关于常微分方程的发展及其应用的探悉.

关于常微分方程的发展及其应用的探悉
姓名：
佳木斯大学理学院数学系
2015年6月
摘要
常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一．常微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学及其他科学技术的发展密切相关，当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域本篇文章从常微分方程的产生背景谈起，分四个时期介绍其发展过程．文章从常微分方程的产生背景、发展、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史及其应用在数学发展中的重要意义．
关键词:常微分方程；发展；应用
Abstract
Ordinary differential equation is the 17th century with the birth of calculus and a strong theoretical and one of the widely applied mathematics. The formation and development of ordinary differential equations with mechanics, astronomy, physics and other closely related to the development of science and technology, The current development of the computer for the application of ordinary differential equation and the theoretical research provides a very powerful tool. The theory and methods of ordinary differential equation is not only widely used in natural science,And more and more applied in various fields of social science.
This article from the background of ordinary differential equations, Point four periods to introduce its developing process.From the background of ordinary differential equation, development, application, etc, Systematically introduce the history of ordinary differential equation and its application in the important significance in the development of mathematics.
Keywords:Ordinary differential equation; develop; application
目录
摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II
第1章绪论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第2章常微分方程的发展史．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2.1常微分方程的产生背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2.2常微分方程的发展．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2.2.1常微分方程经典阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2.2.2常微分方程适定性理论阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2.2.3常微分方程解析理论阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2.2.4常微分方程定性理论阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第3章常微分方程的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
3.1在物理学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
3.2在生物学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
3.3在经济学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．附录1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．附录2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
第1章绪论
常微分方程是一个有长期历史，而又正在不断发展的学科；是一个既有理论研究意义，又有实际应用价值的学科；是一个既得力于其他数学分支的支持，又为其他数学分支服务的学科；是一个表现客观自然规律的工具学科，又是一个数学可以为实际服务的学科．常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，常微分方程的形成与发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的，数学的其他分支的发展如复变函数、李群、拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响．当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具．常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域．如自动控制，化学反应过程稳定性的研究等，这些问题都可以化为求常微分方程的解．所以说，应用常微分方程的理论已经取得了很大的成就，但是它的现有理论还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善．所以，研究常微分方程的发展及应用有重要的意义．
第2章 常微分方程的发展史
2.1 常微分方程的产生背景
随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来了．牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，在生产力的提高迫切要求力学、天文学等基础学科发展的前提下，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径，一方面往往又在应用上大胆前进，大大地扩展了微积分的应用范围．尤其是微积分与力学的有机结合，极大地拓展了微积分的应用范围，并促进了微积分的萌芽．
微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求，如声学、流体力学、电磁学、几何学等．一般地，事物的规律很难完全靠实验观测认识清楚，因为人们不可能观测到所有运动的全过程，但是运动又的确服从一定的客观规律，把这个规律的式子用数学结构写下来就是微分方程．这就给我们提供了一种研究问题的新思路，先写出能表示运动关系的微分方程，然后通过对微分方程的求解来确定各个研究因素之间的关系，进而弄清楚变量之间的规律和动力学行为．如电磁学提出了著名的拉普拉斯方程0=+=∆+u u u zz yy xx u ，光学和声学提出了波动方程0=∆-u u tt ，热学提出了热传导方程
0=-u u t xx ，量子力学中提出了薛定谔方程01=∆-u i
u t 等等． 常微分方程是伴随着微积分发展起来的，微积分是它的母体，生产生活实践是它生命的源泉．300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学进行崭新结合的16、17世纪，牛顿和莱布尼茨都处理过与常微分方程有关的问题．成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法，在日常生活和生产中起着十分重要的作用．如伽利略首先对动力学进行了系统研究，首创科学实验方法，并通过对落体和抛体等简单问题的研究，探索力与运动的普遍规律，发展了足以描述质点加速度运动的数学理论．牛顿则第一个大量运用数学方法来系统整理物理理论，他总结、阐明和推广了伽利略的动力学定理．1687年，牛顿在《原理》中建立了太阳系行星的运动方程，这是常微分
方程实际应用的第一次历史性成功．常微分方程从此成为研究天文、物理、航海等方面的工具．
2.2 常微分方程的发展
常微分方程的形成与发展和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关．数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响．对常微分方程来讲，它的发展主要经历了经典、适定性理论、解析理论和定性理论四个主要的阶段，其标志主要为求微分方程的通解，利普希茨条件的提出和李雅普诺夫的微分方程稳定性理论的建立．
2.2.1 常微分方程经典阶段
这一阶段以通解为主要研究内容，就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中．而且通信中所提到的解法可能仅仅是对某个特例的说明，所以现在很难确切地说是谁首先得到某些概念或结论的．1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方程”这个数学名词．
常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，其皱形的出现甚至比微积分的发明还早．纳皮尔发明对数，伽利略研究自由落体运动，笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程，牛顿和莱布尼茨在建立微分方程与积分运算时就指出了他们的互逆性．实际上是解决了最简单的微分方程=y )(x f '的求解问题．此外，牛顿、莱布尼茨也都用无穷级数和特定系数法解出了某些初等微分方程．最早用分离变量法求解微分方程的是莱布尼茨，他用这种方法解决了形=)()(y d x yd )()(x g x f 的方程，因为只要把它写成=)()(x f x d y y d x g )()(就在两边进行积分．但莱布尼茨并没有建立一般的方法，1691年他把自己在这方面的工作写信告诉了荷兰科学家惠更斯，同年他又解出了一阶齐次方程='y )(x y f ，他令ux y =代入方程就可以使变量分离．1693年惠更斯在《教师学报》中明确提到了微分方程，而莱布尼茨同年则在另一家杂志的另一篇文章中，称微分方程为特征三角形的边的函数，并给出了线性方程=dx dy )()(x q y x p +的通解表达式：
=)(x y e dx x p ⎰)())(()(⎰+⎰-c dx x q e dx x p
其中c 是任意常数．
1740年欧拉用自变量代换e x '=，把欧拉方程线性化而求
+dx d x a n n n
y 0+---dx d x a n n n y 111
1+ 0=y a n
的通解，其中a i ),,2,1(n i =是常数．
通解与特解的概念是1743年欧拉定义的，同时欧拉还给出恰当方程的解法和常系数线性齐次方程的特征根解法．微分方程的解有时也称该方程的积分，因为求微分方程解的问题在某种意义上正是普通积分问题的一种推广．1694年，瑞士数学家约翰•伯努利在《教师学报》上对分离变量法与齐次方程的求解做了更加完整的说明．他的哥哥雅科布•伯努利发表了关于等时问题的解答，虽然莱布尼茨已经给出了这个问题的一个分析解． 微分方程教材中所见到的伯努利方程y n x Q y x P dx
dy )()(+=（)(),(x Q x P 为x 的连续函数，1,0≠n 是常数)，最初就是雅科布•伯努利于1695年提出的．1696年莱布尼茨证明：利用变量替换y n x -=1，可以将方程化为线性方程（y 与y '的一次方程），同年，雅科布•伯努利实际上用分离变量法解决了这一方程，约翰•伯努利给出了另一种解法，还提出了常系数微分方程的解法．
17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容．在这一阶段，还出现了许多精彩的成果．例如1694年，莱布尼茨发现了方程解族的包络．1718年泰勒提出奇解的概念，克莱罗和欧拉对奇解进行了全面研究，给出从微分方程本身求得奇解的方法，参加奇解研究的数学家还有拉格朗日、凯莱和达布等人．
2.2.2 常微分方程适定性理论阶段
19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期．群的概念、复变函数的开创等都在这个时期，常微分方程深受这些新概念和新方法的影响，进入了它发展的第二个阶段，这一阶段主要以定解问题的适定性理论为研究内容，1685年，伟大的数学家莱布尼茨向数学界推出求解方程=dx dy y x 22+（里卡蒂方程的特例）的通解的挑战性问题，且直言自
己研究多年未果．这个方程虽形式简单，但经多年几代数学家的全力冲击仍不得其解．1841年法国数学家刘维尔证明了意大利数学家里卡蒂1724年提出的里卡蒂方程=dx dy )()()(2
x r y x q x p y ++的解一般不能通过初等函数的积分来表达，从而让大家明白了不是什么方程的通解都可以用积分手段求出的，能有初等解法的微分方程是很有限的，这就促使人们寻求别的方法研究微分方程的问题．
里卡蒂方程的研究迫使人们另辟蹊径，考虑不借助于解的表达式而从方程本身的特点去推断其解的性质（周期性、有界性、稳定性等），以及寻求各种近似求解的方法，从而导致微分方程理论的研究进入了一个多样化的发展时期．在物理、力学上所提出的微分方程问题，大都要求满足某种附加条件的特解，即所谓定解问题的解．这样，人们开始改变了原来的想法，不去求通解，而从事定解问题的研究，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程定解问题的适定性理论．18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题，迫使数学家们转向对解的存在性问题的思考．常微分方程理论研究中的一个基本问题是微分方程是否有解存在？如果有解存在，其解是否唯一？这个问题的解决不仅可以使数学家避免对一些根本无解的方程作无谓的研究，而且直接影响并得出了微分方程的基本理论．这些基本理论包括：解的存在及唯一性，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性等．
19世纪20年代，柯西建立了柯西问题
),(y x f dx dy = y x y 00)(=
解的存在唯一性定理．1873年，德国数学家利普希茨提出著名的“利普希茨条件”对柯西的解存在唯一性定理作了改进．
1838年，刘维尔在研究热传导方程时提出了逐步逼近法，1890年，皮卡给出了逐步逼近法的普遍形式，并逐渐形成了微分方程的一般理论．在微分方程理论中，逐步逼近法是比较经典的方法．最早，柯西、利普希茨等曾使用这种方法解决某些特殊类型方程解的存在性问题．1893年，皮卡把这一方法应用到一般非线性微分方程上，因而又被称为皮卡逐步逼近法，建立了解的存在唯一性定理．
解的存在唯一性定理是微分方程理论研究中最重要的基本问题，是微分方程理论研究的基础．从柯西起，对唯一性问题的研究已有非常之多，条件也是多种多样．1993年，阿格沃尔对解的存在唯一性问题的研究结果作了全面系统的总结，对各种不同的判据作了详尽的分析比较，为此问题的进一步研究提供了必要的思路．直到现在，解的存在唯一性问题仍是常微分方程理论中非常重要的一个研究课题．
常微分方程初值问题的解的存在性的研究，有力的推动了人们对各种方程的求解和探索．1833年，斯图姆首先着手研究二阶方程的边值问题，1836年至1837年间，他给出了具有变系数的齐次线性二阶常微分方程在给定条件下具有非零解的条件．同一时期，斯图姆和刘维尔还开创了边值问题和特征值问题，在近代物理和工程技术中有广泛的应用，并且构成了常微分方程的一个重要的分支，即二阶线性方程的边值问题和振动理论．
这一阶段主要以定解问题的适定性理论为研究内容，研究了初值问题解的存在性，初值问题解的唯一性，边值问题等．
2.2.3 常微分方程解析理论阶段
19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数法，求出一些重要的二阶线性方程的级数解，并得到极其重要的一些特殊函数．
1816年贝塞尔研究行星运动时，开始系统的研究贝塞尔方程
+''y x 2+'y x 0)(2
2=-y n x 这个方程的特殊情形早在1703年雅科布•伯努利给莱布尼茨的信中就已提到．后来丹尼尔•伯努利、欧拉、傅里叶和泊松也都讨论过这一方程．对每个n ，贝塞尔得到了此方程存在的两个独立的基本解，记作)(x J n 和)(x J n -，)(x J n 称为第一类贝塞尔函数或n 阶贝
塞尔函数，)(x J n -称为第二类贝塞尔函数或n -阶贝塞尔函数．初等函数之外的函数称为
特殊函数．贝塞尔函数就是特别重要的特殊函数之一，贝塞尔求得贝塞尔方程的级数解
=)(x J n )2()1(20)1()1(x n
k k k k k n +∞=∑-+Γ++Γ
=)(-x J n )2()1(20)1()1(x n k k k k k n -∞=∑-+Γ++-Γ
令贝塞尔方程有形如=y x c k k k ρ+∞=∑0的级数解，代入贝塞尔方程得到n ±=ρ，且得到了
系数c n 的递推公式0)(2=+-+++-c c k k n k k n ρρ）（， ,2,1=k ，
进而得到了系数c k 2的表达式，012=+c k ．
1818年，贝塞尔证明了)(x J n 有无穷个零点．1824年，贝塞尔给出了递推公式
-+)(1x x J n +)(2x n J n 0)(1=-x J n
后来有众多数学家和天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式．1944年，剑桥大学出版了G.N.Watson 的巨著《贝塞尔函数教程》，是贝塞尔函数研究成果的集成．由此可见，贝塞尔为微分方程解析理论做出了巨大贡献．
在解析理论中另一个极重要的内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果．1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒让德方程+'-''-y x y x 2)1(2
0)1(=+y n n 给出了幂级数形式的解．与此同时，厄米特研究了方程： 02=+'-''y y x y λ，),(+∞-∞∈x
得到了其幂级数解，当λ是非负偶数即为著名的厄米特多项式．切比雪夫在研究方程0-122=+'-''y y x y p x ）（（p 是常数）时，得出1≤x 时的两个线性无关解（基本解），且证明当p 是非负整数时，此方程有一个解为n 次多项式，此多项式即为著名的切比雪夫多项式．另外，在常微分方程的解析理论研究中，也有数学家高斯的成果．1821年，他研究了高斯几何方程
0})1({)1(=-'++-+''-y y x y x x αββαγ
得到级数解
++⋅⋅+++⋅+=x x x F 2)
1(21)1()1(11);,,(γγββααγαβγβα
这个级数称为超几何级数．同时他还建立了公式
）
（）（）（）（），，，（βγαγβαγγγβα----1ΓΓΓΓ=F 并指出对γβα，，的不同值，此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数．
19世纪方程解析理论中一个重点成果是关于奇点的富克斯理论，他看到著名的贝塞尔方程，勒让德方程和高斯几何方程等，如果表示成形如
0)()()1(1=+++-y x x p y p y n
n n ）（ 的形式，则系数有奇异性，于是富克斯深入研究这种齐次线性方程在奇异点邻域内解的性质．他把x 改成z 在复平面上讨论此种方程，得出许多成果．随后，经斯图姆和刘维尔各自相应的研究，丰富了方程解析理论的内容．1877年希尔研究二阶方程0)(22=+x t x dt d θ，其中）（t θ以π为周期的偶函数，用他研究的结论证实月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究，庞加莱也参与了希尔方程的研究，并在希尔工作的启发下，庞加莱为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径，开创了微分方程定性研究的新时代．
2.2.4 常微分方程定性理论阶段
早在19世纪，庞加莱开创了微分方程定性理论研究，李雅普诺夫则开创了微分方程运动稳定性理论的研究．稳定性问题的实质是考察系统由初始状态扰动引起的受扰运动能否趋近或返回到原平衡状态．而平衡状态是，若存在状态向量x e ，对所有的t ，都有
0),(≡t f x e 成立，则称x e 为系统的平衡状态，如果Ax t x f =),(，且A 非奇异，则原点是
系统唯一的平衡状态．到了20世纪是微分方程的定性理论阶段．
自从1841年刘维尔证明里卡蒂方程y x dx dy 22+=不存在初等函数积分表示的解之后，研究方程的方法有了明显变化，数学家们开始从方程本身（不求解）直接讨论解的性质．法国数学家们研究的三体问题就不能用已知函数解出，从而运动的稳定性问题就不可能通过考察解的性态而得到．庞加莱终于找到了从方程本身找出答案的诀窍，1881年到
1886年，他在《Jour,de Math》杂志上用同一标题《关于由微分方程确定的曲线的报告》发表了四篇论文，他说“要解答的问题是动点是否描出一条闭曲线？它是否永远逗留在平面某一部分内部？换句话说，并且用天文学的话来说，我们要问轨道是稳定的还是不稳定的？从1881年起，庞加莱独创出常微分方程的定性理论，定性理论的实质是在不求解的情况下，直接考察微分方程的系数和方程本身的结构，从而研究解的性质（如曲线的形状、结构和趋势等等）．此后，为了寻求只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，他从非线性方程出发，发现微分方程的奇点起关键作用，并把奇点分为四类（焦点，鞍点，结点，中心），讨论了解在各种奇点附近的性状，同时还发现了一些与描述满足微分方程的解曲线有关的重要的闭曲线如无接触环，极限环等，同时，庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题，成为动力系统理论的开端．美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究．另一位常微分方程定性理论的主要创始人是挪威数学家班迪克逊从1900年起，他开始从事由庞加莱开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作，1901年发表著名论文《由微分方程定义的曲线》．
常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫创立的运动稳定性理论．1892年李雅普诺夫的博士论文《关于运动稳定性的一般问题》给出了判定运动稳定性的普遍的数学方法与理论基础．关于李雅普诺夫意义下的稳定性和伯克霍夫意义下的极限集的表现形式是多姿多彩的．到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念，结构稳定理论就其性质而言属于结构力学的一个分支，其发展过程与金属结构工程的发展息息相关．例如在各类钢结构中，都会遇到稳定问题，而任何结构体系在荷载作用下都应处于稳定平衡状态，否则偶然的扰动都可能使结构产生过大的变形而失稳．同时他严格证明了其充要条件，使动力系统的研究向大范围转化．
20世纪中期以后是常微分方程的定性理论阶段，这一阶段主要以定性和稳定性理论为研究内容，庞加莱开创了常微分方程的定性理论，李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上，开创了常微分方程的稳定性理论，将庞加莱关于奇点附近积分曲线随时间变化的定性研究进一步完善和发展了定性理论
总之，微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，自1693年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历漫长而又迅速的发展，极大丰富了数学家园的
内容．随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展，比如偏微分方程的迅速发展．
第3章 常微分方程的应用
常微分方程的应用十分广泛，无论是在工程技术、自动控制理论、物理等自然科学领域，还是在经济、金融、保险等社会科学领域．它不仅可以描述某些实际问题的演化规律，而且可以明确解释在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象产生的原因．同时可以解决许多与导数有关的问题．物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用常微分方程求解．因此，我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程，进而建立数学模型解决数学问题.本部分将举出常微分方程在物理学、生物学、经济学领域中的应用．
3.1 在物理学中的应用
例 3.1.1 包含电阻R 、电感L 、电容C 及电源的电路称为RLC 电路，RLC 电路是电子电路的基础．根据电学知识，电流I 经过R ，L ，C 的电压降分别为RI ,dt dI L 和C Q ，其中Q 为电量，它与电流的关系为dt
dQ I =，根据基尔霍夫第二定律：在闭合回路中，所以支路上的电压的代数和等于零．假设R ，L ，C 为常数，电源电压)(t e 是时间t 的已知函数．当开关S 合上时有关系式
C
Q RI dt dI L t e ++=)(， 微分上式，代入dt
dQ I =，便得到以时间t 为自变量、电流I 为未知函数的常微分方程 dt t de L LC I dt dI L R I dt d )(122
=++ 当电源电压是常数E t e =)(时，上述微分方程变为
022
=++LC I dt dI L R I dt d 如还有0=R ，微分方程进一步化简为
022
=+LC I I dt d 3.2 在生物学中的应用
例 3.2.1 生物学中的SIR 传染病模型：假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n ．开始时染病人数为x 0，在时刻t 的健康人数为)(t y ，染病人数为)(t x ．传染系
数为k ，在时刻t 的愈后免疫人数为)(t r ，治愈率为μ，可得
)()(t x dt
t dr μ=， n t r t y t x =++)()()(，
dt
t dr t x t ky dt t dx )()()()(-=． 由上三式可消去)(t r ，得
x kxy dt
dx μ-=，x x 0)0(=， kxy dt dy -=，x y n y 00)0(-==．
SIR 模型曾被克马克等用于检验本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫，其理论曲线与实际数据相当吻合．
3.3 在经济学中的应用
一个公司的资产运营可以被看作有两个方面的作用．一方面，它的资产可以像银行存款一样获得利息（盈取），另一方面还要用于发放职工工资．用w 0表示该公司的初始资产，
若用w 表示t 时某公司的净资产，则dt
dw 就表示净资产的增长速率，净资产的增长速率=利息盈取（增长）的速率-工资支付速率．
例 3.3.1 某公司t 年净资产有)(t w （单位：百万元），并且资产以每年5%的速度。