20.极点与极线的性质

20.极点与极线的性质
第15讲:极点与极线的性质
125
第15讲:极点与极线的性质
极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.
定义:
已知曲线G:ax 2
+bxy+cy 2
+dx+ey+f=0,
则称点P(x 0,y 0)和直线
l:ax 0x+b
200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.
特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.
[位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,
则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:
l l l P M P A D M P
N C N B
[配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P.
证明:设圆锥曲线G:ax 2
+bxy+cy 2
+2dx+2ey+f=0,点P(x p
,y p
),Q(x Q
,y Q
),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别
为p:ax p x+b 2
y
x x y p p ++cy p y+d
2
p x x ++e
2
p y y ++f=0,q:ax Q x+b
2
y
x x y Q Q ++cy Q y+d
2
Q x x ++e
2
Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点
Q
⇔ax p x Q +b 2Q
p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2
p
Q x x ++e
2
p
Q y y ++f=0⇔点
P(x p ,y p )
在
直
线
q:ax Q x+b
2
y x x y Q Q ++cy Q y+d
2
Q x x ++e
2
Q y y +
+f=0上⇔点Q 的极线也通过点P.
推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;
证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点
P 是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.
推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.
证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的
极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线.
推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点. 证明:
设
P(x 0,y 0),
曲
线
G:ax 2
+bxy+cy 2
+2dx+2ey+f=0,
则点P 的极线方
程:ax 0x+b
200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b
200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上⇒ax 02+bx 0y 0+cy 02
+2dx 0+2ey 0+λ=0⇒λ=-(ax 02
+bx 0y 0+cy 02
+2dx 0+2ey 0)⇒直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02
+2dx 0+2ey 0⇒ ax 0x+b
200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2
0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02
+2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点.
[比例定理]:若过点P(x 0
,y 0
)的直线l 与曲线G:ax 2
+bxy+cy 2
+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直
线:ax 0x+b
2
00y
x x y ++ 126 第15讲:极点与极线的性质
cy 0y+d
20x x ++e 2
y y ++f=0交于点Q,则|PA||QB|=|QA||PB|. 证明:设直线l:⎩⎨
⎧+=+=θ
θsin cos 0
t y y t x x (t 为参数),代入ax 0
x+b 20
0y x x y ++cy 0
y+d 20
x
x ++e
2
y y ++f=0得:(2ax 0cos θ
+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+2(ax 02+bx 0y 0+cy 02
+dx 0+ey 0+f)=0⇒t 0=-2
θ
θθθsin 2cos sin cos 2000000200020cy by bx ax f
ey dx cy y bx ax ++++++++;代入
ax 2
+bxy+ cy 2
+2dx+2ey+f=0
得:(acos 2θ+bcos θsin θ+csin 2θ)t 2
+(2ax 0cos θ+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sin
θ)t+(ax 02
+bx 0y 0+cy 02
+dx 0 +ey 0+f)=0⇒t 1+t 2=-θ
θθθθ
θθθ2
2
0000sin cos sin cos sin 2cos sin cos 2c b a cy by bx ax +++++,t 1t 2=
θ
θθθ2
200200020sin cos sin cos c b a f
ey dx cy y bx ax +++++++⇒t 0=
2
12
12t t t t +;而
|PA||QB|=
|QA||PB|⇔|t 1||t 2-t 0|=|t 1-t 0||t 2|⇔t 0=
2
12
12t t t t +成立. [面积定理]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线为l,过点P 的直线与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,分
别过点A 、B 的两条平行线与直线l 交于点D 、C,记△APD 、△CPD 、△BPC 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则:S 22
=4S 1S 2.
证明:以椭圆G:
2
2a
x +
2
2b
y =1(a>b>0)为例,设P(x 0,y 0),则极线l:
12
02
0=+
b y y a
x x .设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),并分别过
点A 、B 作l 的垂线,垂足分别为D 1、C 1,则|
||
|11BC AD =
|
1|
|
1|2
202
202102
10-+
-+b y y a x x b y y a x x =
|
|||2220220222102102b a y y a x x b b a y y a x x b -+-+(注意
到:a 2b 2=b 2x 12+a 2y 12,a 2b 2=b 2x 22+a 2y 2
) =
|
|||2222222022022
12212102102y a x b y y a x x b y a x b y y a x x b --+--+=
|
)()(||)()(|0222022201120112y y y a x x x b y y y a x x x b -+--+-(注意到:
0101x x y y --=0202x x y y --=k)=||||0201x x x x --⋅|
||
|22221212x b ky a x b ky a ++.又因|
||
|BP AP =
|
|||0201x x x x --,以下只需证
|
|||22
22
1212x b ky a x b ky a ++=1,即|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2
x 2|,
由
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2
222222222212212b
a y a x
b b a y a x b ⇒b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2
(y 1- y 2)(y 1+y 2)=0⇒b 2(x 1+x 2)+a 2k(y 1+y 2)=0⇒a 2ky 1+b 2x 1=-(a 2ky 2+b 2x 2)⇒|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2
x 2|⇒||||BP AP =|
||
|11BC AD ,由△ADD 1∽△BCC 1⇒
||||BC AD =||||BP AP ,设AC 与BD 交于点Q,由AD ∥BC ⇒||||BC AD =||||QC AQ ⇒||||BP AP =
|
||
|QC AQ ⇒PQ ∥BC ∥AD ⇒S △BAC =S △BDC ,两边同减S △BQC 得S △QAB =S △QDC ,又因S △PQA =S △PQD ,S △PQB =S △PQC ⇒S △PCD =S △QCD +S △PQD +S △PQC =S △QCD +S △PQA +S △PQB =S △QCD +S △QAB =2S △QAB ⇒S △QAD =S △PAD =S 1,S
△QBC
=S △PBC =S 3,S △QAB =
21S △PCD =2
1S 2,注意到:QAB QBC QAB QAD S S S S ∆∆∆∆⋅=||||||||QA QC QB QD ⋅=1⇒2
QAB S ∆=S △QAD S △QBC ⇒S 22=4S 1S 2. 例1:
极点与极线的位置关系.
[始源问题]:
(2010年湖北高考试题)已知椭圆C:22x +y 2=1的两焦点为F 1 ,F 2,点P(x 0,y 0)满足0<2
2
0x +y 02
<1,
则|PF 1|+|PF 2|的取值范围为 ,直线
2
0x
x +y 0y=1与椭圆C 的公共点个数为 . [解析]:由0<
220x +y 02
<1知,点P 在椭圆C 内,所以直线2
0x x +y 0y=1与椭圆C 相离⇒公共点个数为0;2c ≤
PF 1|+|PF 2|<2a ⇒
2≤PF 1|+|PF 2|<22⇒|PF 1|+|PF 2|的取值范围为[2,22).
[原创问题]:已知椭圆C:
42x +32y =1,点P(x 0,y 0)满足42
0x +320y >1(x 0≠0),直线l:4
0x x +30y y =1. (Ⅰ)求直线l 与椭圆C 的公共点个数;
(Ⅱ)若射线OP 与直线l 、椭圆C 分别交于点Q 、M,求证:|OP||OQ|=|OM|2
.
[解析]:(Ⅰ)因椭圆C:
42x +32
y =1⇔⎩⎨⎧==θ
θsin 3cos 2y x ,θ∈[0,2π),所以,直线l 与椭圆C 的公共点个数⇔关于θ的方程
第15讲:极点与极线的性质
127
20x cos θ+330y sin θ=1解的个数⇔直线:20x x+330y y=1与圆:x 2+y 2
=1的公共点个数;由圆心O(0,0)到直线:2
0x x+330y y
=1的距离d=
3
41
2
02
0y x +<1⇒直线:
2
0x x+330y y=1与圆:x 2+y 2
=1的公共点个数=2⇒直线l 与椭圆C 的公共点个数=2;
(Ⅱ)因射线OP:y=
00
x y x(x 与x 0同号),与40x x +30y y =1联立得:40x x +0203x x y =1⇒x=202004312y x x +⇒y=202004312y x y +⇒Q(20
2004312y x x +,
2
200
4312y x y +)⇒|OP||OQ|=
20202
02043)(12y x y x ++;由y=00x y x 与42x +32y =1联立得:42x +20203x y x 2=1⇒x 2=2020204312y x x +⇒y 2
=20
2
02
04312y x y +⇒ |OM|2
=x 2
+y 2
=
20
20
2
04312y x x ++20
20
204312y x y +=
20
20
202043)(12y x y x +
+⇒|OP||OQ|=|OM|2
.
例2:
抛物线中的共线性质.
[始源问题]:(2010年大纲卷Ⅰ高考试题)已知抛物线C:y 2
=4x 的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交
于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D. (Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设FB FA ⋅=
9
8
,求△BDK 的内切圆M 的方程. [解析]:(
Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
直线l:y=k(x+1)(k ≠0),则D(x 1,-y 1),由
⎩⎨⎧=+=x
y x k y 4)1(2
⇒ky 2
-4y+4k=0⇒y 1+y 2=k 4,y 1y 2= 4;所以,点F 在直线BD 上⇔FB ∥FD ⇔(x 2-1):(x 1-1)=y 2:(-y 1)⇔y 1(
k
y 2-2)+y 2(k y
1-2)=0⇔y 1y 2-k(y 1+y 2)=0;
(Ⅱ)由
FB FA ⋅=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(
k y 2-2)(k y 1-2)+y 1y 2=(1+21k )y 1y 2-k 2(y 1+y 2)+4=4(1+21k )-28k +4=8-24k
=98⇒k=±43
;
根据对称性,不妨设k=
43,则直线AB:3x-4y+3=0,且k KD =4
3⇒KF 平分∠AKD ⇒圆M 的圆心M 在x 轴上;(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2
- 4x 1x 2=7162⇒k BD =1212y y x x +-=7
3
⇒直线BD:3x-7y-3=0;设M(t,0)(-1<t<1),则由点M 到直线AB 与BD 的距离相等⇒5|1|3+t =
4|1|3-t ⇒t=91⇒圆M:(x-91)2+y 2=9
4. [原创问题]:已知抛物线y 2
=2px 及定点A(a,b),B(-a,0)(ab ≠0,b 2
≠2pa),M 是抛物线上的点,设直线AM,BM
与抛物线的另一交点分别为M 1,M 2.求证:当M 点在抛物线上变动时(只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2),直线M 1M 2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.
[解析]:
设M(2pt 2
,2pt),M 1(2pt 12
,2pt 1),M 2(2pt 22
,2pt 2),则点
B,M,M 2对应的极线分别
为:x=a,2ty=x+2pt 2
,2t 2y=x+2pt 22
,由
B,M,M 2三点共线⇒三线x=a,2ty=x+2pt 2
,2t 2y=x+2pt 22
共点⇒a=2ptt 2⇒t 2=
pt
a
2,点A,M 1对应的极线分别为:by=px+ap, 2t 1y=x+2pt 12
,由A,M,M 1三点共线⇒三线by=px+ap,2ty=x+2pt 2
,2t 1y=x+2pt 12
共点⇒bp(t+t 1)=2p 2
tt 1+ap ⇒t 1=
pt
b bt
a 2--,由
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22
221
12222pt x y t pt x y t ⇒⎩⎨⎧+==)
(22121t t p y t pt x ⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
--=--=)2(2)2()2()(2
pt b pt t p a b y pt b t bt a a x ⇒x-a=)2(22pt b t t p a --=b a 2y ⇒M 1,M 2对应极线的交点在定直线b p 2y=x+a, 即b p 22y=2p 2a x +上⇒直线M 1M 2恒过一个定点(a,b
pa
2).
128 第15讲:极点与极线的性质
例3:
抛物线中的比例性质.
[始源问题]:(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知抛物线C:y=21x 2
与直线l:y=kx-1没有公共点,
设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、B 为切点. (Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点Q;
(Ⅱ)若点P 与(Ⅰ)中的定点Q 的连线交抛物线C 于M 、N 两点.证明:
||||PN PM =|
||
|QN QM .
[解析]:(Ⅰ)设A(x 1
,y 1
),B(x 2
,y 2
),P(x 0
,y 0
),则抛物线y=21x 2
在点A 、B 处的切线方程分别为x 1
x=y+y 1
、x 2
x=y+y 2
,
由点P(x 0,
y 0)在这两切线上得:⎩⎨⎧+=+=022
00
110y y x x y y x x ⇒直线AB:x 0x=y+y 0(注意到:y 0=kx 0-1)⇒x 0x=y+kx 0-1⇒直线AB 过定点Q(k,1);
(Ⅱ)设直线MN:⎩⎨
⎧+=+=θ
θsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=y+y 0,得:t Q =θθcos sin 20020x y x --;代入y=21x 2得:t 2cos 2
θ+2(x 0cos θ-sin
θ)t+x 02
-2y 0=0⇒t 1+t 2=2⋅
θ
θ
θ20cos cos sin x -,t 1t 2=
θ
20
2
0cos 2y x -⇒
21212t t t t +=θθcos sin 2002
0x y x --⇒t Q =21212t t t t +;所以,||||PN PM =
|
|||QN QM ⇔21t t
= Q
Q t t t t --21⇔t Q =
2
12
12t t t t +成立. [原创问题]:已知抛物线C:x 2
=4y 与直线l:y=x-2,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、
B 为切点.
(Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点T;
(Ⅱ)若过点P 的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点,与直线AB 交于点Q.证明|
|PM |
|PN =
|
|PQ [解析]:(Ⅰ)设A(x 1
,y 1
),B(x 2
,y 2
),P(x 0
,y 0
),则抛物线C:x 2
=4y 在点A 、B 处的切线方程分别为x 1
x=2(y+y 1
)、
x 2x=(y+y 2),由点P(x 0,y 0)在这两切线上得:⎩⎨⎧+=+=)
(2)
(202200110y y x x y y x x ⇒直线AB:x 0x=2(y+y 0)(注意到:y 0=x 0-2)⇒x 0x=2y+2x 0-4⇒
直线AB 过定点T(2,2); (Ⅱ)设直线MN:⎩⎨
⎧+=+=θ
θsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=2(y+y 0),得:t Q =θθcos sin 24002
0x y x --;代入x 2=4y 得:t 2cos 2
θ+2(x 0cos θ-2sin θ)t
+x 02
-4y 0=0⇒t 1+t 2=2⋅
θ
θ
θ20cos cos sin 2x -,t 1t 2=
θ
20
2
0cos 4y x -⇒
21212t t t t +=θθcos sin 24002
0x y x --⇒t Q =21212t t t t +;所以||PM ||PN |
|PQ ⇔11
t
21t =
Q t 2⇔t Q =2
1212t t t
t +成立. 例4:
抛物线中的面积关系.
[始源问题]:(2009年湖北高考试题)过抛物线y 2
=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0),的直线与抛物线
相交于M 、N 两点,自M 、N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1、N 1. (Ⅰ)当a=
2
p
时,求证:AM 1⊥AN 1; (Ⅱ)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3,是否存在λ,使得对任意的a>0,都有S 2
2=λS 1S 3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
[解析]:(Ⅰ)当a=2p 时,A(2p ,0),设M(2pm 2
,2pm),N(2pn 2
,2pn),则M 1
(-2p ,2pm),N 1
(-2p ,2pn),由AM ∥
AN ⇒(2pm 2
-
2p ):(2pn 2-2p )=2pm:2pn ⇒mn=-4
1⇒1AM ⋅1AN =p 2+4p 2
mn=0⇒AM 1⊥AN 1;
第15讲:极点与极线的性质
129
(Ⅱ)由AM ∥AN ⇒(2pm 2
-a):(2pn 2
-a)=2pm:2pn ⇒2pmn+a=0;因||||11NN MM =2
2
22pn a pm a ++;当MN ⊥/x 轴时,||||AN AM =|2||2|22pn a a pm --=
2
222pn a a pm --;所以,
||||11NN MM =||||AN AM ⇔2222pn a pm a ++=2
222pn a a pm --⇔4p 2m 2n 2=a 2
成立;当MN ⊥x 轴时,显然有||||11NN MM =||||AN AM ;设MN 1与
NM 1交于点Q(点Q 即原点O),由MM 1∥NN 1⇒||||1QN MQ =||||11NN MM =
|||
|AN AM ⇒AQ ∥MM 1∥NN 1;设∠MQM 1=α,则S 1=2
1|QM||QM 1|sin α,S 3 =
2
1
|QN||QN 1|sin α;又S △QMN =11N QM S ∆⇒S 2=11N QM S ∆+(1AQM S ∆+1AQN S ∆)=11N QM S ∆+(S △AQM +S △AQN )=11N QM S ∆+S △QMN =2S △QMN
;S 1S 3=
2
1 |QM||QM 1|sin α⋅
21|QN||QN 1|sin α=21|QM||QN|sin α⋅21|QM 1||QN 1|sin α=S △QMN 11N QM S ∆=4
1S 22⇒S 2
2=4S 1S 3⇒存在λ=4,使得对任意的a>0,都有S 2
2=λS 1S 3成立.
[原创问题]:已知抛物线C:y 2
=4x,直线l:y=2x+2,过点P(1,1)的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,A 、B 两点
在直线l 上的射影点分别为N 、M,记△PAN 、△PMN 、△PBM 的面积分别为S 1、S 2、S 3. (Ⅰ)当AB ∥直线l 时,求证:P 是AB 的中点; (Ⅱ)求证:S 2
2=4S 1S 3.
[解析]:(Ⅰ)设A(x 1
,y 1
),则y 1
2
=4x 1
;由P 是AB 的中点
⇒B(2-x 1,2-y 1)⇒(2-y 1)2
=4(2-x 1)⇒y 1=2x 1+1⇒点A 在直线
y=2x+1上,同理可得点B 也在直线y=2x+1上⇒直线AB:y=2x+1⇒AB ∥直线l;由统一法知,当AB ∥直线l 时, P 是AB 的中点;
(Ⅱ)设直线AB:⎩⎨
⎧+=+=θ
θsin 1cos 1t y t x (t 为参数),代入y 2=4x 得:t 2sin 2
θ+2(sin θ-2cos θ)t-3=0⇒t 1+t 2=2⋅θθθ2sin sin cos 2-,t 1t 2=-
θ
2sin 3;点A(1+t 1cos θ,1+t 1sin θ)到直线l 的距离|AN|=
5
|
3sin cos 2|11+-θθt t ,点B(1+t 2cos θ,1+t 2sin θ)到直线l 的距离
|BM|=5
|
3sin cos 2|22+-θθt t ⇒
||||BM AN =|
3sin cos 2||
3sin cos 2|2211+-+-θθθθt t t t (由点A 、B 在直线l 的同侧⇒2t 1cos θ-t 1sin θ+3与t 2cos θ-t 2sin θ+3同号)=
3sin cos 23sin cos 22211+-+-θθθθt t t t ;而||||PB PA =||||21t t (点A 、B 在点P 的异侧)=-2
1t t
;所以,||||BM AN =||||PB PA ⇔3sin cos 23sin cos 22211+-+-θθθθt t t t
=-
21
t t ⇔2(2cos θ-sin θ)t 1t 2+3(t 1+t 2)=0⇔2(2cos θ-sin θ)(-θ
2sin 3)+3⋅2⋅θθθ2sin sin cos 2-=0成立; 以下同例题可证:S 2
2=4S 1S 3.
例5:
椭圆中的共线性质.
[始源问题]:(2012年北京高考试题)已知曲线C:(5-m)x 2
+(m-2)y 2
=8(m ∈R).
(Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆,求m 的取值范围;
(Ⅱ)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证:A,G,N 三点共线.
[解析]:(Ⅰ)由曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆
⇔m-2>5-m>0⇔
27<m<5.故m 的取值范围是(2
7
,5); (Ⅱ)当m=4时,曲线C:x 2
+2y 2
=8⇒A(0,2),B(0,-2);设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由⎩⎨⎧=++=8
242
2y x kx y ⇒(2k 2+1)x 2
+16kx+24=0⇒△= 32(2k 2
-3)>0⇒k 2
>
23;且x 1+x 2=-12162+k k ,x 1x 2=1
2242+k ;又由直线BM:y=112x y +x-2⇒G(2311+y x ,1),即G(6311
+kx x ,1)⇒k AG =-
1136x kx +=-3k -12x ,k AN =222x y -=222x kx +=k+22x ⇒k AN -k AG =34k +12x +22x =34k +2⋅2121x x x
x +=3
4k +2⋅2416k -=0⇒A,G,N 三点共线.
第(Ⅱ)问是本题的特色与亮点,其实质是共轭点的性质:设点P 与Q 是二次曲线G 的一对共轭点,过点Q 的直线AC 与曲线G 相交于A 、C 两点,AP 与曲线G 相交于另一点B,BQ 与曲线G 相交于另一点D,则P 、C 、D 三点共线.其中共轭点的定义:
130 第15讲:极点与极线的性质
若直线PQ 与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,且PA ⋅
QB +PB ⋅QA =0,则称点
P 与Q 是圆锥曲线G 的一对共轭点.
[原创问题]:已知椭圆C:
2
22
2b y a x +
=1(a>b>0)过点D(-1,e),其中,e 是椭圆C 的离心率,椭圆C 的左、右顶点
分别为A(-2, 0)、B(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过点E(4,0)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在一条定直线上.
[解析]:(Ⅰ)由a=2,
2
1a +
2
2b e =1⇒1+
2
2b c =a 2⇒b 2
=1⇒椭圆C:
4
2x +y 2
=1; (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线l:y=k(x-4),由⎩⎨
⎧=+-=4
4)4(2
2y x x k y ⇒(1+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2
-4=0⇒x 1+x 2=224132k k +,x 1x 2=2241464k k +-
⇒k 2
=
)(4322121x x x x +-+,x 1x 2(1+4k 2)=64k 2
-4⇒x 1x 2⋅)(8821x x +-=)(8]8)(5[42121x x x x +--+⇒2x 1x 2=5(x 1+x 2)-8;又由直线AM:y=2
11+x y (x
+2),直线BN:y=
222-x y (x-2)⇒直线AM 与BN 的交点P 的横坐标x 满足:211+x y (x+2)=222-x y (x-2)⇒2
)
4(11+-x x k (x+2)= 2)4(22--x x k (x-2)⇒x=83262122121----x x x x x x =8
3268)(5122
121-----+x x x x x x =1⇒点P 在一条定直线x=1上.
例6:
椭圆中的中点性质.
[始源问题]:(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如图,过直线l:5x-7y-70=0上的点P 作椭圆
25
2x +92y =1的两条切线PM 、PN,切点分别为M 、N. (Ⅰ)当点P 在直线l 上运动时,证明:直线MN 恒过定点Q;
(Ⅱ)当MN ∥l 时,定点Q 平分线段MN.
[解析]:(Ⅰ)设P(7t+7,5t-5),则直线MN 的方程为:2577+t x+9
55-t y=1
⇒(
257x+95y)t+(257x-9
5y-1)=0,由257x+95y=0,且257x-95y-1=0⇒x=1425,y=-109⇒直线MN 恒过定点Q(14
25,-109
); (Ⅱ)MN ∥l ⇔2577+t :955-t =5:(-7)⇔t=53392⇒直线MN 的方程为:5x-7y-35533=0,代入椭圆方程252x +92y =1得:2
75332⨯x
2 -2
3
7
53325⨯x+25[(
2
7
5533⨯)2
-9]=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=
7
25
⇒定点Q 平分线段MN.
[原创问题]:
过点Q(1,1)作己知直线l:3x+4y=12的平行线交椭圆C:4
2x +32
y =1于点M 、N.
(Ⅰ)分别过点M 、N 作椭圆C 的切线l 1、l 2.证明:三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)证明:点Q 是线段MN 的中点;
(Ⅲ)设P 为直线l 上一动点,过点P 作椭圆C 的切线PA 、PB,切点分别为A 、B,证明:点Q 在直线AB 上.
[解析]:(Ⅰ)设M(x 1
,y 1
),N(x 2
,y 2
),切线l 1
、l 2
交于点P(x 0
,y 0
),由切线l 1
:41x x+31
y y=1,切线l 2
:42x x+32
y y=1均过
点P(x 0, y 0)⇒
41x x 0+31y y 0=1,42x x 0+32y
y 0=1⇒直线MN:40x x+30y y=1;又由直线MN 过点Q(1,1)⇒40x +3
0y =1⇒3x 0+4y 0=12⇒点P 在直线l 上⇒三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)由直线MN ∥直线l ⇒
40x :30y =41:31,又40x +3
0y =1⇒x 0=y 0=712
⇒直线MN:3x+4y=7⇒点Q 是线段MN 的中点; (Ⅲ)设P(x 0,y 0),则直线AB:3x 0x+4y 0y=12⇒3x 0x+(12-3x 0)y=12⇒点Q 在直线AB 上.
第15讲:极点与极线的性质
131
例7:
椭圆中的比例性质.
[始源问题]:(2011年山东高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:
3
2x +y 2
=1.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G 交直线x=-3于点D(-3,m).
(Ⅰ)求m 2
+k 2的最小值; D y (Ⅱ)若|OG|2
=|OD||OE|. G A (i)求证:直线l 过定点; E
(ii)试问点B,G 能否关于x 轴对称？若能,求出 -3 O x 此时△ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.
[解析]:(Ⅰ)设E(-3λ,m λ),A(-3λ+t,m λ+kt),
则B(-3λ-t,m λ-kt).由点A 、B 都在椭圆C 上⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+++-3
)(3)3(3)(3)3(2
222kt m t kt m t λλλλ,两式相减得mk=1⇒m 2+k 2
≥2mk=2,当且仅当m=k=1时等号成立,所以m 2
+k 2
的最小值=2.
(Ⅱ)(i)设直线OG 与椭圆C 相交于另一点T,则由椭圆C 关于原点对称得:|OT|=|OG|.所以,|OG|2
=|OD||OE|⇔DT EG ⋅+
DG ET ⋅=0,由轨迹1知,点E 在直线-x+my=1上,即直线l 的方程为:-x+my=1⇒直线l 过定点(-1,0);
(ii)若点B,G 关于x 轴对称⇒点G(-3λ-t,-m λ+kt),由点G 在直线OE 上⇒(-3λ-t):(-3λ)=(-m λ+kt):m λ⇒6m λ+mt
=3kt(注意到mk=1)⇒m 2
(6λ+t)=3t ⇒t=2
236m
m -λ,又由点E 在直线l 上⇒3λ+m 2
λ=1⇒λ
=
2
31m
+⇒B(-
2
33m
-,-
2
3m m -)⇒
31(233m -)2+(23m
m -)2
=1⇒m=1,k=1,λ=41,t=43⇒A(0,1),B(-23,-21),G(-23,21)⇒△ABG 的外接圆方程:(x+
2
1)2+y 2=45
.
[原创问题]:已知椭圆C:
2
22
2b y a x +
=1(a>b>0)内一点P(2,1),射线OP 与椭圆C 交于点N,与直线l 0:x+y-12=0
交于点M,满足|OP||OM|=|ON|2
,且椭圆C 在N 处的切线平行于直线l 0. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点(A 在P 与Q 之间),求证:|QA||PB|=|QB||PA|.
[解析]:(Ⅰ)由射线
OP:y=
2
1
x(x ≥0),直线l 0:x+y-12=0⇒M(8,4);设N(2t,t)(t>0),由
|OP||OM|=|ON|2
⇒
5⋅80=4t
2
+t 2
⇒t=2⇒N(4,2)⇒
2
16a +
2
4b =1,椭圆C 在N 处的切线:
2
4a x +
2
2b
y =1;由切线平行于直线l 0⇒
2
4a =
2
2b ⇒a 2=2b 2⇒b 2=12,a
2
=24⇒椭圆C:
242x +12
2
y =1; (Ⅱ)设直线l:⎩⎨⎧+=+=θ
θsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2
+4(sin θ+cos θ)t-18=0⇒t 1+t 2=-
θ
θθθ22cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-
θ
θ22cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0⇒t Q =
θ
θcos sin 9
+;而|QA||PB|=|QB||PA|⇔
(t Q -t 1)(-t 2)=(t Q -t 2)t 1⇔(t 1+t 2)t Q -2t 1t 2=0⇔-θ
θθθ2
2
cos sin 2)cos (sin 4++⋅
θθcos sin 9
+-2(-θ
θ22cos sin 218+)=0成立. [原创问题]:已知椭圆C:
2
22
2b y a x +
=1(a>b>0)内一点P(2,1),过点P 且平行于x 轴直线被椭圆C 截得的弦长
为46,过点P 且平行于y 轴直线被椭圆C 截得的弦长为210.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0:x+y-12=0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点,若QA =λAP ,QB =μBP .求证:λ+
132 第15讲:极点与极线的性质
μ为定值.
[解析]:(Ⅰ)由
2
22
2b
y a
x +
=1,令y=1得:|x|=
b
a 12-
b ;令
x=2得:|y|=
a
b 42-a ;由题
知,
b
a
12-b =26,
a
b 42-a =
10⇒a 2
=
1
2422-b b ,2
2a b (a 2
-4)=10⇒
2412-b (1
2422-b b -4)=10⇒b 2=12⇒a 2
=24⇒椭圆C:242x +122y =1; (Ⅱ)设直线l:⎩⎨⎧+=+=θ
θsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2
+4(sin θ+cos θ)t-18=0⇒t 1+t 2=-
θθθθ2
2
cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-θ
θ2
2
cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0⇒t Q =
θ
θcos sin 9
+;由QA =λAP ,QB =μBP
⇒λ=
1
1t t t Q -,μ=
2
2t t t Q -⇒λ+μ=2-t Q ⋅
212
1t t t t +=2-θθcos sin 9+⋅
9
)cos (sin 2θθ+=0. 例8:
椭圆中的共线性质.
[始源问题]:(2002年澳大利亚数学奥林匹克试题)己知△ABC 为锐角三角形, R
以AB 为直径的⊙K 分别交AC 、BC 于P 、Q,分别过A 和Q 作⊙K 的两条切线交 C 于点R,分别过B 和P 作⊙K 的两条切线交于点S.证明:点C 在线段RS 上. P Q S
[解析]:设⊙K:x 2
+y 2
=r 2
,R(-r,a),S(r,b)
⇒点R,S 对应的极线分别为:AQ:
-rx+ay=r 2,BP:rx+by=r 2
⇒Q(
2
222)(r a r r a +-,
2
222r a ar +),P(-
2
222)(r b r r b +-,
2
222r b br +) A K B
⇒AP:y=r b (x+r),BQ:y=-r a (x-r),由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=--=)()(r x r b y r x r a y ⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+=+-=b a ab y r b a b a x 2⇒C(b a b a +-r,b a ab +2)
⇒点C 对应的极线为:(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2
,由三线:-rx+ay=r 2
,BP:rx+by=r 2
,(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2
共点于(
b
a b
a +-r, b
a r +2
2)⇒R,C,S 三点共线⇒点C 在线段RS 上. 该题是平面几何定理:“过非等腰三角形的三个顶点作其外接圆的切线,顶点处的切线与其对边所在直线的交点共线.”的变形,以该定理为始源,取其特殊情况,并把圆压缩为椭圆得:
[原创问题]:若对任意θ∈[0,2π),直线l:xcos θ+2ysin θ-2=0与椭圆C:
2
22
2b y a x +
=1(a>b>0)均只有一个
交点M.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当θ∈(0,
2
π)时,若直线l 与x 轴交于点N,椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B,直线BM 上的点Q 满足QA ⊥x 轴,直线
AM 与NQ 交于点P,求点P 的轨迹方程.
[解析]:(Ⅰ)由
⎩⎨⎧=-+=-+0
02sin 2cos 2
22222b a y a x b y x θθ⇒(a 2cos 2θ+4b 2sin 2θ)y 2-8b 2ysin θ+4b 2-a 2b 2cos 2θ=0⇒△=64b 4sin 2
θ-4(a 2
cos 2
θ
+4b 2
sin 2
θ)(4b 2
-a 2
b 2
cos 2
θ)=0⇒a 2-4+(4b 2-a 2)sin 2θ=0恒成立⇒a 2-4=0,4b 2-a 2=0⇒a 2=4,b 2
=1⇒椭圆C:4
2x +y 2
=1; (Ⅱ)由xcos θ+2ysin θ-2=0⇒N(
θ
cos 2
,0);(Ⅰ)知,M(2cos θ,sin θ)⇒直线AM:y=2cos 2sin +θθ(x+2),BM:y=2cos 2sin -θθ(x-2)
⇒Q(-2,
θθcos 1sin 2-)⇒直线NQ:y=-cot θ(x-θcos 2);令2cos 2sin +θθ(x+2)=-cot θ(x-θcos 2)⇒(2cos 2sin +θθ+θθcos sin )x=θsin 2
-1
cos sin +θθ
⇒x=2⇒点P 的轨迹方程x=2(0<y<2).。