阶跃与渐变折射率光纤的波动

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• 将TE模(Ez=0,Hz≠0)和TM模(Ez≠0, Hz=0)的纵向场分量情况代入(315)式～(3-18)式，即可得到如下两组横模情况的横向场分量计算公式。
• TE
•
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3.1 与模式概念
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3.1 与模式概念
即transverse electromagnetic mode)，横电模(transverse
electric mode,TE)，横磁模(transverse magnetic mode,TM模)，
以上统称“横模”；混合模(又称hybrid mode)，包括模HE和EH模。
• 上述各种模的纵向场分量情况如表3-1所示。
• βt（kx）称为“横向位相常数”、“横向波数”或“横向传输常数”。它反映芯中光波能量向包层的横向辐射损失。β=kz与βt=kx的表示如图3-1所示。将(3-14)式代入(3-13)式，则有：
•
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3.1 与模式概念
• 上述以纵向场分量表示横向场分量的公式组表明，如果知道纵向场分量Ez、Hz，则代入上述各式可求出Ex、Ey、Hx、Hy。为此，必须进一步建立求解纵向场分量Ez、Hz
第3章阶跃与渐变折射率光纤的波动理论分析
• 本章导读 • 3.1 阶跃折射率光纤的波动理论分析与模式概念 • 3.2 渐变折射率光纤的标量近似理论分析
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本章导读
• 在第2章中运用光线理论与方法分析了阶跃光纤与渐变折射率光纤的传播规律与特性。但应指出，光线光学的分析研究方法是在λ→0条件下的一种近似处理方法，具有一定的局限性：它只适用于阶跃多模光纤，对渐变折射率多模光纤则近似程度较差，而对单模光纤则完全不适用；尤其是无法进行多模光纤中的模式理论分析，获得有关模的概念。本章将运用波动理论即求解波动方程的方法，对阶跃多模光纤进行系统的模式理论分析。这种分析方法不仅适用于阶跃多模光纤，而且适用于单模光纤。讨论中将首先从麦克斯韦、亥姆霍兹方程出发，导出圆柱坐标系的阶跃光纤(均匀波导)波动方程，进而在设定物理模型条件下，通过对纤芯与包层物理约束条件的具体分析，利用边界条件求解波动方程，获得与各特定本征值相联系的本征方程，进而进行阶跃光纤中存在的各种模式及其截止条件的系统分析。这种严格的求解方法与过程称为矢量解法。
• 将(3-17)式Hx和(3-18)式Hy值代入(3-12)③式中，化简整理并两端均
乘以
则得到
• 类似地，将(3-15)式Ex、(3-16)式Ey值代入(3-11)③式，并化简变换整理，得到：
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3.1 与模式概念
• (3-19)式和(3-20)式表明，Ez和Hz即电场和磁场两个纵向场分量是解耦的；另外，从(3-15)式到(3-20)式，可以解出电场和磁场的全部6个分量。求解中，首先利用(3-19)式和(3-20)式以及边界条件可以求解出纵向场分量Ez、Hz，进而利用(3-15)式～(3-18)式求出4个横向场分量。因而，波导中传输的各种模式，即各种电磁场分布状态即
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3.1 与模式概念
• 在介质各向同性、线性、无电荷电流存在的条件下，正弦稳态形式的矢量形式麦克斯韦方程组为：
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3.1 与模式概念
• 式中，对时间的微分t均以jω取代。若以电场量为代表，将(3-5)式展开，表为3个直角坐标分量，则有：
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3.1 与模式概念
波动理论分析的基础上，本章还对渐变折射率光纤进行了简要的标量近似理论分析，建立了传输常数的本征方程，并给出了传输模式的计算公式。
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3.1 与模式概念
• 3.1.1
• 对于阶跃型圆柱光纤中的波动方程，其表述与求解应采用圆柱坐标系更为合适。为此，首先应在建立直角坐标系波动方程的基础上，将其
• • 方程(3-19)式和(3-20)式亦可表为如下标量亥姆霍兹方程形式：
• 表示直角坐标系横截面上的二阶微分运算的拉普拉斯算子。
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3.1 与模式概念
• 根据电磁场6个分量(主要是纵向场分量Ez、Hz)具体情况的不同，可
将波导中传输的各种模式区分为如下几类：横电磁模(
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TEM模，
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3.1 与模式概念
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3.1 与模式概念
• 为导出以纵向(轴向)场分量表示横向场分量的表达式，将(3-11)②式
中的Hy值代入 (3-12)
-
jωμ，可解出如下横向电场分量Ex值：
• 式中，ω2με=k2，β=kz，因而可定义
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3.1 与模式概念
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本章导读
• 通过这一典型实例的分析，理解波动分析方法的精髓与过程；在实 • 际分析中，由于实用光通信等应用中的阶跃光纤，其芯与包层的折射
率差很小(通常Δ<<1)，即所谓“弱波导光纤”(weakly guiding fiber)，因而可作适当近似，从而使求解与分析大为简化。这就是标量近似解法，所得到的LPmμ • 应该指出的是，在用波动理论分析阶跃光纤时，最重要也是最基本的概念就是传导模或简称为“模”。所谓“模”乃是指，在求解表征光纤中光波的波动方程时，对应于能满足边界条件的各本征传输常数 (或称为“本征值”)的“本征解”所得到的波动电磁场分布状态；而
• 一、 • 设波导中存在如下形式的模式解：
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3.1 与模式概念
• 式中，z轴为光纤波导的纵轴，代表波导能量传输的方向；ω为光波的角频率；β=zk为传输矢量k的轴向分量，表示沿z方向的模式传输，称为“轴向位相常数”，或称“轴向传输常数”；E0、H0表示去掉 ejωt
• 在不考虑时间因子的条件下，上述模式解以复振幅形式表示应有：
• 由于光波沿z轴传输，为简化表示与运算，将沿z轴单位长度变化、即对空间量的偏微分表为如下形式：
• 将(3-8)式代入(3-7)式，则等式两端可表为：
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3.1 与模式概念
• 类似地，将(3-6)式按直角坐标分量展开，亦可表为：
• 比较(3-9)式和(3-10)式各自的等式两端，可写出各直角坐标分量对应的方程：