证明勾股定理的几种常用方法

证明勾股定理的几种常用方法

勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，即

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．探究勾股定理的证明，可以加深学生对勾

股定理的理解、丰富研究数学问题的方法、激发学习数学的兴趣．

证明勾股定理的方法有很多种，最常见的是通过构造一些含有直角三角形的特殊图形，

利用面积相等来证明，现举例说明如下：

已知Rt △ABC 的斜边长为c ，两直角边的边长分别为a 、b ，求证：a 2 ＋b 2＝c 2．

证法1： 如图1所示，以Rt △ABC 的三条边作边

长分别向外作三个正方形，则正方形CDEF 与正方形

GHMN 的面积相等，即S 正方形CDEF ＝S 正方形GHMN ．

因为S 正方形GHMN ＝(a ＋b)2， S 正方形CDEF ＝c 2＋4×12

ab ． 所以(a ＋b)2＝c 2＋4×12

ab ，故a 2 ＋b 2＝c 2．

证法2：用四个Rt △ABC 拼成图2所示的图形，则四个直角三角形的直角顶点构成了一个小正方形的四个顶点．观察图形可得出等 量关系：两个正方形的面积之差等于四个直角 三角形的面积之和，即c 2－(b －a)2＝4×12ab ， ∴a 2 ＋b 2＝c 2．

说明：用四个Rt △ABC 拼成图3所示的图形，借助等量关系：两个正方形的面积之差

等于四个直角三角形的面积之和，同样可得出a 2 ＋b 2＝c 2

．

证法3：如图4所示，两个全等直角三角形的直角边a 、b 在同一条直线上，则两直角

三角形的斜边相互垂直．由图形可以看出，直角梯形的面积 等于三个直角三角形的面积之和．

则S 梯形＝12(a ＋b)(a ＋b)＝2×12ab ＋12c 2， ∴a 2 ＋b 2＝c 2． C B A a b c G H N D F E M 图1 A

B 图2 A

C 图3

a a

b b

c c 图4