复合函数定义域

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复合函数定义域

复合函数定义域1. 什么是复合函数复合函数是由两个或多个函数相互嵌套所组成的一种特殊函数关系。

在数学中，复合函数可以表示为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(x)是另一个函数。

复合函数可以通过将g(x)的输出作为f(x)的输入来定义。

例如，假设有两个函数f(x) = 2x和g(x) = x + 3。

那么复合函数可以表示为f(g(x)) = 2(x + 3)。

在这个例子中，对于给定的输入x，首先对g(x)进行计算，然后将结果作为f(x)的输入进行计算。

2. 复合函数的定义域定义域是指函数能够接受的所有可能输入的集合。

在复合函数中，定义域的计算需要考虑两个方面：首先，要保证g(x)的输入在其定义域内；其次，要确保f(x)的输入在其定义域内。

举个例子，假设有两个函数f(x) = √x和g(x) = x^2。

那么复合函数可以表示为f(g(x)) = √(x^2)。

在这个例子中，我们可以看到g(x)的定义域为实数集R，因为任何实数的平方是一个实数。

然而，f(x)的定义域则要求其输入必须大于等于0，因为根号下不能有负数。

因此，复合函数f(g(x))的定义域为x≥0。

对于复合函数的定义域，我们需要以这样的方式选择x的值，以确保所有涉及的函数都能接受x的值。

如果某个函数的定义域与复合函数的定义域不匹配，那么复合函数在该点处的值将无法计算。

3. 定义域的求解方法要求解复合函数的定义域，我们需要先找出每个函数的定义域，然后找出所有函数定义域的交集。

下面是求解定义域的一般步骤：步骤 1：求解g(x)的定义域 - 分析g(x)中包含的所有变量x，并找出限制x取值范围的条件。

- 根据这些条件，找出x的取值范围，得到g(x)的定义域。

步骤2：求解f(x)的定义域- 分析f(x)中包含的所有变量x，并找出限制x取值范围的条件。

- 根据这些条件，找出x的取值范围，得到f(x)的定义域。

步骤 3：求解复合函数的定义域 - 将g(x)的定义域和f(x)的定义域进行交集运算，得到复合函数的定义域。

复合函数定义域的常见求法

复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。

二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。

答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。

答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。

例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。

答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。

复合函数

复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。

这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。

要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。

二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。

分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。

本题用换元和“凑型”的办法解决。

解法一设13+=x t ,则31-=t x 。

把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。

解法二由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。

分析由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。

随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（）(A)[0,2] (B)[23,21-] (C)[25,21] (D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96k x k x y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. (方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。

复合函数的取值和定义域

复合函数的取值和定义域复合函数是高等数学中的重要概念，它是由两个或多个函数组合而成的新函数。

在复合函数中，一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过这种组合方式，我们可以得到一个新的函数，它能够实现更复杂的运算和变换。

我们来讨论复合函数的取值。

对于复合函数f(g(x))，它的取值是由内层函数g(x)的输出作为外层函数f的输入，经过f的运算得到的。

换句话说，复合函数的取值是由内层函数的取值经过外层函数的变换得到的。

因此，复合函数的取值范围取决于内层函数和外层函数的取值范围。

在定义域的方面，复合函数的定义域是由内层函数的定义域和外层函数的定义域的交集所确定的。

只有当内层函数的输出在外层函数的定义域内时，复合函数才有定义。

否则，复合函数在该点处无定义。

因此，定义域的确定需要考虑两个函数的定义域之间的关系。

接下来，我们通过几个例子来进一步说明复合函数的取值和定义域。

例1：考虑复合函数f(g(x))，其中g(x) = 2x，f(x) = x^2。

我们首先计算内层函数g(x)的取值范围。

由于g(x) = 2x，所以g(x)的取值范围是所有实数。

然后，我们将g(x)的取值代入外层函数f(x)中，得到f(g(x)) = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2。

因此，复合函数f(g(x))的取值范围是所有非负实数。

对于定义域，我们需要考虑两个函数的定义域之间的关系。

由于内层函数g(x)的定义域是所有实数，而外层函数f(x)的定义域也是所有实数，所以复合函数f(g(x))的定义域也是所有实数。

例2：考虑复合函数h(f(x))，其中f(x) = x + 1，h(x) = x^2。

我们首先计算内层函数f(x)的取值范围。

由于f(x) = x + 1，所以f(x)的取值范围是所有实数。

然后，我们将f(x)的取值代入外层函数h(x)中，得到h(f(x)) = h(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1。

求复合函数的定义域

求复合函数的定义域一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

(完整版)关于复合函数定义域的求解方法

关于复合函数定义域的求解方法若)(u f y =,又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空,则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种类型。

一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。

解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x 。

故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围,因此我们可以直接将复合函数中x x 22+看成一个整体x ，即由30≤<x 可得3202≤+<x x ，解出x 的范围即可。

二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

例2 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-,求函数()x f 的定义域解 21≤≤-x ， 5231≤-≤-∴x ,故函数()x f 的定义域为[]5,1-【评注】由()x f 23-的定义域为[]2,1-得21≤≤-x ,有的同学会误将此x 的范围当作()x f 的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将x 23-令成一个整体t ,即x t 23-=，先解出()t f 的定义域，即为()x f 的定义域。

复合函数求期望

复合函数求期望1.复合函数定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：∈当为整式或奇次根式时，R的值域;∈当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);∈当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;∈当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。

∈当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

∈分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

∈由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求∈对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

∈对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

∈三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

注：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+)2.复合函数单调性依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

∈求复合函数的定义域;∈将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);∈判断每个常见函数的单调性;∈将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;∈求出复合函数的单调性。

“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇、偶”指的是π/2的'倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。

(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

复合函数的定义域与内层函数定义域的关系

复合函数的定义域与内层函数定义域的关系复合函数是指由两个或两个以上的函数相互组合而成的函数。

而内层函数则是指在复合函数中先被作用的函数。

在复合函数中，我们常常会涉及到定义域的问题，即要确定复合函数的定义域，我们需要考虑内层函数的定义域和外层函数在内层函数定义域上的取值情况。

下面就复合函数的定义域与内层函数定义域的关系进行详细讨论。

1. 定义在开始讨论复合函数的定义域与内层函数定义域的关系之前，我们首先需要清楚复合函数和内层函数的定义。

复合函数的定义如下：设函数f和g，若对于f的定义域中的每个元素x，存在g的定义域中的元素g(x)使得g(x)在f的定义域中，则复合函数gof(x)在x上有定义，且其值为f(g(x))。

而内层函数则是指复合函数中，在外层函数之内的函数。

在复合函数f(g(x))中，g(x)就是内层函数。

2. 复合函数的定义域复合函数f(g(x))的定义域包括所有使得g(x)在f的定义域中的x的取值。

复合函数的定义域是由内层函数和外层函数的定义域共同决定的。

3. 内层函数的定义域在确定复合函数的定义域时，首先需要确定内层函数的定义域。

内层函数的定义域是指该函数在自变量上的取值范围。

在复合函数f(g(x))中，g(x)的定义域需要满足两个条件：① g(x)在f的定义域中有意义；② g(x)在其自身的定义域中有意义。

4. 复合函数的定义域与内层函数定义域的关系复合函数的定义域与内层函数定义域的关系可以总结如下：① 内层函数的定义域必须包含在复合函数的定义域中；② 内层函数的定义域必须使得复合函数有意义。

复合函数的定义域与内层函数定义域密切相关，内层函数的定义域必须包含在复合函数的定义域中，同时还需使得复合函数有意义。

确定复合函数的定义域时，需要综合考虑内层函数和外层函数的定义域，以确保复合函数在定义域上有意义。

复合函数的定义域与内层函数定义域的关系在数学中具有重要的意义。

理解这种关系不仅对于理论研究有着深远的影响，更可以帮助我们更好地应用复合函数解决实际问题。

复合函数的定义域

2013-11方法交流一、复合函数的定义一般地：若y=f （u ），又u=g （x ），且g （x ）值域与f （u ）定义域的交集不空，则函数y=f ［g （x ）］叫x 的复合函数，其中y=f （u ）叫外层函数，u=g （x ）叫内层函数。

简言之，复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数。

例如：设函数f （x ）=2x +3g （x ）=3x -5，对于函数f [g （x ）]，若f （x ）的定义域为M ，则在复合函数f ［g （x ）］中，g （x ）∈M 。

复合函数的定义域，就是复合函数y=f ［g （x ）］中x 的取值范围。

x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为g （x ）的值域。

二、复合函数的定义域求法例1.已知f （x ）的定义域为（-3，5］，求函数f （3x -2）的定义域。

解：由题意得∵-3<x ≤5∴-3<3x-2≤5-1<3x ≤7∴-13<x ≤73所以，函数f （3x -2）的定义域为（-13，73］.例2.已知函数f （x ）定义域为是［a ，b ］，且a+b >0,求函数h （x ）=f （x+m ）+f （x-m ）（m >0）的定义域。

解：a ≤x+m ≤b a ≤x-m ≤b {⇒a-m ≤x ≤b-ma+m ≤x ≤b+m {，∵m >0，∴a-m <a+m b-m <b+m 又a-m <b+m要使函数h （x ）的定义域为非空集合，必须且只需a+m ≤b-m ，即0<m ≤b-a 2，这时函数h （x ）的定义域为［a+m ，b-m ］。

解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的。

若已知f （x ）的定义域为A ，则f ［g （x ）］的定义域就是不等式g （x ）∈A 的x 的集合；若已知f ［g （x ）］的定义域为A ，则f （x ）的定义域就是函数g （x ）（x ∈A ）的值域。

复合函数的定义域

复合函数：
形如y=f[g(x)]，是由y=f(X),X=g(x) 两个函数叠合到一起的函数，叫做函数f和g的复合函数。
如f(x+2)
g(x)=x+2
复合函数的定义域
题型一：已知函数y=f(x)的定义域,求它的复合函数f[g(x)]的定义域.
如：已知f(x)的定义域为[1,4],求f(x+2) 的定义域。
如：已知f(x+3)的定义域是[-4,4],求 f(x)的定义域.
解：∵f(x+3)的定义域为[-4,4] ∴在f(x+3)中，-4≤x≤4 ∴-1≤x+3≤7
即对应关系f下，括号内的范围为[-1,7]
∴在f(x)中，-1≤x≤7
∴f(x)的定义域为[-1,7]。
结论2:
(2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],求原函数f(x)的定义域在x∈[a,b]下,求出g(x)的值域，即得f(x)的定义域.
结论1:
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定义域，
a≤g(x)≤b解出x即得.
题型二：已知复合函数y=f[g(x)]的定义域,求原函数y=f(x)的定义域. 如：已知f(x+3)的定义域是[-4,4],求 f(x)的定义域.
同一对应关系f下，括号内的范围是一样的。
复合函数的定义域
回忆函数的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A
函数的三要素定义域、对应关系、值域 f(x+2)，f(2x-1)
复合函数
归纳总结:
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出x即得. (2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],求

复合函数定义域问题

第一讲复合函数的定义域一、复合函数的构成设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。

此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(．注意：)(x g 的值域'M M ⊆．例2：⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．函数)(x f 的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]．∴1210≤-≤x ，∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ，∴函数)21(x f -的定义域[0，21]．⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．)12(-x f 的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]，∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．要点2：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。

复合函数定义域三种形式解法

复合函数定义域三种形式解法复合函数的定义域是指使得复合函数有意义的所有可能的输入值的集合。

若已知两个函数f(x)和g(x)，要求它们的复合函数f(g(x))的定义域，可以采用以下三种形式的解法。

解法一：通过视觉法确定定义域这种方法适用于简单的函数组合，可以通过观察得到定义域的范围。

例如，如果已知f(x)=√x，g(x)=2x，则f(g(x))=f(2x)=√(2x)。

根据平方根函数的定义域为非负实数，可以确定复合函数的定义域为所有使得2x≥0的实数，即x≥0。

因此，定义域为[0,+∞)。

解法二：通过函数图像确定定义域这种方法适用于已知函数的图像，并且函数图像比较简单的情况。

例如，如果已知f(x)=1/x，g(x)=x+2，则f(g(x))=f(x+2)=1/(x+2)。

根据1/x函数的图像，可以确定其定义域为除了x=0之外的所有实数。

将所有使得x+2≠0的实数作为复合函数的输入，即x≠-2、因此，定义域为R-{-2}，其中R表示实数集合。

解法三：通过函数定义式确定定义域这种方法适用于通过分析函数定义式来确定定义域的复杂情况。

例如，如果已知f(x)=√(4-x)和g(x)=(x-1)/(x-5)，则f(g(x))=√(4-g(x))=√(4-(x-1)/(x-5))。

为了使得复合函数有意义，需要满足两个条件：1）分母不能为0；2）被开方的表达式必须大于等于0。

首先，对于分母不能为0的条件，需要排除使得x-5=0的值，即x≠5、然后，考虑被开方的表达式必须大于等于0的条件，即4-(x-1)/(x-5)≥0。

通过解不等式可以确定这个条件的范围。

将分式转化为通分形式，得到(4(x-5)-(x-1))/(x-5)≥0。

化简不等式，得到(3x-9)/(x-5)≥0。

根据不等式的性质，需要分析函数在各个区间上的正负性来确定不等式的解集。

当x<5时，分子分母同号，即(3x-9)/(x-5)>0，解为(-∞,5)；当x>5时，分子分母异号，即(3x-9)/(x-5)<0，解为(5,+∞)；当x=5时，分子为0，则这个点需要额外讨论。

复合函数的定义域

复合函数的定义域作者：王霞来源：《新课程·上旬》 2013年第22期一、复合函数的定义一般地：若y=f（u），又u=g（x），且g（x）值域与f（u）定义域的交集不空，则函数y=f［g（x）］叫x的复合函数，其中y=f（u）叫外层函数，u=g（x）叫内层函数。

简言之，复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数。

例如：设函数f（x）=2x+3g（x）=3x-5，对于函数f[g（x）]，若f（x）的定义域为M，则在复合函数f［g（x）］中，g（x）∈M。

复合函数的定义域，就是复合函数y=f［g（x）］中x的取值范围。

x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g（x）的值域。

二、复合函数的定义域求法例1.已知f（x）的定义域为（-3，5］，求函数f（3x-2）的定义域。

解：由题意得∵-3＜x≤5∴-3＜3x-2≤5-1＜3x≤7例2.已知函数f（x）定义域为是［a，b］，且a+b＞0,求函数h（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定义域。

∵m＞0，∴a-m＜a+mb-m＜b+m又a-m＜b+m解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的。

若已知f（x）的定义域为A，则f［g（x）］的定义域就是不等式 g（x）∈A的x的集合；若已知f［g（x）］的定义域为A，则f（x）的定义域就是函数g（x）（x∈A）的值域。

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f（x）的定义域为x∈（a，b），求出f［g（x）］中a＜g（x）＜b的解x的范围，即为f［g（x）］的定义域。

若f［g（x）］的定义域为x∈（a，b），则由a＜x＜b确定g（x）的范围即为f（x）的定义域。

我们可以得到此类解法为：可先由f［g（x）］定义域求得f（x）的定义域，再由f（x）的定义域求得f［g（x）］的定义域。

复合函数

复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A⊇B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：设函数f x()的定义域为D，即x D∈，所以f的作用范围为D，又f对g x()作用，作用范围不变，所以D∈，E(，解得x Eg∈x)为[]f g x()的定义域。

例1、⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶已知定义域是，求定义域．点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：解：⑴函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．函数的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．∴，∴，即，∴函数的定义域[0，]．⑵函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定义域是[-3，1]．点评：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数的值域。

⑶函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域∴∴∴∴的定义域是[1，）．例2．已知函数定义域是（a,b），求的定义域．解：由题，，，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为．说明：①已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。

实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。

通过解不等式求得的范围，即为的定义域。

②已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。

实际上是已知直接变量的取值范围，即。

先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。

(完整版)高一必修一数学-复合函数定义域

复合函数的定义域讲解内容：复合函数的定义域求法讲解步骤：第一步：函数概念及其定义域函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.第二步：复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+；复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。

）第三步：介绍复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；解：由题意得35x -<≤Q3325x ∴-<-≤ 137x -<≤1733x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。

解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3Y -- 例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤42311x ∴-≤+≤所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。

复合函数定义域、函数解析式

复合函数定义域、解析式第一篇复合函数定义域【知识总览】 A. 复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+；复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ ★提问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？B.定义说明：①复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

②x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

③))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

④若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(．注意：)(x g 的值域'M M ⊆．【例题演练】例1 求定义域：⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．例2：已知函数)(x f 定义域是（a,b ），求)13()13()(+--=x f x f x F 的定义域．【跟踪练习】1.已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； .2.若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域3.已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域第二篇复合函数解析式求法【知识总览】A.解析式相关概念：1.函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y ＝f （x ），不能把它写成f （x ，y ）＝0；2.求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形. B.主要方法说明： 1.已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。

复合函数定义域及其求法

复合函数定义域及其求法1.引入：前面我们学习了函数的定义域，也研究了函数定义域的求法。

但前面我们求函数定义域时都是已知函数的解析式，只要求使这个解析式有意义的x 取值就可以了。

但若一个函数的解析式不知道，但知道和它有一定关系的函数定义域，能不能求这个函数的定义域？如已知(x +1)f 的定义域为[1,2],(x)f 求的定义域（既然这个问题提出来那肯定是能解决的，这里的一定关系其实就是今天要学的复合函数关系）生活中我们知道两种基本的颜色组合在一起会得到另一种不同颜色，两种不同光也有类似性质，那那个函数组合在一起能不能得到一个新的函数？如果可以的话，那得到的新函数的定义域与这两个函数的定义域，值域有关系吗？要解决这个问题我们先看一个函数2382x x y ++=我们可不可以把他看成2t y =和238t x x =++两个函数组合在一起，很显然是可以的。

这时2382x x y ++=就叫做2t y =和238t x x =++的复合函数，2t y =叫做外函数，238t x x =++叫做内函数。

一般地，复合函数都用(())y f g x =表示。

那么问题又来了，是不是任意两个函数组合在一起都能得到复合函数（举例），复合函数到底有哪些要求呢？2.复合函数的定义：如果函数(t)y f =的定义域为A ，函数()t g x =的定义域为D ,值域为C ，则当C A ⊆时，称函数(())y f g x =为f g D 与在上的复合函数，其中t 为中间变量，()t g x =叫内函数，(t)y f =叫外函数。

注：①复合函数(())y f g x =的定义域是x 的取值范围，不是g()x 的范围。

②复合函数内函数的值域C 一定是外函数定义域A 的子集例1.说出下面复合函数的内函数和外函数分别是什么？①lg(3x 7)y =+ ②3124y x x =--3.求复合函数定义域的方法：求复合(())y f g x =的定义域，就是先求外函数的定义域D ，再求以D 为值域的()g x 中x 的取值范围。

复合函数(讲义)

复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。

2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。

注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。

3.复合函数的单调性口诀：同增异减。

已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。

4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。

即：f(x)。

偶函数。

奇函数。

奇函数g(x)。

偶函数。

奇函数。

偶函数。

奇函数f(g(x))。

偶函数。

奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。

复合函数知识总结及例题

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,若A=B,则y关于X函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，U叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f (χ)的定义域，求f[g(χ) 1的定义域思路：设函数f (X)的定义域为D，即X ∙ D ,所以f的作用范围为D，又f对g(χ)作用，作用范围不变，所以g(x)∙ D ,解得X ∙E，E为f Ig(X)]的定义域。

例1.设函数f (u)的定义域为(O，1)，贝U函数f (Inx)的定义域为___________________ 。

解析：函数f (U)的定义域为(0，1)即u • (0，1),所以f的作用范围为(0，1)又f对InX作用，作用范围不变，所以0 ：：： In X ：：： 1解得X • (1, e),故函数f (In x)的定义域为(1, e)1例2.若函数f (X)= ----------- ,则函数f [f (x)]的定义域为 ___________________ 。

X +11解析：先求f的作用范围，由f (X) ,知X = -1X +1即f的作用范围为■ RlX= ,又f对f(χ)作用所以f (X) ∙R且f (x) - -1 ,即f If(X) 1中X应r d x≠-1X 式一1 L满足彳即｛1 ,解得x≠一1且x≠一2I f(X)H—1 —≠-1ιX +1故函数f If (X) 的定义域为CX R|x = -1且Xn -2(2)、已知f Ig(X)】的定义域，求f (x)的定义域思路：设f Ig(X) 1的定义域为D,即X ∙D ,由此得g(x) ∙E ,所以f的作用范围为E,又f对X作用，作用范围不变，所以X ∙E, E为f (X)的定义域。

例3.已知f (3 —2x)的定义域为X E[―1, 2 ],则函数f (x)的定义域为 _________________ 。