倍角公式和半角公式一

倍角公式和半角公式一 Prepared on 24 November 2020

倍角公式和半角公式一

目标认知：

学习目标：

1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式；

2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）；

3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用．

学习重点：

倍角公式及其变形．

学习难点：

倍半角公式变形及应用．

内容解析：

1．倍角公式

在和角公式中令=，即得二倍角公式：

；

；

．

注意：

（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三

角函数之间的互化问题．

（2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与，与等，也为

引出半角作准备．

（3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式．

（4）二倍角的正切公式成立的条件：．（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．

（6）公式的逆用及变形：．

2．半角公式

由倍角公式变形得到：

；；；

前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式：

；；；

其中正负号由的象限确定．

借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在于可以不必考虑正负．

3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）

（1）积化和差：

（2）和差化积：

本周典型例题：

1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴

∴sin2a = 2sinacosa =

cos2a = tan2a =

2．已知，求．

解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论．

=．

3．求值：

（1）；（2）；

（3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°；

解析：（1）=；

（2）＝；

（3）＝；

（4）＝；

（5）cos20°cos40°cos80° =

注意：关注（5）的结构特点．

4．化简：

（1）

（2）

（3）

（4）

解析：（1）

（2）

（3）

（4）

5．已知：，求．解析：

先关注角——已知中的两个角互为余角．则有：

，

．

6．证明

解析：左==右，

另解：右=左．7．已知函数．

（1）求的周期与单调区间；

（2）设，，求的值．

解析：倍角公式与辅助角公式相结合．

（1）整理化简

所以周期为，增区间，减区间

（2），进而

所以

8．已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的值域．

解析：（1）

由

函数图象的对称轴方程为

（2）

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，取最大值 1

又，当时，取最小值

所以函数在区间上的值域为

9．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．解析：（Ⅰ）

．

的最小正周期．

当时，取得最小值；

当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．

函数是偶函数．

参考答案：

DCB 2008

8．解：——降次

∵∴