材料力学第14章(静不定)-06分析

F
A
j2
j1 B
O
F 2
F 2
M (j1 ) Rsinj1
１ A j2
j1
１
O
M (j2 ) Rsinj2
11
2
2 0
M(j1)M(j1)Rdj1
EI
2 R3 EI
2 0
sin2
j1dj1
R3
2 EI
11X1 1F 0
X1
F
[例3] 求解图示超静定结构中拉杆CD的轴力。设刚架ABC的 抗弯刚度为EI，拉杆CD的抗拉刚度为EA。
1
1
X1
F 4
2
F
a
a A
X1
F 4
a
B
1 Fa 4
X1
3qa4 8EI
0
X
1
9qa 16
A
q
X1
9qa 16
q
qa 16
A
X1
9qa 16
B
B
7qa
qa 16
16
qa
16
qa 2
A
X1
9qa 16
16
q
qa 2
B
7qa
qa 16
49qa2 16 512
16
[例5] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 F
解：①刚架有一个多余约束。
a
a
A
②选取并去除多余约束，代以多
∴变形协调方程
1F 11X1 0 或：11X1 1F 0
——力法正则方程
系数11和Δ1F可由莫尔定理求得 A
(积分或图乘)
F
B
1F
1X1 X1
11
1
系数11和Δ1F可由莫尔定理(积分或图乘)求得(图c、d)
F
1F
1 EI
[(
1 2
Fl
l
)(
65 2l )]
(c)
l
B
l
5Fl 3
Fl
6EI
超静定问题分类 第一类：外力超静定。仅在结构外部存在多余约束，
即支反力是超静定的。
超静定问题分类
第一类：外力超静定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是超静定的。
第二类：内力超静定：仅在结构内部存在多余约束， 即内力是超静定的。
F
F
F
F
F
F
F
B
F
F
A
C
D
C
D
B
F
超静定问题分类
第一类：外力超静定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是超静定的。
X1 A
F
B
C
二、力法正则方程
11X1 1F 0
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。
X1——多余未知量；
11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿
X1方向的位移； 1F——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿
X1方向的位移；
力法解超静定的基本步骤： ①判定超静定次数。
11
1 EI
[(
1 2
2l 2l
)(
32 2l )]
(d)
B
8l3
A
1
3 EI
8 l3 3 EI
X1
5Fl 3 6EI
0
2l
X1
5F 16
求其它约束反力 由平衡方程可求得 A 端反
力，其大小和方向。
作弯矩图，见图(e)。
11F 16
A
3Fl 8
(e) –
3Fl
8
F
C
5Fl 16
+
B
5F 16
注意：对于同一超静定结构，若选取不同的多余约束，则基 本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多 余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。
a
余约束反力，得到相当系统。
B
③建立力法正则方程 F
11X1 1F 0
a
a
X1
④计算系数11和自由项1F
A
a
B
Fa F
2
A
F
2
1F
1 EI
[
1 2
Fa 2
2a
a 2
]
Fa 3 4EI
B
F
M图
0
11
1 EI
[12a2a
32 a
1 aa 2a] 23
2
a
1
a3
21
EI
a
M图
11X1 1F 0
B
②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。
③画出两个图：原载荷图和单位力图。
④计算正则方程的系数： 1F和11，两图互乘得1F ，单 位力图自乘得11。
⑤建立力法正则方程： 11X1 1F 0
[例2] 试求图示曲杆的支座反力。
F
F
a
A
B
O
F
A
j
X1
O
A
jB
O
A
j
１
O
F
A
j2
j1 B
O
F
F
2
2
M (j1 )
F 2
(R
Rcosj1
)
FR 2
(1
cosj1
)
M (j1 ) Rsinj1
1 A j2
j1
1
O
M(j2 )
F 2
(R
Rcosj2 )
FR 2
(1cosj
2
)
M (j2 ) Rsinj2
1F
2
2 0
M(j1 )M (j1 )Rdj1
EI
FR3 EI
2 0
(1
cosj1
)s
inj1dj1
FR3 2 EI
解：①刚架有一个多余约束。
a
FB
C
a
②选取并去除多余约束，代以多
余约束反力，得到相当系统。
A
D
③建立力法正则方程
11X1 1F 0
④计算系数11和自由项1F
1 11X1 1F 0
FB
A
a
a
C
X1 X1 D
a a
a
a
F
C
C
a
1
1
Fa
D
D
a
1F
1 EI
(
1 2
Faaa)
Fa3 2EI
11
a EA
1 EI
q
a
a
A
A X1
B
qa
2A
qa2
qa2 2
a
q
2
a
qa
B
qa 2
1 A
1
1 B
1
M图
M图
1F
1 EI
[
1 2
qa 2
2
a
2a 3
2 qa2 a 5a ] 32 8
3qa4 8EI
11
1 EI
[
1 2
aa
2a 3
12 a a
2a 3
]
2a 3 3EI
⑤代入力法正则方程： 11X1 1F 0
得பைடு நூலகம்
2a 3 3EI
[ 12
aa
32 a
aaa]
a 4a3 EA 3EI
FB
X1
2(
F I Aa 2
4 3
)
A
a
C X1
X1 D
[例4] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 解：①刚架有一个多余约束。
②选取并去除多余约束，代以多
q
余约束反力，得到相当系统。
③建立力法正则方程
B
11X1 1F 0
④计算系数11和自由项1F
F
[ 例1] 如图所示，梁EI为常数。
B
试求支座反力，作弯矩图。
(a) A
C
解：①判定静不定次数（一次）
l
l
②选取并去除多余约束，得到静定
基，见图(b)。
③加上原载荷,
(b)
A
④加上多余约束反力，
F
B C
X1
⑤列出变形协调方程：1 0 （ 1表示B点沿X1方向的位移）
应用叠加法：
1 1F 1X1 0 由 1X1 11X1
第十四章 超静定结构
§14–1 超静定结构概述 §14–2 用力法解超静定结构 §14–3 对称及反对称性质的应用
§14-1 超静定结构概述
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称 为超静定结构，也称为静不定结构。
在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的 数目为结构的超静定次数。
第二类：内力超静定：仅在结构内部存在多余约束， 即内力是超静定的。
第三类：混合超静定：在结构外部和内部均存在多余约 束，即支反力和内力是超静定的。
分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
§14-2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）