第10课时函数与方程

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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
方法二：设 y1＝2x，y2＝2-x3，在同一坐标系中画出两函数的 图像如图所示，在区间(0，1)内，两图像的交点个数即为 f(x)的 零点个数．故函数 f(x)在区间(0，1)内有且只有 1 个零点．
【答案】 B
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【答案】 C
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x2-2，x≤0，
(2)函数 f(x)＝
的零点个数是______Βιβλιοθήκη Baidu_．
2x-6+lnx，x>0
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【解析】 当 x≤0 时，由 x2-2＝0 得 x＝- 2；当 x>0 时，f(x) ＝2x-6+lnx 在(0，+∞)上为增函数，且 f(2)＝ln2-2<0，f(3)＝ln3>0， 所以 f(x)在(0，+∞)上有且只有一个零点．综上可知，f(x)的零点 个数为 2.
(
1 2
)x.
令
g(x) ＝ |log0.5x| ， h(x) ＝
(21)x，作 g(x)，h(x)的图像如图所示．因为两个函数图像有两个交
点，所以 f(x)有两个零点．
【答案】 B
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★状元笔记 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解 就有几个零点．
函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图像与 x 轴有交点⇔ 函数 y＝f(x)有零点．
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函数零点的判断 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲 线，并且有 f(a)·f(b)<0．那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点， 即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是 连续的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像和性质(如单 调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图像，看其交点的个数有几个，其中交点的横 坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
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★状元笔记 此类题的解法之一是将 f(x)＝0，拆成 f(x)＝g(x)-h(x)＝0，画 出 h(x)与 g(x)的图像，从而确定方程 g(x)＝h(x)的根所在的区间．
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点？
思考题 2 (1)f(x)＝sinx+2x 在 x∈[-π6 ，π6 ]内是否存在零
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(3)计算 f(x1)； ①若 f(x1)＝0，则 x1 就是函数的零点； ②若 f(a)·f(x1)<0，则令 b＝x1，(此时零点 x0∈(a，x1))； ③若 f(x1)·f(b)<0，则令 a＝x1，(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)～(4)．
(2)函数 f(x)＝2x|log0.5x|-1 的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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【解析】 函数 f(x)＝2x|log0.5x|-1 的零点也 就是方程 2x|log0.5x|-1＝0 的根，即 2x|log0.5x|＝1，
整
理
得
|log0.5x|＝
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ππ 【解析】 f(x)的图像在[- 6 ， 6 ]上连续不断． 且 f(x)单调递增． ∵f(-π6 )＝sin(-π6 )+2-π6 ＝-12+2-π6 >-12+2-1＝0，f(π6 )>0，∴f(x) 在[-π6 ，π6 ]内不存在零点． 【答案】 不存在零点
【答案】 (-∞，0)∪(1，+∞) 【讲评】 对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数 y ＝f(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数 y＝f(x)的图像和直 线 y＝a 交点的个数．
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(2)方程 log1(a-2x)＝2+x 有解，则 a 的最小值为________． 2
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(2)(2014·北京)已知函数 f(x)＝6x-log2x.在下列区间中，包含 f(x)
零点的区间是( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，4)
D．(4，+∞)
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【解析】 因为 f(1)＝6-log21＝6>0，f(2)＝3-log22＝2>0，f(4) ＝32-log24＝-12<0，所以函数 f(x)的零点所在区间为(2，4)，
3．函数 f(x)＝ex+3x 的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B 解析 由已知得 f′(x)＝ex+3>0，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(-1)＝e-1-3<0，f(1)＝e+3>0，因此 f(x)的零点个数是 1，故选 B.
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4．函数 f(x)＝ln(x+1)-2x的零点所在的区间是( )
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【解析】 函数 y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个 零点，由于 a<b<c，则 a-b<0，a-c<0，b-c<0，
因此 f(a)＝(a-b)(a-c)>0，f(b)＝(b-c)(b-a)<0，f(c)＝(c-a)(c-b)>0. 所以 f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即 f(x)在区间(a，b)和区间(b，c) 内各有一个零点． 【答案】 A
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6．下列函数图像与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零 点的是( )
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答案 C 解析 A，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选 C.
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授人以渔
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故选 C. 【答案】 C
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题型三 零点性质的应用
x3，x≤a，
(1)(2015·湖南，理)已知函数 f(x)＝
若存在实
x2，x>a.
数 b，使函数 g(x)＝f(x)-b 有两个零点，则 a 的取值范围是 ________．
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第 课时 函数与方程
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课前自助餐
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函数零点的概念 零点不是点！ (1)从“数”的角度看：即是使 f(x)＝0 的实数 x； (2)从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图像与 x 轴交点的横 坐标．
【答案】 D
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(2)若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的 两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(-∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，+∞)内 D．(-∞，a)和(c，+∞)内
A．(21，1)
B．(1，e-1)
C．(e-1，2)
D．(2，e)
答案 C 解析 因为 f(12)＝ln32-4<0，f(1)＝ln2-2<0，f(e-1)＝1-e2-1<0，f(2) ＝ln3-1>0，所以 f(e-1)f(2)<0，故函数的零点所在的区间是(e-1，2)．
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【答案】 2
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题型二 确定零点所在区间
(1)设函数 f(x)＝13x-lnx，则函数 y＝f(x)( ) A．在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点 C．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
【解析】 令 φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数 g(x)＝f(x)-b 有两个零点，即函数 y＝f(x)的图像与直线 y＝b 有两个交点，结 合图像可得 a<0 或 φ(a)>h(a)，即 a<0 或 a3>a2，解得 a<0 或 a>1， 故 a∈(-∞，0)∪(1，+∞)．
题型一 零点个数
(1)函数 f(x)＝2x+x3-2 在区间(0，1)内的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
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【解析】 方法一：∵f(0)f(1)＝(-1)×1＝-1<0，且函数在定 义域上单调递增且连续，∴函数 f(x)在区间(0，1)内有且只有 1 个零点．
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【解析】 方法一：令 f(x)＝0 得13x＝lnx.作出函数 y＝31x 和 y＝lnx 的图像，如图，显然 y＝f(x)在(1e，1)内无零点，在(1，e) 内有零点，故选 D.
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方法二：当 x∈(1e，e)时，函数图像是连续的，且 f′(x)＝31-1x ＝x3-x3<0，所以函数 f(x)在(1e，e)上单调递减．又 f(1e)＝31e+1>0， f(1)＝13>0，f(e)＝31e-1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e) 内．故选 D.
二分法的定义 对于在[a，b]上连续不断，且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通 过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
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用二分法求函数 f(x)零点近似值 (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε； (2)求区间(a，b)的中点 x1；
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2．方程 2-x+x2＝3 的实数解的个数为( )
A．2
B．3
C．1
D．4
答案 A 解析 构造函数 y＝2-x 与 y＝3-x2，在同一坐标系中作出它们的 图像，可知有两个交点，故方程 2-x+x2＝3 的实数解的个数为 2.故选 A.
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1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)函数的零点就是函数的图像与 x 轴的交点． (2)若函数 y＝f(x)，x∈D 在区间(a，b)⊆D 内有零点(函数图 像连续不断)，则 f(a)·f(b)<0. (3)二次函数 y＝ax2+bx+c 在 b2-4ac<0 时没有零点． (4)函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实根． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
思考题 1 (1)函数 f(x)＝|x|-cosx 在(-∞，+∞)内零点个数
()
A．0
B．1
C．2
D．无穷多个
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【解析】 求解方程|x|＝cosx 在(-∞，+∞)内根的个数问题， 可转化为求解函数 h(x)＝|x|和 g(x)＝cosx 在(-∞，+∞)内的交点个 数问题．h(x)＝|x|和 g(x)＝cosx 的图像如图所示．显然有两交点， 即原方程有且仅有两个根．
5．若函数 f(x)＝2ax2-x-1 在(0，1)内恰有一个零点，则实数 a
的取值范围是( )
A．(-1，1)
B．[1，+∞)
C．(1，+∞)
D．(2，+∞)
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答案 C 解析 当 a＝0 时，函数的零点是 x＝-1. 当 a≠0 时，若 Δ>0，f(0)·f(1)<0，则 a>1. 若 Δ＝0，即 a＝-18，函数的零点是 x＝-2，故选 C.
【解析】
若方程
log1(a-2x)＝2+x 2
有解，则(21)2+x＝a-2x
有解，
即14(21)x+2x＝a 有解，∵41(12)x+2x≥1，故 a 的最小值为 1.
【答案】 1
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