七年级数学寒假专题恒等式恒等变形

七年级数学寒假专题——恒等式、恒等变形

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

寒假专题——恒等式、恒等变形

二. 重点、难点：

恒等变形是代数中非常重要的部分，主要用到因式分解以及分式的运算及逆运算。

【典型例题】

[例1] 如果多项式，当，为何值时，P 的值最小？并求出P的最小值。

分析：本题要运用因式分解配方，但是有这一项，所以应当有一个三项的完全平方。

解：

∵当且仅当取“=”

又当且仅当时，取“=”

解得∴当时两个等号同时成立

∴即P的最小值是1991

[例2] 当变化时，求分式的最小值。

分析：变化时，分子分母都在变化不好求解，所以要把此分式分化至只有一个发生变化。

解：

原式

当时，所以

则原式所以的最小值为4

[例3] 计算：

分析：本题若直接通分再去化简计算量非常大，因此必须认真分析式子的结构特点，寻找解决问题的突破口，不难发现

，，

，可设，，使问题的形式简捷，有利于问题的解决。

解：

因为

令，，

则原式

[例4] 求证：。

分析：注意等式右边的如果乘到左边，那么问题将大大简化。

左

右边

[例5] 已知，求证：。

分析：以连比形式出现的结论，容易让人想到非负数的性质，即若干个非负数之和等于零，则这几个非负数均为零，所以应想到配方法。

证明：由已知条件化简得：

移项配方得：

∴

即故命题成立。

[例6] 若，求证：。

分析：要证明命题成立，只要证：

即可

因为则设

则，

则

∴故命题成立

[例7] 已知，求证：。

证明：

∵∴∴

同理

于是

[例8] 设，求。

解：由题设知这样有

即

∴

[例9] 已知，求证：。

用分析法欲证：

再把上面的过程倒过来即可

证明：

说明：遇到从条件不好证的题目应用分析法倒推。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 已知：，求证：。

2. 已知：，，，求证：

。

3. 已知：，，，求证：。

4. 已知：，求证：（其中为任意正整数）。

5. 已知：（其中a，b，c为互不相等的实数），求证：

6. 已知：，求证：

7. 已知：、、为互不相等的实数，求证：

。

8. 若，求证：。

9. 已知：，求证：

（1）

（2）

10. 已知：，求证：。

七年级数学寒假专题——恒等式、恒等变形

试题答案

1. 证明：

∵∴

∴

∴

2. 证明：

左边

右边

3. 证明：

4. 证明：

∴

5. 证明：

设则

∴

6. 证明：

设（1）

（2）（3）

（1）×3+（3）得：（4）

（2）×3+（4）×2得：即

7. 证明：

左边

8. 证明：

∴

9. 证明：

（1）左

左

（2）

10. 证明：

或或

∴，，中至少有两个互为相反数

∴