3.3梁的弯曲变形分析解析
弯曲变形的知识点总结
弯曲变形的知识点总结1. 弯曲变形的原理在弯曲变形中，受力物体会在外力作用下发生曲率变化。
这种变形通常由外力施加在物体表面上引起的应力产生。
在一根杆或梁上的外力，会在杆或梁上引起内力，这些内力会使杆或梁的横截面发生应力，从而引起曲率的变化。
弯曲变形的原理涉及到材料的力学性能、结构的形状和外力的作用方式等因素。
2. 弯曲变形的应用弯曲变形在实际生活和工程中有着广泛的应用。
例如，桥梁、建筑结构、汽车的悬挂系统、飞机的机翼等都会受到弯曲变形的影响。
了解弯曲变形的原理和规律，可以帮助人们设计更加稳定、安全的结构，提高工程的可靠性和安全性。
3. 弯曲变形的影响因素弯曲变形的大小和形式受到多种因素的影响。
如外力的大小和方向、材料的性能、结构的形状和支撑条件等都会对弯曲变形产生影响。
了解这些影响因素可以帮助人们更好地预测和控制弯曲变形，从而提高结构的稳定性和安全性。
4. 弯曲变形的测量和分析为了更好地探测和分析弯曲变形，人们开发了多种测量和分析方法。
如应变计、光栅光束测量技术和有限元分析等方法都可以帮助人们准确地测量和分析弯曲变形的情况，从而为工程设计和结构优化提供数据支持。
5. 弯曲变形的控制和减小为了降低弯曲变形对结构安全性的影响，人们采用了多种方法进行控制和减小。
如调整结构的形状、改变材料的性能、增加支撑和加固等方式都可以有效地减小弯曲变形的影响，提高结构的稳定性和可靠性。
6. 弯曲变形的研究进展随着科学技术的发展，人们对弯曲变形的研究也不断取得新的进展。
如新材料的开发、新技术的应用以及先进的模拟和分析工具的发展，都为弯曲变形的研究提供了新的思路和方法。
未来，人们可以进一步深入研究弯曲变形的机理和规律，为工程设计和结构优化提供更加科学的依据。
总之，弯曲变形是一种重要的物理现象，对工程结构的稳定性和安全性有着重要的影响。
了解弯曲变形的原理、应用和影响因素，可以帮助人们更好地设计和优化结构，提高工程的可靠性和安全性。
3.3梁的弯曲变形分析
解： 由公式
max
M max M max 2 Wz bh 6
可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。
例3：图示简支梁，受均布载荷作用，材
料的许用应力［σ］=10 MPa，校核该梁的 强度。
3.6kN/m
A B
240 120
5m
解：画弯矩图
剪力和弯矩的正负号规定
1.规定：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正
若为等强度矩形截面，则高为：
h( x )
6 M ( x) b[ ]
纯弯曲变形几何关系---线应变
中性层 距中性层为y变形前长度 距中性层为y变形后长度
纤维bb的线应变为
物理关系和应力分布
E E
y
计算正应力需要知道中性轴的位置 和中性层的曲率半径
静力学关系
dA 0
A
ydA M
A
dA 0
A
ydA ydA 0 ydA y A 0
c A A A
E
E
说明y有正负？
ydA M
A
M y dA M EI Z A
2
E
1
定义对z轴的惯性矩：I Z y 2 dA
A
My IZ
工程中以弯曲变形为主的杆件称为梁
梁弯曲的工程实例
F
F
FA
FB
P 栏杆
a
A 阳台梁
B
M e Pa
q P A B
桥式吊车
卧式容器
纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称 轴所构成的平。
平面弯曲 对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向
对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称 面内的曲线。
混凝土梁的破坏模式分析
混凝土梁的破坏模式分析一、引言混凝土梁是建筑结构中常用的梁型，其主要承受荷载是弯曲荷载和剪力荷载，因此在使用过程中可能会出现各种破坏情况。
本文将对混凝土梁的破坏模式进行分析，希望能够为相关工程师提供一些参考和借鉴。
二、混凝土梁的弯曲破坏1.1 弯曲破坏的原因混凝土梁在承受荷载时，由于外力作用，梁上会产生一定的弯曲变形。
当荷载达到一定程度时，混凝土梁就会发生弯曲破坏。
弯曲破坏的原因主要是由于混凝土受到弯曲力矩的作用，使得混凝土的压缩区和拉伸区发生破坏。
1.2 弯曲破坏的特点弯曲破坏通常发生在混凝土梁的底部，这是因为底部混凝土的受力最大，容易发生破坏。
在弯曲破坏之前，混凝土梁会发生一些预兆，如裂缝、变形等。
当荷载超过混凝土极限承载能力时，混凝土梁就会发生弯曲破坏。
弯曲破坏后，混凝土梁会出现明显的弯曲变形和裂缝。
1.3 弯曲破坏的防范措施为了避免混凝土梁的弯曲破坏，需要在设计和施工过程中做好以下几个方面的工作：（1）合理设计混凝土梁的截面形状和尺寸，使其能够承受设计荷载；（2）控制混凝土梁的受力状态，避免超过混凝土的承载能力；（3）采用合适的混凝土配合比和加固材料，提高混凝土梁的抗弯强度和韧性；（4）加强混凝土梁的质量控制，确保施工质量。
三、混凝土梁的剪力破坏2.1 剪力破坏的原因混凝土梁在承受荷载时，由于荷载作用点的位置不同，会使得梁的上下部分产生剪力。
当荷载达到一定程度时，混凝土梁就会发生剪力破坏。
剪力破坏的原因主要是由于混凝土受到剪力的作用，使得混凝土产生破坏。
2.2 剪力破坏的特点剪力破坏通常发生在混凝土梁的剪力传递区域，这是因为该区域受到的剪力最大，容易发生破坏。
在剪力破坏之前，混凝土梁会发生一些预兆，如裂缝、变形等。
当荷载超过混凝土极限承载能力时，混凝土梁就会发生剪力破坏。
剪力破坏后，混凝土梁会出现明显的剪切破坏面和裂缝。
2.3 剪力破坏的防范措施为了避免混凝土梁的剪力破坏，需要在设计和施工过程中做好以下几个方面的工作：（1）合理设计混凝土梁的截面形状和尺寸，使其能够承受设计荷载；（2）控制混凝土梁的受力状态，避免超过混凝土的承载能力；（3）采用合适的混凝土配合比和加固材料，提高混凝土梁的抗剪强度和韧性；（4）加强混凝土梁的质量控制，确保施工质量。
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力详解
剪切弯曲：横截面上既有剪力 又有弯矩。 纯弯曲：横截面上只有弯矩而 无剪力。
4
《化工设备设计基础》
3.3.1 纯弯曲时的变形现象与假设
1、变形现象 ① 两条横向线mm nn不再相互平行，而是相互 倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的轴线垂直。 ② 两条纵向线aa、 bb 变成 曲线 梁的轴线 内凹一侧的纵向线aa缩短了， 外凸一侧的纵向线bb伸长了。 中性层既不伸长也不缩短。
①纯弯曲 ( pure bending )
2
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
②横力弯曲
3
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲 ( pure bending )
横力弯曲 ( transverse load bending )
W I /y
Z z
max
14
《化工设备设计基础》
第三章 直梁的弯曲
3.1 平面弯曲的概念 3.2 直梁弯曲时的内力分析 3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力 3.4 截面惯性矩和抗弯截面模量 3.5 梁的弯曲强度计算 3.7 提高梁弯曲强度的主要途径 3.8 梁的弯曲变形与刚度校核
1
《化工设备设计基础》
3.3纯弯曲时梁横截面上的正应力
1.纯弯曲和横力弯曲
3.3.2 弯曲变形与应力的关系
4.弯曲应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明，当跨 度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。 危险点应力：
max
M max ymax Iz
Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为峰值的截面 ymax： 在指定的横截上，选择离中性轴最远的点
梁的弯曲变形1
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两
段建立弯矩方程。
28
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题
解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段 BC段
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
M2
x
3 4
FP x－FP
16
基本概念
梁的位移分析的工程意义
工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件 的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量 产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都 是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以 承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形， 吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的 效果。
41
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形
例题8-2
已知：简支梁受力
如图示，q、l、EI
均为已知。
求：C截面的挠度 wC ；B截面的转角 B
42
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题
解：1.将梁上的载荷变 为3种简单的情形。
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
用。
三种情形下，AB段梁 的曲率（1／）处处对应相
等，因而挠度曲线具有相同 的形状。但是，在三种情形 下，由于约束的不同，梁的 位移则不完全相同。
对于没有约束的梁，因 为其在空间的位置不确定， 故无从确定其位移。
14
基本概念
梁的位移分析的工程意义
弯曲变形知识点总结
弯曲变形知识点总结一、弯曲变形的原理1.1 弯曲应力和弯曲应变在外力作用下，梁或梁状结构会发生弯曲变形。
在梁上的任意一点，都会受到弯曲应力的作用。
弯曲应力是指由于梁在受力下产生的内部应力，它的大小和方向取决于梁的截面形状、受力方向和大小等因素。
弯曲应力与梁的截面形状呈二次关系，通常情况下，弯曲应力最大值出现在梁的截面中性轴附近。
随着梁的弯曲，材料内部会产生弯曲应变。
弯曲应变也是和梁的截面形状有关的，并且与弯曲应力呈线性关系。
弯曲应变可以用来描述梁在受力下的变形情况，对于计算梁的弯曲变形非常重要。
1.2 理想弹性梁的弯曲变形对于理想弹性梁而言，其弯曲变形可以通过弯曲方程来描述。
弯曲方程可以根据梁的几何形状和外力作用来得到，通过求解弯曲方程可以得到梁的变形情况。
理想弹性梁的弯曲变形遵循胡克定律，即弯曲应力和弯曲应变成正比。
1.3 破坏弯曲当外力作用到一定程度时，梁会发生破坏弯曲。
在破坏弯曲阶段，梁的抵抗力不足以克服外力作用，导致梁发生不可逆的变形。
在此阶段，梁的弯曲应力和弯曲应变将迅速增大，直至梁失去稳定性。
二、弯曲变形的计算方法2.1 弯曲方程弯曲方程是描述梁弯曲变形的重要工具，可以根据弯曲方程来求解梁的弯曲应力和弯曲应变。
通常情况下，弯曲方程是一种二阶微分方程，需要求解出合适的边界条件，才能得到梁的变形情况。
弯曲方程的求解与梁的截面形状直接相关，对于不同形状的梁，需要采用不同的弯曲方程。
2.2 梁的截面性质对于计算梁的弯曲变形而言，了解梁的截面性质非常重要。
梁的截面性质包括截面面积、截面惯性矩等参数，这些参数会直接影响弯曲方程的求解。
在实际工程中，可以通过截面性质来选择合适的梁截面形状，以满足结构设计的需求。
2.3 数值计算方法为了解决复杂梁的弯曲变形问题，通常需要采用数值计算方法。
数值计算方法可以通过数学模型来描述梁的变形行为，然后通过计算机仿真来得到梁的变形情况。
在工程实践中，有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以对复杂结构的弯曲变形问题进行有效求解。
第四章梁的弯曲详解
FQ
F yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一 侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心 的力矩的代数和。即：
例题4 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
FAy
FBy
1 2
ql
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
FAy
qx
1 2
ql
qx
M (x)
FAy x
1 9x2 2
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
三、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数
梁的剪力方程 FQ=FQ (x) 梁的弯矩方程 M=M(x)
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
四、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于 梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表 示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定 正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴 的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上 侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题3 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x) F (0 ≤ x ≤ l )
M (x) Fx (0≤x ≤ l)
5-3 梁的弯曲变形
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的挠度方程、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x ) P ( x L)
2）写出微分方程并积分
EIw" M ( x) P( L x)
1 P( L x ) 2 C 2 1 EIw P( L x)3 Cx D 6 EIw
4）根据强度条件和刚度条件选择工字钢 由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面模量 Wz=3.09xl0-4m3 ，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见选择22a工字 钢作梁能同时满足强度和刚度要求。
§5-3 梁的弯曲变形
六、提高梁弯曲刚度的措施
梁的弯曲变形与梁的弯曲刚度EI、约束条件、梁的跨度 以及梁所受载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以 提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】按载荷叠加法求A点转角和C点挠度。
解：
1）载荷分解如图
§5-3 梁的弯曲变形
2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。
AP Pa 2 4 EI
wCP
Aq
Pa3 6EI
qa3 3EI 5qa 4 24 EI
wCq
3）叠加得到总变形。
5）最大挠度及最大转角
wmax PL3 w( L) 3EI
max
PL2 ( L) 2 EI
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
P( x a) M ( x) 0 (0 x a) (a x L )
梁的弯曲变形
第7章-梁的弯曲变形(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第7章 梁的弯曲变形与刚度梁弯曲变形的基本概念7.1.1 挠度在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。
梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。
在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。
挠曲线的曲线方程：)(x w w = （7-1）称为挠曲线方程或挠度函数。
实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。
必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。
7.1.2 转角梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。
转角随梁轴线变化的函数：)(x θθ= （7-2）称为转角方程或转角函数。
图7-3 梁的转角)(x 图7-2梁的挠曲线由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。
所以有：xx w d )(d tan =θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有：xx w x d )(d )(=θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。
一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。
需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。
梁的弯曲(应力、变形)
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的弯曲变形
座处的截面上y=0，固定端的截面上θ=0，y=0；二是根据整个挠曲线
的光滑及连续性,得到各段梁交界处的变形连续条件。
梁的弯曲变形
1.3 用叠加法求梁的变形
由于简单荷载作用下的挠度和转角可以 直接在表8-1中查得,而梁的变形与荷载呈线 性关系,因此,可以用叠加法求梁的变形。即 先分别计算每种荷载单独作用下所引起的转 角和挠度,然后再将它们代数叠加,就得到梁 在几种荷载共同作用下的转角和挠度。
2. 用积分法求梁的变形
对于等截面梁,EI=常数,式(8-23)可改写为
EIy″=-Mx
积分一次，得
EIθ=EIy′=-∫Mxdx+C
(8-24)
再积分一次,即得
EIy= -∫ ∫ Mxdxdx+Cx+D
(8-25)
式(8-24)、式(8-25)中的积分常数C和D,可通过梁的边界条件来决定。
边界条件包括两种情况：一是梁上某些截面的已知位移条件，如铰链支
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
【例8-5】
图8-26
梁的弯曲变形
工程力学
为了得到挠度方程和转角方程,首先需推出一个描述弯 曲变形的基本方程——挠曲线近似微分方程。弯曲变形挠曲 线的曲率表达式为
(8-22) 式(8-22)为研究梁变形的基本公式,用来计算梁变形后中 性层(或梁轴线)的曲率半径ρ。该式表明：中性层的曲率1ρ 与弯矩M成正比,与EI成反比。EI称为梁的抗弯刚度,它反映了 梁抵抗弯曲变形的能力。
2. 转角
梁的弯曲变形
梁变形时,横截面还将绕其中性轴 转过一定的角度,即产生角位移,梁任一 横截面绕其中性轴转过的角度称为该截 面的转角,用符号θ表示,单位为rad,规定 顺时针转为正。例如,图8-24所示的C处 截面的转角为θC。
梁弯曲知识点总结
梁弯曲知识点总结一、弯曲概念在物理学和工程力学中，弯曲是指在材料受到外力作用下，产生一种曲率变化的变形形式。
在梁的情况下，当梁受到外部载荷作用时，梁将发生一种曲率变化，即梁的一部分受到压力而另一部分受到拉力，使得梁产生一种弯曲的变形形式。
梁的弯曲是梁理论研究的重要内容之一。
二、弯曲的原理梁的弯曲原理是由梁的弯矩和弯曲应力来描述的。
梁在弯曲时，横截面上的各个点受到的弯矩不同，由于弯矩的不平衡，在梁的上表面产生的张力，下表面产生的压力，产生了一种称为弯曲应力的内力形式。
弯曲应力的作用下，梁在弯曲的过程中产生了曲率变化，弯曲原理是用来描述梁在弯曲时的变形和内力情况的。
三、梁的弯曲方程梁的弯曲方程是用来描述梁在弯曲时的曲率和弯矩之间的关系的。
梁的弯曲方程可以通过力学原理和材料力学原理来推导出来。
梁的弯曲方程可以用来计算梁在受载时的弯曲变形和各个截面上的应力情况，对于工程结构的设计和分析具有非常重要的意义。
梁的弯曲方程通常包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形方程：描述梁在弯曲时产生的曲率变化和曲线形状；2.梁的弯矩方程：描述梁在受力状况下产生的弯矩大小和分布情况；3.梁的弯曲应力方程：描述梁在弯曲状况下产生的应力大小和分布情况。
梁的弯曲方程是梁理论的核心内容，对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。
四、梁的弯曲理论梁的弯曲理论是研究梁在受载时的弯曲变形和内力情况的理论。
梁的弯曲理论是以弹性理论和材料力学为基础的，通过对梁在弯曲时的力学原理和材料力学原理进行分析和推导，得出了梁在弯曲时的各种数学模型。
梁的弯曲理论可以应用于工程结构的设计和分析中，能够比较准确地描述梁在受载时的变形和内力情况，为工程结构的安全和稳定性提供理论依据。
梁的弯曲理论包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形分析：描述梁在受载时产生的形状和曲率变化；2.梁的弯曲应力分析：描述梁在受载时产生的应力大小和分布情况；3.梁的弯曲挠度分析：描述梁在受载时产生的挠度大小和分布情况；4.梁的弯曲裂缝分析：描述梁在受载时产生的裂缝情况。
弯曲变形分析word版
第六章弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。
本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。
6.1 梁的内力●梁的概念当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。
以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。
在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。
图6–1 梁图6–2 对称弯曲在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。
在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。
它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。
图6–3 梁的约束图6–4 三类静定梁本章只讨论梁的对称弯曲。
图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。
在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。
图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。
这三种梁都是静定梁。
作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。
在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。
● 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。
具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。
例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷q ，在B 点处受矩为2qa M =的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。
解：设固定端的约束力和约束力偶为C R 和C M ，则由平衡方程00=-=∑qa R F C y ，qa R C =05.102=--⋅=∑C C M qa qa a m ，221qa M C = 以杆件左端为坐标原点，以B 为分界面，将梁分为AB 和BC 两段。
梁的弯曲变形应用原理
梁的弯曲变形应用原理简介梁是一种常见的结构元素，用于承受和传递载荷。
在实际应用中，梁常常会发生弯曲变形，这种变形有着重要的应用原理和工程意义。
本文将介绍梁的弯曲变形的应用原理，以及它在工程领域中的具体应用。
梁的弯曲变形原理当梁受到外部载荷作用时，其会发生弯曲变形。
梁的弯曲变形主要是由内力矩引起的，内力矩是梁截面上的剪力和弯矩引起的。
弯曲变形原理可以用以下几个要点来描述：1.梁撑杆法：梁在弯曲时，可以看做由无数撑杆组成的系统。
每个撑杆受到不同大小的拉伸或压缩力，整个梁发生的弯曲变形是各撑杆弹性变形的综合效果。
2.中性轴和截面旋转：梁弯曲时，存在一个中性轴，该轴是在截面内法线应力为零的位置。
梁在弯曲时，截面内部会发生旋转，上部受拉，下部受压，截面的变形呈现出弯曲的形态。
3.弯矩与曲率关系：梁的弯曲变形与弯矩和曲率有关。
弯矩是横截面上的合力矩，而曲率则是截面内部形成的曲线的曲率半径的倒数。
根据弯矩和曲率之间的关系，可以计算出梁的变形情况。
梁的弯曲变形应用梁的弯曲变形在工程领域中有着广泛的应用。
下面列举了梁的弯曲变形应用在不同工程中的具体案例：1. 建筑结构设计在建筑结构设计中，梁的弯曲变形是必须考虑的因素之一。
通过合理的梁的尺寸和形状设计，可以满足建筑物的结构强度和刚度要求，保证建筑物的安全性和稳定性。
2. 桥梁工程在桥梁工程中，梁的弯曲变形对于桥梁的承载能力和结构安全性影响重大。
通过分析梁的弯曲变形情况，可以确定桥梁的设计参数，保证桥梁承受车辆和行人的荷载，确保桥梁的正常使用和运行。
3. 机械设计梁的弯曲变形在机械设计中也有着广泛的应用。
例如，在起重机设计中，梁的弯曲变形会导致起重机的运动效果失真，因此需要精确计算梁的弯曲变形，以确保起重机的稳定性和可靠性。
4. 航天器设计在航天器设计中，梁的弯曲变形是非常重要的考虑因素。
航天器需要承受巨大的重力和惯性力，梁的弯曲变形对于航天器的结构强度和稳定性至关重要。
梁的弯曲变形
案例三：工业厂房的弯曲变形
总结词
工业厂房在生产过程中，由于设备、货物等重量的影响，会产生弯曲变形，影响结构的稳定性。
详细描述
工业厂房在生产过程中，需要承受设备、货物等重量的影响。这些重量会导致厂房产生弯曲变形。如果变形过大， 将会影响厂房的正常使用和安全性。因此，对于工业厂房的弯曲变形问题，需要进行定期检测和维护，确保其正 常运转和安全性。
发展高效数值模拟方法
开发更精确、高效的数值模拟方法， 用于预测和控制梁的弯曲变形，为实 际工程应用提供指导。
优化梁的结构设计
基于对弯曲变形的深入理解，优化梁 的截面形状、尺寸和连接方式，提高 其承载能力和稳定性。
弯曲变形的未来发展趋势
跨学科交叉研究
加强与材料科学、物理学、计算科学等学科的交叉合作，引 入新技术和方法，推动梁的弯曲变形研究的发展。
04
梁的弯曲变形案例分析
案例一：桥梁的弯曲变形
总结词
桥梁在车辆、人群等外部载荷作用下， 会产生弯曲变形，影响结构的稳定性。
VS
详细描述
桥梁作为大型结构物，在长期承受车辆、 人群等外部载荷的作用下，会发生弯曲变 形。这种变形不仅会影响桥梁的美观性， 更严重的是会降低结构的稳定性，甚至引 发安全事故。因此，对于桥梁的弯曲变形 问题，需要进行定期检测和维修，确保其 安全性能。
梁的弯曲变形
• 梁的弯曲变形概述 • 梁的弯曲变形分析 • 梁的弯曲变形与结构安全 • 梁的弯曲变形案例分析 • 梁的弯曲变形研究展望
01
梁的弯曲变形概述
定义与类型
定义
梁的弯曲变形是指梁在受到外力 作用时发生的弯曲现象，导致梁 的轴线由直线变为曲线。
类型
根据弯曲变形的程度和性质，可 以分为弹性弯曲、塑性弯曲和脆 性弯曲等类型。
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算弯曲力学梁是结构工程中常见的构件，用于承受横向力和弯矩。
在设计和分析梁的弯曲变形和内力时，了解梁的性质和力学行为至关重要。
本文将介绍弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算的相关知识。
1. 梁的基本概念在讨论弯曲变形和内力计算之前，我们首先需要了解梁的基本概念。
梁是一种长条形结构，由材料制成，其主要作用是承受横向力和弯矩。
梁通常用于支撑和传递载荷，使得荷载能够安全地传递到地基或其他支撑结构。
2. 弯曲变形弯曲力学梁在受到横向力作用时会发生弯曲变形。
弯曲变形可分为弯曲线的形状变化和截面各点的位移变化两个方面。
2.1 弯曲线的形状变化当横向力作用于梁上时，梁会呈现出一条弯曲线。
这条弯曲线称为弯曲曲线，弯曲曲线的形状取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
常见的弯曲曲线形状包括凸曲线和悬臂曲线。
2.2 截面各点的位移变化在梁的弯曲过程中，截面上的各点将发生位移变化。
位移变化可分为纵向位移和横向位移两个方向。
纵向位移是指垂直于弯曲平面的位移，即梁的弯曲垂直方向的变形。
横向位移是指沿弯曲平面的位移，即梁的弯曲平面内的变形。
这些位移变化会导致梁的轴线发生曲率，截面上的各点相对于轴线发生旋转。
3. 内力计算在弯曲过程中，梁内部发生了一系列力的变化，包括弯矩、剪力和轴力。
这些内力是用来描述梁材料内部应力状态的。
内力计算是分析和设计梁结构的重要一步。
3.1 弯矩弯矩是梁内部发生的一对等大反向的力矩。
在弯曲力学中，弯矩是描述梁抵抗弯曲变形的重要参数。
弯矩的大小和分布取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
3.2 剪力剪力是梁内部横向力的一种表现形式。
在弯曲力学梁中，剪力是垂直于梁轴线的力，用来描述梁材料负责承受横向力的能力。
3.3 轴力轴力是梁内部沿轴线方向的力。
当梁受到纵向拉力或压力时，轴力将发生变化。
轴力的大小和分布取决于梁的受力情况。
4. 弯曲梁的弯曲变形和内力计算方法在实际工程中，我们可以通过解析法或数值计算法来计算弯曲梁的弯曲变形和内力。
梁的弯曲分析
梁弯曲变形—挠度和斜度的≈计算
挠曲线 梁弯曲变形后轴线在xy平面内变为一条曲线，称为 挠曲线。 挠度 挠曲线上横坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移， 成为挠度，用来量化梁弯曲变形后轴线弯曲变化情况，其表 达式为：w=f(x) 梁的横截面对原来位置转过的角度，其值为： 斜度 i ≈tani=w的导数 即挠曲线上任意一点的斜率都可以精确的代 替该点处横截面的转角。 由几何关系可以推到出 式中左端为w的二次导数，经过积分后可以分别得到斜度和挠 度的方程为：
等强梁的概念
连续梁的超静定结构问题
连续梁的刚度分析—三弯方程
L1
Ln
0
1
2
3
n-2
n-1
n
n+1
Mn-1
Mn
Mn
Mn+1
n-1
n
n+1
连续梁的刚度分析
在对连续梁做出了结构上的分解简化以后，利用应变的几何 变化，以及莫尔积分和力法计算后，可以得到连续梁的三湾 方程：连续梁三弯方程的个数等于其超静定的次数。
L/2 Fs F M x F/2 M F/2 Fs F/2 F
பைடு நூலகம்
x
LF/4 F/2
-F/2 L/2 L/2
梁弯曲的正应力和抗弯刚度
因为梁在承受静止负载时最主要的变形就是弯曲，则通常情 况下在分析梁受力变形时可以当作纯弯曲情况，可以忽略切 应力的影响。 变形几何关系 在纯弯曲梁中取一微段dx。变形前互相平行相 距dx的两个横截面变形后会形成一个角度为θ的夹角，OO代表 中性层，其弯曲后曲率半径为ρ，则设距离中性层y的纤维长 度bb变为b1b1 则线段的应变为：
式中Wn为跨度Ln中的弯矩图的面积，an为该弯矩图形心到左 端的距离，bn+1为形心到右端的距离。对于各个分解后的简 支梁来说很容易就能求出以上几个参数。再对三弯方程组求 解，便可以求出M0~Mn,则连续梁所有跨度的受力情况都为已 知，则可以把它们看成是n个静定梁，按照以前的方法进行分 析即可。
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3
公式适用条件：
1）符合平面弯曲条件(平面假设，横截面具有一对称轴） 2）p(材料服从胡克定律）
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，
使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于5时，剪应 力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此 由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的 梁中，误差不超过1%。
推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短， 下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维 既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵 向纤维层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴
中性轴 中性层
中性层
2）正应力计算公式及分布规律
在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任 意一点的正应力为 ：
My IZ
横力弯曲时，弯矩不再是常量。
M ( x) y Iz
二、梁的正应力强度条件及应用
强度条件：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不 超过材料的许用弯曲应力，即
max
M max Wz
M—危险截面处的弯矩（N.mm） Wz—危险截面的抗弯截面模量（mm 3 ）
—材料弯曲许用应力
(Mpa)
对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不 同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力 两个数值。强度条件为：
max
max
请注意：梁的最大工作拉应
力和最大工作压应力有时并不 发生在同一截面上。
一般情况下，许用弯曲正应力比许用拉(压)应力 略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力 外，其余各处应力较小。而轴向拉(压)时，截面上 的应力是均匀分布的。
梁发生平面弯曲时，横截面上一般产生两种 内力，即剪力和弯矩。
d A dA
dA
dA FS dA M M FS
dA M dA FS
在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成
弯矩M，只有切向内力元素d FS =τdA才能合成剪力 FS
• 在横截面上，只有弯矩M，没有剪 力Fs，这种弯曲称为纯弯曲； • 横截面上同时有弯矩M和剪力Fs， 这种弯曲称为横力弯曲。
解： 由公式
max
M max M max 2 Wz bh 6
可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。
例3：图示简支梁，受均布载荷作用，材
料的许用应力［σ］=10 MPa，校核该梁的 强度。
3.6kN/m
A B
240 120
5m
解：画弯矩图
剪力和弯矩的正负号规定
1.规定：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正
l
解： max 1
M max 1 Wz 1 M max 2 Wz 2
P1l 2 bh 6 P2 l 2 hb 6
P1 h P2 b
max 2
由 max 1 max 2 [ ] 得:
例2：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度
减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁 的承载能力将是原来的多少倍？
Iz Wz y max
Wz 抗弯截面系数
max
M y max M IZ WZ
Iz Wz y max
Wz 抗弯截面系数
Iz D3 圆环 Wz (1 4 ) ymax 32
2 Iz bh 矩形 Wz y max 6
Iz D 圆形 — Wz ymax 32
工程中以弯曲变形为主的杆件称为梁
梁弯曲的工程实例
F
F
FA
FB
P 栏杆
a
A 阳台梁
B
M 车
卧式容器
纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称 轴所构成的平。
平面弯曲 对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向
对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称 面内的曲线。
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
M y Iz
3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。
横截面上的最大正应力： M y2 M y1 max max IZ IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 y max
max
max
max
2.从梁的变形角度
剪力： 顺时针为正 逆时针为负 弯矩： 上凹为正 下凹为负
M max
1 2 1 2 ql 3.6 5 11.25(kN m) 8 8
bh2 120 2402 WZ 115.2 104 (mm3 ) 6 6
利用强度条件可以进行三方面的强度计算：
1、已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁 的强度。
2、已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截 面尺寸。 3、已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。
例1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用
应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯 曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
项目三 材料力学基础
任务一 任务二
材料力学基本认识 应力分析
任务二
§ 2–1 § 2–2 § 2–3 § 2–4 § 2–5
应力分析
构件轴向载荷分析 梁的弯曲变形分析 圆轴扭转变形强度分析 剪切与挤压 任务小结
§2-2
梁的弯曲变形分析
一、弯曲正应力
工程上使用的直梁的横截面一般都有一个或 几个对称轴。
1）弯曲变形特征 梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面， 并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕 某一轴旋转了一个角度。
m
m a
b
n a
b
m
m m m
n n m
m
n
观察到以下变形现象:
(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长
(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为 弧线的aa，bb垂直 (3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸 长。
单位为M Pa
MM-和y截面上的弯矩 均以绝对值代入，至于弯曲 (N.mm) 正应力是拉应力还是压应力，则 y--计算点到中性轴距离(mm) 由欲求应力的点处于受拉侧还是 4 受压侧来判断。受拉侧的弯曲正 Iz--横截面对中性轴惯性矩 mm 应力为正，受压侧的为负。
推导过程
1）沿y轴线性分布，同 一坐标y处，正应力相 等。中性轴上正应力为 零。