高中数学抽象思维在集合学习中的体现案例

集合是高中数学的第一章，在这一章中，我们开始学习集合，用集合符号、集合语言表达数学知识。面对较初中多很多的集合符号，有的学生不能正确理解它们的含义，在应用时出现一些错误。下面是集合间的基本关系中常见的一道题

例 已知集合}012|{},2,1{

2=-+-==a x x x B A ，若A B ⊆，求实数a 的取值 这道题考查了学生对集合包含关系的理解，以及一元二次方程的计算

在课本中给出了集合的包含关系：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆

对于A B ⊆这个条件，有的学生理解错误，误认为A B ⊆等价于（1）φ=B 或}1{=B 或}2{=B ，（2）}1{=B 或}2{=B 或}2,1{=B ，这些都是对集合包含关系这一概念理解不足， 造成（1）的错误，认为集合的包含关系是集合A 中的部分元素属于集合B ，两集合相等不具有包含关系，也是对课本在定义旁边给出的韦恩图的误解；造成（2）的错误，忽视了空集是任何集合的子集，所以我们对于概念的学习，抓住关键词：任何一个，另外对于特殊情形，不可忽视。

还有的学生对于集合符号的理解错误，如某学生给出的答案

A B ⊆Θ时集合B 有四种可能（1）φ=B ,（2）}1{=B ，（3）}2{=B ，（4）}2,1{=B ，

当φ=B 时，0)1(4)2(2<+--a ，解得2>a ；

当}1{=B 时，0121=-+-a ，解得2=a ；

当}2{=B 时，0144=-+-a ，解得1=a ；

当}2,1{=B 时，⎩

⎨⎧=-+-=-+-01440121a a ，无解 综上所述，实数a 的取值范围是}21|{≥=a a a 或

该生认为}1{

=B 与B ∈1是等价的，当}1{=B 时，的确有B ∈1，但}1{=B 表示集合B 中有且只有一个元素1，而B ∈1表示1是集合B 中的元素，而对于集合B 中是否还有其他元素未说明，也就是说，}1{=B 与B ∈1是不等价的，结合本题，求解一元二次方程，还要考虑判别式∆，正确解法如下：

法一、

A B ⊆Θ，∴集合B 有四种可能φ=B 或}1{=B 或}2{=B 或}2,1{=B ，

当φ=B 时，0)1(4)2(2<+--a ，解得2>a ；

当}1{=B 时，⎩⎨⎧=-+-=--=∆01210

)1(44a a ，解得2=a ；

当}4{=B 时，⎩⎨⎧=-+-=--=∆01440

)1(44a a ，无解；

当}4,1{=B 时，⎩⎨⎧=-+-=-+-01440

121a a ，无解

综上所述，实数a 的取值范围是}2|{≥a a

法二、A B ⊆时集合B 有四种可能（1）φ=B ,（2）}1{=B ，（3）}2{=B ，（4）}2,1{=B ， 当φ=B 时，0)1(4)2(2<+--a ，解得2>a ；

当B ∈1时，0121=-+-a ，解得2=a ，此时集合}1{

}012|{2==+-=x x x B ，满足A B ⊆2=∴a ； 当B ∈2时，0144=-+-a ，解得1=a ，此时集合}2,0{}02|{2==-=x x x B ，不满足A B ⊆； 当}2,1{=B 时，⎩⎨⎧=-+-=-+-01440

121a a ，无解

综上所述，实数a 的取值范围是}2|{≥a a

对于高中的学习，首先要重视对概念的学习，通过数学概念认识数学本质，其次重视数学语言的表达及应用，数学语言是符合语言，我们要通过数学符号表达我们的思想和认识，从而提高数学的抽象思维能力。