第13讲-函数的单调性
第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)
第13讲 函数与导数之导数及其应用一． 基础知识回顾1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ．3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ．4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函数．6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ．7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二．典例精析探究点一：导数的运算例1：求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝ F (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1) f (x )＝e x f ′(x )＝ f (x )＝log a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝变式迁移1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (3)y ＝ln x x 2＋1.探究点二：导数的几何意义例2：已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移2：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．探究点三：函数的单调性例3：已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；变式迁移3：已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点四：函数的极值例4：若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移4：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点五：求闭区间上函数的最值例5：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移5：已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式； (2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．三．方法规律总结1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧．2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．3．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．4．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．5．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．6．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．四．课后作业设计1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx 为 ( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx －2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =( )A ．64B ．32C ．16D ．83．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是 ( )A ．－ln 22B ．－ln 2 C.ln 22D ．ln 2 4．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则0lim →∆x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值为 ( ) A ．10 B ．－10 C ．－20 D ．205．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是 ( )A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(2,3) 6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝07．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( C )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )8.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <110．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32 B ．m >32 C ．m ≤32 D ．m <3211．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 12．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2 (x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2 13．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论：①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值；④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是②④．(填上所有正确命题的序号)．14．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为 ．15．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝ 16．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为17．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是18．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．19．已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值．20．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．21.已知函数f (x )＝12(1＋x )2－ln(1＋x )．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[1e－1，e －1]时，f (x )<m 恒成立，求m 的取值范围．。
函数的单调性教案
数学公开课教案课题：函数的单调性时间：2013.11.21第一节课型：新授课地点：13电子技术教师：达代方【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力．【教学重点】函数单调性的概念及判断方法．【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义判断函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、电视机．【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：杭州市年生产总值统计、淳安县日平均出生人数等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知问题：以下是函数2,1,1xyxyxy=+-=+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数1+=xy在整个定义域内y随x的增大而增大；函数1+-=xy在整个定义域内y随x的增大而减小．(2)函数2xy=在),0[+∞上y随x的增大而增大，在]0,(-∞上y随x的增大而减小．引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．2．探究规律，理性认识问题：下图是一个函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置．OOyyyxxx123-1-2-3-1123456123-1-2-1-2123412-1-2-3-112345O通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．法一：作出图像，通过观察图像判断出此函数是增函数 法二（定义法）：即归纳判断单调性的步骤：1. 任取x 1，x 2∈A ，且x 1<x 2；2. 作差f (x 1)－f (x 2)；3. 变形（通常是因式分解和配方）；4. 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；5. 下结论练习：试判断函数 在区间 R 的单调性。
函数的性质专题讲义
函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
单调性 题型归纳讲义
专题四《函数》讲义5.5单调性知识梳理.单调性1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.3.判断函数单调性常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.4．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．题型一.常见函数的单调性（单调区间）1．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．2．已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：因为函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1，故选：B．3．已知函数f（x）=2+(4−3)+3，＜0l(+1)+2，≥0（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则a的取值范围是（）A．（0，34]B．[34，1）C．[23，34]D．（23，34]【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，根据二次函数开口向上，二次函数在（﹣∞，−2）单调递减，可得−2≥0．且[x2+（4a ﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+2]max，故而得：−4K32≥0，解答a≤34，并且3a≥2，a∈（0，1）解得：1＞a≥23．∴a的取值范围是[23，34]，故选：C．4．已知函数f（x）=(−2)，≥2(12)−1，＜2，满足对任意的实数x1≠x2，都有o1)−o2)1−2＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．(−∞，138]C．(−∞，138)D．(138，+∞)【解答】解：由于f（x）满足对任意的实数x1≠x2，都有o1)−o2)1−2＜0成立，∴f（x）为R上的减函数，又函数f（x）=(−2)，≥2(12)−1，＜2，∴−2＜02(−2)≤(12)2−1，解得a≤138，∴实数a的取值范围为(−∞，138)．故选：C．题型二.利用函数单调性求值域、最值1．若函数f（x）=(1−2p+3，＜12−1，≥1的值域为R，则a的取值范围是（）A．[0，12）B．（12，1]C．[﹣1，12）D．（0，12）【解答】解：由题意可得，y＝（1﹣2a）x+3a单调递增且1﹣2a+3a≥1，故1−2＞01+≥1，解可得，0≤＜12．故选：A．2．已知函数f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x+14）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4）∪{0}C．（0，1]∪[4，+∞）D．[0，1]∪[4，+∞）【解答】解：对a分类讨论：a＝0时，函数f（x）＝lg（2x+14），由2x+14＞0，可得函数f（x）的值域为R，因此a＝0满足题意．a≠0时，要使得函数f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x+14）的值域为R，则＞0△=(2−p2−4×14≥0，解得0＜a≤1，或a≥4．则实数a的取值范围是[0，1]∪[4，+∞），故选：D．3．已知函数f（x）=2−2B+12，≤1+4+，＞1，若f（x）的最小值为f（1），则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：由题意可知要保证f（x）的最小值为f（1），需满足≥1o2)≥o1)，即≥12+42+≥1−2+12，解得a≥3．故答案为：[3，+∞）4．已知函数f（x）＝2x，则函数f（f（x））的值域是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．R【解答】解：由指数函数的性质可知，函数f（x）＝2x的值域为（0，+∞），令t＝2x，则t＞0，∴f（f（x））＝f（t）＝2t＞20＝1，即所求函数的值域为（1，+∞）．故选：B．5．已知函数f（x）＝lnx−12B2+（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数f（f（x））的值域相同，则a的取值范围为（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．(0，43]D．[43，+∞）【解答】解：函数f（x）＝lnx−12B2+（a﹣1）x+a（a＞0），其定义域满足：x＞0．则f′（x）=1−ax+（a﹣1）（a＞0）令f′（x）＝0，可得x=−1（舍去），x＝1．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，1）递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（1，+∞）递减；∴当x＝1时，f（x）取得最大值为32−1；f（x））的值域为（﹣∞，32−1]，∴函数f（f（x））的值域为（﹣∞，32−1]，则32−1≥1；解得：a≥43．则a的取值范围为[43，+∞）；故选：D．题型三.利用函数单调性比较大小1．已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，设a＝f（−12），b＝f（2），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c【解答】解：∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，又∵函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴a＝f（−12）＝f（52），又∵b＝f（2），c＝f（e），且2＜52＜e，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f（2）＞f（52）＞f（e），∵a＝f（−12）＝f（52），b＝f（2），c＝f（e），∴b＞a＞c，故选：D．2．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（l123），b＝f（2﹣1.2），c＝f（12），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，a＝f（l123）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（12）＝f（2﹣1），又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，则b＞c＞a，故选：B．3．（2013·天津）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y＝e x及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝e x，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1．同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（3）=l3+ (3)2−3=12l3＞0，g（b）＝0，∴1＜＜3．∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝e b+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．题型四.利用(抽象)函数单调性解不等式1．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）2．已知函数op=−2+2−1，≤1|−1|，＞1，若f（a2﹣4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）【解答】解：由分段函数的性质可知op=−2+2−1，≤1|−1|，＞1，f（x）在R上单调递增，若f（a2﹣4）＞f（3a），则a2﹣4＞3a，解可得，a＞4或a＜﹣1．故选：D．3．（2012·全国）当0＜≤12时，不等式4x＜log a x恒成立，则实数a的取值范围是（22，1）．【解答】解：当0≤x≤12时，函数y＝4x的图象如下图所示：若不等式4x＜log a x恒成立，则y＝log a x的图象恒在y＝4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y＝log a x的图象与y＝4x的图象交于（12，2）点时，a=故虚线所示的y＝log a x的图象对应的底数a应满足22＜a＜1，故答案为：（22，1）．4．（2017·全国3）设函数f（x）=+1，≤02，＞0，则满足f（x）+f（x−12）＞1的x的取值范围是（−14，+∞）．【解答】解：若x≤0，则x−12≤−12，则f（x）+f（x−12）＞1等价为x+1+x−12+1＞1，即2x＞−12，则x＞−14，此时−14＜x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x−12＞−12，当x−12＞0即x＞12时，满足f（x）+f（x−12）＞1恒成立，当0≥x−12＞−12，即12≥x＞0时，f（x−12）＝x−12+1＝x+12＞12，此时f（x）+f（x−12）＞1恒成立，综上x＞−14，故答案为：（−14，+∞）．。
函数单调性集体备课教案
课题主备人教材分析§1.3.1函数的单调性组员1．教学内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。
2．教材的地位和作用函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
3．教材的重点﹑难点﹑关键教学重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。
明确单调性是一个局部概念.教学难点：领会函数单调性的实质与应用，明确单调性是一个局部的概念。
教学关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程．4．学情分析高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。
从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好图像的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强.（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象教学目标知识与技能过程与方法特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识.利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.情感态度与价值观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.的直观认识.( 一 ) 提 察 中 获 O 1 x增大，或由自变量的增大而减 函数 f (x) = x 2 在 y 轴左侧是下 变 化 差 降的，在 y 轴右侧是上升的.变小；而自变量由 0 到 4 变化，列表： .教学 重点教学 难点教学 方法函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。
第13讲 函数模型及其应用
第13讲 函数模型及其应用【考点解读】1. 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义；2. 能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.【知识扫描】1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型： ①一次函数模型:f(x)=kx b +(k 、b 为常数,k ≠0);②反比例函数模型：f(x)=xk +b(k 、b 为常数,k ≠0); ③二次函数模型：f(x)=2ax bx c ++(a 、b 、c 为常数，a ≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;④指数型函数模型：f(x)=xka b +(k 、a 、b 为常数，k ≠0,a>0且a ≠1); ⑤对数型函数模型：f(x)=log a m x n +(m 、n 、a 为常数,m ≠0,a>0且a ≠1); ⑥幂函数型模型：f(x)=nax b +(a 、b 、n 为常数,a ≠0,n ≠0); ⑦“勾”函数模型：f(x)=x+kx(k 为常数,k>0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.2、求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：【考计点拨】牛刀小试1．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
3.2函数的基本性质(单调性、最值、奇偶性)(新课改2019新版人教A版高中数学必修第一册)
6
3.2函数的基本性质
• 2.单调性
• (3)判断单调性：借助图形；定义.
• (4)证明单调性：定义法.
(5)步骤：
若 若① ② ③fff计(((xxxx算1111,)))xf2(xfff1((()Dxxx,222
且)f与(xx012比)，较x2将；：其分解为若干可以直接确定符号的式子； ) 0，则f (x)在D上单调递增； ) 0，则f (x)在D上单调递减.
当k 0时, f ( 所以函数y
x1 ) kx
bf在(xR2 )上单0即调f递(x1增) ，f即(x函2 ).数y
kx
b是增函数.
当k 0时, f ( 所以函数y
x1 ) kx
bf在(xR2 )上单0即调f递(x1减) ，f即(x函2 ).数y
kx
b是减函数.
9
3.2函数的基本性质
• 2.单调性
11
3.2函数的基本性质
函数的最值与单调性密切相联.
• 3.最值
• (1)定义 一般地，设函数y f (x)的定义域为I，
若存在实数M 满足： 则①称xM是I，y 都 有f (fx)(的x)最 M大；值②. x0 I，使得f (x) M .
y
y=x²
O
x
若存在实数M 满足：
y
①x I，都有f (x) M；②x0 I，使得f (x) M . 则称M 是y f (x)的最小值. 函数y f (x)在闭区间[a,b]上单调递增或递减，
x
2取1 得最大值，在x
6处取得最小值.
O
由f (2) 2 2, f (6) 2 0.4. 所以该函2数1的最大值为26，最1 小值为0.4.
x
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第13讲函数与方程
2.已知函数 已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点 ， 仅有一个正零点， 已知函数 仅有一个正零点 则此零点所在区间是( 则此零点所在区间是 C ) A.(3,4) C.(1,2) B.(2,3) D.(0,1)
利用零点存在的判定条件， 利用零点存在的判定条件，判断零 点存在的区间.由于 由于f(0)=-1<0,f(1)=-1<0, 点存在的区间 由于 f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0.根据选择支 根据选择支 只有区间（ ， ）满足. 只有区间（1，2）满足
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(1)令f(x)=x3+x2-2x-1， 令 ， 则f(-2)f(-1)=(-1)×1=-1<0， × ， 所以方程在(-2,-1)上有根， 上有根， 所以方程在 上有根 同理②④皆可，故所求区间为①②④. 同理②④皆可，故所求区间为①②④ ②④皆可 ①②④ (2)令 y=3x,y=-x2+2x+1=-(x+1)2+2,则原方 令 则原方 程的根即为两函数图象交点的横坐标， 程的根即为两函数图象交点的横坐标 ， 如图，两交点的横坐标，一个小于0， 如图，两交点的横坐标，一个小于 ， 一个等于0 故原方程有两个根， 一个等于 ， 故原方程有两个根 ， 其 一为负，其一为0. 一为负，其一为
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1.若函数 若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点３,那么函 有一个零点３ 若函数 有一个零点 那么函 0,-1 . 数g(x)=bx2+3ax的零点是 的零点是 因为函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是 的零点是 因为函数 所以x=3是方程 是方程ax-b=0的根 ， 所以 的根， ３ ， 所以 是方程 的根 b=3a.将它代入函数 将它代入函数g(x)=bx2+3ax中 ， 可 将它代入函数 中 得g(x)=bx(x+1),令g(x)=0,得x=0或x=-1. 令 得 或
函数的单调性讲义
都江堰校区 （数学） 辅导讲义任课教师: 岳老师 Tel:1．判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( ) (2)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)( )(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( )(4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( ) 2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________．3．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则k 的取值范围是________． 基础盘查二 函数的最值4．判断正误(1)所有的单调函数都有最值( ) (2)函数y ＝1x 在[1,3]上的最小值为13( ) 5．(人教A 版教材例题改编)已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为________． 【答案】1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×；2．[2,4]；3．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12；4．(1)× (2)√；5．2[必备知识1]：单调性的定义设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有： (1)f (x )在区间D 上是增函数?f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数?f (x 1)>f (x 2)．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果f ?x 1?－f ?x 2?x 1－x 2>0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果f ?x 1?－f ?x 2?x 1－x 2<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数． [必备知识2]：确定单调性的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．[典题例析]【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性． 【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2?x 1－x 2??x 1－1??x 2－1?， 因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．[必备知识2]：求函数的单调区间与确定单调性的方法一致[典题例析]【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1. 【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f (x )在(－∞，0]上是减函数， 在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]． (3)由于y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝错误!画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间． 【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数． ∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．[必备知识3]复合函数单调性的判断利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最大值f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最小值f (b )．【多角探明】函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值【例5】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．【解析】当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.角度二：比较函数值或自变量的大小【例6】设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )【解析】选D 由a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34，得a 2＋1>a ，又∵f (x )是R 上的减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )．【例7】(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解析】选B ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .角度三：解函数不等式【例8】f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)【解析】选B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x ?x －8?≤9，解得8＜x ≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值【例9】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧?a －2?x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f ?x 1?－f ?x 2?x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C ．(－∞，2]D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2【解析】选B由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2<0，?a －2?×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 .函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值. 一、选择题1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】选A 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f (－3)>f (5)；④y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)【解析】选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13【解析】选B 由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又13<12<23<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.4．?创新题?定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( )A ．最小值是0，最大值是4B ．最小值是－4，最大值是0C ．最小值是－4，最大值是4D ．没有最大值也没有最小值【解析】选C y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 ?x ≥3?－2x ＋2 ?－1≤x <3?4 ?x <－1?作出图象可求．6．(2015·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负【解析】选C 由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0. 由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上单调递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C. 二、填空题7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________．【解析】由题意知f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)；则⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．【解析】函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ， 画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．10．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________． 【解析】f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，a ≥1?a ≥1.答案 [1，＋∞)三、解答题11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．【解】(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.12．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．【证明】(1)设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.13．函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.【解】(1)设x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1?－3<a<2，即a∈(－3,2)．。
函数的单调性(比较大小)(原卷版)高中数学函数精讲精练 专题13
专题13函数的单调性（比较大小）主要考查：利用单调性比较大小一、单选题1．若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则下列各式一定成立的是（）A ．()()06f f <B ．()()32f f ->C ．()()13f f ->D ．()()58f f -<-2．已知01a <<，则2a 、2a 、2log a 的大小关系是（）A ．222log aa a >>B ．222log aa a >>C ．22log 2aa a >>D ．222log a a a>>3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-4．若函数()2f x x bx c =++对任意实数x 都有()()22f x f x +=-，那么（）A ．()()()214f f f <<B ．()()()124f f f <<C ．()()()241f f f <<D ．()()()421f f f <<5．若实数x 、y 满足2020202020212021x y x y ---<-，则（）A ．0x y -<B ．0x y ->C ．1y x<D ．1y x>6．已知函数()24xx f x -=-，若0.250.250.30.3,log 0.3,log 2.5a b c -===，则（）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<7．已知x ，y ∈R ，且x y >，则下列说法是正确的是（）A ．11x y<B ．--+<+x y y xe e e e C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22x y >8．已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b>>二、多选题9．已知0a b >>，则（）A ．3355a b>B ．11a b b a+>+C ．32log log a b>D ．14141414a bab++>--10．若实数x ，y 满足0x y >>，则（）A ．11y x>B ．ln()ln x y y->C ．x y +<D ．e x yx y e -<-11．设函数)()lg f x x =，则（）A ．()87log 59f f ⎛⎫>⎪⎝⎭B ．()82log 53f f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭C ．()87log 59f f ⎛⎫>⎪⎝⎭D ．2739f f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．若函数32, 1()1ln , 1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[)2,+∞，则（）A ．(3)(2)f f >B ．2m ≥C ．ln 212f f e ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+三、填空题13．函数()f x 是定义在(,-∞+∞)上的偶函数且()f x 在[)0,+∞上是增函数，则()f π-，(f ，()3f 的大小顺序是____________________________.14．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =-，则a ，b ，c 的大小关系为___________.15．设()21,01,0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩，0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则比较()f a ，()f b ，()f c 的大小关系_______.16．已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.24b f -=，()1.12c f =-请将a 、b 、c按照由大到小的排列顺序写出____>_____>_______.四、解答题17．已知函数()y f x =在[0，＋∞)上是减函数，试比较3(4f 与2(1)f a a -+的大小．18．已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，比较()x f b 与()x f c 的大小关系19．设()f x R 是上的奇函数，且对任意的实数,a b 当0a b +≠时，都有()()f a f b a b+>+（1）若a b >，试比较(),()f a f b 的大小；（2）若存在实数13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得不等式2()()0f x c f x c -+->成立，试求实数c 的取值范围．20．已知函数()122f x x x =-+-.（1）解不等式()2f x x ≤；（2）若正实数a ，a 满足2a b +=，试比较221111f a b ⎛⎫+⎪++⎝⎭与(1)f 的大小.21．已知函数1()f x x x=-.（1）证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；（2）已知()()()3220.2,log 3,log 5a f b f c f ===，试比较三个数a ，b ，c 的大小，并说明理由.22．已知函数()1x f x a-=（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,4P ，求a 的值；（2）比较1lg100f ⎛⎫⎪⎝⎭与()2.1f -的大小，并写出比较过程.。
新高考数学数列经典题型专题提升-第13讲 数列性质：单调性(解析版)
第13讲 数列性质:单调性参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．（2021•南通模拟）已知为递减数列，且对于任意正整数，恒成立，恒成立，则的取值范围是 ．【解答】解：恒成立又由恒成立即又由故答案为：2．（2021秋•秀屿区校级月考）已知数列满足：，是与无关的常数且，若数列是单调递减数列，则的取值范围为 ．【解答】解：是与无关的常数且，，数列是等差数列，首项为，公差为，，．数列是单调递减数列，对于都成立．对于都成立．令，则是关于的单调递增数列，．．的取值范围为．{}n a n 1n n a a +<2n a n n λ=-+λ3λ<1n n a a +< 2n a n nλ=-+22(1)(1)n n n n λλ∴-+++<-+21n λ<+n N ∈+3λ∴<3λ<{}n a 11a =122(n n n a a k k +=+n 0)k ≠{}n a k 1(,)2-∞- 122(n n n a a k k +=+n 0)k ≠∴11222n n n n a a k ++=+∴{}2n n a 11122a =2k ∴1(1)222n n a k n =+-g ∴12[1(1)]n n a n k -=+- {}n a 1112(1)2[1(1)]2[1(1)]0n n n n n a a nk n k n k --+∴-=+-+-=++<*n N ∀∈∴11k n -<+*n N ∀∈1(1min k n -⇔<+1()1f n n =-+()f n n ∴1()2min f n =-12k ∴<-k ∴1(,)2-∞-故答案为．3．（2021•衡水模拟）若数列满足，则称数列为“差递减”数列，若数列是“差递减”数列，且其通项与其前项和满足，则实数的取值范围是 ．【解答】解：，时，，解得．时，，化为．同理可得：，，．，，，，，解得：．则实数的取值范围是．故答案为：．4．（2021•东湖区校级模拟）若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为 ．【解答】解：当时，，于是有：，所以，显然也适合，因此数列的通项公式为：．当为奇数时，，此时数列的奇数项数列是单调递增函数；当为偶数时，，此时数列的偶数项数列是单调递增函数，要想使不等式成立的有且只有三项，1(,2-∞-{}n a 2132431n n a a a a a a a a +->->->⋯>->⋯{}n a {}n a n a n *()n S n N ∈*2321()n n S a n N λ=+-∈λ12λ>*2321()n n S a n N λ=+-∈ 1n ∴=112321a a λ=+-112a λ=-2n …1233n n n a a a -=-13n n a a -=23(12)a λ=-39(12)a λ=-427(12)a λ=-212(12)a a λ∴-=-326(12)a a λ-=-4318(12)a a λ-=-213243a a a a a a ->->->⋯ 2(12)6(12)18(12)λλλ∴->->-12λ>λ12λ>12λ>{}n a 113a =-1(2)(2)n n n a a n -=+-…||n a λ…n a λ1335[,)332n …11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋯+-+211221(2)[1(2)]1(2)(2)(2)(2)(31(2)3n n n n n a ------=-+-+-+⋯+-+-=---111(2)3n n a +=--113a =-{}n a 111(2)3n n a +=--n 111111|||1(2)||12|21333n n n n a +++=--=-=-g {}n a n 111111|||1(2)||12|21333n n n n a +++=--=+=+g g {}n a ||n a λ…n a只需有：．故答案为：．5．（2021•辽宁模拟）已知数列满足：，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ．【解答】解：因为，即，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，即，所以，则，，因为数列是单调递增数列，所以对恒成立，即对恒成立，所以，又，即，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．6．（2021秋•渝中区校级月考）设数列满足．（1）若，则 ；（2）若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是 ．1234||||||||a a a a λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪>⎩………⇒23451213121312131213λλλλ⎧-⎪⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⎪⎪+>⎩………⇒131********λλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪<⎩………⇒133533λ<…1335[,)33{}n a 11a =121n n a a +=+1(2)(1)n n b n t a +=-+1b t =-{}n b t 2(,)3-∞121n n a a +=+112(1)n n a a ++=+{1}n a +112a +=1122n n a -+=⋅21n n a =-1(2)(1)(2)2n n n b n t a n t +=-+=-⋅1(12)2n n b n t -=--⋅2n ...{}n b 1(2)2(12)2n n n t n t --⋅>--⋅2n ...21n t >-2n (32)t <21b b >2(12)t t ->-23t <t 2(,)3-∞2(,)3-∞{}n a 2*121()n na a n N +=-∈112a =-2020a =12-{}n a 1a【解答】解：（1）若，则，故数列为常数列，故．（2）解法一：若数列是正项单调递增数列，则（舍去）或，当时，则，故若，则数列是单调递增数列，综上所述，的取值范围是．解法二：若数列是正项单调递增数列，则对于任意，，且，又此时，故或（舍去），综上所述，的取值范围是．二．解答题（共7小题）7．（2021秋•洛阳期中）已知数列的前项和为，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）若对任意整数恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）证明：，可得，即有，则数列是1为首项，4为公差的等差数列；（2）由（1）可得，即有，由可得，112a =-211212n n a a +=-=-12n a =-202012a =-{}n a 21121(21)(1)02n n n n n n n a a a a a a a +-=--=+->⇒<-1n a >1n a >21211n na a +=->11a >{}n a 1a (1,)+∞{}n a 2n …221111(21)(21)2()()0n n n n n n n n a a a a a a a a +----=---=+->10n n a a -->10n n a a -+>22111102101a a a a a ->⇒-->⇒>112a <-1a (1,)+∞{}n a n n S 11a =*1114(2,)n n n n n a a S S a n n N ---+=+∈…1{}na 111nn a a λλ++…(2)n n …λ*1114(2,)n n n n n a a S S a n n N ---+=+∈…1140n n n n a a a a --+-=1114(2)n n n a a --=…1{}na 114(1)43n n n a =+-=-143n a n =-111n n a a λλ++…1444143n n n λ-+-g …即，令，则，即有数列为递增数列，当时，取得最小值，且为，可得，解得或．即实数的取值范围为，．8．（2021•内江四模）已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）若，求函数的单调区间；（3）若正项数列满足，，证明：数列是递减数列．【解答】解：（1）由题意得，，则 ，解得，；（2）由（1）可得，由题意得，，①当时，令，解得或，所以在和上单调递增；令，解得，所以在上单调递减；②当时，，则在上单调递增；③当时，令，解得或，所以在和上单调递增；1(43)(41)(2)44n n n n λ-+-……(43)(41)(2)44n n n n n -+=-…ð1(41)(45)04(1)n n n n c n n ++--=>-ð{}n ð2n =4541454λ…0λ<445λ…λ4(,0)[45-∞ )+∞()x f x s ke -=-0x =y x =s k 21()(1)1(0)2x g x mlnx e x m x m -=-+-++>()()()h x g x f x =-{}n a 112a =1()n a n n a e f a +={}n a (0)0f =(0)1f '=01s k k -=⎧⎨=⎩1s =1k =()1x f x e -=-21()(1)(0)2h x mlnx x m x x =+-+>∴()(1)()(1)m x m x h x x m x x--'=+-+=01m <<()0h x '>0x m <<1x <()h x (0,)m (1,)+∞()0h x '<1m x <<()h x (,1)m 1m =()0h x '…()h x (0,)+∞1m >()0h x '>01x <<m x <()h x (0,1)(,)m +∞令，解得，所以在上单调递减；综上：当时，的单调递增区间和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间和，单调递减区间是．（3）证明：正项数列满足，，，数列是递减数列，等价为，即为，即为即，令，是上的增函数，，即，故，是递减数列．9．（2021春•安徽期末）已知数列中，，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列的前项和为①当时，求；②若单调递增，求的取值范围．【解答】解：（1）证明：设，则，，()0h x '<1x m <<()h x (1,)m 01m <<()h x (0,)m (1,)+∞(,1)m 1m =()h x (0,)+∞1m >()h x (0,1)(,)m +∞(1,)m {}n a 112a =1()n a n n a e f a +=∴1()1n na n n a n a a e f a e +-==-{}n a 1n n a a +<1n n a a e e +<1nn a n a a e e-<-1n a n e a >+()1(0)x t x e x x =-->()10(0)x t x e x '=->> ()t x ∴(0,)+∞()(0)0t x t ∴>=1x e x >+1n a n e a >+{}n a ∴{}n a 1(1)a t t =≠-12,1,2n n n a n n a a n n ++⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数2{1}n a +{}n a 2n 2:n S 1t =2n S 2{}n S t 21n n b a =+121b a =+212121a a t =+=+，（1分），（3分）数列是公比为2的等比数列，故数列是等比数列，（4分），，（6分）（2）由（1）得，，，（7分），（8分），，（10分）①当时，；（11分）②单调递增，对且恒成立，（12分）即，设，则，在且单调递减，（14分）12(1)0b t ∴=+≠⋯ 2(1)1212222221(221)1[2()21]12(1)21111n n n n n n n n n n a b a n a n n a b a a a a +++++++-++++=====++++⋯∴{}n b 2{1}n a +⋯∴11122(1)2(1)2n n n n b b t t --==+=+g g g ∴2(1)21n n a t =+-g ⋯221(1)21221n n n a t a n -=+-=+-g ∴121(1)2n n a t n --=+-g ⋯∴12123(1)21n n n a a t n --+=+--g ⋯21234212()()()n n n S a a a a a a -∴=++++⋯++1(3)3(1)(122)(12)3(1)(21)2n n n n t n n t -+=+++⋯+-++⋯+-=+--g g ⋯1t =∴12(3)(3)6(21)32622n n n n n n n S +++=--=⨯--⋯2{}n S ∴12223(1)210n n n S S t n ---=+-->g 2n …*n N ∈⋯113(1)2n n t -++>11,22n n n P n -+=…11210222n n n n n n n n P P +-++--=-=<{}n P ∴2n …*n N ∈⋯，，即，故的取值范围为．（16分）10．（2021春•南昌期末）已知首项为正的数列中，相邻两项不为相反数，且前项和（1）求证：数列为等差数列；（2）设数列的前项和为，对一切正整数都有成立，求的最大值．【解答】（本小题12分）解：（1）证明：，，，或．又相邻两项不为相反数，，数列为公差为2的等差数列．（2）由或，数列的首项为正，，由（1）得，数列在，上是递增数列．又当时， 232P =∴33(1)2t +>12t >-t 1(,)2-+∞⋯{}n a n 1(5)(7)4n n n S a a =-+{}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n n T M …M 1(5)(7)4n n n S a a =-+ 11n n na S S ++∴=-1111(5)(7)(5)(7)44n n n n a a a a ++=-+--+11(2)()0n n n n a a a a ++∴--+=12n n a a +∴-=10n n a a ++=12n n a a +∴-=∴{}n a 11111(5)(7)74S a a a =-+⇒=15a =- {}n a 17a ∴=25n a n =+∴111111()(25)(27)22527n n a a n n n n +==-++++∴1111111111[()()()](27991125272727n T n n n =-+-+⋯+-=-+++∴*{}()n T n N ∈[1)+∞1n =1163T =要使得对于一切正整数都有成立，只要，所以的最大值为．11．（2021•天津一模）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：，，，即．在中，令，得，代入得．，，两式相减，得：，数列的偶数项，，，，，依次构成一个等差数列，且公差为，当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，由上式及知：，数列的通项公式是．，∴n n T M …163M …M 163{}n a n n S n 212n n S n a =+142n n a a n ++=+{}n a a 12111(1)(1(1)n a a a --⋯-<n a 2*1()()2n n I S n a n N =+∈ ∴2211111[(1)][]22n n n n n a S S n a n a +++=-=++-+1112122n n a a n +=-++∴11()212n n a a n ++=+*142,n n a a n n N ++=+∈()II 2*1()2n n S n a n N =+∈1n =12a =()I 24a =142n n a a n ++=+ 2146n n a a n ++∴+=+24n n a a +-=∴{}n a 2a 4a 6a ⋯26a ⋯4d =∴n2(1)24(1)222n n n a a d n =+-=+-=n 1n +()I 142422(1)2n n a n a n n n +=+-=+-+=∴{}n a 2n a n =12111()(1)(1(1n III a a a --⋯-<，令，则由知，．，即的值随的增大而减小，时，的最大值为，若存在实数，符合题意，则必有：，它等价于，解得，或因此，存在实数，符合题意，其取值范围为．12．已知数列的前项和为，且对一切正整数都有．（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：对一切都成立．21211123)(1)(12n a a a a a---⋯-<12111())(1)nf n a a a =--⋯-()II ()0f n >∴12(1)()nf n f n +====1=<(1)()f n f n ∴+<()f n n *n N ∴∈()f n (1)f =a 2232a a ->0>(0a a a +>0a <<a >a ()+∞ {}n a n n S n 212n n S n a =+142n n a a n ++=+{}n a 12111()(1)(1)(1n f n a a a =--⋯-(1)()f n f n +<n N ⨯∈【解答】解：（1）．①．②②①得：；（2）；；又（3）对一切都成立．13．（2017秋•海安市校级月考）首项为正数的数列满足．（1）证明：若为奇数，则对，都是奇数；（2）若对，都有，求的取值范围．【解答】（1）证明：利用数学归纳法证明：已知是奇数，时成立．假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数．即时也成立．根据数学归纳法，对任何，都是奇数．（2）解：由，得，于是或．，因为，，所以所有的均大于0，因此与同号．因此，对一切都有的充要条件是或．212n n S n a =+ 2111(1)2n n S n a ++∴=++∴-142n n a a n ++=+142n n a a n ++=+ 112(1)(2)(1)(2)n n n a n a n a +∴-+=--=⋯=--12a =2n a n∴=1111()(1)(1)(1(12462f n n=---⋯-∴(1)1()f n f n +=<(1)()f n f n ∴+<n N ⨯∈{}n a 2*11(3),4n n a a n N +=+∈1a *n N ∀∈n a *n N ∀∈1n n a a +>1a 1︒1a 1n =2︒21k a m =-m 211(3)(1)14k k a a m m +=+=-+1n k =+2n …n a 212134a a a +=>211430a a -+>101a <<13a >22111133()()444n n n n n n n n a a a a a a a a ---+++-+-=-=10a >2*11(3),4n n a a n N +=+∈n a 1n n a a +-1n n a a --n N +∈1n n a a +>101a <<13a >。
5.3.1 函数的单调性(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练选择性必修二
2．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数 f x x3 x2 ax 1在 R 上为单调
递增函数，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．
,
1 3
B．
,
1 3
【答案】A
C．
1 3
,
D．
1 3
,
【解析】 f x 3x2 2x a ，
A． 2 2,
B． 2 2,
C． , 2 2
D． ,2 2
【答案】D
【解析】由题可知， f x 0 在 2, 1 内存在解，因为 f x x2 ax 2 ，所以 f x 0 在 2, 1 内存在
解，等价于 x 2 a 在 2, 1 内存在解，易知函数 y x 2 在 2, 2 上递增，在 2, 1 上递减，所
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若函数 f x 单调递增，有 f x e2x 2ex a ex 1 2 a 1 0 恒成立，
可得 a 1 0 ，解得： a 1 ，
因为 a 1 a 0 ，但 a 0 a 1 ，所以“ a<0 ”是“函数 f x 1 e2x 2ex ax 为增函数”的必要不充分条
x
x
以
x
2 x
max
2
2 ，当且仅当 x
2 时取得，所以 a 2
2 ．故选：D．
4．（2022·广西）已知函数 f (x) ln x ax 2 在区间 (1, 2) 上不单调，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．
1 2
,1
B．
1 2
,1
C．
1 3
,
1 2
(超详)高中数学知识点归纳汇总(高一至高三全套)
做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f : A B ．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法
①设 a, b 是两个实数，且 a b ，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做[a, b] ；满足 a x b
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③ f (x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1．
⑤ y tan x 中， x k (k Z ) ． 2
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若 f (x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的
（1）利用定义
函数的
某个区间上的任意两个 自 变 量 的 值 x1 、 x2, 当 x．1．<．x．2 ． 时 ， 都 有 f．(．x．1．)．<．f．(．x．2．)．， 那 么 就 说 f(x)在这个区间 上是增． 函．数．．
y y=f(X)
f(x1)
o
x1
f(x2)
x2
x
（2）利用已知函数 的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数
判别式
b2 4ac
二次函数
y ax2 bx c(a 0)
的图象
0
0
0
O
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的根
x1,2 b
b2 4ac 2a
（其中 x1 x2 )
x1
x2
b 2a
无实根
ax2 bx c 0(a 0) 的解集
第13讲 函数的单调性
第13讲函数的单调性【知识点梳理】1.函数单调性的定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。
2.单调性的定义的等价形式：设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数。
()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是增函数。
3.复合函数单调性的判断。
（同增异减）4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈).5.在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-(x f 增函数)(x g 是减函数。
6.函数)0,0(>>+=b a x b ax y 在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减。
7.复合函数单调性的判断讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下:1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数;2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表下:()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作:1．将复合函数分解成基本初等函数：()y f u =，()u g x =;2．分别确定各个函数的定义域;3．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．注若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则[()]y f g x =为增函数;若为一增一减或一减一增，则[()]y f g x =为减函数．题型目录：题型一：用定义法证明函数单调性题型二：抽象函数单调性的判断证明题型三：函数单调性定义的理解题型四：基本初等函数的单调性题型五：函绝对值函数的单调性判断题型六：已知函数的单调性求参数范围题型七：分段函数的单调性求参数范围题型八：复合函数单调性（同增异减）题型九：抽象函数单调性解不等式【典型例题】题型一：用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号:判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论．【例1】证明函数1()f x x x=+在（0，1）上是减函数。
第13讲-函数的单调性
主 题 函数的单调性教学内容1. 理解函数单调性的定义；2. 会用定义证明函数的单调性，能应用单调性解相关题目。
1. 如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1：气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气 温逐渐升高”这一特征？问题3: 对于任意的1t 、[]24,14t ∈时，当12t t <时，是否都有()()12f t f t <呢?于是给出单调增函数的定义：注：找出单调增函数概念中的关键词（区间内、任意、“当21x x <时，都有)()(21x f x f <”）.例1. 定义域是[]10,10-，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性.例2. 利用定义判定(证明)函数()12+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数.试一试：求证：函数1()f x x=在区间(0,)+∞上为单调减函数.例3. 判定函数()2f x x =，[]4,2x ∈-的单调性，并求出它的单调区间.小结：1.2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2b x a=-， 2y ax bx c =++ 单调增区间单调减区间 0a > ,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 0a <,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ ,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 2.y kx b =+（1）当0k >时，在(),-∞+∞上单调递增； （2）当0k <时，在(),-∞+∞上单调递减.3.k y x= （1）当0k >时，在()(),00,-∞+∞和上单调递减； （2）当0k <时，在()(),00,-∞+∞和上单调递增. 注意强调类似于反比例函数的这种单调区间要写和，不能用并集符号。
试一试：判断函数()223f x x x =-+，[]2,2x ∈-的单调性，并求出它的单调区间.例4. 若函数12++=ax x y 在]2,(-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_____________；试一试：若函数21y ax x =-+在]2,(-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_________________；1. 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ） A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x 2D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间[2,)-+∞上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)的值（ ）A ．－7B ．1C ．17D ．253. 已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )4. 已知函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，求实数m 的取值范围是 。
高中数学精选知识点串讲(完整版)
高中数学精选知识点串讲(完整版)一、知识概述《函数单调性》①基本定义：函数单调性是描述函数在其定义域内上升趋势或下降趋势的特性。
简单来说，如果在一个区间内，随着自变量的增加，函数值一直增加或者一直减少，我们就说这个函数在这个区间内是单调的。
②重要程度：函数单调性是高中数学中极为基础且关键的内容。
它不仅能够帮助我们判断函数图像的变化趋势，还与函数的极值、凹凸性等概念紧密相关，是理解函数性质的基础。
③前置知识：需要理解函数的基本概念，包括变量、函数值、定义域、值域等。
④应用价值：掌握函数单调性对于解决实际问题非常重要，比如在经济学中分析产量与成本的关系、在物理学中研究速度与时间的关系等，都需要用到单调性的概念。
二、知识体系①知识图谱：函数单调性与函数的极限、连续性、极值等知识紧密相连，构成了函数研究的基础框架。
②关联知识：函数单调性与导数有着密切的联系，导数的正负可以直接反映函数的单调性。
同时，函数的极值点也往往是单调性发生改变的临界点。
③重难点分析：掌握函数单调性的重点在于理解并熟练应用单调性的定义及其判定方法。
难点在于灵活运用定义分析法、导数法等工具来分析和判断函数的单调区间。
④考点分析：在考试中，函数单调性通常是必考内容。
常以选择题、填空题或解答题的形式出现，可能涉及函数的单调性证明、单调区间的求解等。
三、详细讲解函数单调性的讲解可以从以下几个方面入手：①概念辨析：明确函数单调性的定义，区分“单调递增”与“单调递减”两个概念。
例如，如果对于任意两个数x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)，那么我们就说函数f(x)在对应区间内是单调递增的。
反之，则是单调递减的。
②特征分析：函数单调性的关键在于自变量增加时，函数值的变化趋势。
观察函数图像时，单调递增的函数图像呈上升趋势，单调递减的图像则呈下降趋势。
③分类说明：函数单调性并没有固定的类型划分，但它可以根据单调区间的不同进行描述，比如在整个定义域内单调，或者在分段区间内单调等。
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主 题 函数的单调性
教学内容
1. 理解函数单调性的定义；
2. 会用定义证明函数的单调性，能应用单调性解相关题目。
1. 如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：
问题1：气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大
气 温逐渐升高”这一特征？
问题3: 对于任意的1t 、[]24,14t ∈时，当12t t <时，是否
都有()()12f t f t <呢?
于是给出单调增函数的定义：
注：找出单调增函数概念中的关键词（区间内、任意、“当21x x <时，都有)()(21x f x f <”）.
例1. 定义域是[]10,10-，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性.
例2. 利用定义判定(证明)函数()12+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数.
试一试：求证：函数1()f x x
=
在区间(0,)+∞上为单调减函数.
例3. 判定函数()2f x x =，[]4,2x ∈-的单调性，并求出它的单调区间.
小结：
1.2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2b x a
=-， 2y ax bx c =++ 单调增区间
单调减区间 0a > ,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 0a <
,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ ,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 2.y kx b =+
（1）当0k >时，在(),-∞+∞上单调递增； （2）当0k <时，在(),-∞+∞上单调递减.
3.k y x
= （1）当0k >时，在()(),00,-∞+∞和上单调递减； （2）当0k <时，在()(),00,-∞+∞和上单调递增. 注意强调类似于反比例函数的这种单调区间要写和，不能用并集符号。
试一试：判断函数()223f x x x =-+，[]2,2x ∈-的单调性，并求出它的单调区间.
例4. 若函数12
++=ax x y 在]2,(-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_____________；
试一试：若函数21y ax x =-+在]2,(-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_________________；
1. 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是
（ ） A ．y =2x ＋1
B ．y =3x 2＋1
C ．y =x 2
D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间[2,)-+∞上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)的值（ ）
A ．－7
B ．1
C ．17
D ．25
3. 已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )
B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )
C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )
D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )
4. 已知函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，求实数m 的取值范围是 。
5. 求证：函数2
2y x =-+在区间(,0]-∞上是单调增函数.
6. 已知函数a ax x x f -++=3)(2，R a ∈. 若)(x f y =在]3,1[-上单调，试求a 的取值范围；
本节课主要知识点：函数单调性的定义，证明函数单调性的一般步骤，单调性性质的应用。
【巩固练习】 1. 已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≤3
B ．a ≥－3
C ．a ≤5
D ．a ≥3
2. 判断函数y x =
在定义域[)0,+∞上的单调性.。