最新02第二章 自动控制系统的数学模型

02第二章自动控制系统的数学模型仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4第二章 自动控制系统的数学模型基本内容 重点和难点典型例题分析 习题一。

基本内容1． 学习建立系统数学模型的方法；2． 熟练掌握传递函数的定义、性质、零点与极点；3． 了解非线性数学模型线性化的方法；4． 熟练掌握典型环节的数学模型及特点；5． 熟练掌握结构图的绘制和等效方法及梅逊公式的应用。

掌握这些重点内容的目的是求出系统的传递函数，现将求解系统传递函数的方法图示如下：工作原理图信号流图结构图传递函数系统微分方程二．重点和难点1．数学模型研究一个自动控制系统，除了对系统进行定性分析外，还必须进行定量分析，进而探讨改善系统稳态和动态性能的具体方法。

因此首先需要建立其数学模型—描述系统运动规律的数学表达式。

数学模型有多种形式，如微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性及状态空间描述等，本章主要介绍三种，即微分方程、传递函数和结构图。

2．控制系统的动态微分方程式的列写常用的列写系统或环节的动态微分方程式的方法有两种﹕一种是机理分析法，即根据各环节所遵循的物理规律（如力学﹑电磁学﹑运动学﹑热学等）来编写。

另一种方法是实验辩识法，即根据实验数据进行整理编写。

在实际工作中，这两种方法是相辅相成的，由于机理分析法是基本的常用方法，本章着重讨论这种方法。

列写元件微分方程式的步骤可归纳如下：（1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；（2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；（3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即数学模型。

一般情况下，应将微分方程写成标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导项均按降幂形式排列。

3．传递函数建立系统数学模型的目的是为了对系统的性能进行分析。

利用拉氏变换能把以线性微分方程式描述系统的动态性能的数学模型，转换为在复数域的数学仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6模型——传递函数。

传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。

经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。

(1)定义线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

传递函数一般表达式为nn n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b S R s C s G ++++++++==----11101110)()()( （2）性质传递函数具有以下性质：①传递函数是复变量s 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。

n m ≤且所有系数均为实数。

②传递函数是系统或元件数学模型的另一种形式，是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式。

它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。

③传递函数与微分方程有相通性。

只要把系统或元件微分方程中各阶导数用相应阶次的变量s 代替，就很容易求得系统或元件的传递函数。

④传递函数)(s G 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应)(t g 。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7)(t g 是系统在单位脉冲)(t δ输入时的输出响应。

此时=)(s R ℒ1)]([=t δ，故有)(t g =ℒ-1)]([s C =ℒ-1)]()([s R s G =ℒ-1)(s G对于简单的系统或元件，首先列出它的输出量与输入量的微分方程，求其在零初始条件下的拉氏变换，然后由输出量与输入量的拉氏变换之比，即可求得系统的传递函数。

对于较复杂的系统或元件，可以先将其分解成各局部环节，求得环节的传递函数，然后利用本章所介绍的结构图变换法则，计算系统总的传递函数。

（3）典型环节自动控制系统是由若干个典型环节有机组合而成的，典型环节的传递函数的一般表达式分别为：比例环节 K s G =)(惯性环节 11)(+=Ts s G 积分环节 Ts s G 1)(= 微分环节 s s G τ=)(振荡环节 222222121)(nn n s s s T s T s G ωζωωζ++=++= 延迟环节 s e s G τ-=)(4．系统结构图及结构图的等效变换和简化一个复杂的系统结构图，其方框间的连接必然是错综复杂的，为了便于分析和计算，需要将结构图中的一些方框基于“等效”的概念进行重新排列和整仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8理，使复杂的结构图得以简化。

由于方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。

因此，结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，将串联、并联和反馈连接的方框合并。

在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持不变的原则。

（结构图简化（等效变换）的基本规则略）5．系统传递函数自动控制系统在工作过程中，经常会受到两类输入信号的作用，一类是给定的有用输入信号)(t r ，另一类则是阻碍系统进行正常工作的扰动信号)(t n 。

闭环控制系统的典型结构可用图2-1表示。

图2-1 闭环控制系统的典型结构图 图2-2 )(t r 作用下的系统结构图 图2-3 )(t n 作用下的系统结构图研究系统输出量)(t c 的变化规律，只考虑)(t r 的作用是不完全的，往往还需要考虑)(t n 的影响。

基于系统分析的需要，下面介绍一些传递函数的概念。

（1）系统开环传递函数系统的开环传递函数，是用根轨迹法和频率法分析系统的主要数学模型。

在图2-1中，将反馈环节)(s H 的输出端断开，则前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积)()()(21s H s G s G 称为系统的开环传递函数。

相当于)()(s E s B 。

（2）系统闭环传递函数①)(t r 作用下的系统闭环传递函数令0)(=t n ，图2-1简化为图2-2，输出)(t c 对输入)(t r 的传递函数为)()()(1)()()()()(2121s H s G s G s G s G s Φs R s C +== 称)(s Φ为)(t r 作用下的系统闭环传递函数。

②)(t n 作用下的系统闭环传递函数为了研究扰动对系统的影响，需要求出)(t c 对)(t n 的传递函数。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9令0)(=t r ，图2-1转化为图 2-3，由图可得)()()(1)()()()(212s H s G s G s G s Φs N s C n +==称)(s Φn 为)(t n 作用下的系统闭环传递函数。

③系统的总输出当给定输入和扰动输入同时作用于系统时，根据线性叠加原理，线性系统的总输出应为各输入信号引起的输出之总和。

因此有 )()()(1)()()()()(1)()()()()()()()(2122121s H s G s G s N s G s H s G s G s R s G s G s N s Φs R s Φs C n +++=+= （3）闭环系统的误差传递函数误差大小直接反映了系统的控制精度。

在此定义误差为给定信号与反馈信号之差，即)()()(s B s R s E -=①)(t r 作用下闭环系统的给定误差传递函数)(s Φe令0)(=t n ，则可由图 2-1求得)()()()()()(s C s H s R s B s R s E -=-= )()()(11)()()(1)()()()()()()(21s H s G s G s R s C s H s R s C s H s R s R s E s Φe +=-=-== ②)(t n 作用下闭环系统的扰动误差传递函数)(s Φen取0)(=t r ，则可由图2-1求得)()()()(s C s H s B s E -=-= )()()(1)()()()()()()()(212s H s G s G s H s G s N s C s H s N s E s Φen +-=-== ③系统的总误差根据叠加原理，系统的总误差为)()()()()(s N s Φs R s Φs E en e +=对比上面导出的四个传递函数)(s Φ、)(s Φn 、)(s Φe 和)(s Φen 的表达式，可以看出，表达式虽然各不相同，但其分母却完全相同，均为仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10)]()()(1[21s H s G s G +，这是闭环控制系统的本质特征。

称0)()()(121=+s H s G s G 为系统的特征方程式。

6．信号流图与梅逊公式控制系统的信号流图与结构图一样都是描述系统各环节之间信号传递关系的数学图形。

利用梅逊公式可以直接求出任意两个变量之间的传递函数，而不需要进行化简。

但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。

梅逊公式： k k N k P P ∆∆=∑=11 式中 N ——前向通道的条数∆——信号流图的特征式，即m m L L L L ∑-++∑-∑+∑-=∆)1(13211L ∑——所有不同回环传输之和；2L ∑——所有每两个互不接触回环传输乘积之和；3L ∑——所有每三个互不接触回环传输乘积之和；m L ∑——任意m 个互不接触回环传输乘积之和；k P ——第k 条前向通道的传输；k ∆——余子式，即与第k 条前向通道不接触部分的∆值（在∆中去掉与第k 条前向通道接触部分，包括有公共节点部分）。

本章难点（1）用综合基础知识（如机械﹑电气﹑热力﹑液压﹑气动等方面的基本定律）建立正确的微分方程；（2）建立系统的结构图或信号流图；（3）系统结构图的等效变换的灵活运用；梅逊公式的应用。

三．典型例题分析[例2-1] 列写图2-4所示RLC 网络的微分方程。

图2-4 RLC 网络解: 1.明确输入量、输出量仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11网络的输入量为电压)(t u r ，输出量为电压)(t u c 。

2.列出原始微分方程式。

根据电路理论得 )()(1)()(t Ri dt t i Cdt t di L t u r ⎰++= 而 ⎰=dt t i C t u c )(1)( 式中)(t i 为网络电流，是除输入量、输出量之外的中间变量。

3.消去中间变量,整理得 )()()()(22t u t u dtt du RC dt t u d LC r c c c =++ 显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图2-4所示RLC 无源网络的数学模型。

[例2-2] 试列写图2-5所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压))((V t u a 为输入量，电动机转速)(t m ω)(s rad 为输出量。