吉林省长春市朝阳区九年级(上)期末数学试卷
2023届吉林省长春市新朝阳实验学校九年级数学第一学期期末联考试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图所示的图案是由下列哪个图形旋转得到的（）A．B．C．D．2．已知二次函数y =ax2+ 2ax + 3a2+ 3（其中x是自变量），当x ≥ 2时，y随x的增大而增大，且-3 ≤x ≤ 0时，y的最大值为9，则a的值为（）．A．1或2-B．2或2-C．2D．13．如图，下列四个三角形中，与ABC相似的是（）A．B．C．D．4．正五边形的每个外角度数为（）A．36︒B．72︒C．108︒D．120︒5．△ABC中，∠C=90°，内切圆与AB相切于点D，AD=2，BD=3，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．12 D．无法确定6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，则EC：AE的值为（）A ．12B ．23C ．34 D ．167．关于x 的一元二次方程(2x －1)2+n 2+1=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定8．现有四张分别标有数字﹣2，﹣1，1，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再随机抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是( )A ．14B ．38C ．12D ．589．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣3＝0B ．（x ﹣5）（x +2）＝0C ．x 2﹣x +1＝0D ．x 2＝110．如图，把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°后，是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．在ABC ∆中，若A ∠、B 满足1sin tan 302A B --=，则ABC ∆为________三角形． 12．如图，在矩形ABCD 中，1,30AB DBC =∠=︒. 若将BD 绕点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点E 处，点D 经过的路径为DE ，则图中阴影部分的面积为______.13．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．14．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点为()5,0与()1,0，则抛物线的对称轴为直线x =___________. 15．若关于x 的一元二次方程2(2)x m +=有两个相等的实数根，则m 的值为_________．16．如图，ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(−1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC的位似图形，并把ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是A B C '''．设点A 的横坐标是a ，则点A 对应的点A '的横坐标是_________．17．如图，AB 是O 的直径，点C 和点D 是O 上位于直径AB 两侧的点，连结AC ，AD ，BD ，CD ，若O 的半径是5，8BD =，则sin ACD ∠的值是_____________．181x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是________． 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B(12，10)，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ．作y 轴的垂线，垂足为C ．点D 从O 出发，沿y 轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B 出发，沿BA 方向以每秒2个单位长度运动．当点E 运动到点A 时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE 关于直线DE 的对称图形是△O′DE ，设运动时间为t ．（1）用含t 的代数式分别表示点E 和点F 的坐标；（2）若△ODE 与以点A ，E ，F 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）当t ＝2时，求O′点在坐标．20．（6分）如图，某科技物展览大厅有A 、B 两个入口，C 、D 、E 三个出口.小昀任选一个入口进入展览大厅， 参观结束后任选一个出口离开.(1)若小昀已进入展览大厅，求他选择从出口C 离开的概率.(2)求小昀选择从入口A 进入，从出口E 离开的概率.(请用列表或画树状图求解)21．（6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 上任意一点.（1）过,,A B D 三点作⊙O ，交线段AC 于点E （要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；（2）若弧DE=弧DB ，求证：AB 是⊙O 的直径.22．（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元.每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率;(2)经调查,若该商品每降价2元，每天可多销售16件,那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少?23．（8分）如图①，在ABC ∆与ADE ∆中，AB AC =，AD AE =.（1）BD 与CE 的数量关系是：BD ______CE .（2）把图①中的ABC ∆绕点A 旋转一定的角度，得到如图②所示的图形.①求证：BD CE =.②若延长DB 交EC 于点F ，则DFE ∠与DAE ∠的数量关系是什么？并说明理由.（3）若8AD =，5AB =，把图①中的ABC ∆绕点A 顺时针旋转()0360αα︒<︒，直接写出BD 长度的取值范围.24．（8分）如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）25．（10分）解不等式组213122x x x +<⎧⎪⎨<⎪⎩并求出最大整数解. 26．（10分）已知二次函数y=(x －1)2+n 的部分点坐标如下表所示：（1）求该二次函数解析式；（2）完成上表，并在平面直角坐标系中画出函数图象参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】由一个基本图案可以通过旋转等方法变换出一些复合图案． 【详解】由图可得，如图所示的图案是由绕着一端旋转3次，每次旋转90°得到的， 故选：D ．【点睛】此题考查旋转变换，解题关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．2、D【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-3 ≤ x ≤ 0时时，y 的最大值为9，可得x=-3时，y=9，即可求出a ．【详解】∵二次函数y = ax 2+ 2ax + 3a 2+ 3 (其中x 是自变量)， ∴对称轴是直线212a x a=-=-， ∵当x ⩾2时，y 随x 的增大而增大，∴a>0，∵-3 ≤ x ≤ 0时，y 的最大值为9，又∵a>0，对称轴是直线212a x a=-=-， ()()3101--->--，∴在x=-3时，y 的最大值为9，∴x=-3时, 296339y a a a =-++=，∴220a a +-=，∴a=1,或a=−2(不合题意舍去).故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握二次函数的基本性质即可解答.3、C【分析】△ABC 是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，结合各选项是否符合相似的条件即可．【详解】由题图可知，6AB AC ==，75B ∠=︒所以∠B=∠C=75°，所以30A ∠=︒．根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似知，与ABC 相似的是C 项中的三角形故选：C ．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．4、B【解析】利用多边形的外角性质计算即可求出值．【详解】360°÷5＝72°，故选：B ．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键．5、B【分析】易证得四边形OECF 是正方形，然后由切线长定理可得AC=2+r ，BC=3+r ，AB=5，根据勾股定理列方程即可求得答案．【详解】如图，设⊙O 分别与边BC 、CA 相切于点E 、F ，连接OE ，OF ，∵⊙O 分别与边AB 、BC 、CA 相切于点D 、E 、F ，∴DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，AF=AD=2，BE=BD=3，∴∠OEC=∠OFC=90°，∵∠C=90°，∴四边形OECF 是矩形，∵OE=OF ，∴四边形OECF 是正方形，设EC=FC=r ，∴AC=AF+FC=2+r ，BC=BE+EC=3+r ，AB=AD+BD=2+3=5，在Rt △ABC 中，2AB =2BC +2AC ，∴25=()23r ++()22r +，∴2560r r +-=，即160r r -+=，解得：1r =或6r =-（舍去）．∴⊙O 的半径r 为1, ∴()()ABC 113121622S BC AC =⨯=⨯++=． 故选：B【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．6、A【分析】根据平行线截线段成比例定理，即可得到答案．【详解】∵DE ∥BC ， ∴BD EC AD AE= ， ∵AD ＝4，DB ＝2， ∴12EC AE =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查平行线截线段成比例定理，，掌握平行线截线段成比例，是解题的关键．7、C【分析】先对原方程进行变形，然后进行判定即可．【详解】解：由原方程可以化为：(2x －1)2=-n 2-1∵(2x－1)2≥0, -n2-1≤-1∴原方程没有实数根．故答案为C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键在于对方程的变形，而不是运用根的判别式．8、B【分析】画树状图得出所有等可能结果，从找找到符合条件得结果数，在根据概率公式计算可得．【详解】画树状图如下：由树状图知共有16种等可能结果，其中第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的有6种结果，所以第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率为63= 168．故选B．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9、C【分析】分别计算出各选项中方程的判别式或方程的根，从而做出判断．【详解】解：A．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B．方程（x﹣5）（x+2）＝0的两根分别为x1＝5，x2＝﹣2，不符合题意；C．方程x2﹣x+1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，符合题意；D．方程x2＝1的两根分别为x1＝1，x2＝﹣1，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．10、A【分析】根据旋转的性质判断即可.【详解】解:∵把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°，∴图形A符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查的是图形的旋转，和学生的空间想象能力，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、直角【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得∠A 和∠B ，即可作出判断．【详解】∵1sin 02A -+=，∴1sin 02A -=，tan 0B -=，∴1sin 2A =，tanB =∵1sin 302︒=，tan 60︒= ∴∠A=30°，∠B=60°，∴180?180306090C A B ∠∠∠=︒--=︒-︒-︒=︒，∴△ABC 是直角三角形．故答案为：直角．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，是解题的关键．12、32π- 【分析】先利用直角三角形的性质和勾股定理求出BD 和BC 的长，再求出Rt BCD ∆和扇形BDE 的面积，两者作差即可得.【详解】由矩形的性质得：90,1BCD CD AB ∠=︒==30DBC ∠=︒22,BD CD BC ∴====Rt BCD ∴∆的面积为11122BCD S BC CD ∆=⋅==扇形BDE 所对的圆心角为306DBC π∠=︒=，所在圆的半径为BD则扇形BDE 的面积为2211226263BDE S BD πππ=⨯⋅=⨯⨯=扇形所以图中阴影部分的面积为3BCD BDE S S S π∆=-=阴影扇形故答案为：3π-. 【点睛】 本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、扇形的面积公式，这是一道基础类综合题，求出扇形BDE 的面积是解题关键.13、x ＜﹣1或x ＞1．【分析】利用二次函数的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1，0），然后写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】∵抛物线的对称轴为直线1x =，而抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1，0），∴当0y <时，x 的取值范围为1x <-或3x >．故答案为：1x <-或3x >．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．14、3【分析】函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程20ax bx c ++=的根，再根据两根之和公式与对称轴公式即可求解． 【详解】根据两根之和公式可得15b a +=-，即6b a -= 则抛物线的对称轴：32b a-= 故填：3.【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式与对称轴公式，熟练掌握公式是关键．15、0【分析】根据一元二次方程根的判别式∆的正负判断即可.【详解】解：原方程可变形为2440x x m ++-=，由题意可得164(4)40m m ∴∆=--==所以0m =故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.16、32a --【分析】△A′B′C 的边长是△ABC 的边长的2倍，过A 点和A′点作x 轴的垂线，垂足分别是D 和E ，因为点A 的横坐标是a ，则DC=-1-a ．可求EC=-2-2a ，则OE=CE-CO=-2-2a-1=-3-2a【详解】解：如图，过A 点和A′点作x 轴的垂线，垂足分别是D 和E ，∵点A 的横坐标是a ，点C 的坐标是（-1，0）．∴DC=-1-a ，OC=1又∵△A′B′C 的边长是△ABC 的边长的2倍,∴ CE=2CD=-2-2a ，∴ OE=CE-OC=2-2a-1=-3-2a故答案为：-3-2a【点睛】本题主要考查了相似的性质，相似于点的坐标相联系，把点的坐标的问题转化为线段的长的问题．17、35【分析】根据题意可知∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD,求出∠ABD 的正弦就是∠ACD 的正弦值．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴∠ADB=90°∴∠ACD=∠ABD∵O的半径是5，8BD=，∴63 sin sin105 ACD ABD∠=∠==故答案为：3 5【点睛】本题考查的是锐角三角函数值.18、1x> .【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，对于分式，分母不能为0，列式计算即可得解．∴10x->解得：1x>∴实数x的取值范围是：1x>故答案为：1x>【点睛】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．三、解答题(共66分)19、（1）E(3t，0)，F(12，10﹣2t)；（2）t＝267；（3）O'(125，365)【分析】（1）直接根据路程等于速度乘以时间，即可得出结论；（2）先判断出∠DOE＝∠EAF＝90°，再分两种情况，用相似三角形得出比例式，建立方程求解，最后判断即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出DE，再利用三角形的面积求出OG，进而求出OO'，再判断出△OHO'∽△EOD，得出比例式建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵BA⊥x轴，CB⊥y轴，B（12，10），∴AB＝10，由运动知，OD＝t，OE＝3t，BF＝2t（0≤t≤4），∴AF＝10﹣2t，∴E（3t，0），F（12，10﹣2t）；（2）由（1）知，OD＝t，OE＝3t，AF＝10﹣2t，∴AE＝12﹣3t，∵BA⊥x轴，∴∠OAB＝90°＝∠AOC，∵△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，∴△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE，①当△DOE∽△EAF时，OD0E AE AF=，∴3 123102t tt t=--，∴t＝267，②当△DOE∽△FAE时，OD OE AF AE=，∴3 102123t tt t=--，∴t＝6（舍），即：当△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似时，t＝267秒；（3）如图，当t＝2时，OD＝2，OE＝6，在Rt△DOE中，根据勾股定理得，DE＝连接OO'交DE于G，∴OO'＝2OG，OO⊥DE，∴S△DOE＝12OD•OE＝12DE•OG，∴OG＝•OD OEDE∴OO'＝2OG＝5，∵∠AOC＝90°，∴∠HOO'+∠AOO'＝90°，∵OO'⊥DE，∴∠OED+∠AOO'＝90°，∴∠HOO'＝∠OED，过点O'作O'H⊥y轴于H，∴∠OHO'＝90°＝∠DOE，∴△OHO'∽△EOD，∴OH O H OO OE OD DE''==，∴12105 62210 OH O H'==，∴OH＝365，O'H＝125，∴O'（125，365）．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及相似三角形的性质．20、(1)13; (2)16【分析】（1）用列举法即可求得；（2）画树状图（见解析）得出所有可能的结果，再分析求解即可.【详解】（1）小昀选择出口离开时的所有可能有3种：C、D、E，每一种可能出现的可能性都相等，因此他选择从出口C离开的概率为：1 ()3P C=；（2）根据题意画树状图如下：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，即（AC）、（AD）、（AE）、（BC）、（BD）、（BE），这些结果出现的可能性相等所以小昀选择从入口A进入，出口E离开（即AE）的概率为1 ()6 P AE=.【点睛】本题考查了用列举法求概率，列出事件所有可能的结果是解题关键.21、（1）如图1所示见解析；（2）见解析.【解析】（1）作AB 与BD 的垂线，交于点O ，点O 就是△ABD 的外心，⊙O 交线段AC 于点E ；（2）连结DE ，根据圆周角定理，等腰三角形的性质，即可得到AD 是等腰三角形ABC 底边上的高线，从而证明AB 是⊙O 的直径；【详解】（1）如图1所示（2）如图2连结AD ，∵DE DB =弧弧∴BAD EAD ∠=∠∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∴∠ADB=90°，∴AB 是⊙O 的直径.【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，圆周角定理以及方程思想的应用等．22、（1）该商品连续两次下降的百分率为10%；（2）售价为43元时，可获最大利润1352元【分析】（1）设每次降价的百分率为x ，2(1)x -为两次降价的百分率，根据题意列出方程求解即可； （2）设每天要想获得S 元的利润，则每件商品应降价m 元，由销售问题的数量关系建立函数解析式，由二次函数性质求出其解即可．【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x ．250140.5x ⨯-=（）120.1, 1.9x x ==（不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下降的百分率为10%；（2）设降价m 元，利润为S 元. 则503048162m S m =--⎛⎫⨯ ⎪⎝+⎭（） 28112960m m =-++()2871352m =--+ 7m ∴=，即售价为43元时，可获最大利润1352元【点睛】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解（1）关键是根据题意找到等量关系，解（2）的关键是解决销量与价格变化关系，列出函数解析式，解答即可．23、（1）=；（2）①详见解析；②DFE DAE ∠=∠，理由详见解析；（3）313BD .【分析】（1）根据线段的和差定义即可解决问题；（2）①②只要证明DAB EAC ∆∆≌，即可解决问题；（3）由三角形的三边关系即可解决问题【详解】解：（1）=（2）①证明：由旋转的性质，得DAE BAC ∠=∠.∴DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，即DAB EAC ∠=∠.∵AB AC =，AD AE =，∴DAB EAC ∆∆≌.∴BD CE =.②DFE DAE ∠=∠.理由：∵DAB EAC ∆∆≌，∴ADB AEC ∠=∠.∵AOD EOF ∠=∠，∴180180ADB AOD AEC EOF ︒-∠-∠=︒-∠-∠，∴DFE DAE ∠=∠.（3）313BD .【点睛】本题考查了三角形全等的证明和三角形三边之间的关系，注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握24、（3）证明见解析；（3）2πcm 3．【分析】连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（3）求出∠COB 的度数，求出∠A 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA 的度数，根据切线的判定推出即可；（3）证明△CDM ≌△OBM ，从而得到S 阴影=S 扇形BOC ．【详解】如图，连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（3）根据圆周角定理得：∠COB=3∠CDB=3×30°=20°，∵AC ∥BD ，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=380°﹣30°﹣20°=90°，即OC ⊥AC ，∵OC 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；（3）由（3）知，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ．∵AC ∥BD ，∴OC ⊥BD ．由垂径定理可知，MD=MB=12． 在Rt △OBM 中， ∠COB=20°，OB=cos30MB ︒==2．在△CDM 与△OBM 中3090CDM OBM MD MBCMD OMB ︒︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△CDM ≌△OBM （ASA ），∴S △CDM =S △OBM∴阴影部分的面积S 阴影=S 扇形BOC =2606360π⋅=2π（cm 3）．考点：3．切线的判定；3.扇形面积的计算．25、14x <<最大整数解为3x =【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可. 【详解】解：213122x x x +<⎧⎪⎨<⎪⎩①② 由①得：1x >由②得：4x <不等式组的解为：14x <<所以满足范围的最大整数解为3x =【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集.26、（1）y=（x-1）2+1；（2）填表见解析，图象见解析．【分析】（1）将（2，2）代入y=（x-1）2+n 求得n 的值即可得解；（2）再由函数解析式计算出表格内各项，然后再画出函数图象即可．【详解】（1）∵二次函数y=（x-1）2+n ，当x=2时，y=2，∴2=（2-1）2+n ，解得n=1，∴该二次函数的解析式为y=（x-1）2+1．（2）填表得 x⋯⋯ -1 0 1 2 3 ⋯⋯ y ⋯⋯ 5 2 1 2 5 ⋯⋯ 画出函数图象如图：【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．。
2023—2024学年吉林省长春市九年级上学期期末数学试卷
2023—2024学年吉林省长春市九年级上学期期末数学试卷一、单选题1. 的值为（）A．B．1C．D．2. 将二次函数化成的形式为（）A．B．C．D．3. 若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是（）A．B．C．D．4. 某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室已知年该学校用于购买图书的费用为元，年用于购买图书的费用增加到元设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．5. 已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为( ) A．B．C．D．6. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度为（）A．B．C．D．7. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（）A．米B．米C．米D．米8. 如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为（）A．B．C．D．二、填空题9. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ________ ．10. 抛物线的顶点坐标为 ______ ．11. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC ＝ ________ cm.12. 如图，是的切线，是切点，连结、．若，则的大小为 ______ 度．13. 如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=4，则弧BQ 的长为 ____________ ．14. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且相距米，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是．身高米的小丽站在绳子的正下方，且距轴米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距轴米，为确保绳子超过他的头顶，则的取值范围为 ______ ．三、解答题15. 解方程x2﹣4 x+1=0．16. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第届世界大学生夏季运动会会徽卡片分别记为，，第三张卡片的正面图案为成都第届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”(卡片记为)，卡片除正面图案不同外，其余均相同将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率．17. 已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．18. 在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍如图，无人机在空中处的飞行高度为，地面观测点处观测无人机在空中处的仰角，已知米，求此时无人机的飞行高度．(结果精确到米)【参考数据：，，】19. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的中点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图中的边上确定一点，连接，使．(2)在图中的边上确定一点，连接，使．(3)在图中的边上确定一点，连接，使．20. 如图，为的直径，点、都在上，且平分，过点作，交的延长线于点．(1)求证：是的切线．(2)延长交的延长线于点．若，，则的长为______．21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．(2)求顶点的坐标．(3)当时，直接写出的取值范围．22. 【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：点为内一定点，点为上一动点，确定点的位置，使线段最长．【问题解决】以下是小华的方法：如图，连结并延长交于点，点为所求．理由如下：在上取点异于点，连结、．接下来只需证明．请你补全小华的证明过程．【类比结论】点为外一定点，点为上一动点，设的半径为，的长为，则线段长度的最大值为______，线段长度的最小值为______．(用含、的代数式表示)【拓展延伸】如图，在半圆中，直径的长为，点在半圆上，，点在上运动，连结，是上一点，且，连结在点运动的过程中，线段长度的最小值为______．23. 如图，在中，，，，点为边的中点，动点从点A出发，沿折线向点运动，点在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，连接，将沿翻折得到．设点的运动时间为秒．(1)求的长．(2)用含的代数式表示线段的长．(3)当与相似时，求的值．(4)当四边形为中心对称图形时，直接写出的值．24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点是该抛物线上一点，其横坐标为．以为对角线作矩形，轴．(1)求抛物线所对应的函数表达式．(2)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围为______．(3)设抛物线在矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求与之间的函数关系式．(4)设这条抛物线的顶点为，的面积为．当时，直接写出的值．。
吉林省长春市朝阳区2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+5 2．（3分）一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．有两个不相的实数根D．没有实数根3．（3分）将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝3（x﹣2）2+6B．y＝3（x﹣2）2﹣6C．y＝3（x+2）2+6D．y＝3（x+2）2﹣64．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为（）A．1.5B．6C．9D．125．（3分）如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁．若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到OB的距离AC．下列算法正确的是（）A．AC＝52cos64°B．AC＝C．AC＝52sin64°D．AC＝52tan64°6．（3分）对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列说法中正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝1C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大D．函数的最大值是37．（3分）若抛物线y＝ax2经过点P（﹣，4），则该抛物线一定还经过点（）A．（4，﹣）B．（，4）C．（﹣4，）D．（﹣，﹣4）8．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x﹣2在x轴上方的部分记为M1，在x轴上及其下方的部分记为M2，将M1沿x轴向下翻折得到M3，M2和M3两部分组成的图象记为M．若直线y＝m与M恰有2个交点，则m的取值范围为（）A．m＞6或m＜﹣6B．m＝0或m＜﹣6C．﹣6＜m＜6D．m＝0或m＞6二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）计算：sin60°＝．10．（3分）如图，转动下面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为．11．（3分）如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于A （﹣1，p）、B（2，q），则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是．13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的一个根是m，则4m2+6m﹣2021的值为．14．（3分）一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为米．三、解答题（本大题10小题。
2020-2021学年长春市朝阳区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年长春市朝阳区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.若数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是()A. √aB. √−aC. √−a2D. √a32.下列根式中，与√3是同类二次根式的是()A. √2B. √9C. √18D. √133.关于x的方程(k−3)x2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围为()A. k≥4B. k≤4且k≠3C. k<4D. k≤44.9.对于抛物线y=−(x−5)2+3，下列说法正确的是()A. 开口向下，顶点坐标(−5,3)B. 开口向上，顶点坐标(5,3)C. 开口向下，顶点坐标(5,3)D. 开口向上，顶点坐标(−5,3)5.在不透明的袋子装有9个白球和一个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中随意摸出一个球，则下列说法中正确的是()A. “摸出的球是白球”是必然事件B. “摸出的球是红球”是不可能事件C. 摸出的球是白球的可能性不大D. 摸出的球有可能是红球6.已知AB//CD//EF，若AC：CE=2：3，则()A. AC：BD=3：2B. BD：BF=2：5C. CD：EF=2：3D. CE：AC=2：57.如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡比1：√3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度BC为()米．A. 6B. 6√3C. 4√3D. 48.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程−x2−bx−c=0在−1<x<3的范围内有两个相等的实数根，则c的取值范围是()A. c=4B. −5<c≤4C. −5<c<3或c=4D. −5<c≤3或c=4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球，且摸到红球的概率为1，那么口袋中其余球的个数为______个．310.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2−10x+24=0的一个根，则该菱形ABCD的周长为______．11.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压______ cm．12.如图，为测得B，C两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE，测得DE=15米，则BC=______ 米.13.如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以点A，B为AB长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为(a,2a−3)，圆心，以大于12则a的值为______．14.抛物线y=a(x−4)2−4(a≠0)在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x轴的上方，则a的值为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.计算：(1)12√24−43√18÷(2√8×13√54)．(2)√3×(−√6)+|−2√2|+(12)−3−(π−3.14)0．16.某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对“我最喜爱课间活动”进行了一次抽样调查，分别从打篮球、踢足球、自由活动、跳绳、其它等5个方面进行问卷调查(每人只能选一项)，根据调查结果绘制了如图的不完整统计图，请你根据图中信息，解答下列问题．(1)本次调查共抽取了学生______人；(2)求本次调查中喜欢踢足球人数；(3)若甲、乙两位同学通过抽签的方式确定自己填报的课间活动，则两位同学抽到同一运动的概率是多少？17.某商场将进价为2000元的手机以2400元售出，平均每天能售出8部，为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种手机的售价每降低50元，平均每天就能多售出4部．(1)假设每部手机降价x元，商场每天销售这种手机的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；(要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种手机销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每部手机应降价多少元？(3)每部手机降价多少元时，商场每天销售这种手机的利润最高？最高利润是多少？18.如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知DE，DC在初始位置，DE=DC=60cm，点B、C、G在同一直线上，AB⊥BG，∠A=46°，∠DCG=95°．(1)当DE，DC在初始位置时，求点D到AC的距离；(2)当双腿伸直后，如图3，点E，D分别从初始位置运动到点E′，D′，假设E′、D′、C三点共线，求此时点E上升的竖直高度．(结果保留整数)(参考数据：sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87，cos44°≈0.72，sin44°≈0.69，tan44°≈0.97)19.如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠BAC=120°．(1)作△ABC的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)；(2)求它的外接圆半径．20.儿童游乐场有一项射击游戏，从O处发射小球，将球投入正方形篮筐DABC.正方形篮筐三个顶点为A(2,2)，B(3,2)，D(2,3).小球按照抛物线y=−x2+bx+c飞行．小球落地点P坐标(n,0)．(1)点C坐标为______．(2)求c，b并写出小球飞行中最高点N的坐标______(用含有n的代数式表示)；(3)若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出n的取值范围．21.(1)如图①，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD的内部，延长AF交CD于点G，连接FC，试猜想∠GFC与∠GCF的关系，并证明你的结论．(2)如图②，将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，①(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；②若∠AGD=120°，则∠FCG=______．22.如图，正方形ABCO的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为(8,8)，将正方形ABCO绕点A逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．(1)求证：△ACQ≌△ADQ；(2)求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；(3)连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．23.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，OA=60cm，OC=80cm.动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动，到达点C即停止．设点P运动的时间为ts．(1)过点P作对角线OB的垂线，垂足为点T.求PT的长y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(2)在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O′恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式；(3)探索：以A，P，T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC面积的1？请说明理由．424.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+4x．(1)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线y=−x2+4x的“方点”的坐标；(2)如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴相交于点C，连接BC.若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求△PBC的面积的最大值；(3)第(2)问中平移后的抛物线上是否存在点Q，使△QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，∴a<0，∴−a2<0，a3<0，∴√a、√−a2、√a3无意义，√−a有意义，故选：B．根据数轴确定a的符号，根据乘方法则得到−a2<0，a3<0，根据二次根式有意义的条件判断即可．本题考查的是实数与数轴、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2.答案：D解析：解：A、√2与√3不是同类二次根式，故本选项错误；B、√9=3与√3不是同类二次根式，故本选项错误；C、√18=3√2与√3不是同类二次根式，故本选项错误；D、√13=√33与√3是同类二次根式，故本选项准确．故选D．把B、C、D选项化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可．本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．3.答案：D解析：本题考查了根的判别式，分二次项系数为零和非零两种情况考虑是解题的关键．当k−3=0时，解一元一次方程可得出方程有解；当k−3≠0时，利用根的判别式Δ=16−4k≥0，即可求出k的取值范围．综上即可得出结论．解：①当k−3=0，即k=3时，方程为2x+1=0，解得：x=−12，符合题意；②当k−3≠0，即k≠3时，Δ=22−4(k−3)=16−4k≥0，解得：k≤4且k≠3．综上即可得出k的取值范围为k≤4．故选：D．4.答案：C解析：解析：，所以抛物线开口向下，由解析式可知顶点坐标为(5,3)，故选C 5.答案：D解析：解：∵不透明的袋子装有9个白球和一个红球，∴P(白)=910，P(红)=110，∴“摸出的球是白球”是随机事件，可能较大，“摸出的球是红球”是随机事件，故A、B、C不符合题意，故选：D．先求出摸到白球和红球的概率，即可得出结论．此题主要考查了可能性的大小，随机事件，掌握相关概念是解本题的关键．6.答案：B解析：解：∵AB//CD//EF，∴BD：DF=AC：CE=2：3，∴BD：BF=2：5，故选：B．根据平行线分线段成比例定理，得到比例式BD：DF=AC：CE，进而判断即可．本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系得到相关的比例式是解题的关键．7.答案：A解析：解：∵自动扶梯AB的坡比1：√3，设BC=x，∴AB=√AC2+BC2=√x2+(√3x)2=2x=12，解得：x=6，∴BC=6，故选：A．根据坡比的定义可知，坡比就是坡角的正切值，从而可以解答本题．此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意理解坡度的定义是解此题的关键．8.答案：D解析：本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程，解题的关键将根的判别式△分情况讨论，从而求出c的范围．由对称轴x=2可求出b的值，然后分别求出x=−1和x=3时的函数值，列出不等式即可求出c的范围．解：由对称轴x=2可知：b=−4，∴抛物线y=x2−4x+c令x=−1时，y=c+5x=3时，y=c−3关于x的一元二次方程−x2−bx−c=0在−1<x<3的范围内有两个相等的实数根，当△=0时，即c=4，此时x=2，满足题意．当△>0时，此时c<4y=x2+bx+c在−1<x<3的范围内与x轴有交点，∴(c+5)(c−3)≤0，∴−5≤c≤3，当c=5时，此时x=−1或x=5，不满足题意，∴c的范围：−5<c≤3或c=4．故选D．9.答案：8解析：解：设口袋中其余球的个数为x个，根据题意得：44+x =13，解得：x=8，经检验x=8是方程的解，则口袋中其余球的个数为8个；故答案为：8．设口袋中其余球的个数为x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．10.答案：24解析：解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵x2−10x+24=0，因式分解得：(x−4)(x−6)=0，解得：x=4或x=6，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=6时，6+6>8，∴菱形ABCD的周长=4AB=24．故答案为：24．解方程得出x=4，或x=6，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=6时，6+6>8，即可得出菱形ABCD的周长．本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．11.答案：40解析：解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM//BN；∵AM//BN，∴△ACM∽△BCN；∴ACBC =AMBN，∵AC与BC之比为4：1，∴ACBC =AMBN=4，即AM=4BN，∴当BN≥10cm时，AM≥40cm，故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压40cm．故答案为：40．首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．12.答案：30解析：解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=30(米)，故答案为：30．根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．13.答案：3AB长为半径画弧，两弧交于点P，解析：解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于12∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P在第一象限，点P的坐标为(a,2a−3)，∴a=2a−3，∴a=3．故答案为：3．根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．、14.答案：1解析：解：∵抛物线y=a(x−4)2−4(a≠0)的对称轴为直线x=4，而抛物线在6<x<7这一段位于x轴的上方，∴抛物线在1<x<2这一段位于x轴的上方，∵抛物线在2<x<3这一段位于x轴的下方，∴抛物线过点(2,0)，把(2,0)代入y=a(x−4)2−4(a≠0)得4a−4=0，解得a=1．故答案为：1．根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1<x<2这一段位于x 轴的上方，而抛物线在2<x<3这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点(2,0)，然后把(2,0)代入y=a(x−4)2−4(a≠0)可求出a的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．15.答案：解：(1)12√24−43√18÷(2√8×13√54)=12×2√6−43×3√2÷(2×2√2×13×3√6)=√6−4√2÷8√3=√6−√66=56√6．(2)√3×(−√6)+|−2√2|+(12)−3−(π−3.14)0=−3√2+2√2+8−1=7−√2．解析：(1)首先将二次根式化成最简二次根式，然后计算小括号里的，再计算除法，最后合并同类项即可．(2)首先计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，再计算乘法，最后再合并同类项即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．16.答案：50解析：解：(1)总人数=5÷10%=50(人)；故答案为：50；(2)本次调查中喜欢踢足球人数是：50−5−20−8−5=12(人)；(3)根据题意画图如下：共有25种等情况数，其中两位同学抽到同一运动的有5种，则P(两位同学抽到同一运动)=525=15．(1)根据打篮球的人数和百分比即可解决问题；(2)求出本次调查中喜欢踢足球人数即可解决问题；(3)根据题意画出树状图得出所有等情况数和两位同学抽到同一运动的情况数，再根据概率公式即可得出答案．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．17.答案：解：(1)根据题意，得：y=(2400−2000−x)(8+4×x 50 )=−225x2+24x+3200(0≤x≤400)；(2)由题意，得−225x2+24x+3200=4800．整理，得x2−300x+20000=0．解这个方程，得x1=100，x2=200．要使百姓得到实惠，取x=200.所以，每部手机应降价200元．(3)对于y=−225x2+24x+3200，当x=−242×(−225)=150时，y最大值=(2400−2000−150)×(8+4×15050)=250×20=5000元．所以，售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．解析：(1)直接利用销量×每部手机利润=总利润进而得出函数关系式；(2)利用y=4800，进而解方程得出答案；(3)利用公式x=−b2a，再把x的值代入求出答案．此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键．18.答案：解：(1)如图2中，过点D作DH⊥AC于H．∵∠B=90°，∠A=46°，∴∠ACB=44°，∴∠DCH=180°−∠ACB−∠DCG=41°，在Rt△DCH中，DH=CD⋅sin41°=60×0.66≈40(cm)，∴点D到AC的距离为40cm．(2)如图3中，过点D作DH⊥AC于H．∵DE=DC，DH⊥EC，∴EH=CH=CD⋅cos41°=60×0.75≈45(cm)，∵CE′=120cm，EC=90cm，∴时点E上升的竖直高度=(120−90)⋅sim44°≈21(cm)．解析：(1)如图2中，过点D作DH⊥AC于H.解直角三角形求出DH即可．(2)如图3中，过点D作DH⊥AC于H.求出EC，CE′，可得结论．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19.答案：解：(1)如图1所示：圆O为所求作的图形．(2)如图2所示：连接AO，BO，∵AB=AC=8cm，∠BAC=120°，∴AO⊥BC，∴∠BAO=12∠BAC=60°，又∵AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴AB=BO=AO=8cm．解析：(1)直接作出BC，AB的垂直平分线，进而得出其交点，得出圆心进而得出△ABC的外接圆；(2)利用等腰三角形的性质得出△ABO是等边三角形，进而求出即可．此题主要考查了复杂作图以及等边三角形的判定以及等腰三角形的性质，得出△ABO是等边三角形是解题关键．20.答案：解：(1)(3,3)．(2)(n2,n24)；(3)72<n<113．解析：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数的问题能力．(1)由正方形的性质及A、B、D三点的坐标求得AD=BC=1即可得；(2)把(0,0)(n,0)代入y=−x2+bx+c求得b=n、c=0，据此可得函数解析式，配方成顶点式即可得出答案；(3)根据“小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐”知：当x=2时y>3，当x=3时y<2，据此列出关于n的不等式组，解之可得．解：(1)∵A(2,2)，B(3,2)，D(2,3)，∴AD=BC=1，则点C(3,3)， 故答案为：(3,3)；(2)把(0,0)(n,0)代入y =−x 2+bx +c 得： {c =0−n 2+bn +c =0， 解得：{b =nc =0，∴抛物线解析式为y =−x 2+nx =−(x −n2)2+n 24，∴顶点N 坐标为(n 2,n 24)；故答案为：(n 2,n 24)；(3)根据题意，得：当x =2时y >3，当x =3时y <2， 即{−4+2n >3−9+3n <2， 解得：72<n <113．21.答案：60°解析：解：(1)∠GFC =∠GCF ；理由如下： 如图1，∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B =∠ECG =90°；由题意得：BE =CE ，BE =EF ，∠AFE =∠B ， ∴∠AFE =∠ECG =90°，EF =EC ， ∴∠EFC =∠ECF(设为α)， ∴∠GFC =∠GCF =90°−α．(2)①(1)中的结论仍然成立；理由如下： ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B +∠ECG =180°；由题意得：BE =CE ，BE =EF ，∠AFE =∠B(设为α)， ∴∠AFE =∠ECG =180°−α，EF =EC ， ∴∠EFC =∠ECF ；∵∠EFG =180°−α，∠ECG =180°−α， ∴∠EFG =∠ECG ，∴∠GFC=∠GCF．②∵∠AGD=∠GFC+∠FCG，且∠AGD=120°，∴∠FCG=60°．故答案为：60°．(1)如图①，首先证明∠AFE=∠ECG=90°，EF=EC；进而得到∠EFC=∠ECF，即可解决问题．(2)①如图②，首先证明∠EFC=∠ECF，其次证明∠EFG=∠ECG，即可解决问题．②运用结论，结合外角定理，即可解决问题．该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、矩形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、平行四边形的性质、矩形的性质等几何知识点．22.答案：(1)证明：∵正方形AOBC绕点A旋转得到正方形ADEF，∴AD=AC，∠ADQ=∠ACQ=90°，在Rt△ADQ和Rt△ACQ中{AQ=AQAD=AC∴Rt△ACQ≌Rt△ADQ(HL)；(2)解：∵△ACQ≌△ADQ，∴∠CAQ=∠DAQ，CQ=DQ，在Rt△AOP和Rt△ADP中，{AP=APAO=AD，∴Rt△AOP≌Rt△ADP(HL)，∴∠OAP=∠DAP，OP=OD，∴∠PAQ=∠DAQ+∠DAP=12∠DAC+12∠DAO=12(∠DAC+∠DAO)=12∠OAC=45°，PQ=PD+DQ=OP+CQ；(3)解：四边形BECD可为矩形，如图，若四边形BECD为矩形，则BQ=EQ=CQ=DQ，∵BC=8，∴BQ=CQ=4，设P点坐标为(x,0)，则PO=x，∵OP=PD，CQ=DQ，∴PD=x，DQ=4，在Rt△BPQ中，可知PQ=x+4，BQ=4，BP=8−x，∴(x+4)2+42=(8−x)2，解得x=83，∴P点坐标为(83,0)．解析：(1)由正方形的性质及旋转的性质可得到AD=AC，利用HL即可证得结论；(2)利用(1)的结论，结合条件可证得△AOP≌△ADP，进一步可求得∠PAQ=45°，再结合全等可求得PQ=OP+CQ；(3)利用矩形的性质可得到BQ=EQ=CQ=DQ，设P(x,0)，则可表示出BQ、PB的长，在Rt△BPQ 中，利用勾股定理可得到关于x的方程，则可求得P点坐标．本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定和性质、勾股定理及方程思想等知识．在(1)中注意HL的应用，在(2)中证得Rt△AOP≌Rt△ADP是解题的关键，在(3)中注意矩形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．23.答案：解：(1)在矩形OABC中，因为OA=60，OC=80，所以OB=AC=√602+802=100．因为PT⊥OB，所以Rt△OPT∽Rt△OBC．因为PTBC =OPOB，即PT60=5t100，所以y =PT =3t ．当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为805=16， 所以，t 的取值范围是0≤t ≤16．(2)(如图2)当O 点关于直线AP 的对称点O′恰好在对角线OB 上时，A ，T ，P 三点在 一条直线上．所以AP ⊥OB ，∠1=∠2． 所以Rt △AOP∽Rt △OCB ， 所以OPCB =AOOC ． 所以OP =45．所以点P 的坐标为(45,0)．设直线AP 的函数解析式为y =kx +b ． 将点A(0,60)和点P(45,0)代入解析式， 得{60=0+b 0=45k +b ， 解这个方程组得{k =−43b =60．所以此时直线AP 的函数解析式是y =−43x +60． (3)由(2)知，当t =455=9时，A ，T ，P 三点在一条直线上，此时点A ，T ，P 不构成三角形． 所以分两种情况：1、当0<t <9时，点T 位于△AOP 的内部(如图1)，过A 点作AE ⊥OB ，垂足为点E ， 由AO ⋅AB =OB ⋅AE 可得AE =48．所以S △APT =S △AOP −S △ATO −S △OTP =12×60×5t −12×4t ×48−12×4t ×3t =−6t 2+54t ． 若S △APT =14S 矩形OABC ，则−6t 2+54t =1200，即t 2−9t +200=0． 此时，△=(−9)2−4×1×200<0， 所以该方程无实数根．所以当0<t <9时，以A ，P ，T 为顶点的△APT 的面积不能达到矩形OABC 面积的14． 2、当9<t ≤16时，点T 位于△AOP 的外部．此时S △APT =S △ATO +S △OTP −S △AOP =6t 2−54t ． 若S △APT =14S 矩OABC ，则6t 2−54t =1200，即t 2−9t −200=0． 解得t 1=9+√8812，t 2=9−√8812<0(舍去)．由于881>625=252， 所以t =9+√8812>9+√6252=17．而此时9<t ≤16， 所以t =9+√8812也不符合题意，应舍去．所以当9<t ≤16时，以A ，P ，T 为顶点的△APT 的面积也不能达到矩形OABC 面积的14． 综上所述，以A ，P ，T 为顶点的△APT 的面积不能达到矩形OABC 面积的14．解析：(1)根据矩形的性质可知OB =AC ，根据直角三角形的性质可知√602+802=100，即OB =AC =100.判定Rt △OPT∽Rt △OBC 则可得出PTBC =OPOB ，即可得出函数解析式，根据P 的运动情况求出t 的取值范围即可．(2)当O 点关于直线AP 的对称点O′恰好在对角线OB 上时，A ，T ，P 三点在一条直线上．判定Rt △AOP∽Rt △OCB ，则可得出OPCB =AOOC ，点P 的坐标为(45,0).列出AP 的函数解析式将点A(0,60)和点P(45,0)代入解析式，解出即可．(3)由(2)知，当t =9时，A ，T ，P 三点在一条直线上，此时点A ，T ，P 不构成三角形．所以分两种情况：1、当0<t <9时，列出方程求解看有无实数根即可．2、当9<t ≤16时，根据图(3)列出方程求解看有无实数根即可．24.答案：解：(1)由题意得：x =y ，∴−x 2+4x =x ， 解得，x 1=0，x 2=3，∴抛物线的方点坐标是(0,0)，(3,3)；(2)如图1，过P点作y轴的平行线交BC于点D，∵y=−x2+4x=−(x−2)2+4，∴向左平移1个单位长度后抛物线的表达式为y=−(x−1)2+4=−x2+ 2x+3，在y=−x2+2x+3中，当x=0时，y=3；当y=0时，x1=−1，x2=3，∴C(0,3)，A(−1,0)，B(3,0)，设直线BC的解析式为y=kx+3，将点B(3,0)代入，得，k=−1，∴直线BC的解析式为y=−x+3，设P(m,−m2+2m+3)，则D(m,−m+3)，∴PD=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m(0<m<3)，∴S△PBC=12(−m2+3m)×3=−32(m−32)2+278(0<m<3)，∴当m=32时，△PBC的面积最大，最大值为278；(3)存在，理由如下：∵C(0,3)，B(3,0)，∴OB=OC=3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠CBO=45°，①当点B为直角顶点时，如图2，过点B作直线BC的垂线，交y轴于点M，交抛物线于点Q，则∠OBM=45°，∴△OBM为等腰直角三角形，∴OB=OM=3，∴M(0,−3)，设直线BM的解析式为y=kx−3，将点B(3,0)代入，得，k =1，∴直线BM 的解析式为y =x −3，联立，得{y =−x 2+2x +3y =x −3， 解得，x 1=−2，x 2=3，∴Q 1(−2,−5)；②当点C 为直角顶点时，如图2，过点C 作直线BC 的垂线，交抛物线于点Q ，则QC//BM ，则直线QC 的解析式为y =x +3，联立，得{y =−x 2+2x +3y =x +3， 解得，x 1=0，x 2=1，∴Q 2(1,4)，综上所述，点Q 的坐标为(−2,−5)或(1,4)．解析：(1)由“方点”的定义可列出关于x 的方程−x 2+4x =x ，解方程即可；(2)如图1，过P 点作y 轴的平行线交BC 于点D ，求出向左平移1个单位长度后抛物线的表达式，写出点A ，B ，C 的坐标，求出直线BC 的解析式，设P(m,−m 2+2m +3)，则D(m,−m +3)，求出PD 的长度，并表示出△PBC 的面积，由二次函数的图象及性质可求出其最大值；(3)先求出∠CBO =45°，然后分两种情况讨论：①当点B 为直角顶点时，如图2，过点B 作直线BC 的垂线，交y 轴于点M ，交抛物线于点Q ，求出直线BM 的解析式，求出其与抛物线的交点即可；②当点C 为直角顶点时，如图2，过点C 作直线BC 的垂线，交抛物线于点Q ，求出直线CQ 的解析式，求出其与抛物线的交点即可．本题考查了新定义，二次函数的图象及性质，直角三角形的存在性等，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数与一次函数的交点坐标的求法等．。
吉林省长市朝阳区九年级数学上学期期末考试试题(含解
吉林省长春市朝阳区2014-2015学年九年级数学上学期期末考试试题一、选择题：每小题3分，共24分。
1．甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场只设1、2、3、4四个跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是（）A．1 B．C．D．2．若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=33．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2=0 B．x2﹣x=0 C．x2﹣x+1=0 D．x+1=04．把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x﹣1）2C．y=﹣2x2+1 D．y=﹣2x2﹣15．如图，AD、BC相交于点O，AB∥CD，若，则的值是（）A．B．C．D．6．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是（）A．（）B．（）C．（）D．（2，2）7．如图，将一个含有45°角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长是（）A．2cm B．4cm C．2cm D．4cm8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，△EFC的面积记为S1，四边形DEFB的面积为S2．若，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2 D．2S1=S2二、填空题：每小题3分，共18分。
9．×= ．10．若关于x的一元二次方程x2﹣m=0的一个解为3，则m的值为．11．等腰直角三角形AOB的顶点A在第二象限，∠ABO=90°，点B的坐标是（0，1）．若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则点A的对应点A′的坐标是．12．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是．14．如图，点E是抛物线y=a（x﹣2）2+k的顶点，抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点B，与对称轴交于点D．点A是对称轴上一点，连结AC、AB．若△ABC是等边三角形，则图中阴影部分图形的面积之和是．三、解答题：本大题共10小题，共78分。
初中数学吉林省长春市朝阳区 九年级上期末数学考试卷及答案
xx学校xx学年xx学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:．甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场只设1、2、3、4四个跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是( )A．1 B ． C． D．试题2:若式子有意义，则x的取值范围是( )A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x=3试题3:下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )A．x2=0 B．x2﹣x=0 C．x2﹣x+1=0 D．x+1=0试题4:把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是( )A．y=﹣2（x+1）2 B．y=﹣2（x﹣1）2 C．y=﹣2x2+1 D．y=﹣2x2﹣1试题5:如图，AD、BC相交于点O，AB∥CD，若，则的值是( )A． B． C． D．试题6:如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是( )A．（） B．（） C．（） D．（2，2）试题7:如图，将一个含有45°角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长是( )A．2cm B．4cm C．2cm D．4cm试题8:如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，△EFC的面积记为S1，四边形DEFB的面积为S2．若，则S1与S2的大小关系为( )A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．2S1=S2试题9:×=__________．试题10:若关于x的一元二次方程x2﹣m=0的一个解为3，则m的值为__________．试题11:等腰直角三角形AOB的顶点A在第二象限，∠ABO=90°，点B的坐标是（0，1）．若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则点A的对应点A′的坐标是__________．试题12:如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为__________．试题13:如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是__________．试题14:如图，点E是抛物线y=a（x﹣2）2+k的顶点，抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点B，与对称轴交于点D．点A是对称轴上一点，连结AC、AB．若△ABC是等边三角形，则图中阴影部分图形的面积之和是__________．试题15:．计算：．试题16:解方程：x2+3x﹣1=0．试题17:在一个不透明的袋子里装有4个小球，分别标有数字1，2，3，4，这些小球除所标数字不同外其余均相同，先从袋子里随机摸出1个小球，记下标号后不放回，再从袋子里随机摸出1个小球记下标号，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球的标号之和是5的概率．试题18:图①、图②是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，点D、E在格点上，连结DE．（1）在图①、图②中分别找到不同的格点F，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，并画出△DEF（每个网格中只画一个即可）．（2）使△DEF与△ABC相似的格点F一共有__________个．试题19:．某公司销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份获得的利润是28.8万元，若该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．试题20:如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，在离该建筑物底部12m的点F处，从E点观测旗杆的顶端A处和底端B处，视线与水平线夹角∠AED为52°，∠BED为45°，目高EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1m）【参考数据：sin52°=0.79，cos52°=0.62，tan52°=1.28】试题21:某商店现在的销售价格为每件35元，每天可卖出50件，市场调查发现，如果调整价格，每降价1元你，每天可多卖出2件，设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大．最大销售额是多少？试题22:探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B、C重合），连结AE，过点E作AE⊥EF，EF交边CD于点F，求证：△ABE≌△ECF．拓展：如图②，△ABC是等边三角形，点D在边BC上（点D不与点B、C重合），连结AD，以AD为边作∠ADE=∠ABC，DE 交边AC于点E，若AB=3，BD=x，CE=y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．试题23:如图，抛物线y=﹣经过A（4，0），C（0，4）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，点E是OC的中点，作直线AC、点M在抛物线上，过点M作MD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点N，设点M的横坐标为m，MN的长度为d．（1）直接写出直线AC的函数关系式；（2）求抛物线对应的函数关系式；（3）求d关于m的函数关系式；（4）当以点M、N、E、O为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出m的值．试题24:如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿C→O→B运动．到点B停止，点Q沿A→D→C运动，到点C停止．连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x（s）．（1）填空：BO=__________cm；（2）当PQ∥CD时，求x的值；（3）当时，求y与x之间的函数关系式；（4）直接写出在整运动过程中，使AQ=PQ的所有x的值．试题1答案:D【考点】概率公式．【分析】由设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，∴甲抽到1号跑道的概率是：．故选D．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．试题2答案:A【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．试题3答案:B【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进一步判断即可．【解答】解：A、△=0，方程有两个相等实数根；B、△=1＞0，方程有两个不相等的实数根；C、△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根；D、一元一次方程，方程有一个实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．试题4答案:C【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】探究型．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y=﹣2x2+1．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．试题5答案:C【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据AB∥CD，得到△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴=，故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．试题6答案:B【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】由题意可得OA：OD=2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，∴OA：OD=2：3，∵点A的坐标为（1，0），即OA=1，∴OD=，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=．∴E点的坐标为：（，）．故选：B．【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．试题7答案:D【考点】含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×2=4，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=4，∴BC2=AB2+AC2=42+42=32，∴BC=4，故选：D．【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．试题8答案:C【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据已知条件得到四边形DBFE是平行四边形，由平行四边形的性质得到BD=EF，通过△ADE∽△ABC，得到=，推出DE=BF=CF，然后根据图形的面积即可得到结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥AB∴四边形DBFE是平行四边形，∴BD=EF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴DE=BF=CF，设DE与BC之间的距离为h，∴S1=BF•h，S2=CF•h，∴S1=CF•h，∴S1=S2，故选C．【点评】本题考查了平行四边形、三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．试题9答案:2．【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的乘法法则计算，结果要化简．【解答】解：×===．【点评】主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则=（a≥0，b≥0）．试题10答案:9．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=3代入x2﹣m=0得到m的一次方程，然后解此一次方程即可．【解答】解：把x=3代入x2﹣m=0得9﹣m=0，解得m=9．故答案为9．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．试题11答案:（1，1）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】数形结合．【分析】根据等腰直角三角形的性质得AB=OB=1，∠ABO=90°，则根据旋转的性质得∠BOB′=90°，∠A′B′O=∠ABO=90°，OB′=A′B′=OB=1，然后根据第一象限点的坐标特征写出点A′的坐标．【解答】解：∵点B的坐标是（0，1），∴OB=1，∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=90°，∵△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠BOB′=90°，∠A′B′O=∠ABO=90°，OB′=A′B′=OB=1，∴点A′的坐标为（1，1）．故答案为（1，1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．试题12答案:．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△ACD∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出AD的长．【解答】解：∵在△ABC与△ACD中，∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴=，∵AB=5，AC=4，∴=，解得AD=．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACD∽△ABC是解答此题的关键．试题13答案:．【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．【分析】首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AB=2CD=4，则sinB==．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．试题14答案:2．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的对称性可知图中阴影部分图形的面积之和=S△ACD=S△ABC．【解答】解：∵AD是抛物线y=a（x﹣2）2+k的对称轴，△ABC是等边三角形，∴图中阴影部分图形的面积之和=S△ACD=S△ABC．∵CD=2，∴BC=2CD=4，∴S△ABC=×42=4，∴图中阴影部分图形的面积之和=2．故答案为2．【点评】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的面积，根据抛物线的对称性得出图中阴影部分图形的面积之和=S△ACD 是解题的关键．试题15答案:【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=3﹣2×+=3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．试题16答案:【考点】解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a=1，b=3，c=﹣1，∵△=9+4=13，∴x=，则x1=，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．试题17答案:【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和是5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和是5的有4种情况，∴两次摸出的小球的标号之和是5的概率为：=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．试题18答案:【考点】作图—相似变换．【分析】（1）利用相似三角形的性质得出符合题意的答案；（2）利用（1）中所画图形得出所有的可能．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图①所示：使△DEF与△ABC相似的格点F一共有6个．故答案为：6．【点评】此题主要考查了相似变换，根据题意正确利用相似三角形的性质得出对应边的长是解题关键．试题19答案:【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设这个增长率是x，根据题意可得3月份的利润是20×（1+x）2万元，而3月份获得的利润是28.8万元，依此列出方程，求解即可得到答案．【解答】解：设这个增长率为x．依题意得：20（1+x）2=28.8，解得 x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这个增长率是20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．试题20答案:【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得BD=ED=FC=12，DC=EF=1.6，从而求出BC；（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°可求出AD，则AB=AD﹣BD．【解答】解：（1）根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，∴四边形CDEF是矩形，∵∠BED=45°，∴∠EBD=45°，∴BD=ED=FC=12，∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6，答：建筑物BC的高度为13m；（2）∵∠AED=52°，∴AD=ED•tan52°≈12×1.28≈15.36m，∴AB=AD﹣BD=15.36﹣12=3.4m，答：旗杆AB的高度约为3.4m．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．试题21答案:【考点】二次函数的应用．【分析】（1）现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为（35﹣x）元；多买2x件，即每天售量为（50+2x）件，根据每天的销售额=每件售价×每天售量即可得到结论；（2）每天的销售额=每件售价×每天售量，即y=（35﹣x）（50+2x），配方后得到y=﹣2（x﹣5）2+1800，根据二次函数的性质得到当x=5时，y取得最大值1800．【解答】解：（1）根据题意得：y=（35﹣x）（50+2x）；（2）∵每天的销售额y=（35﹣x）（50+2x），（0＜x＜35）配方得y=﹣2（x﹣5）2+1800，∵a＜0，∴当x=5时，y取得最大值1800．答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元【点评】本题考查了二次函数的应用：根据题意构建二次函数关系式，再利用配方法配成顶点式，然后根据二次函数的性质讨论函数的最大值或最小值．试题22答案:【考点】相似三角形的判定与性质；函数关系式；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】（1）由正方形的性质和已知条件证明∠BAE=∠FEC，即可证明：△ABE∽△ECF；（2）根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，于是得到∠BAD+∠ADB=120°，根据已知条件得到∠ADB+∠CDE=120°，等量代换得到∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°，∵∠ADE=∠ABC，∴∠ADE=60°，∴∠ADB+∠CDE=120°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，∵AB=3，BD=x，CE=y，∴，∴y=﹣x2+x．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，求二次函数的解析式，证得△ABD∽△DCE是解题的关键．试题23答案:【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得直线的解析式；（2）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标，可得答案；（4）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得MN的长，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A、C点的坐标代入，得，解得，直线AC的解析式为y=﹣x+4；（2）将A、C点坐标代入抛物线的解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（3）∵点M的横坐标为m，∴M点的坐标为（m，﹣m2+m+4）．点N的坐标为（m，﹣m+4）．①当点M在点N的上方时，MN=﹣2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，d=﹣m2+2m；②当点M在点N的下方时，MN=﹣m+4﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣2m，d=m2﹣2m；（4）m的值为m1=2，m2=2﹣2，m3=2+2．理由如下：①点M在点N的上方时，MN═OE=2，即﹣m2+2m=2，解得m1=m2=2．∴m=2；②当点M在点N的下方时，MN=OE=2，即m2﹣2m=2，解得m1=2﹣2，m2=2+2，∴m=2﹣2，m=2+2．综上所述：当以点M、N、E、O为顶点的四边形为平行四边形时，m的值为m1=2，m2=2﹣2，m3=2+2．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数的解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出MN的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．试题24答案:【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据勾股定理得出AC=5，进而得出OB的长度；（2）根据相似三角形的判定和性质进行解答即可；（3）分三种情况利用相似三角形的判定和性质进行解答；（4）分点P、Q在不同位置，根据等腰三角形的性质解答出x的值即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，∴AC=，∴BO=，故答案为：，（2）如图1：∵PQ∥CD，∴△APQ∽△ACD，∴，∴，∴；（3）如图2，当时，过点P作PE⊥AD，垂足为点E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠PED=90°，∴PE∥AB，∴△DPE∽△DBA，∴，∴，∴PE=，∴，∴，如图3，当4＜x≤5时，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，延长FP交CD于点G，则PF∥AD，∵△BPF∽△BDA，∴，∴，∴，∴，∴S四边形PQCB=S△BCD﹣S△PQD=，∴；∴S△APQ=S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ﹣S四边形PQCB==，∴；如图4，当5＜x≤7时，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，则QH=AD=4，∴，∴S=6，综上所述，（4）AQ=PQ，当点P在OC上时，如图5，作QH⊥AC于H，则AH=HQ，△AHQ∽△ADC，∴==，∵AQ=CP=x，∴AH=x，∴x+x+x=5，解得，x=；当Q与D重合时，如图6，AQ=4，QP=4，∴x=4时，AQ=PQ；当点P停止运动，Q运动到CD的中点时，如图7，AQ=PQ，则△ADQ≌△BCQ，∴DQ=QC，∴AQ=，此时，x=，∴时，AQ=PQ．【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．。
2022学年长春市朝阳区九年级数学上学期期末监测卷附答案解析
2022学年长春市朝阳区九年级数学上学期期末监测卷2023.012022—2023学年度（春季）质量监测·九年级（数学）答案阅卷说明：1．评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分．2．考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分． 一、选择题（每小题3分，共24分）1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D 二、填空题（每小题3分，共18分）9．2 10．0.72 11．10 12．y =12x +3213．21313 14．16评分说明：第11题不精确到0.01不得分；第11题、第14题带不带单位均可得分． 三、解答题（本大题10小题，共78分）15．原式2232()122=⨯-+ （3分）54=． （6分） 评分说明：每代入一个正确的三角函数值得1分，结果正确得3分． 16．解法一：根据题意，可以画出如下树状图：（4分）从树状图上可以看出，所有可能出现的结果共有9个，其中两次抽取的扑克牌上的数字之和为奇数的结果有4个．所以P （两次抽取的卡片上数字之和为奇数）49=．（6分）解法二：根据题意，列表如下：第和 一次第二次1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6（4分）从表中可以看出，所有可能出现的结果共有9个，其中两次抽取的扑克牌上的数字之和为奇数的结果有4个．所以P （两次抽取的卡片上数字之和为奇数）49=．（6分）第一次 1 2 3第二次 1 2 3 1 2 3 1 2 3 和 2 3 4 3 4 5 4 5 6评分说明：树状图画对第一层得1分；第二层每面对一个分支得1分；列表画对表格分布得1分；每写对1列或1行得1分；计算概率正确得2分．17．设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x ． （1分）由题意，得（1+x ）2=1.21． （4分） 解得x 1=0.1=10%，x 2=-2.1（舍去）． （6分） 答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．评分说明：设未知数得1分；等量关系正确得3分；求解正确得1分；检验得1分；不答不扣分． 18．（1）令y =0，则x 2﹣3x ＝0．解得x 1=0（舍去），x 2=3． （1分） ∴点A 的坐标为（3，0）． （2分） ∴OA =3． （3分）（2）x >32或x ≥32均正确． （5分） （3）94<n <0． （7分）评分说明：第（1）题直接写结果可得2分． 第（2）题带不带等号均得分．第（3）题每写对一个不等式得1分，两个不等式均正确得2分． 19．以下答案供参考．（1）如图①． （2分） （2）如图②． （4分）（3）如图③． （7分） 评分说明：字母标错或不标扣1分．不用直尺画扣1分，画成虚线不扣分． 20．如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADC =∠ADB =90°．在Rt △ACD 中，∠ACB ＝45°， ∴∠ACD ＝∠CAD ＝45°．∴AD ＝CD ． （1分）设AB ＝x m ． 在Rt △ADB 中，∵sin ∠ABD =ADAB，∴AD ＝AB •sin58°≈0.85x ． （3分） ∵cos ∠ABD =BDAB，∴BD ＝AB •cos58°≈0.53x ． （5分） ∵BC ＝221 m ， ∴CD+BD ＝221m ．MH GA B C （第19题）图① 图② 图③ DC B A FE A B C 58°45°D C B A∴0.85x+0.53x＝221 m．解得x≈160（m）．（7分）答：A、B两点之间的距离约为160m．评分说明：第20题有没有单位均得分，“=”、“≈”均得分．21．（1）选择图②中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式．由题意，得抛物线的顶点坐标为（4，6）．设抛物线对应的函数关系式为y＝a（x﹣4）2+6．（2分）将点B（10，0）代入，得y＝a（10﹣4）2+6．解得a＝﹣16．（3分）∴抛物线对应的函数关系式为y＝﹣16（x﹣4）2+6．（4分）选择图②中第二象限内的抛物线求其对应的函数关系式．由题意，得抛物线的顶点坐标为（﹣4，6）．设抛物线对应的函数关系式为y＝a（x+4）2+6．（2分）将点A（﹣10，0）代入，得y＝a（﹣10+4）2+6．解得a＝﹣16．（3分）∴抛物线对应的函数关系式为y＝﹣16（x+4）2+6．（4分）（2）当x＝0时，y＝﹣16（0﹣4）2+6＝103．∴点M的纵坐标为103．（6分）（3）离中心O最远的两个直线型喷头的水平距离15.6 m．（8分）评分说明：第（1）题两个解析式都求解，如果都对了不扣分，如果有一个正确一个是错误的扣1分，如果两个都求错了，查前面评分标准按得分高者给分．第（2）题直接写出结果可得2 分，写成坐标扣1分．第（3）题带不带单位均可得分．22．【操作一】45 （2分）【操作二】∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AB∥CD．由折叠，得∠DFE＝∠A＝90°．∴∠CFE＝∠DFE＝∠FEB＝90°．（3分）∴∠FCH+∠FHC＝90°．由折叠，得∠CHG＝∠B＝90°．∴∠FHC+∠EHG＝90°．∴∠FCH＝∠EHG．（4分）∴△CFH∽△HEG．（5分）【应用】2 8 （7分）【拓展】241 （9分） 评分说明：【操作一】题带不带单位均可得分． 【应用】 每写对一个得1分，两个都正确得2 分． 【拓展】写成164扣1分． 23．（1）在Rt △ABC 中，∠C =90°， 由勾股定理，得AB 2=AC 2+BC 2．BC =27．在Rt △APQ 中，∠AQP =90°，sin A =PQ BCAP AB=． ∴DE = PQ =7t ． （2分） （2）如图①，当点E 到点A 、D 的距离相等时，则点E 在AD 的中垂线上．∴DF =122AD =．∴cos ∠EDF =74DF DE =． ∴274DE =． 解得877DE =． （4分）（3）如图②，当PE ⊥AB 时，则PD =74t ．∴7444t t +=．解得1623t =． （6分）如图③，当DQ ⊥AB 时，则DQ =473．∴cos ∠DQP =34DQ PQ =． ∴473347t =． 解得169t =． （8分）（4）1825t =或1811t =． （10分）【提示】如图④、图⑤．图① 图② 图③F AB C D P Q E A B C D P Q E A BCD P QE CCQ E评分说明：第（1）题和第（2）题直接写结果均可得2分．第（3）题每写对一个值得2分，两个正确的答案都出现的情况下，多解扣1分．第（4）题每写对一个值得1分，两个正确的答案都出现的情况下，多解扣1分．24．（1）由题意，得2110,252b cc⎧⨯--+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（）．（1分）解得1,52bc=-⎧⎪⎨=-⎪⎩．（2分）∴该抛物线对应的函数关系式为y＝12x2-2x52-．（3分）（2）将抛物线y＝12x2-2x52-配方，得y＝12（x-2）292-．∴该抛物线的顶点坐标为C（2，92-）．（4分）∵BP⊥y轴，∴点B与点P关于直线x=2对称．∴BP=4．∴四边形ABCP的面积为1514+429222⨯⨯⨯⨯=．（6分）（3）①当0<m<2时，k=-12m2+2m+52，n=52．∵k-n=2，∴-12m2+2m+52-52=2．解得m1=m2=2（舍去）．②当2≤m≤4时，k=92，n=52．∴k-n=2．∴m的取值范围为2≤m≤4．（8分）③当4<m<5时，k=92，n=-12m2+2m+52．∵k-n=2，∴52-(-12m2+2m+52)=2．解得m1（舍去），m2=2-（舍去）．④当m≥5时，k=92，n=12m2-2m-52．∵k-n=2，∴52-(12m 2-2m -52)=2．解得m 1m 2=2 （9分）综上所述，m 的取值范围为2≤m ≤4，m（4）m =1411，m ，m ． （12分）评分说明：第（1）题直接写结果可得2分．第（2）题将四边形面积分两个三角形求，每求对1个值得1 分，两个都对得2分． 第（3）题每写对一个值得1分，三个正确的答案都出现的情况下，多解扣1分． 第（4）题每写对一个值得1分，三个正确的答案都出现的情况下，多解扣1分．。
2023—2024学年吉林省长春市朝阳区九年级上学期期末数学试卷
2023—2024学年吉林省长春市朝阳区九年级上学期期末数学试卷一、单选题1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．B．C．D．2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（）A．B．C．D．4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．C．D．5. 下列运算正确的是（）A．B．C．D．6. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（）A．千米B．千米C．千米D．千米7. 若抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．8. 对于抛物线，y与x的部分对应值如下表所示：…0…103下列说法中正确的是（）A．开口向下B．当时，y随x的增大而增大C．对称轴为直线D．函数的最小值是二、填空题9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ___________ ．10. 长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为的地图上，量得全线长约为，则轨道交通6号线的实际距离约为 _____ ．11. 函数的图象的顶点坐标为 ______ ．12. 在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为_____ ．13. 如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是 ______ ．14. 已知二次函数的图象经过，点，在该函数图象上．当时，若，则m的取值范围是 _____ ．三、解答题15. 计算：．16. 解方程：．17. 二次函数的图象经过和．(1)求这个二次函数的表达式；(2)将这个二次函数的图象向右平移______个单位后经过坐标原点．18. 2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．(1)小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；(2)小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、）19. 桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米．在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离．（参考数据：，，，精确到0.1米）20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中画，使；(2)在图②中画，使；(3)在图③中画，使．21. 如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．(1)建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门． 22. 【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2：如图1，在中，D、E分别是边的中点．相交于点G．求证：．证明：连接．【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．【结论应用】（1）如图①，若，则_____；（2）在图①的条件下，过点G的直线分别交于点M、N．若，，四边形的面积为10，则_____．23. 如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点；连结、、，设点的运动时间为秒．(1)线段的长为_____；(2)用含t的代数式表示线段的长；(3)当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时的值；(4)当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点，点P在该抛物线上，横坐标为．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)当轴时，求m的值；(3)将该抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时，求m的取值范围；当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．。
吉林省长春市朝阳区2022-2223学年九年级上学期期末数学试题
吉林省长春市朝阳区2022-2223学年九年级上学期期末数学试题一、单选题1．计算(2的结果为（ ） A ．11-B ．11C ．11±D ．1212）A B C D 3．一元二次方程220x x +-=根的判别式的值为（ ） A ．7-B ．3C ．9D ．3±4．若将抛物线21y x =-向上平移3个单位后所得的抛物线记为G ，则抛物线G 对应的y 与x 之间的函数关系式为( )A ．2=(3)1y x --B ．2=(+3)1y x -C ．24y x =-D ．22y x =+5．如图，在平面直角坐标系中，有点()()6360A B ，，，，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小后得到线段CD ，点A 的对应点为点C ．若O C D V与OAB △的相似比为13，则点C 的坐标为（ ）A ．()21，B ．()20，C ．()31，D ．()30，6．如图，O 为跷跷板AB 的中点．支柱OC 与地面DE 垂直，垂足为点C ，当跷跷板的一端B 着地时，跷跷板AB 与地面DE 的夹角为26︒，经测得 1.8m AB =，则OC 的长为（ ）A ．0.9cos26m ︒B ．0.9sin 26m ︒C ．0.9sin 26︒m D ．0.9cos 26︒m7．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 的中线，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ．若1sin 3A =，6AB =，则CDE V的周长为（ ）A ．4+B ．4+C ．6+D ．6+8．抛物线()2<0y ax bx c a =++的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点坐标为()50，，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0abc <B ．方程20ax bx c ++=的两个根是1215x x =-=，C ．40b a +=D ．若0y >，则x 的取值范围是05x <<二、填空题9．10．某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是．（精确到0.01）11．如图，AD 、BC 相交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AB CD EF ∥∥，如果6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，那么AD =．12．如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A （人眼）望点E ，使视线通过点C ，记人站立的位置为点B ，量出BG 的长，即可算得物高EG ．经测量，得60CD cm =，120AD cm =， 1.5AB m =．设B G xm =（），EG y m =（），则y 与x 之间的函数关系式为．13．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，作C A D B ∠=∠交边BC 于点D ．若2t an 3B =，则c o s A DC ∠的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x mx =-+交x 轴正半轴于点A ，点B 是y 轴负半轴上一点，点A 关于点B 的对称点C 恰好落在抛物线上，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，连结OC 、AD ．若点C 的横坐标为﹣2，则四边形OCDA 的面积为 ．三、解答题152︒-︒+︒．cos45sin60tan4516．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．17．2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．某特许零售店发现该“冰墩墩”的销售非常火爆．据统计，该店2021年10月的销量为1万件，2021年12月的销量为1.21万件．若该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率．18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线23=-与x轴的另一交点为点y x xA，与y轴垂直的直线l交该抛物线于点B和点C，设点B的纵坐标为n．(1)求线段OA的长．(2)当函数值y随x增大而增大时，直接写出自变量x的取值范围．(3)当线段BC的长小于OA时，直接写出n的取值范围．19．图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的V顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直边长均为1．ABC尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．(1)在图①中画ABC V 的高CD ．(2)在图②中画ABC V 的中位线EF ，使点E F 、分别在边AB AC 、上．(3)在图③中画AGH V ，使ABM AGH V V∽，ABM V 与AGH V 的相似比为23，且AH BC 于点M ．20．如图，一个水池的两端分别为A ，B 两点，在岸上选一点C ，使点C 能直接到达A ，B 两点，连接AC ，BC ．若BC ＝221m ，∠ABC ＝58°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．）21．如图①，有一个直径为20m 的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O 处立着一个直径为0.8m 的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M 处汇合．如图②，水柱距水池中心4m 处到达最大高度为6m ，建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)选择图②中一条抛物线求其对应的函数关系式． (2)求点M 的纵坐标．(3)如图③，在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头，且喷射水柱竖直向上，高度均为218m ，相邻两个直线型喷头的间距均为1.2 m ，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM 成轴对称分布，且每相邻的两个直线型喷头的间距为1.2 m ．直接写出离中心O 最远的两个直线型喷头的水平距离．22．【操作一】如图①，将矩形()ABCD AB AD >沿过点D 的直线折叠，使点A 的对称点F 落在边CD 上，折痕为DE ．则DEF ∠的大小为度．【操作二】如图①，在操作一的基础上，将矩形ABCD 沿过点C 的直线折叠，点B 的对称点H 落在边EF 上，折痕为CG ．求证：CFH HEG VV ∽． 【应用】如图②，延长图①中的GH 交边DE 于点M ．若16,10AB AD ==，则EH 的长为，点M 到边EF 的距离为．【拓展】如图③，点N 为【操作二】图①中的边DE 上的点，连结HN 、CN ．若16,AB =，10AD =，则HN CN +的最小值为．23．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，8AB =，6AC =，D 是边AB 的中点．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿AB 向终点B 运动，过点P 作PQ AC ⊥于点Q ，当点P 不与点A D B 、、重合时，以PD PQ 、为邻边作PDEQ Y ，设点P 的运动时间为t 秒．(1)用含有t 的代数式表示线段DE 的长． (2)当点E 到点A D 、的距离相等时，求DE 的长． (3)当PDEQ Y 的某条对角线与边AB 垂直时，求t 的值．(4)作点P 关于直线DE 的对称点P '，连结P Q '，当PQP A '∠=∠时，直接写出t 的值． 24．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点()1,0A -、50,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线212y x bx c=++上，点C 为该抛物线的顶点．点P 为该抛物线上一点，其横坐标为m ． (1)求该抛物线对应的函数关系式．(2)连结BP ，当BP y ⊥轴时，顺次连结点A B C P 、、、，求四边形ABCP 的面积． (3)当0m >时，设该抛物线在点B 与点P 之间（包含点B 和点P ）的部分图象的最低点和最高点到x 轴的距离分别为k n 、，若2k n -=，求m 的取值范围．(4)当点P 在第四象限时，作点P 关于点O 的对称点Q ，以PQ 为对角线构造矩形PMQN ，该矩形的边均与坐标轴垂直，且点A B 、在该矩形的内部．设抛物线在该矩形内部及边界的图象记为G ，图象G 的最高点与最低点的纵坐标之差为d ，最低点在该矩形边所在的直线记为l ，若点C 到直线l 的距离等于17d ，直接写出m 的值．。
2023届吉林省长春市朝阳区新朝阳实验学校数学九年级第一学期期末教学质量检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．按如下方法，将△ABC 的三边缩小的原来的12，如图，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是（ ）①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形③△ABC 与△DEF 的周长比为1：2 ④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1．A ．1B ．2C ．3D ．42．关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．94m ＞B ．94m ＜C ．94m =D ．9-4m ＜ 3．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是( )A ．2520(1)312x -=B ．2520(1)312x +=C ．2520(12)312x -=D ．2520(1)312x -=4．下列事件中，必然发生的为（ ）A ．奈曼旗冬季比秋季的平均气温低B ．走到车站公共汽车正好开过来C ．打开电视机正转播世锦赛实况D ．掷一枚均匀硬币正面一定朝上 5． “2020年的6月21日是晴天”这个事件是（ ）A ．确定事件B ．不可能事件C ．必然事件D ．不确定事件6．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ，若AD ＝OA ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为 ( )A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:67．如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（）A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m8．关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（）A．图象开口向上B．图象的对称轴是直线x=1C．图象有最低点D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）9．函数y=ax2-a与y=ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()A．B．C．D．10．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则⊙C半径是（）A 43B23C．3D．2二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，线段AB＝2，分别以A、B为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，则阴影部分的面积为．12．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．随机摸出一只球记下颜色后放回，不断重复上述实验，统计数据如下：摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803摸到白球的频率nm0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601共有白球___________只．13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝_____．14．如图，位似图形由三角尺与其灯光下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为_______㎝．15．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为_______．16．在△ABC中，∠B＝45°，cos A＝12，则∠C的度数是_____．17．如图是一个圆锥的展开图，如果扇形的圆心角等于90°，扇形的半径为6cm，则圆锥底面圆的半径是______cm．18．将一块弧长为2π的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（接头处忽略不计），则围成的圆锥的高为____．三、解答题(共66分)19．（10分）己知:如图，抛物线2+ 3y ax bx =+与坐标轴分别交于点()(),3, 01, 0A B C -，， 点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点，(1)求抛物线解析式:(2)当点P 运动到什么位置时，PAB ∆的面积最大?20．（6分）某日，深圳高级中学（集团）南北校区初三学生参加东校区下午15:00时的交流活动，南校区学生中午13:30乘坐校车出发，沿正北方向行12公里到达北校区，然后南北校区一同前往东校区（等待时间不计）．如图所示，已知东校区在南校区北偏东60︒方向，在北校区北偏东72︒方向．校车行驶状态的平均速度为60km/h ，途中一共经过30个红绿灯，平均每个红绿灯等待时间为30秒．（1）求北校区到东校区AC 的距离；（2）通过计算，说明南北校区学生能否在15:00前到达东校区．（本题参考数据：sin120.2︒≈，3 1.73≈）21．（6分）某种蔬菜的售价1y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示，成本2y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示．（图的图象是线段，图的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的利润是多少元？（利润=售价-成本）（2）设每千克该蔬菜销售利润为P ，请列出P 与x 之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总利润为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克．4、5两个月的销售量分别是多少万千克？22．（8分）如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的O 与BC 相切于点M .（1）求证：CD 与O 相切.（2）若正方形ABCD 的边长为1，求半径OA 的长.23．（8分）如图，ABC 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G(1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数.24．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：221y mxmx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C .（1）求抛物线2C 的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ① 当1m =时，求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；② 如果抛物线C 1和C 2围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点，求m 取值范围．25．（10分）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．（1）假如每天能运x 立方米，所需时间为y 天，写出y 与x 之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？26．（10分）如图，抛物线21y ax bx =+-（a≠0）经过A （-1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 在抛物线的对称轴上，当△ACP 的周长最小时，求出点P 的坐标；（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似，若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC 与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的12，∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．故选C．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．2、B【分析】根据方程有两个不等的实数根，故△＞0，得不等式解答即可.【详解】试题分析：由已知得△＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜94．故选B．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式.3、A【分析】根据题意可得到等量关系：原零售价⨯（1-百分率）（1-百分率）=降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．【详解】解：由题意得：2520(1)312x-=，故答案选A．【点睛】本题考查一元二次方程与实际问题，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．4、A【分析】根据必然事件的定义选出正确选项．【详解】解：A选项是必然事件；B选项是随机事件；C选项是随机事件；D选项是随机事件．故选：A．【点睛】本题考查必然事件和随机事件，解题的关键是掌握必然事件和随机事件的定义．5、D【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．【详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D．【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．6、B【解析】试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：1．故选B．考点：位似变换．7、D【解析】试题解析：作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴BC AM EF AN＝，∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，∴EF=•0.12300.6BC ANAM⨯==6m．故选D．8、D【解析】二次函数的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k），据此进行判断即可.【详解】∵﹣1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点，这个函数的顶点是（﹣1，2），对称轴是x=﹣1，∴选项A、B、C错误，选项D正确，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标是解题的关键．9、A【解析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．【详解】A、由二次函数图象，得a＜1．当a＜1时，反比例函数图象在二、四象限，故A正确；B、由函数图象开口方向，得a＞1．当a＞1时，抛物线于y轴的交点在x轴的下方，故B错误；C、由函数图象开口方向，得a＜1．当a＜1时，抛物线于y轴的交点在x轴的上方，故C错误；D、由抛物线的开口方向，得a＜1，反比例函数的图象应在二、四象限，故D错误；故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象，应该识记反比例函数y=ax在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．10、B【解析】连接AD∵∠AOD=90°，∴AD是圆的直径．在直角三角形AOD中，∠D=∠B=30°，OD=2，∴AD=43cos30OD=︒,23．故选B．点睛：连接AD．根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AD是直径，根据等弧所对的圆周角相等，得∠D=∠B=30°，运用解直角三角形的知识即可求解．二、填空题(每小题3分,共24分)11、83 3π-【分析】利用扇形的面积公式等边三角形的性质解决问题即可．【详解】解：由题意可得，AD＝BD＝AB＝AC＝BC，∴△ABD和△ABC时等边三角形，∴阴影部分的面积为：2120222sin6082243 36023ππ︒⎛⎫⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭故答案为83π﹣3【点睛】考核知识点：扇形面积.熟记扇形面积是关键.12、30【分析】根据利用频率估计概率得到摸到白球的概率为60%，然后根据概率公式计算n的值．【详解】白球的个数=5060%30⨯=只故答案为：30【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率13、1【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．【详解】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0得：a+b﹣1＝0，即a+b＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．14、20cm【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm，∴投影三角形的对应边长为：8÷25=20cm．故选B．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为2：5，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键．15、3n+1.【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．【详解】解：由图可得，图①中棋子的个数为：3+1=5，图②中棋子的个数为：5+3=8，图③中棋子的个数为：7+4=11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（1n+1）+（n+1）=3n+1，故答案为3n+1．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．16、75°【解析】已知在△ABC中°，cos A＝12，可得∠A=60°，又因∠B＝45，根据三角形的内角和定理可得∠C=75°.17、3 2【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr＝，解得：r＝cm，故答案为．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18、3【分析】根据侧面展开图，求出圆锥的底面半径和母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】如下图，为圆锥的侧面展开图草图：∵侧面展开图是弧长为2π的半圆形∴2π=122lπ，其中l表示圆锥的母线长解得：2l=圆锥侧面展开图的弧长对应圆锥底面圆的周长∴2π=2πr，其中r表示圆锥底面圆半径解得：r=1∴根据勾股定理，22213-故答案为：3 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图，公式比较多，建议通过绘制侧面展开图的草图来分析得出公式．三、解答题(共66分)19、（1）223y x x =--+；（2）点P 运动到坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，PAB ∆面积最大. 【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．（2）设点P 横坐标为t ，过点P 作PF ∥y 轴交AB 于点F ，求直线AB 解析式，即能用t 表示点F 坐标，进而表示PF 的长．把△PAB 分成△PAF 与△PBF 求面积和，即得到△PAB 面积与t 的函数关系，配方即得到t 为何值时，△PAB 面积最大，进而求得此时点P 坐标．【详解】解: (1) 抛物线23y ax bx =++过点()()3,01,0B C -，, 933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩, 解这个方程组，得12a b =-⎧⎨=-⎩, ∴抛物线解析式为223y x x =--+.(2)如图1，过点P 作PH x ⊥轴于点H ,交AB 于点F .0x =时，2233y x x =--+=,()0,3A ∴.∴直线AB 解析式为3y x .点P 在线段AB 上方抛物线上，∴设()()2,2 330P t t t t --+-<<.() ,3F t t ∴+.()222333PF t t t t t ∴=--+-+=--.PAB PAF PBF S S S ∆∆∆∴=+ =1122PF OH PF BH ⋅+⋅ 12PF OB =⋅ ()2332t t =-- 23327228t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ∴点P 运动到坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，PAB ∆面积最大. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数求三角形面积的最大值，关键在于把原三角形分割成有一边平行于y 轴的两个三角形面积之和.20、（1）51.9km ；（2）能.【分析】（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，然后在两个直角三角形中通过三角函数分别计算出AE 、AC 即可； （2）算出总路程求出汽车行驶的时间，加上等红绿灯的时间即为总时间，即可作出判断.【详解】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E .依题意有：72DAC ∠=︒，60B ∠=︒，12AB =，则12C DAC B ∠=∠-∠=︒，∵AE BC ⊥，∴sin 12sin 60AE AB B =∠=︒=∴()51.9km sin12AE AC ==≈︒ （2）总用时为：1251.93060603078.9606060⨯+⨯+⨯=分钟90<分钟， ∴能规定时间前到达.【点睛】本题考查了三角函数的应用，把非直角三角形的问题通过作辅助线化为直角三角形的问题是解题关键.21、（1）6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元；（2）P=2110633x x -+-，5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大为73元；（3）4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克． 【分析】（1）找出x=6时，y 1、y 2的值，根据利润=售价-成本进行计算即可；（2）利用待定系数法分别求出y 1、y 2关于x 的函数关系式，然后根据P=y 1-y 2得到关于x 的函数关系式，然后利用二次根式的性质进行求解即可；（3）求出当x=4时，P 的值，设4月份的销售量为t 千克，则5月份的销售是为（t+20000）千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t 的方程，解方程即可求得答案．【详解】（1）当x=6时，y 1=3，y 2=1，∵y 1-y 2=3-1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元；（2）设y 1=mx+n ，y 2=a(x-6)2+1，将（3，5）、（6，3）分别代入y 1=mx+n ，得3563m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴1273=-+y x ； 将（3，4）代入y 2=a(x-6)2+1，得，4=a （3-6）2+1，解得：a=13， ∴()222116141333y x x x =-+=-+，∴P=12y y -=()2222111017741365333333x x x x x x ⎛⎫-+--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭， ∵103-<， ∴当x=5时，P 取最大值，最大值为73， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大值为73元； （3）当x=4时，P=2110633x x -+-=2， 设4月份的销售量为t 千克，则5月份的销售量为（t+20000）千克，根据题意得：()72200002200003t t ++=， 解得：t=40000，∴t+20000=60000，答：4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质等知识，综合性较强，弄清题意，读懂图象，灵活运用相关知识是解题的关键．22、（1）见解析；（2）22OA =-【分析】（1）根据正方形的性质可知，AC 是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；（2）根据正方形的边长求出AC 的长，再根据等腰直角三角形的性质得出OC=2OA即可求出.【详解】解：（1）如图，连接OM ，过点O 作ON CD ⊥于点N ，∵O 与BC 相切，∴OM BC ⊥∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 平分BCD ∠，∴OM ON =，∴CD 与O 相切.（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴1,90,45AB B ACD ︒︒=∠=∠=，∴45AC MOC MCO ︒=∠=∠=，∴MC OM OA ==，∴OC ==.又AC OA OC =+，∴OA =，解得2OA =-【点睛】本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.23、 (1)证明见解析；(2)78°.【分析】（1）因为CAF BAE ∠=∠，所以有BAC EAF ∠=∠，又因为AE AB AC AF ==，，所以有()BAC EAF SAS △≌△，得到EF BC =；（2）利用等腰三角形ABE 内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到28F C ∠=∠=︒，从而算出∠FGC【详解】(1)CAF BAE ∠=∠BAC EAF ∴∠=∠AE AB AC AF ==，()BAC EAF SAS ∴△≌△EF BC ∴=(2)65AB AE ABC =∠=︒，18065250BAE ∴∠=︒-︒⨯=︒50FAG ∴∠=︒BAC EAF △≌△28F C ∴∠=∠=︒502878FGC ∴∠=︒+︒=︒【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键24、（1）（-1，-1）；（2）①整点有5个．②19m <≤14． 【分析】（1）可先求抛物线1C 的顶点坐标，然后找到该店关于x 轴对称的点的坐标即为抛物线2C 的顶点坐标.（2）① 先求出当1m =时，抛物线1C 和2C 的解析式并画在同一个直角坐标系中即可确定整点的个数；②结合整点的个数，确定抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围，从而代入抛物线解析式中确定m 的取值范围.【详解】（1）∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=--∴1C 的顶点坐标为(1,1)-∵抛物线1C ：221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C .∴2C 的顶点坐标为（1-，1）（2）①当1m =时，21:2C y x x =+，22:2C y x x =--．根据图象可知，1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个．②抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界) 恰有7个整点，结合函数图象，可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x ＜．将（1，0）代入221y mx mx m =++-，得到 14m =， 将（2，0）代入221y mx mx m =++-，得到 19m =， 结合图象可得 19m ＜≤14． 【点睛】本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质及整点的定义是解题的关键.25、（1）y ＝1200x；（2）5辆这样的拖拉机要用20天才能运完 【分析】（1）根据等量关系列式即可；（2）先求出一天运的数量，然后代入解析式即可．【详解】解：（1）∵xy ＝1200，∴y ＝1200x； （2）x ＝12×5＝60， 将x ＝60代入y ＝1200x ， 得y ＝120060＝20， 答：5辆这样的拖拉机要用20天才能运完．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，找出等量关系列出关系式是解题关键．26、（1）211122y x x =--，D （12，98-）；（2）P （12，34-）；（3）存在．N （92，558）或（72-，558）或（32，58-）或（12-，58-）． 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）确定出当△ACP 的周长最小时，点P 就是BC 和对称轴的交点，利用两点间的距离公式计算即可；（3）作出辅助线，利用tan ∠MDN=2或12，建立关于点N 的横坐标的方程，求出即可． 试题解析：（1）由于抛物线21y ax bx =+- （a≠0）经过A （-1，0），B （2，0）两点，因此把A 、B 两点的坐标代入21y ax bx =+- （a≠0），可得：10{4210a b a b --=+-=；解方程组可得：12{12a b ==-，故抛物线的解析式为：211122y x x =--，∵211122y x x =--=2119()228x --，所以D 的坐标为（12，98-）． （2）如图1，设P （12，k ），∵211122y x x =--，∴C （0，－1），∵A （-1，0），B （2，0），∴A 、B 两点关于对称轴对称，连接CB 交对称轴于点P ，则△ACP 的周长最小．设直线BC 为y=kx+b ，则：20{1k b b +==-，解得：1{21k b ==-，∴直线BC 为：112y x =-．当x=12时，11122y =⨯-=34-，∴P （12，34-）； （3）存在．如图2，过点作NF ⊥DM ，∵B （2，0），C （0，﹣1），∴OB=2，OC=1，∴tan ∠OBC=12OC OB =，tan ∠OCB=OB OA =2，设点N （m ，211122m m --），∴FN=|m ﹣12|，FD=|21191228m m --+|=|2111228m m -+|，∵Rt △DNM 与Rt △BOC 相似，∴∠MDN=∠OBC ，或∠MDN=∠OCB ；①当∠MDN=∠OBC时，∴tan∠MDN=FNFD=12，∴21121112228mm m-=-+，∴m=12（舍）或m=92或m=72-，∴N（92，558）或（72-，558）；②当∠MDN=∠OCB时，∴tan∠MDN=FNFD=2，∴2122111228mm m-=-+，∴m=12（舍）或m=32或m=12-，∴N（32，58-）或（12-，58-）；∴符合条件的点N的坐标（92，558）或（72-，558）或（32，58-）或（12-，58-）．考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．。
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吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）计算（）2的结果是（）
A．﹣2B．2C．±2D．4
2．（3分）sin30°的值是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列二次根式，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
4．（3分）一元二次方程x2﹣2x=0的根的判别式的值是（）A．8B．4C．2D．0
5．（3分）若将抛物线y=x2向下平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（）
A．y=（x﹣1）2B．y=（x+1）2C．y=x2﹣1D．y=x2+1
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值为（）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，经测得BE=60m，CE=30m，CD=35m，则河的宽度AB的长为（）
A．30m B．35m C．60m D．70m
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．a＞0B．b＞0C．b2﹣8a＞0D．a﹣b+c＜0
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：4（填“＞”、“＜”或“=”）
10．（3分）“打开电视机，它正在播广告”这个事件是事件（填“确定”或“随机”）．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交边AC于点E，若AD=2BD，AE=2，则AC的长是
12．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB的中线，若CD=6.5，BC=12．sinB的值是
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣2）2+k经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：•sin45°．
16．（6分）在一个不透明的盒子中放入三个乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，4，5，每个乒乓球除数字不同外其他均相同．某同学先从这个盒子中随机摸出一个乒乓球，记下数字后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一个乒乓球记下数字．请用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的乒乓球上面数字之和为偶数的概率．
17．（6分）小明在解方程x2﹣2x﹣1=0时出现了错误，其解答过程如下：
x2﹣2x=﹣1（第一步）
x2﹣2x+1=﹣1+1（第二步）
（x﹣1）2=0（第三步）
x1=x2=1（第四步）
（1）小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是；（2）请写出此题正确的解答过程．
18．（7分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地（阴影部分）上种植草坪，使草坪的面积为570m2．求每条道路的宽．
19．（7分）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段AB的端点在格点上．
（1）在图①中找到一个格点C，使∠CAB是锐角，且tan∠CAB=，并画出△ABC．（2）在图②中找到一个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB=1，并画出△ABD （△ABD与△ABC不全等）．
20．（7分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°，测得底部C处的俯角为64°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为90m．求该建筑物的高度BC（精确到1m）．【参考数据：sin64°=0.90，cos64°=0.44，tan64°=2.05】
21．（8分）某公园要修建圆形喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面l以上部分的高度为m，在距柱子底部O处水平位置2m的C处再竖一根高度相同的柱子BC，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，点B在抛物线上，如图1所示，根据设计图纸建立如图2所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+bx+c．
（2）求喷出的水流距水平面l的最大高度．
（3）如果不必其他因素，在柱子的顶端B处安装一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿与（1）中形状相同的抛物线路径落下，为使水不溅落在水池外，那么水池半径至少为m时，才能使喷出的水流都落在水池内．
22．（9分）【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AC、BC 的中点，连结DE．则△CDE与△CAB的面积比为．
【探究】将图①的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转一定角度，使点E落在△ABC 内部，连结AD、BE，并延长BE分别交AC、AD于点O、F，其它条件不变，如图②．
（1）求证：△ACD∽△BCE．
（2）求证：AD⊥BF．
【应用】将图②的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转，使点D恰好落在边BC的延长线上，连结AD、BE，BE的延长线交AD于点F，其它条件不变，如图③，若AC=4，BC=3，则BF的长为．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4cm．动点P从点A 出发，以1cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线AC ﹣CB于点Q，为PQ为边向右侧作矩形PQMN，使QM=PQ．设矩形PQMN 与△ABC重叠部分图形的面积是S（cm2），点P的运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当点Q在边AC上时，求QM的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点M在边BC上时，求t的值．
（4）作射线PM交BC于点D，连接QN，当QN=3DM时，直接写出t的值．
24．（12分）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对于二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），我们称函数y=，为它的“关联”函数．例如y=2x2﹣3x+4的“关联”函数为y=．设二次函数y=x2﹣2x﹣3的“关
联”函数的图象为G．
（1）直接写出图象G对应的函数关系式．
（2）当二次函数y=x2﹣2x﹣3的“关联”函数的函数值y随x值增大而增大时，求x的取值范围．
（3）A是图象G与x轴正半轴的交点，P是图象G在x轴上方的点，其横坐标为m，连接PO，PA．当△AOP的面积等于3时，求m的值．
（4）设图象G与y轴的交点为B，M是x轴上一点，过点M作直线MN平行于y轴，交图象G于点N．当以点M、N、O、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点N的坐标．
吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．B；2．A；3．C；4．B；5．C；6．D；7．D；8．C；
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．＞；10．随机；11．3；12．（1，2）；13．；14．6；
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．；16．；17．一；不符合等式的性质1；18．；19．；20．；21．；22．1：4；
；23．；24．；。