函数周期性公式大总结
函数周期公式
函数周期公式函数周期公式主要知识:1．周期函数: 对于f (x) 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f (x T) f (x) 恒成立,则称函数f ( x)具有周期性, T 叫做 f ( x) 的一个周期, 则kT（k Z, k 0 ）也是f (x) 的周期, 所有周期中的最小正数叫f ( x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数:函数y f x 满足对定义域内任一实数x（其中a 为常数）,(1) f x f x a ,则y f x 是以T a 为周期的周期函数;(2) f x a f x ,则f x 是以T 2a 为周期的周期函数;(3) 1f x af x,则f x 是以T 2a 为周期的周期函数;(4) f x a f x b ,则f x 是以T a b 为周期的周期函数;以上（1）-（4）比较常见,其余几种题目中出现频率不如前四种高,并且经常以数形结合的方式求解。
(5) 函数y f (x) 满足f (a x) f (a x)（a 0 ）,若f ( x) 为奇函数, 则其周期为T 4a ,若f ( x) 为偶函数,则其周期为T 2a ．(6) 函数y f (x) x R 的图象关于直线x a 和x b a b 都对称,则函数f (x) 是以2 b a 为周期的周期函数;(7) 函数y f (x) x R 的图象关于两点A a,0 、B b,0 a b 都对称, 则函数f (x) 是以2 b a 为周期的周期函数;(8) 函数y f (x) x R 的图象关于A a,0 和直线x b a b 都对称,则函数f ( x) 是以4 b a 为周期的周期函数;（9）有些题目中可能用到构造,类似于常数列。
（二）主要方法:1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点:一是对定义域中任意的x恒有 f (x T ) f ( x) ;二是能找到适合这一等式的非零常数T ,2 ．解决周期函数问题时, 要注意灵活运用以上结论, 同时要重视数形结合思想方法的运用, 还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．证明举例:。
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结函数周期性是数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题中起到了重要的作用。
在本文中，我将对函数周期性的结论做一个总结，以便对读者有更清晰的认识。
以下是我对函数周期性的总结：1. 周期性定义在数学中，一个函数被称为具有周期性，当且仅当存在一个正数T，使得对于每一个x值都有f(x+T) = f(x)成立。
其中，T被称为函数的周期。
2. 常见函数的周期性2.1 三角函数的周期性三角函数是一类具有周期性的函数。
常见的三角函数有正弦函数和余弦函数。
正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)；余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
这意味着在一个周期内，正弦函数和余弦函数的值会周期性地重复。
2.2 指数函数的周期性指数函数也具有周期性。
以自然对数为底的指数函数具有周期为2πi的形式，即e^(x+2πi) = e^x。
其中，i是虚数单位。
这意味着在一个周期内，指数函数的值也会周期性地重复。
3. 周期性性质3.1 零点的周期性如果一个函数的周期为T，那么对于任意一个零点x0，它的周期性可以表示为x0 + Tn，其中n为任意整数。
这意味着函数的零点也具有周期性，每隔一个周期就会出现一个零点。
3.2 值域的周期性如果一个函数具有周期T，那么对于函数值f(x)来说，它的周期性可以表示为f(x+T) = f(x)。
这意味着函数的值域也具有周期性，每隔一个周期就会重复一次。
4. 应用举例函数周期性在各个领域都有广泛的应用。
举几个例子来说明：4.1 电力系统在电力系统中，交流电的变化是具有周期性的。
电压和电流随着时间呈周期性变化，周期性的特点使得电力系统能够稳定地运行。
4.2 信号处理在信号处理领域，周期性信号的分析和处理是很重要的。
通过对周期信号的分析，可以准确地获取信号的频率和振幅等信息。
4.3 声音与音乐声音和音乐是具有周期性的。
乐器的音调是具有周期性的，音乐也是以一定的节拍和律动来展现周期性。
正弦函数周期计算公式
正弦函数周期计算公式
函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。
证明过程：因为f(x+a)=-
f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。
sinx的函数周期公式t=2π，sinx是正弦函数，周期是2π。
cosx的函数周期公式t=2π，cosx就是余弦函数，周期2π。
tanx和cotx的函数周期公式t=π，tanx和cotx分别是正切和余切。
secx和cscx的函数周期公式t=2π，secx和cscx就是余割和正割。
设函数f(x)在区间x上有定义，若存在一一个与x无关的正数t,使对于任一x∈x,恒有f(x+t)=f(x)
则表示f(x)就是以t为周期的周期函数，把满足用户上式的最轻正数t称作函数f(x)的周期。
二、周期函数的运算性质:
1、若t为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为t/al。
2、若f(x),g(x)均就是以t为周期的函数,则f(x)+g(x)也就是以t为周期的函数。
3、若f(x),g(x)分别是以t1,t2,t1≠t2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以t1,t2的最小公倍数为周期的函数。
完整版)常见函数对称性和周期性
完整版)常见函数对称性和周期性二、函数对称性的重要结论一）函数y=f(x)的图像本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性。
即，“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x)=f(b-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
推论1：f(a+x)=f(a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论2、f(x)=f(2a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论3、f(-x)=f(2a+x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
2、f(a+x)+f(b-x)=2c⟺y=f(x)的图像关于点(a+b/2,c)对称。
推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论2、f(x)+f(2a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论3、f(-x)+f(2a+x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
二）两个函数的图像对称性（相互对称）1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于Y轴对称。
2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称。
3、函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于X轴对称。
4、互为反函数y=f(x)与函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。
5、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。
推论1: 函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论2: 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论3: 函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称。
三、函数周期性的重要结论1、f(x±T)=f(x)(T≠0)⟺y=f(x)的周期为T，kT(k∈Z)也是函数的周期。
2、f(x+a)=f(x+b)⟺y=f(x)的周期为T=b-a。
函数周期性公式大总结
（1）F（x + a）=-f（x）周期为2A。
在本文中，我们证明（F + x）= 2a-f（x）= F-X（F-X）。
（2）SiNx的功能周期公式为t = 2π。
SiNx是正弦函数，周期为2π（3）cosx的函数周期公式为t = 2π，cosx为余弦函数，周期为2π。
（4）TaNx和Cotx的周期公式为t =π，TaNx和Cotx分别为切线和Cotx（5）secx和CSCX的周期公式为t = 2π，secx和CSCX为secx和余割。
扩展数据：以下方法分为几个步骤（1）确定F（x）的域是否有界；（2）根据函数周期的定义，我们可以知道非零实数T在关系f （x + T）= f（x）中与X无关，因此可以求解方程f（x）-f（x）= 0，如果我们可以求解独立于X的非零常数t，则可以得出结论：函数f（x）是周期函数，如果不存在t，则f （x）是非周期性函数。
（3）通常用相反的证明方法证明。
（如果f（x）是周期函数，则推论矛盾，因此f（x）是非周期函数。
示例：证明f（x）= ax + B（a≠0）是一个非周期函数。
证明如果f（x）= ax + B是周期函数，则存在t（≠0），使其成立。
A（x + T）+ B = ax + Bax +在AX = 0，在at = 0且a≠0，t = 0与t≠0矛盾的情况下，﹤f（x）是一个非周期函数。
示例：证明f（x）= ax + B是一个非周期函数。
证明：如果f（x）是周期函数，则必须有一个t（≠0）对，并且必须有（x + T）= f（x）。
当x = 0时，f（x）= 0，但是x + T≠0，νf（x + T）= 1，νf（x + T）≠f（x）且f（x + T）= f （x）。
周期的公式
周期的公式周期是指某一现象或事件在一定时间内重复出现的规律性。
周期的公式可以通过一系列数学函数来表示，具体的公式形式取决于所研究的问题和现象。
在物理学中，最常见的周期公式是正弦函数或余弦函数。
这两个函数具有周期性，可以描述很多周期性现象。
以正弦函数为例，其周期公式可以表示为：y = A * sin(ω * t + φ)其中，y表示函数的值，A表示振幅，ω表示角速度，t表示时间，φ表示相位差。
这个公式中，A决定了振幅的大小，即波峰和波谷的高度；ω决定了周期的长度，即波形从一个波峰到下一个波峰所经过的时间；φ表示初始相位差，可以用来调整波形的起始位置。
周期公式还可以用其他数学函数表示，如指数函数、幂函数、log函数等，具体取决于所研究现象的特点和性质。
例如，在生物学中研究某种动物种群的数量变化时，可以用指数函数来描述：N = N0 * e^(kt)其中，N表示时间t时刻的种群数量，N0表示初始种群数量，k表示增长率。
除了数学函数的周期公式外，还有一些更复杂的周期公式。
例如，在经济学中，人们关注经济周期的波动，其中最著名的是库兹涅茨周期。
这个周期公式可以表示为：Y − Yp = a + b*(t − T) + c*(t − T)*sin(ω * (t − T)) + d*(t − T)*cos(ω * (t − T))其中，Y表示经济指标（如国内生产总值）的变化，Yp 表示长期均衡水平，a、b、c、d是拟合参数，t表示时间，T 表示拟合的顶点位置，ω表示角频率。
这个公式中，a表示趋势项，b表示周期波动的斜率，c 和d表示震荡的振幅和相位差。
总的来说，周期的公式是根据所研究的问题和现象的特征来确定的。
根据不同的学科和领域，可以采用不同的数学函数和公式来描述和分析周期性现象。
函数的周期性的知识点总结
函数的周期性的知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数，即在一定的区间内，函数的数值在一定的时间间隔内重复出现。
更具体地说，对于函数f(x)来说，如果存在一个常数T>0，使得对任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，而这个常数T被称为函数的周期。
二、周期函数的性质1. 周期函数的性质：周期函数的周期T是一个正数，且函数的周期性对于所有的自变量都成立，即对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。
2. 周期函数的图像性质：周期函数的图像通常具有重复出现的特点，这使得它在图像上形成规律的波形。
3. 周期函数的特殊性质：有些周期函数具有特殊的对称性，比如正弦函数、余弦函数等。
三、周期函数的分类1. 固定周期函数：在一个确定的周期内，函数的数值是固定的，比如正弦函数、余弦函数等。
2. 变周期函数：在一个周期内，函数的数值是变化的，比如三角函数的变型函数、指数函数、对数函数等。
四、周期的求法对于周期函数，我们通常需要求解它的周期T，有以下几种方法：1. 观察法：通过观察函数的图像特征，找到函数的周期性。
2. 公式法：对于一些已知的周期函数，可以直接利用其性质和公式来求解周期。
3. 方程求解法：将周期函数的周期T代入函数的周期性公式中，得到关于T的方程，然后求解方程得到周期T。
五、周期函数的图像特征1. 周期函数的波形特点：周期函数的图像通常呈现出规律性的波形，如正弦函数、余弦函数的波形特点。
2. 周期函数的振幅：周期函数的振幅代表了波形的最大振幅，它决定了函数波形的高低。
3. 周期函数的相位：周期函数的相位代表了波形的平移特征，它决定了函数波形的水平位置。
六、周期函数的应用周期函数在很多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等，常见的应用包括：1. 物理波动：周期函数常常用于描述物理中的波动现象，如声波、光波等。
2. 电路分析：在电路分析中，周期函数可用于描述电流、电压的周期性变化。
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结
高中函数对称性、周期性以及奇偶性最全总结
在高考时，有一类知识点是非常重要的。
数学老师在课上讲的内容是非常基础的，但是在高考时对于这部分内容的考察确实非常综合的，并且难度颇高。
这部分内容就是函数的性质，函数的性质包含的内容主要有：函数的定义域、值域、最大值最小值、单调性、对称性、奇偶性和周期。
当然，函数的图像也是函数的一个性质，函数的图像是我们解决很多函数题目的一个工具，比如说在导数大题中，就需要我们能够根据单调性简单的画出大概的图像。
再在圆锥曲线大题中，也需要画出其图像。
这一点需要大家牢记。
在这些性质里面，有几个是高考后几道选择题中最爱考的内容。
第一个，就是对称性。
对称性指的是函数的图像，其中包含有两部分知识：点对称和轴对称；
例如，y=sinx的图像是点对称的图像；
又如，y=cosx的图像是轴对称的图像；
第二个，就是周期性。
周期性是指：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数。
T叫做这个函数的一个周期。
例如，y=sinx是一个周期函数，
它的周期是2π；
又如，y=cosx也是一个周期函数，
它的周期也是2π；
第三个，就是奇偶性。
奇函数和偶函数最重要的特性在于，奇函数：f(-x)=-f(x)，
例如正弦函数y=sinx；
偶函数：f(-x)=f(x)，
例如余弦函数y=cosx;。
正弦函数周期公式
正弦函数周期公式
函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。
证明过程：因为f(x+a)=-
f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。
sinx的函数周期公式t=2π，sinx是正弦函数，周期是2π。
cosx的函数周期公式t=2π，cosx就是余弦函数，周期2π。
tanx和cotx的函数周期公式t=π，tanx和cotx分别是正切和余切。
secx和cscx的函数周期公式t=2π，secx和cscx就是余割和正割。
设函数f(x)在区间x上有定义，若存在一一个与x无关的正数t,使对于任一x∈x,恒有f(x+t)=f(x)
则表示f(x)就是以t为周期的周期函数，把满足用户上式的最轻正数t称作函数f(x)的周期。
二、周期函数的运算性质:
1、若t为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为t/al。
2、若f(x),g(x)均就是以t为周期的函数,则f(x)+g(x)也就是以t为周期的函数。
3、若f(x),g(x)分别是以t1,t2,t1≠t2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以t1,t2的最小公倍数为周期的函数。
三角函数的周期性与变化知识点总结
三角函数的周期性与变化知识点总结三角函数是数学中重要的概念之一，其周期性和变化规律具有一定的特点和性质。
本文将对三角函数的周期性和变化进行总结和讨论。
1. 正弦函数的周期性与变化正弦函数是最常见的三角函数之一，其公式为y = A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
正弦函数的周期性主要由B的取值决定，周期T = 2π/B。
当B为正数时，正弦函数的波形从左向右依次增大，即呈现从左到右的升高趋势；当B为负数时，波形从左向右依次减小，即呈现从左到右的降低趋势。
振幅A的取值影响正弦函数的最大值和最小值。
2. 余弦函数的周期性与变化余弦函数也是常见的三角函数之一，其公式为y = A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
余弦函数的周期T = 2π/B，同样由参数B的取值决定。
与正弦函数类似，余弦函数的振幅A决定了波形的最大值和最小值。
不同的是，余弦函数的波形相对于x轴向右平移了π/2，即C的取值为-π/2。
余弦函数的变化规律与正弦函数类似，只是相位不同。
3. 正切函数的周期性与变化正切函数是另一种常见的三角函数，其公式为y = A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
正切函数的周期性并不像正弦函数和余弦函数那样明显，由参数B的取值决定的周期T = π/B。
正切函数的变化规律主要受A、C的取值影响。
当A的绝对值较小时，正切函数的波形呈现出较平缓的变化；当A的绝对值较大时，波形则出现较急速的变化。
C的取值则使波形在x轴上平移。
4. 周期性与变化的图示三角函数的周期性和变化可以通过图示进行更直观的理解。
在坐标系上绘制出正弦函数、余弦函数和正切函数的图像，可以清晰地观察到它们的周期性和变化趋势。
通过不同的参数取值，可以进一步探索和比较不同函数的性质。
综上所述，三角函数的周期性和变化是数学中的重要概念。
了解不同三角函数的周期、振幅和相位差等性质，能够帮助我们更好地理解和分析各类三角函数的变化规律。
「基础高考」判断函数周期性的方法技巧
定义法：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．判断函数周期，主要是看f(x+T)=f(x)公式例如：已知函数满足f(x+a)=－f(x)，问它的性质，怎么推导？f[(x+a)+a]=－f(x+a)=-（- f(x) ）= f(x), f(x)为周期为T=2a的函数公式法基本函数的周期性， y=sinx,y=Asin( ω x+ φ),y=cosx,y=Acos( ω x+ φ) T=2π/wy=tanx,y=Atan( ω x+ φ),T=π/w 周期固定，有公式法，但要牢记 y=sinx ， y=cosx ， y=tanx 的 图像固定结论命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y =f(x)是周期函数.（1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）函数y=f(x)满足f(x+a)=±1/f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（3）函数y=f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.上面这几个公式应用的概率更大，要记熟！方便思路的形成！命题2：若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y =f(x)是周期函数.（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2 a是它的一个周期.（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4 a是它的一个周期.为了方便您的记忆，您可以联想正弦函数和余弦函数图像和性质，来记忆这些结论图像法判断周期三角函数可以用“五点画图法”，分段函数可以分段做出函数图像，观察图像是否重复出现。
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函数的周期性1．周期函数的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有()f x T x ，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
()()f x T f x +=()f x T 说明：（1）必须是常数，且不为零；T （2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
()()f x T f x +=x 问题1 ①若常数T （≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？2 常见函数的最小正周期正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T=ωπ2y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ωπ2y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ωπy =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T=ωπ f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题结论：有的周期函数没有有最小正周期3抽象函数的周期总结1、 的周期为)()(x f T x f =+⇔)(x f y =T2、 的周期为)()(x b f a x f +=+)(b a <⇔)(x f y =a b T -=3、 的周期为)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =a T 2=4、 (C 为常数) 的周期为)()(x f c a x f =+⇔)(x f y =a T 2=5 的周期为)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =a T 2= 7、 的周期为1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =aT 4= 8、 的周期为)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =a T 4=9、 的周期为)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =aT 6=10、；（它是周期函数，一个周期为6）)1()()2(++=++++n x f n x f n x f 11、有两条对称轴和（ 周期)(x f y =a x =b x =)b a <⇔)(x f y =)(2a b T -=12、有两个对称中心和 周期)(x f y =)0,(a )0,(b ⇔)(x f y =)(2a b T -=13、有一条对称轴和一个对称中心 周期)(x f y =a x =)0,(b ⇔)(x f y =)(4a b T -=14、奇函数满足周期。
函数周期性
函数周期性定义及推论1． 函数的周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
--------引申：证明函数为周期函数(1) 12log cos2y x = 证明：函数定义域为{|,},44D x k x k k ππππ=-<<+∈Z 若取T π=,那么对每一个,x D ∈,x T D +∈且有 1122log cos2()log cos2,x x x D π+=∈所以, y 是周期函数.(2) tan(sin )y x =证明：函数定义域为R , 若取2Tπ=, 那么有 t a n (s i n (2))t a n (s i n ),x x x π+=∈R 所以, y 是周期函数.(3) 22cos tan cot 10x y x x =+ 证明：函数定义域为{|,},2k D x x k π=≠∈Z 若取10T π=, 那么对每一个,x D ∈,x T D +∈且有 2102cos tan cot cos()2cos()2,1055x x x x x x D π++=+=+∈ 所以, y 是周期函数.(4) 21cos 4(sin cos )22sin 2x y x x x-=-++ 证明：函数定义域为{|,},2k D x x k π=≠∈Z 那么对每一个,x D ∈,x T D +∈有 s i n 21s i n 221,y x x x D =--+=∈.所以, y是周期函数,周期为任意x D2．最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。
所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。
函数周期性公式大总结
函数性质：函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。
包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。
顶点式：二次函数有多条顶点式对于任意一条顶点在坐标轴原点上的二次函数，有y=ax²对于函数y=ax²,在X轴上平移h个单位，有y=a(x-h)²对于函数y=ax²,在Y轴上平移k个单位，有y=ax²+k对于函数y=a(x-h)²在Y轴上平移k个单位，或函数y=ax²+k 在X轴上平移h个单位有：y=a(x-h)²+ky=a(x-h)²+k也是最常用的一条顶点式，通过代入特殊的点坐标，均可以转换成y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=ax²三者之一。
三角函数：三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc对边（a）临边（b）斜边（h）正弦函数sin（A）=a/h余弦函数cos（A）=b/h正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a正割函数sec (A) =h/b余割函数csc (A) =h/a同角三角函数间的基本关系式·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]本章教学目标1.(1)任意角的概念以及弧度制.正确表示象限角、区间角、终边相同的角，熟练地进行角度制与弧度制的换算.(2)任意角的三角函数定义，三角函数的符号变化规律，三角函数线的意义.2.(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式.(2)已知三角函数值求角.3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的图像和“五点法”作图、图像法变换，理解A、ω、φ的物理意义.4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性.5.两角和与差的三角函数、倍角公式，能正确地运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明.本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分.三角函数是中学数学的重要内容，它是解决生产、科研实际问题的工具，又是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础，它在物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用.函数的几种特性①有界性②单调性③奇偶性④周期性公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanα(以上k∈Z)。
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公式及推导
f（x+a）=-f（x）
那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）
所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=1/f（x）
那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）
所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=-1/f（x）
那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）
所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
所以得到这三个结论。
函数的周期性
设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x)
则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f(x)的周期。
二、周期函数的运算性质:
①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。
②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。
③若f(x),g(x)分别是以T1,T2,T1≠T2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数。
周期公式
sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2π
cosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。
tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。
secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。
函数的性质包含的内容主要有函数的定义域、值域、最大值最小值、单调性、对称性、奇偶性和周期。
对称性指的是函数的图像，其中包含有两部分知识包括点对称和轴对称。
对称性的公式y=sinx的图像是点对称的图像和y=cosx的图像是轴对称的图像。
周期性是指若T 为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数。
T叫做这个函数的一个周期。
如，y=sinx是一个周期函数，它的周期是2π，又如，y=cosx也是一个周期函数，它的周
期也是2π。
奇函数和偶函数最重要的特性在于，奇函数：f(-x)=-f(x)，如正弦函数y=sinx。
偶函数，f(-x)=f(x)，如余弦函数y=cosx。