两个重要极限教案63260

两个重要的极限教案

教者数学分析科目数学年级大一课题两个重要极限（一）课型

时间2017年4月11日地点

教材分

析

《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。

学情分

析

一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“

0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。

教学目

标

知识与技能：让学生了解公式1

sin

lim

=

→x

x

x

的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。

过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。

情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。

教学重

点

正确理解公式1

sin

lim

=

→x

x

x

，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。

教学难

点公式1

sin

lim

=

→x

x

x

的证明、公式及其变形式灵活运用。

教法学法

本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。

课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。

教学环

节

教 学 内 容

复习导入

1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。

如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作

A x f x x =→)(lim 0

。

2、A x f x x =→)(lim 0

的充要条件是什么？

A x f x x =→)(lim 0

⇔ )(lim 0

x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0

3、说出函数极限的四则运算法则。

B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[,

)(lim ,)(lim :1则设法则 B A x g x f x g x f B x g A x f ⋅=⋅=⋅==)]([lim )]([lim )]()(lim[,

)(lim ,)(lim 2则：设法则

B

A

x g x f x g x f B B x g A x f ==≠==)(lim )(lim )()(lim

,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则

新授一、问题的提出

“

型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过因式分解

约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“

0型”都可以用这两种方法解决呢？

问题：如何求

x

x

x

sin

lim

→

？

三、证明猜想

过程见课本

60

57

P

P-

强调：①极限中函数

x

x

sin

的分子分母都是当0

→

x时的无穷小。

②这里的自变量x是用弧度度量的，以后引用这个极限

时必须用弧度作单位。

③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必须注意所

有含有自变量的表达形式应一致。

④1

sin

lim

=

→x

x

x

四、公式的应用

例1：求⑴

x

x

x3

sin

lim

→

⑵

x

x

x

tan

lim

→

解：⑴=

→x

x

x3

sin

lim

03

1

1

3

1

sin

lim

3

1

)

sin

3

1

(

lim

=

⋅

=

=

⋅

→

→x

x

x

x

x

x

⑵

x

x

x

tan

lim

→

=)

cos

1

sin

(

lim

0x

x

x

x

⋅

→

=

x

x

x

x

x cos

1

lim

sin

lim

0→

→

⋅

=1

1

1=

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