定积分知识总结

定理1：如果函数 在区间 上连续，则 在 上可导，且
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定理2、3：如果 在区间 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为
.
2、牛顿——莱布尼茨公式
定理4（微积分基本公式）如果函数 在区间 上连续，且 是 的任意一个原函数，那么
.
证由定理知， 是 在区间 的一个原函数，则
与 相差一个常数C，即
当引力 的方向随小区间 的改变而变化时，将引力分解成 轴、 轴方向的二个分力，再分别用元素法得出定积分的表示式。
5、定积分在物理学上的应用
分类
公式
变力沿直线作功
若积分变量为 ，变力的函数表达式为 ，则变力沿直线所作的功为：
水压力
若将由曲线 及直线 所围成的平面薄板铅直放入水中，水的比重为 ，取 轴铅直向下，液面为 轴，则平面薄板一侧所受的压力为：
引力
当引力 的方向不随小区间 的改变而变化时，被积函数即为两质点间的引力 ，其中 为两质点间的距离， 为引力系数， 、 分别为两质点的质量。
为高的小矩形的面积（如图
阴影部分），即
.
通常称 为面积元素，记为
>
.
将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在 上“无限累加”，就得到面积 .即 .
一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：
（1）确定积分变量 ，并求出相应的积分区间 ；
（2）在区间 上任取一个小区间 ，并在小区间上找出所求量 的微元 ；
}
.
又因为 ，所以 .于是有
.
所以 成立.
为方便起见，通常把 简记为 或 ，所以公式可改写为
三、定积分的积分法
…
1、定积分的换元积分法
定理1设函数 在区间 上连续，并且满足下列条件：
（1） ，且 ， ；
（2） 在区间 上单调且有连续的导数 ；
（3）当 从 变到 时， 从 单调地变到 .
则有
~
上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：
(2)计算 的近似值，即 （其中 பைடு நூலகம்；
(3)求和得 的近似值，即 ；
(4)对和取极限得 .
}
下面对上述四个步骤进行具体分析：
第(1)步指明了所求量（面积 ）具有的特性：即 在区间 上具有可分割性和可加性.
第(2)步是关键，这一步确定的 是被积表达式 的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对 省略下标，得 ，用 表示 内的任一小区间，并取小区间的左端点 为 ，则 的近似值就是以 为底，
，于是，所求旋转体体积为
"
.
(2)平行截面面积为已知的立体体积
设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.
不妨设直线为 轴，则在 处的截面面积 是 的已知连续函数，求该物体介于 和 之间的体积（如图）.
取 为积分变量，它的变化区间为 ，在微小区间 上 近似不变，即把 上的立体薄片近似看作
.
③写出积分表达式，即
.
⑶求由两条曲线 ， 及直线 所围成平
面图形（如图）的面积.
{
这里取 为积分变量， ，
用类似 (2)的方法可以推出：
.
（2）极坐标系下面积的计算
设曲边扇形由极坐标方程 与射线 所围成（如图所示）.下面用微元法求它的面积A.
以极角 为积分变量，它的变化区间是 ，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为 ，中心角为 的圆扇形的面积，从而得面积微元为
（1）直角坐标系下面积的计算
(1)由曲线 和直线 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.
(2)求由两条曲线 ， 及直线 所围成平面的面积 （如图所示）.
下面用微元法求面积 .
…
①取 为积分变量， .
②在区间 上任取一小区间 ，该区间上小曲边梯形的面积 可以用高 ，底边为 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素
（3）写出所求量 的积分表达式 ，然后计算它的值.
利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法.
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注 能够用微元法求出结果的量 一般应满足以下两个条件：
① 是与变量 的变化范围 有关的量；
② 对于 具有可加性，即如果把区间 分成若干个部分区间，则 相应地分成若干个分量.
2、定积分求平面图形的面积
①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用 把原积分变量 换成新变量 ，积分限也必须由原来的积分限 和 相应地换为新变量 的积分限 和 ，而不必代回原来的变量 ，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.
②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.
2、定积分的分部积分法
设函数 和 在区间 上有连续的导数，则有
.
上述公式称为定积分的分部积分公式.选取 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.
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四、定积分的应用
1、定积分应用的微元法
为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A的方法和步骤：
(1)将区间 分成 个小区间，相应得到 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为 ；
于是，所求曲边扇形的面积为 .
&
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3．定积分求体积
(1)旋转体的体积
旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.
设旋转体是由连续曲线 和直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成（如图）.
取 为积分变量，它的变化区间为 ，在 上任取一小区间 ，相应薄片的体积近似于以 为底面圆半径， 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为
为底， 为高的柱片，从而得
,
到体积元素 .
于是该物体的体积为
.
类似地，由曲线 和直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成（如图），所得旋转体的体积为
.
4、平面曲线的弧长
分类
(
公式
直角坐标
设 为光滑曲线，则在 弧段上弧长为：
（
参数方程
若光滑曲线由参数方程 给出，则曲线弧弧长为：
?
极坐标
若曲线弧由极坐标方程 给出，且 上具有连续导数，则曲线弧弧长为：
定积分知识总结
一、基本概念和性质
（1）定义
}
二、微积分基本公式
1、积分上限函数及其导数
定义：设函数 在区间 上连续，对于任意 ， 在区间 上也连续，所以函数 在 上也可积.显然对于 上的每一个 的取值，都有唯一对应的定积分 和 对应，因此 是定义在 上的函数.记为
， .
称 叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.