数的整除复习与整理
10、数的整除复习
10、数的整除复习第一章数的整除复习一、知识梳理（一）整数和整除：整除的条件：1、除数、被除数都是_______.2、被除数除以除数，商是_____，而且余数为_____.除尽的条件：1、除数、被除数不一定是____.2、被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且____为零.(二) 整数和整除的意义整数a 能整除整数b ，b 叫做a 的______,a 叫做b 的_______.(三) 能被2、5整除的数1.能被2整除的数的特征：个位上是____________的数.2.能被5整除的数的特征：个位上是_______的数.3.能被3整除的数的特征：各个位上数的___能被____整除，这个数就能被3整除.(四) 素数、合数与分解素因数1、素数：______________________________________________.2、合数：_______________________________________________.3、一个数的因数的个数是_____的，最小的因数是_____，最大的约数是_____.4、一个数的倍数的个数是_____的，最小的倍数是_____，没有最大的倍数.5、“1”即不是_____，也不是_____.(五)公因数和最大公因数1、若两数互素，那么它们的最大公因数就是_________.2、若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是____________.(六)公倍数和最小公倍数1、若两数互素，那么它们的最小公倍数就是_____________.2、若两数是倍数关系，那么它们的最小公倍数就是_________.二、课前热身1、在下列数中，-10，2，0，-77，8.3，21,100，21 自然数有_______________，整数有_____________.2、如果27÷3=9，那么________能被_______整除，_______是_______因数。
数的整除复习
数的整除复习一．知识梳理1、整数：“零”既不是正整数，也不是负整数 2、整除：整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
3、因数和倍数：归纳：一个数的因数是有限的。
一个数的倍数的个数是无限的。
一个数的因数通常是成对出现的。
最小的因数是1，最大的因数是它本身。
最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
4、区别除尽和整除：除尽：最后结果是一个有限数；整除：最后结果是一个整数。
5、偶数与奇数如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。
如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。
整数的分类⎩⎨⎧偶数奇数 整数正整数 零 负整数 自然数 条件： 除数、被除数都是整数 被除数除以除数，商是整数而且余数为零一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身定义：整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 因数（也称为约数） 一个整数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身 因数倍数6、能被2、3、5整除的数的特征：7、素数、合数：我们把只含有因数1如果除了1分解素因数的方法：8、公因数与最大公因数如果两个整数只有公因数19、公倍数和最小公倍数：例题解析例1、填空题（1）有一个直角三角形，两条直角边是两个质数，长度和是18分米，这个三角形的面积是( )平方分米。
（2）一堆苹果，已知比50个多，比70个少，把它们可以平均分成两堆，也可以平均分成三堆，还可以平均分成五堆，这堆苹果有（）个（3）六年级同学站队，每排5人多2人，每排6人多3人，每排7人则差2人，六年级学生人数不超过150人，那么他们应是( )人。
（4）某长途汽车站向北线每20分钟发一辆汽车，向南线每15分钟发一辆汽车，如果同时向两线发车，至少要经过( )分钟又同时发车。
巩固练习：（1）一盒铅笔可以平均分给2、3、5、6个小朋友，这盒铅笔最少有（）人。
（2）一筐梨，按每份2个梨分多1个，每份3个多2个，每份5个多4个，筐里至少有（）个梨。
《数的整除整理和复习》教学实录
《数的整除整理和复习》教学实录凤阳县实验小学李翠梅上复习课我深有体会，老师呱呱啦啦讲了一节课，自以为讲得“清楚、详细”，可效果并不怎样。
这种只重视把知识“塞”给学生，不重视学生获取、构建知识的过程的教学，表面上看省时省力，实质上剥夺了学生思考的主动权，违背了教学规律。
基于以上的认识，我对复习课的教法进行了大胆的尝试。
前不久我上了一节课，是人教版九年义务教育五年制小学教科书第十册第119、120页上的内容：“数的整除整理和复习”。
本节课是在学生已经掌握了“数的整除”基本概念的基础上进行教学的。
通过整理和复习，让学生自己将这一单元所学的知识“串起来”，以“知识点”组成“知识链”进而形成“知识网络”，构成一个完整的单元知识体系。
这节课的教学实录如下：一、创设情境师：今天，我们都来当一回小侦察员好吗?请听录音(破译密码：在一次行动中，我方侦察员截获了敌人的密码。
第一个数字是10以内的最大质数；第二个数字既有约数3，又是6的a倍数；第三个数字既不是质数，也不是合数；第四个数字既是质数，又是偶数；第五个数字是10以内既是合数，又是奇数的数)。
谁能破译密码，并说明你是怎么破译的?师：你们在破译密码的过程中，你们应用了哪几个概念?(学生边问答，师边出示卡片：质数，约数，倍数，合数，奇数，偶数。
)师：在数的整除这个单元之中，除了这6个概念，我们还学了哪些概念呢?学生边回答，我又边出示卡片(整除，质因数，互质数，分解质因数，能被2、5、3整除的数的特征，公约数，公倍数，最大公约数，最小公倍数)。
这个单元我们学了这么多概念，看一看老师的板书，你们感觉怎样?生：有点乱，不好记。
师：那这节课我们共同来把这些概念整理一下。
出示课题：数的整除整理和复习。
[说明：学习不是“授予”，而是儿童灵性在一定情境下的“激活”与“唤醒”。
这样的导入激发了学生应用数学知识探究和解决实际问题的强烈欲望。
]二、构建体系师：你们打算怎么整理?生1：我想画张表格，按概念产生的先后顺序把它们排在表格里。
数的整除整理和复习
如果 a 是 b 的倍数，那幺它们的最大公约数是（）最小公倍数是（） 。
（3）18 和 24 的最大公约数是（） ，最小公倍数是（） 。
四、全课总结，交流收获。
1、今天这节课我们复习了哪些概念？
2、这节课你最感兴趣的是什幺？
五、布置作业。
北师大版总复习 P41，第 11 题、第 12 题 P52、9 题。
教学过程：
一、结合情境，搜集概念。
师：今天一共有多少位同学来这里和老师一起学习？
生：40 位同学。
师：40 位同学又分 5 个学习小组，哪位同学能用数的整除的知识说说 40 与 5 的关系？
生：40 能被 5 整除。
生：5 是 40 的约数。
识之间存在什幺联系和区别呢？请同学们动手整理一下。
（2）对比交流。
抽一小组在黑板上整理，然后各小组表示。
师：通过展示，你们认为哪种观点有道理呢？
各小组进行了充分的讨论后，都说出了道理。
下面看到老师这里也有一个网络图。
师：通过网络图更清楚地知道，在整除的前提下产生了一对概念 倍数、 约数、倍数下面又产生了公倍数，最小公倍数的概念，约数下面又产生了公 约数，最大公约数的概念；从分析自然数的个数又引入了质数合数的概念； 能被 2、3、5 整除的数一定是 2、3、5 的倍数，从能被 2 整除的这个角度， 出现了奇数偶数概念。公约数只有 1 的两个数叫互质数，所以互质数与公约 数有联系。
生：40 和 5 的最小公位数是 40，最大公约数是 5。
师：刚才大家说的很好，说到了整除、倍数、最小公倍数、最大公约数， 同学们再想一想，在数的整除里，除了这几个概念外，我们还学习了哪些知
识呢？
数的整除知识点总结数的整除知识整理
数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。
2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。
3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。
4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。
a的因数包括1和a本身。
5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。
a的倍数包括0和任意正负整数。
6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。
7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。
8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。
9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。
质数只有两个因数，即1和该数本身。
10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。
合数有多个因数。
11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。
12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。
13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。
这些是数的整除的基本知识点。
数的整除知识梳理
第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。
2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。
除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。
2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。
☆整除是除尽的一种特殊情况。
1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。
a叫做b的因数。
☆倍数和因数是相互依存的。
1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。
素数：除1与本身外没有其他因数的数。
合数：除1与本身外有其他因数的数。
分解素因数用短除法。
（用等式些写结论，分解的书写在最前。
）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。
1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。
总结：一个整数正整数 零 负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。
1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。
2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大） 最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数） 偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数 合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。
（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。
数的整除知识点整理
数的整除知识点整理
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
数的整除整理复习
数的整除整理复习数的整除是小学数学中的一个重要内容，同时也是许多其他数学学科的基础知识。
在学习这一知识点时，需要掌握如何判断一个数是否能够被另一个数整除，并学会运用相关的计算方法，以便在实际问题中进行运用。
一、基本概念1.1 什么是整除一个整数a能被另一个整数b整除，是指存在另一个整数x，使得a = b × x。
用数学符号表示为：b | a (读作b整除a)，即b是a的因数（或因子），a是b的倍数。
例如，4 | 12，表示4是12的因数，12是4的倍数，即12能被4整除。
1.2 整数的因数和倍数一个整数可以被其他整数整除，这意味着这个整数可以被其他整数整除，这些整数就是这个整数的因数。
例如，正整数12的因数为1、2、3、4、6、12。
一个整数的倍数是指能够被这个整数整除的数。
例如，12的倍数有12、24、36，即任何正整数n × 12都是12的倍数。
1.3 两个以上整数的公共因数对于两个以上的整数，如果它们有一个共同的因子，那么这个因子称为它们的公共因数。
例如，20和30的公共因数是1、2、5、10。
如果两个数没有公共因数（除1以外），那么它们称为互质数。
二、整除的判定方法判定一个数是否能被另一个数整除，常用的方法有以下几种：2.1 因数分解法因式分解法是指将一个数分解为若干个质因数的乘积，然后将这个数的因子全部列出来，再判断这个数是否能够被给定的整数整除。
对于一个正整数n，若其能分解为若干个质因数的乘积，其表达式为n = p1^k1 × p2^k2 × ... × pn^kn，则它的所有因子为p1^i1 × p2^i2 × ... × pn^in，其中0 ≤ i1 ≤ k1, 0 ≤ i2 ≤k2, …, 0 ≤ in ≤ kn。
例如，判断72是否能被8整除，我们先将72分解为2^3 × 3^2，再列出72的所有因子为1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72，经过检查，发现8是72的一个因子，因此72能够被8整除。
如何上好复习课——《数的整除的整理和复习》教学案例
（ （
） ）
（ 多媒体 出示 ） 运动会 比赛场 面。出示信息 ： 班要 选１ 名 每 ２
运 动员 ， 我们六年级７ 个班共有多少名运动员参加 ？ 学 生 列 式 解 答 ： ２ ４ 名 ） ７Ｘ１ ＝８ （ 教师引导学生根 据算式 ， 说出７ １ 、４ 、２ ８ 相互之 问的关系。 ： 如 ７ １是８ 的约数 ；４ 和１ 的倍数 ，教师把概念 出示 在投影 和 ２ ４ ８ 是７ ２ 上， 并引导学生说 ｆ约数和倍 数的意义 。 ｆ Ｉ 学 生在教师创设 的有趣气氛 中学得非常积 极主动 。 除了 约数和倍数的概念 ，还可 以让学生 回想在 这个单元 中还学了哪 些概念。教 师根据学 生的 回答 ， 把概念一一 出示在投影 上。因 为， 这个单元的概念特别多 ， 显得杂乱无章。学生看 了之后 自然 而然的产生 了一个念头 ： 要把这些概念进行 系统 的梳理与分类 ， 使 自己对学习的概念形成完整 的知识 网络和 良好的知识结构 。 这样 ， 进入第二个学 习环节就水到渠成 了。
师： 同学们 。 我们 刚才谈到 了这么多概念 、 知识 ， 那么我们ａ， 多 少 ？ Ｈ － ｋ 不 能想办法根据它们 之间的联系给它们排顺序 ， 或建立表格 ， 或 电话号码是 ８ 位数 ：从左 面数第一位和第二位上 的数字相 画图， 使人 一看就 明白它们之间的关系 呢？ 等， 这个数 字既是 ｌ 以内的奇数又是 ｌ 以内的合数 ， Ｏ Ｏ 左面数第三
学生在小组 内讨论并 尝试 制作 ， 然后展示成果 ， 说明理 由， 最后 由其他小组进行评价 。 开始 ， 在汇报时 ， 每个小组整理 的内容 不够 完整 ， 形式 不 够 直观 。 过其它学生的补充 ， 通 评价之后 ， 小组的同学通过补充 、
一
整除的整理与复习
整除的整理与复习教学内容：北京市义务教育课程改革实验教材数学第五册第56页——65页内容教学目标：1、知识与技能：通过对数的整除整理和复习，使学生进一步理解、掌握数的整除的有关概念，并能做出明确的判断和区分，进一步完善知识间的联系，形成知识网络。
2、数学思考：思考知识间的内在联系3、解决问题：通过引导学生交流、讨论，提出问题、解决问题，培养学生归纳整理的能力及解决问题的能力；4、情感与态度：培养学生积极探索、团结协作的精神，使他们获得成功的体验通过多种形式的练习，使学生乐于参与数学活动。
教学重点：理解、掌握整除的有关概念；能被2、3、5整除数的特征；构建完整的知识网络。
教学难点：归纳整理，形成知识脉络。
教学过程一、引发矛盾，引入课题猜一猜：老师今年多少岁了？[投影]老师年龄数的十位上是3的最大约数，个位上的数字是7的最小的倍数。
你们说老师今年多少岁了？猜这个谜语，我们需要哪些数学知识呢？说得有理，我们学过有关整除的知识很多，就像刚才我们在猜谜时就用到了数的整除中的一些知识。
今天我们就一起来整理复习“数的整除”，板书：数的整除复习齐读课题，你想到什么？二、梳理知识，形成脉络（一）看书回顾数的整除这节内容有很多的概念需要大家正确理解。
下面请大家根据以下复习提纲各自看书回顾课本第56页——65页中的内容。
（可小组交流）1、这一节中都介绍了哪些知识？2、你还能理解这些知识吗？重点钻研不理解的地方。
3、在这些知识中，你认为最重要的是什么？为什么这样认为？（二）反馈交流1、谁来说一说这节内容中都介绍了哪些知识。
（根据学生的发言提示随意在黑板上贴出各个名词）2、下面老师给大家一个表现自己的机会，谁自告奋勇选择其中一个你最感兴趣的知识点向大家作一下解释。
3、选择你认为最难理解的知识点向大家作一下解释。
4、选择你认为最重要的知识点。
（整除）（指导：要找出最重要的概念，我们可以先找出这些知识间的联系，然后你就可以明白其中哪个知识点是最重要的。
《数整除复习》课件
下一步学习计划
深入学习数论中的其 他概念和定理，如质 数、合数、最大公约 数等。
尝试解决一些复杂的 数学问题，以提高自 己的数学素养和解题 能力。
通过阅读相关书籍和 论文，了解整除在数 学和其他领域的应用 。
2023-2026
END
THANKS
感谢观看
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REPORTING
综合练习题
总结词
整合知识、提升思维
详细描述
综合练习题是最具挑战性的题目，通常涉及多个知识点和解题技巧的整合运用。这些题 目旨在提高学生的思维能力和解决问题的能力，帮助他们将零散的知识点整合起来，形
成完整的数学知识体系。
PART 05
总结与回顾
本章重点回顾
01
02
03
整除的定义
如果一个数a除以另一个 数b得到的结果是整数， 那么我们说a能被b整除。
。
在几何中，整除的概念可以应用于解决 一些与图形和空间有关的问题。例如， 当我们需要计算一个图形的周长或面积 时，我们可以使用整除的方法来得到精
确的结果。
在日常生活中的应用
整除的概念在日常生活中也具有广泛的应用。例如，当我们需要将一个物品分成 若干等份时，我们可以使用整除的方法来计算每份的数量。
在商业中，整除的概念可以应用于计算折扣、优惠和促销活动。例如，当我们需 要计算商品的原价和折扣价格之间的差额时，我们可以使用整除的方法来得到精 确的结果。
在计算机科学中的应用
在计算机科学中，整除的概念也具有广泛的应用。例如，当 我们需要编写一个程序来处理整数时，我们可以使用整除的 方法来计算两个整数之间的商和余数。
在加密学中，整除的概念可以应用于一些加密算法的实现。 例如，RSA算法中就使用了整除的概念来生成公钥和私钥。
数的整除整理和复习
数的整除整理和复习数的整除，是小学数学的一项重要知识点。
本文将对整除的相关概念进行探讨和复习，并介绍整除在实际生活中的应用。
一、整除的基本概念整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是说，当两个数相除后没有余数时，则称这两个数满足整除关系。
符号表示为：a|b，即a能够整除b。
例如，2能够整除8，即2|8。
在整除的定义中，需要注意两个概念：除数和被除数。
其中，除数是指用来除的数，被除数是被除的数。
以2|8为例，2是除数，8是被除数。
除数和被除数都是整数，如果除数为0，则除数和被除数均为0才能满足整除。
因为任何数除以0，结果都无法确定。
二、整除的性质整除有以下性质：1.整数是自己的约数，即任何一个整数都能被1和自身整除。
2.如果a能够整除b，b能够整除c，则a一定能够整除c。
即，如果a|b，b|c，那么a|c。
3.如果a能够整除b，a能够整除c，则a也能够整除b+c。
即，如果a|b，a|c，那么a|(b+c)。
4.如果a能够整除b，那么a的倍数都能够整除b。
即，如果a|b，那么ka|b，其中k是任意整数。
5.如果a能够整除b且a能够整除c，那么a能够整除它们的最大公约数。
即，如果a|b，a|c，那么a|(b,c)，其中(b,c)表示b和c的最大公约数。
三、整除的规律在整除的运算过程中，还存在着一些规律。
1.奇数整除偶数，结果为偶数。
例如，3|6，结果为2。
2.偶数整除奇数，结果为奇数。
例如，6|3，结果为2。
3.能够被5整除的数，其末位数字必须是0或5。
4.能够被2和5同时整除的数，其末位数字必须是0。
5.能够被3和9同时整除的数，其各个数字的和也能够被3和9整除。
例如，63能够被3和9整除，因为6+3=9能够被3和9整除。
四、整除的应用整除在实际生活中有很多应用。
以下是其中一些例子：1.商场促销活动：商场在进行促销活动时，通常会给顾客发放优惠券。
例如，发放10元优惠券的条件为满100元减10元。
此时，如果顾客买了200元的商品，应该给顾客发放多少张优惠券呢？计算方法是：200÷100=2，即2张优惠券。
《数的整除》整理和复习
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30 15 15 5 6 3 1
12
40X
X
16、一个计算器的价钱是一节电池价钱的 40倍。小强买了一个计算器和3节电池， 一共花了77.40元。一节电池的价钱是多 少元？（列方程解）
一节电池的价钱是X元 解：设 一节电池的价钱是 元 。 40X + 3X= 77.4 43X=77.4 X=77.4÷43 ÷ X=1.8 一节电池的价钱是1.8元 答：一节电池的价钱是 元 。
质数： 质数： 2
3 3和4 和 4和7 和 7和9 和
7
合数： 合数： 4
9
12
互质数： 和 互质数： 2和3
2和7 2和9 和 和 3和7 和 4和9 和 7和12 和
（1）求18和24的最大公约数和最小公倍数。 说说它们的求法有什么相同和不同的地 方。
2 7 3 18 9 3 24 12 4
最大公约数： 最大公约数： 2 × 3 =
6 72
最小公倍数： 最小公倍数： 2 × 3 × 3 × 4=
（2）求4、6、10的最小公倍数。它的求法 与两个数的最小公倍数求法有什么不同？
2 4 2 6 3 10 5
2× 最小公倍数： 最小公倍数： 2 × 2× 3 × 5= 3 5 30 10 2 45 15 3
约 数
1、2、4 、 、 1、2、3、6 、 、 、 1、2、4、8 、 、 、 1、3、9 、 、 1、2、5、10 、 、 、 1、2、3、 、 、 、 4、6、12 、 、
自 然 数 1
约 数
1
2 3 5 7 11
1、2 、 1、3 、 1、5 、 1、7 、 1、11 、
一个数， 一个数，如果 只有1 只有1和它本身 两个约数, 两个约数,这样 的数叫质数。 的数叫质数
数的整除知识点整理
数的整除知识点整理数的整除是数学中基础而重要的概念之一，常常涉及到算术基本定理、欧几里得算法、最大公因数等其他基本概念。
本文将对数的整除知识点做一个简要的整理和总结，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、数的整除的定义在数学中，数的整除被定义为若存在整数q使得a=q*b，则b 被称为a的因数，a被称为b的倍数。
即b能够整除a。
例如，可以说9是3的倍数，因为存在一个整数q=3，使得9=3*3。
因此，3是9的因数，9是3的倍数。
需要注意的是，每个整数都能够被1和它自己整除，因此1和本身也是任何整数的因数。
二、整除的基本性质1. 除数不为0任何数都不能被0整除，即0没有因数，所以任何数除以0都是无意义的。
2. 唯一分解定理为了更好地理解整除，还需要知道数的分解定理。
唯一分解定理，也称为质因数分解定理，指出了任何大于1且不是素数的整数都能够唯一地分解成若干个质数的积。
例如，一个正整数20可以分解成2*2*5。
20的因数可以是1、2、4、5、10和20，而这些因数都是2和5的某种组合。
唯一分解定理是整除的基本性质，它保证了唯一性，即一组因数的乘积只能唯一地分解成若干个质数的积。
这个定理的证明常常采用归纳法的方法，其中用到了欧几里得算法等技巧。
3. 关于最小公倍数在整除中，还经常使用到最小公倍数的概念。
最小公倍数是指一个或多个整数的公共倍数中最小的那个，通常记为lcm(a,b)。
求最小公倍数的方法包括因数分解法、质因数分解法和倍数相减法等多种方法。
这些方法都采用了整除的基本性质，通过确定两个整数的公共因数和公共倍数，最终确定它们的最小公倍数。
例如，最小公倍数lcm(9,15)就是45，因为9和15的公共倍数有：45、90、135等，其中45是最小的。
三、深入了解整除的相关知识1. 余数和模在整除的基础上，还有进一步的概念需要了解，其中包括余数和模。
余数是指一个整数除以另一个整数所得到的余数，也称为“取余数”运算，其符号通常为“%”。
数的整除知识总复习
公倍数,最小公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数, 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍 数.
例:(12,24,36 …)都是4和6的公倍数,(12 )是4和6的最小公倍数.
互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.
你能举些 例子吗?
能被5整除的数的特征: 个位上是0或5
能被3整除的数的特征:各个位上的数字的和能被3整除
能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0
能同时被2,3,5整除的数的特征: 个位是0,而且各个位上的 数字的和能被3整除.
注意:有一些数能被7,9,11,13整除,但是不容易看出来, 这是大家在约分中容),a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数.
约数
一个数的约数的个数是有 限的,其中最小的约数是1, 最大的约数是它本身.
倍数
一个数的倍数的个数是无 限的,其中最小的倍数是它 本身,没有最大的倍数.
约数和 倍数是 相互依 存的
3. 能被整除的数的特征
能被2整除的数的特征: 个位上是0,2,4,6,8,
分解质因数的方法:短除法
把30分解质因数
2 30 3 15 5
30=2×3×5
把30分解质因数正确的做法是( C ) A.30=1×2 ×3 ×5 1不是质数 B.2 ×3 ×5=30 书写格式不符
C.30=2×3×5
7. 最大公约数和最小公倍数
公约数,最大公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数; 其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.
1. 整除与除尽
整除: 整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数, 我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.
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数的整除复习与整理
(发布：ylxxdx 来源：原创发稿时间：2008-4-25 阅读次数：223)
数的整除复习与整理
教学目标：
1、知识技能目标：了解“数的整除”中的概念，引导学生建构完整的知识体系。
2、过程性目标：通过学生独立思考、交流合作，让学生经历主动建构知识体系的过程，揭示概念之间的内在联系、渗透发展等数学思想。
3、情感态度目标；通过亲身参与探索实践活动，让学生获得积极的成功的情感体验，培养学生严谨的学习态度。
教学重点：归纳整理，形成知识网络。
教学难点：明确概念间的联系与发展。
教具学具：课件、卡片、信封等
教学过程：
一、创设情景：
1、科幻小故事
师：同学们，老师给大家讲一个科幻小故事：在28世纪的M星球上，宇宙神探亨利先生和他的同事们经过不懈的努力，终于破获了一桩特大盗窃案。
他们非常高兴，赶紧与失主联系，想不到失主是一位数学家，他在邮局注册了一个古怪的电话号码，让神探们一下子是“丈二和尚摸不着头脑”，同学们，你们想不想看看这个古怪的电话号码？
师：电脑演示。
ABCDEFG
A：只有约数1和7。
B：10以内既是奇数又是合数。
C：既是质数又是偶数。
D：既有约数5，又是5的倍数。
E：是2和3的最小公倍数。
F：既不是质数也不是合数。
G：最小合数的一半。
2、破译电话号码。
师：看了这个上面的资料，你们能不能帮助神探智破号码？
师生反馈校对（7925612）
3、老师想知道在破译电话号码过程中，你们应用了哪几个概念？（随着学生回答，出示卡片：质数，约数，倍数，合数，奇数，偶数。
）再想想在数的整除这个单元中，除了这些，我们还学了哪些概念呢？（根据学生回答继续贴纸条：整除，质因数，互质数，分解质因数，能被2、3、5整除的数的特征，公约数，公倍数，最大公约数，最小公倍数）
看了这些纸条，这样贴在黑板，你有什么感觉（很乱，乱七八糟……）我们可以有序的把这些概念整理一下，方便我们的记忆，这节课我们就来复习数的整除（出示课题：“数的整除”复习）
这个单元的这些概念既有联系，又有区别，相互之间可以联系成一个庞大的网络。
二、构建体系：
1、师：这个庞大网络的庐山真面目是什么呢？想不想你们自己来揭开这个庐山真面目？
2、小组合作
师：下面我们就来根据概念发展与它的含义，找到它们的联系，汇成网络，并思考为什么会有这样的联系？请大家以小组为单位，按照你们自己的想法，用手中的卡片和相应的线段在纸上制成一个网络，请在10分钟内完成。
如果有困难，别忘记蔡老师就在你们身边，当然，你们也可以打开课本寻求帮助。
明白了吗？开始行动！
学生小组合作，讨论概念之间的关系，参与其中一组的讨论。
3、交流汇报：
师：哪个小组愿意第一个为大家介绍你们的网络图，并说明为什么会有这样的联系？（根据学生回答作调控，沟通知识之间的联系）
问：这个小组找到了这样的联系并说明了为什么会有这样的联系，其他小组有什么问题向他们提出来吗？（通过其他小组质疑，调整网络图）经过全班同学的努力，我们发现了知识间的联系，并明确了为什么会有这样的联系。
在整除的前提下产生了一对概念――倍数、约数；倍数下面又产生了公倍数、最小公倍数的概念；约数下面又产生了公约数、最大公约数的概念；从分析自然数约数的个数，又引出了质数、合数的概念；从对合数的分解，引出了分解质因数、质因数的概念；能被2、3、5整除的数一定是2、3、5的倍数；从能否被2整除这个角度，出现了奇数、偶数的概念。
公约数只有1的两个数叫互质数，所以互质数与公约数有联系。
在这个网络中，沿着箭头的方向知识是发展的，沿着箭头的方向知识之间又是有联系的。
咦，老师有个问题想不明白了，刚才我们把自然数分成奇数和偶数两类，接下来又分成了质数、合数和1三类，这样行吗？其实这并不矛盾，就像我们人按性别怎样分？按年龄怎么分？因我们分类的标准不同，所以产生的结果也不同。
三、巩固应用。
1、找一找：谁是与众不同的数？
2、6、9、10．
（学生分别从质数、奇数、互质数、能被5整除的数等不同的角度找出2、6、9、10是与众不同的数，同时再次体会了“标准不同产生的结果也不同”这句话的含义。
）
2、猜猜我是谁？
请大家选择一个自己最感兴趣的数字，根据今天复习的内容编一个谜语，并请你的伙伴猜猜你选择的是哪个数？（如：它是最小的奇数型质数；它的最大约数和最小倍数都是3；它是最小质数与最小奇数的和。
）
四、课外作业：
1、破译密码：
请根据今天学得的知识，将你家的电话号码编一个密码，让你的同桌猜一猜。
2、说话练习：
用概念“说话”，请同学们从本单元中随便挑选其中一个或几个概念，说一句话。
五、总结
今天，同学们通过合作，复习了数的整除这部分的概念，并根据概念的发展找到了它们之间的联系，你们很了不起！像这种运用联系绘制网络图复习的方法是一种很好的复习方法，你们可以运用在今后的复习中。
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