ax x f ∈<++=。

设关于x 的方程0)(=x f 的两个实根分别为21,x x ，x x f =)(的两个实根分别为βα,。

（1）若1=-βα，求a ，b 的关系式；9b 44a a ⎛
⎫=
- ⎪⎝⎭
（2）若a ，b 均为负整数，且1=-βα，求)(x f 的解析式；()
2()42f x x x =-+- （3）若21<<<βα，求证：7)1)(1(21<++x x 。