空间向量法解决立体几何证明
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证明： 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
Eu u (u 0r,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)
u E u B u r(2,0,1)
E D (0,2, 1)
E
设r平面EBD的一个法向量是
u(x,y,1)
ru u u rru u u r 由 u E B u E D 0
得ur (1,1,1)
P A g n 0 P A n
而 P A 平 面 E D B A
D
所以 PA /， /平E 面 DB
X
C Y
B
练 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面相交于AD，点
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
求证：M N//平 面 CD E
3
3
F
N A
M B
(2) l / / ① a u a u 0 ；
r u
r a
α
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
rr r r
(3) / / ① u / /v u v.
r u
α
r v
β
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
数学专题二
利用空间向量解决立体几何问题
复习:
r
r
1.空间向量的数量积: 设 a ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 ,z 2 )
r r r r rr
agb|a|g|b|gcos
2. 向量的夹角:
a,b
x1x2y1y2z1rz2 ra
向量
rr a与b
的夹角记作:
rr a，b
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
二、垂直关系：
rr rr (1) lma b a b 0
l
r
a
r
b
m
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
rr r r
(2) la //u a u
l
r
r
u
a
C
A
B
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2), u u r u u r A E = ( - 3 , 3 , 3 ) , F G = ( - 2 , 2 , 2 )
uur AE
=
3
uur FG
uur uur AE// FG
2
D
AE与FG不共线
A
AE//FG
X
几何法呢？
EG
C
F
Y
B
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
rr
平面, 的法向r 量分r 别为r u, vr ，则 （3）u v u v 0
β
r u
r v
α
例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.
证 ：如图所示, 建立 Z
空间直角坐标系. A(6,0,0), P
P
E(0,1,1) B(1,1，0)
uuur DE
22 (0, 1,
1)
u u r DB=(1, 1， 0)
22
r
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1)
r u u u rr u u u r
D
则 n D E ,n D B A
于是12y120nr1,
xy0
1, 1X
E
C Y
B
二、 立体几何中的向量方法 ——平行关系
r r 22
平面C1BD的一个法向量是
r u u u r v C A 1 ( 1 , 1 ,1 )
uv0,
平面EBD 平面C1BD.
例3 正方体 AB C A 1B 1 D C 1D 1,E是AA1中点， 求证：平面EBD 平面C1BD.
证明2：
E
•
练 习四 棱 锥 P-ABCD 中 ,底 面 ABCD是 正 方 形 ,PD底 面 ABCD,G是 PB上 的 点 , 求 证 :平 面 GAC平 面 PDB
A1FO1E
Z
解：如图所示建立空间 O’
直角坐标系，设AF=BE=b.
C’
A1(a,a,a) F(0,ab,0)
B’ A’
O1(0,0, a) E(ab,a,0)
u u u u r
O
FA y
A 1 F ( a , b , a ) u u u u r
C
E B
O 1 E (a b ,a , a )
x
O P x O M y O A z O B ( 其 中 ， x y z 1 )
一.引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把与直线平行的向量都称为直线的方向向 量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1) 与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是
u u u r
z
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， 求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
C Y
A
G
B
X
解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
证明： 依 题 意 得 A (1 ,0 ,0 ),P (0 ,0 ,1 ),E (0 ,1 ,1 ),B(1,1，0)
证1：如图所示建立
Z
空间直角坐标系，设DC=1.
PB(1,1,1)
DE
(0,1 2
,1) 2
P
故 PB•DE01 21 20
E F
所以 PB DE
由已E知 FPB ,
且EF DEE, A
D
所P 以 B 平E 面 FD X
C Y
B
例 2. 四 棱 锥 P-A B C D 中 , 底 面 A B C D 是 正 方
4.向量的模长:
r 设 a(x,y,z)
|a r|a r2x 2 y 2 z2
rr 5.共面向量定ur 理:如果r 两r 个向量 a , b 不共线,则向量 p与向量 a共,urb面的充r要 r
条件是存在实数对x, y使 pxayb
r b
B
r
M aA
ur p
P
A
O
推论:
空 间存 四在 点唯 P一 、实M数、对A（ 、x B, 共y ） 面,使 得 u M u u P u r x u M u u A u r y u M u u B u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
rr
0 a， b
b
B
r b
r
a
cos
rr a， b
rr ragbr
O
x1x2y1y2z1z2
A
|a|g|b| x12y12z12 x22y22z22
3.有关性质: r
r
两r 非零r 向量rra ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b ( x 2 , y 2 , z 2 )
a b a g b 0 x1x2y1y2z1z20
Z
P
G
D A X
C Y
B
▪ 例4棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, ▪ D,E分别是AC,CC1的中点,求证: ▪ (1)A1E ⊥平面DBC1; ▪ (2)AB1 ∥ 平面DBCz1 A1
C1
A E
D C x
B1
B y
▪ 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则
E
D
C
练 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面相交于AD，点
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
求证：M N//平 面 CD E
3
3
F
E
N
A
D
M
B
C
几何法呢？
练习 棱长为a 的正方体 OA O B 'A 'B C 'C ' 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：
A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 ) B
A
y
x
2.平面的法向量 ▪ 与平面α垂直的向量叫做平面α的法向量.
n
α
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
2z 2z
0 0
x 2z
解得:
y
0
取z =1
得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0,0,0),P(0,0,1),
u u u u ru u u u r
uuuu r uuuu r
A 1FO 1E0 A1FO1E
A１FO1E
例 2. 四 棱 锥 P-A B C D 中 , 底 面 A B C D 是 正 方 形 ,
P D 底 面 A B C D ,P D D C ,点 E 是 P C 的 中 点 ,作 E F
P B 交 P B 于 点 F . (2)求 证 :P B平 面 E F D .
z A1 B1
D1 C1
A
A O
xB
y D
C
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,
设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),
那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)
uuur
uuuur
由O A1 =（-1，-1，2），O D 1 =（-1，1，2）
得: xx
y y
形 ,P D 底 面 A B C D ,P DD C ,点 E 是 P C 的 中 点 ,
作 E FP B 交 P B 于 点 F ,求 证 :P B平 面 E F D .
证2：
Z
P
E F
D
C Y
A B
X
例3 正方体 AB C A 1B 1 D C 1D 1,E是AA1中点， 求证：平面EBD 平面C1BD.
▪ A(-1,0,0), B(0, 3 ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2),
B1(0, 3 ,2), C1(1,0,2).
▪ ▪
设平x 3面2yzD0B0C解1的之法得向 x量y为02nz=(x,y,z)，,则
▪ 取z = 1得n=(-2,0,1)
▪ (1) A1E(2,0,1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
如何求平面的法向量
r ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
uu u r P A(1,0,1),
uuur DE(0,
1,
1)
22
wk.baidu.com
r
22
u u r Z DB=(1, 1， 0)
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1)
r u u u rr u u u r
P
则 n D E , n D B
于是12y120nr1, 1, 1
E
u u xu r r y0 u u u rr
例C(02,.0在, 2空) ,间试直求角平坐面标AB系C中的,一已个知法A向(3,量0,.0),nrB(0,4(,40,)3,, 6)
r 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
r uuur r uuur uuur
uuur
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
一. 平行关系：
rr r r
(1) l / /m a / /b a b ；
r
a
l
r b
m
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
r r rr
▪
(2) AB 1(1,
3,2) ,而
AB n =-2+0+2=0 1
▪ ∴AB1 ∥平面DBC1
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
▪ 练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
Eu u (u 0r,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)
u E u B u r(2,0,1)
E D (0,2, 1)
E
设r平面EBD的一个法向量是
u(x,y,1)
ru u u rru u u r 由 u E B u E D 0
得ur (1,1,1)
P A g n 0 P A n
而 P A 平 面 E D B A
D
所以 PA /， /平E 面 DB
X
C Y
B
练 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面相交于AD，点
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
求证：M N//平 面 CD E
3
3
F
N A
M B
(2) l / / ① a u a u 0 ；
r u
r a
α
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
rr r r
(3) / / ① u / /v u v.
r u
α
r v
β
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
数学专题二
利用空间向量解决立体几何问题
复习:
r
r
1.空间向量的数量积: 设 a ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 ,z 2 )
r r r r rr
agb|a|g|b|gcos
2. 向量的夹角:
a,b
x1x2y1y2z1rz2 ra
向量
rr a与b
的夹角记作:
rr a，b
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
二、垂直关系：
rr rr (1) lma b a b 0
l
r
a
r
b
m
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
rr r r
(2) la //u a u
l
r
r
u
a
C
A
B
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2), u u r u u r A E = ( - 3 , 3 , 3 ) , F G = ( - 2 , 2 , 2 )
uur AE
=
3
uur FG
uur uur AE// FG
2
D
AE与FG不共线
A
AE//FG
X
几何法呢？
EG
C
F
Y
B
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
rr
平面, 的法向r 量分r 别为r u, vr ，则 （3）u v u v 0
β
r u
r v
α
例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.
证 ：如图所示, 建立 Z
空间直角坐标系. A(6,0,0), P
P
E(0,1,1) B(1,1，0)
uuur DE
22 (0, 1,
1)
u u r DB=(1, 1， 0)
22
r
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1)
r u u u rr u u u r
D
则 n D E ,n D B A
于是12y120nr1,
xy0
1, 1X
E
C Y
B
二、 立体几何中的向量方法 ——平行关系
r r 22
平面C1BD的一个法向量是
r u u u r v C A 1 ( 1 , 1 ,1 )
uv0,
平面EBD 平面C1BD.
例3 正方体 AB C A 1B 1 D C 1D 1,E是AA1中点， 求证：平面EBD 平面C1BD.
证明2：
E
•
练 习四 棱 锥 P-ABCD 中 ,底 面 ABCD是 正 方 形 ,PD底 面 ABCD,G是 PB上 的 点 , 求 证 :平 面 GAC平 面 PDB
A1FO1E
Z
解：如图所示建立空间 O’
直角坐标系，设AF=BE=b.
C’
A1(a,a,a) F(0,ab,0)
B’ A’
O1(0,0, a) E(ab,a,0)
u u u u r
O
FA y
A 1 F ( a , b , a ) u u u u r
C
E B
O 1 E (a b ,a , a )
x
O P x O M y O A z O B ( 其 中 ， x y z 1 )
一.引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把与直线平行的向量都称为直线的方向向 量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1) 与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是
u u u r
z
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， 求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
C Y
A
G
B
X
解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
证明： 依 题 意 得 A (1 ,0 ,0 ),P (0 ,0 ,1 ),E (0 ,1 ,1 ),B(1,1，0)
证1：如图所示建立
Z
空间直角坐标系，设DC=1.
PB(1,1,1)
DE
(0,1 2
,1) 2
P
故 PB•DE01 21 20
E F
所以 PB DE
由已E知 FPB ,
且EF DEE, A
D
所P 以 B 平E 面 FD X
C Y
B
例 2. 四 棱 锥 P-A B C D 中 , 底 面 A B C D 是 正 方
4.向量的模长:
r 设 a(x,y,z)
|a r|a r2x 2 y 2 z2
rr 5.共面向量定ur 理:如果r 两r 个向量 a , b 不共线,则向量 p与向量 a共,urb面的充r要 r
条件是存在实数对x, y使 pxayb
r b
B
r
M aA
ur p
P
A
O
推论:
空 间存 四在 点唯 P一 、实M数、对A（ 、x B, 共y ） 面,使 得 u M u u P u r x u M u u A u r y u M u u B u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
rr
0 a， b
b
B
r b
r
a
cos
rr a， b
rr ragbr
O
x1x2y1y2z1z2
A
|a|g|b| x12y12z12 x22y22z22
3.有关性质: r
r
两r 非零r 向量rra ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b ( x 2 , y 2 , z 2 )
a b a g b 0 x1x2y1y2z1z20
Z
P
G
D A X
C Y
B
▪ 例4棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, ▪ D,E分别是AC,CC1的中点,求证: ▪ (1)A1E ⊥平面DBC1; ▪ (2)AB1 ∥ 平面DBCz1 A1
C1
A E
D C x
B1
B y
▪ 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则
E
D
C
练 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面相交于AD，点
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
求证：M N//平 面 CD E
3
3
F
E
N
A
D
M
B
C
几何法呢？
练习 棱长为a 的正方体 OA O B 'A 'B C 'C ' 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：
A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 ) B
A
y
x
2.平面的法向量 ▪ 与平面α垂直的向量叫做平面α的法向量.
n
α
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
2z 2z
0 0
x 2z
解得:
y
0
取z =1
得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0,0,0),P(0,0,1),
u u u u ru u u u r
uuuu r uuuu r
A 1FO 1E0 A1FO1E
A１FO1E
例 2. 四 棱 锥 P-A B C D 中 , 底 面 A B C D 是 正 方 形 ,
P D 底 面 A B C D ,P D D C ,点 E 是 P C 的 中 点 ,作 E F
P B 交 P B 于 点 F . (2)求 证 :P B平 面 E F D .
z A1 B1
D1 C1
A
A O
xB
y D
C
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,
设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),
那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)
uuur
uuuur
由O A1 =（-1，-1，2），O D 1 =（-1，1，2）
得: xx
y y
形 ,P D 底 面 A B C D ,P DD C ,点 E 是 P C 的 中 点 ,
作 E FP B 交 P B 于 点 F ,求 证 :P B平 面 E F D .
证2：
Z
P
E F
D
C Y
A B
X
例3 正方体 AB C A 1B 1 D C 1D 1,E是AA1中点， 求证：平面EBD 平面C1BD.
▪ A(-1,0,0), B(0, 3 ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2),
B1(0, 3 ,2), C1(1,0,2).
▪ ▪
设平x 3面2yzD0B0C解1的之法得向 x量y为02nz=(x,y,z)，,则
▪ 取z = 1得n=(-2,0,1)
▪ (1) A1E(2,0,1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
如何求平面的法向量
r ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
uu u r P A(1,0,1),
uuur DE(0,
1,
1)
22
wk.baidu.com
r
22
u u r Z DB=(1, 1， 0)
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1)
r u u u rr u u u r
P
则 n D E , n D B
于是12y120nr1, 1, 1
E
u u xu r r y0 u u u rr
例C(02,.0在, 2空) ,间试直求角平坐面标AB系C中的,一已个知法A向(3,量0,.0),nrB(0,4(,40,)3,, 6)
r 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
r uuur r uuur uuur
uuur
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
一. 平行关系：
rr r r
(1) l / /m a / /b a b ；
r
a
l
r b
m
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
r r rr
▪
(2) AB 1(1,
3,2) ,而
AB n =-2+0+2=0 1
▪ ∴AB1 ∥平面DBC1
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
▪ 练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.