机器人动力学

首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图5-1所示。
容易求得
x y
l1c1 l1s1
l2c12 l2s12
将其微分得
写成矩阵形式
图5-1 两自由度平面机械手
d dy x l1 lc 11 s1l2 lc 2s1122
l2s12 d1 l2c12d2
简写成 ： dx=Jdθ。
式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，反映了关节 空间微小运动dθ与手部（手爪）作业空间微小位移dx之间的关系。
式中：J (q) 是6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅
可比矩阵。
5.1.2机器人速度分析
dX J(q) dq 或
dt
dt
vJ(q)q
其中:v―机器人手部在操作空间中的广义速度，vX Ｊ(q)―速度雅可比矩阵
q ―机器人关节在关节空间中的速度
从上式可以看出，对于给定的关节变量q，雅可 比矩阵是从关节空间的关节速度向操作空间的广义 速度映射的线性变换。
对机器人通过奇异位形时轨迹控制方法的研究可以大致分为 如下四种方法:
1)回避机器人操作器的奇异位形
预测奇异位形的可能出现位置,并避免它。理论上对给定的 机器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可找到 它的奇异位形。
2)根据机构的各向同性原理设计机器人操作器
通过设计上的优化，能使得机器人机构在一个比较大的区域 内保持各向同性，即在各个方向的可能误差和施加的力都是 相同的。
工作域边界上的奇异：这种奇异位形出现在机器人 的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手 臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不 是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边 界即可。
工作域内部奇异：这种奇异位形出现在两个或多个 关节轴线重合时，这种奇异位形很难处理，因为它 可能出现在工作区的任何位置，并且机器人的末端 执行器在这种奇异位形附近的可操作性会变坏，这 样极大的减少了机器人的可行区。
则称 A+ 是A的伪逆矩阵。
5.2 机器人的静力学
0F[F x,Fy]T
存在怎样的关系
(1,2)
(f,)
y0
2
1
x0
5.2.1静力和静力矩的表示
用矢量 f 来标记力，用 fx, fy , fz表示对于所定义坐标系各轴x,y,z
的分力。用矢量 来标记力矩，以 x, y,z表示作用于任何定义
的坐标系（而不是基坐标）各轴的分力矩。
机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表
示，是关节变量的函数 X x ,y,z,x,y,zT是n个关节变量的函数
，可写成： XX(q)，并且是一个6维列矢量。
d X [d,d X ,d Y , Z x,y, z]T
反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小
角位移(微小转动)组成。可写为 dXJ(q)dq
3)利用降秩雅可比矩阵求近似反解
在奇异位形附近利用矩阵论中的伪逆矩阵理论，通过定义一 种伪逆雅可比矩阵，将雅可比矩阵降秩处理，求解近似反解。
4)利用具有冗余度的机器人操作器
使机器人通过奇异位形时给机械臂增加多余的关节。
定义：设 AC，m若n
A，且C同nm时有
AAAA, AAAA (AA)HAA, (AA)HAA
若令J1，J2 分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二 列矢量，即
•
x [J1
J
2
]••12
由上式可知，J1 1和 J2 2分别是由 1和 2 产生的手部速度的分量。
而J1是在 2 0时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节 转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。 同样，J2是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部 平移速度在基础坐标系上表示出的向量。
相应的关节速度：
因此，在该瞬时两个节的位置分别为
130 ,260
速度分别为 1 2 ra /s , 2 d 4 ra /sd
，手部瞬时速度为1m/s。
矩阵 A可逆 A 0
且 A可逆时，A 1
1 A
A*
n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵， 而且
对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。
因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节 不动而某一关节运动产生的端点速度。
例5-1如图所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系Xo轴正向以
1.0 m/s速度移动，杆长为 l1l20.5m。设在某瞬时 130 ,260 求相应瞬时的关节速度。
Jl1lc11s1l2lc2s1122
l2s12 l2c12
因此,逆雅可比矩阵
J 1l1l2 1 s2 l1c l1 2c 1l2 2c12l1sl2 1 s 1l2 2s1 2
J1v v [1,0]T
图5-1 两自由度平面
机械手
1 2 l1 l2 1 s2 l1 c l1 2 c 1 l2 2 c 12 l1 s l1 2 s 1 l2 2 s 1 2 1 0
fx
机器人动力学
Dynamics of Robotics
研究机器人的运动特性与力的关系。
有两类问题： 动力学正问题：各关节的驱动力（或力矩）， 求解机器人的运动（关节位移、速度和加速 度），主要用于机器人的仿真。
动力学逆问题：已知机器人关节的位移、速度 和加速度，求解所需要的关节力（或力矩）， 是实时控制的需要。
当θ2=0°或θ2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ180°时，机械手 的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1， 因此处于奇异状态。在奇异形位时， 机械手在操作空间的自由度将减少。
奇异位形：由于雅可比矩阵J(q)是关节变量q的函数, 总会存在一些位形,在这些位形处,|J(q)|=0,即J(q)为奇 异矩阵,这些位形就叫奇异位形。
一般，奇异位形有两种类型：
机器人动力学
Dynamics of Robotics
5.1 工业机器人速度分析 5.2 工业机器人静力分析 5.3 机械手动力学方程
5.1 工业机器人速度分析 5.1.1雅可比矩阵
••
(1 , 2 )
存在
怎样
的关
系
•
1
••
(x, y)
vy
vx
•
2
两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可 比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比， 同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。