第13讲-函数的单调性

主 题 函数的单调性

教学内容

1. 理解函数单调性的定义；

2. 会用定义证明函数的单调性，能应用单调性解相关题目。

1. 如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

问题1：气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大

气 温逐渐升高”这一特征？

问题3: 对于任意的1t 、[]24,14t ∈时，当12t t <时，是否

都有()()12f t f t <呢?

于是给出单调增函数的定义：

注：找出单调增函数概念中的关键词（区间内、任意、“当21x x <时，都有)()(21x f x f <”）.

例1. 定义域是[]10,10-，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性.

例2. 利用定义判定(证明)函数()12+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数.

试一试：求证：函数1()f x x

=

在区间(0,)+∞上为单调减函数.

例3. 判定函数()2f x x =，[]4,2x ∈-的单调性，并求出它的单调区间.

小结：

1.2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2b x a

=-， 2y ax bx c =++ 单调增区间

单调减区间 0a > ,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭

,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 0a <

,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ ,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 2.y kx b =+

（1）当0k >时，在(),-∞+∞上单调递增； （2）当0k <时，在(),-∞+∞上单调递减.

3.k y x

= （1）当0k >时，在()(),00,-∞+∞和上单调递减； （2）当0k <时，在()(),00,-∞+∞和上单调递增. 注意强调类似于反比例函数的这种单调区间要写和，不能用并集符号。

试一试：判断函数()223f x x x =-+，[]2,2x ∈-的单调性，并求出它的单调区间.

例4. 若函数12

++=ax x y 在]2,(-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_____________；

试一试：若函数21y ax x =-+在]2,(-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_________________；

1. 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

（ ） A ．y =2x ＋1

B ．y =3x 2＋1

C ．y =x 2

D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间[2,)-+∞上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)的值（ ）

A ．－7

B ．1

C ．17

D ．25

3. 已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）

A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )

B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )

C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )

D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )

4. 已知函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，求实数m 的取值范围是 。

5. 求证：函数2

2y x =-+在区间(,0]-∞上是单调增函数.

6. 已知函数a ax x x f -++=3)(2，R a ∈. 若)(x f y =在]3,1[-上单调，试求a 的取值范围；

本节课主要知识点：函数单调性的定义，证明函数单调性的一般步骤，单调性性质的应用。

【巩固练习】 1. 已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a ≤3

B ．a ≥－3

C ．a ≤5

D ．a ≥3

2. 判断函数y x =

在定义域[)0,+∞上的单调性.