基于Matlab的超静定刚架计算和内力图绘制_李继生

[收稿日期]2011 02 26 [作者简介]李继生,男,讲师,现主要从事力学算法方面的教学与研究工作。

doi:10 3969/j issn 1673 1409 2011 06 038

基于Matlab 的超静定刚架计算和内力图绘制

李继生 (黄淮学院数学科学系,河南驻马店463000)

[摘要]在解算超静定刚架时,系数和自由项多,计算量大,内力图多。根据力学方法,运用数学变换,

基于M at lab 大型数学计算软件,给出了刚架的一种算法,分步编制了横杆和竖杆的计算和绘图程序。

M atlab 的这一应用减少了计算量,提高了绘图质量,拓展了M at lab 在力学中的应用范围,在结构力学计

算和绘图中具有普遍的适用性。

[关键词]超静定刚架;内力图;M atlab

[中图分类号]T U 391;O 342

[文献标识码]A [文章编号]1673 1409(2011)06 0121 03

用结构力学[1]求解超静定刚架,当结构的超静定次数n 较大或未知量数目较多时,系数和自由项的计算量和绘图量很大。以力法为例,对于n n 阶系数矩阵,根据位移互等定理可知系数矩阵中,有n +(n 2-n)/2=(n 2+n)/2个计算量,再加上n 个自由项,所以一个n 次超静定应有(n 2

+3n)/2个计算量;同时,也要绘制(n+1)个弯矩图。

应用Matlab [2 8]软件的丰富可靠的程序编制、矩阵运算、数据处理和图形绘制等便利工具,可高效简捷地解决计算量和作图问题。下面,笔者基于M atlab 大型数学计算软件,给出了刚架的一种算法,分步编制了横杆和竖杆的计算和绘图程序。1 计算方法和步骤

基于M atlab,用力法计算超静定刚架一般可分为4个步骤: 依据力学知识建立超静定刚架的力法基本方程; 建立各杆段的弯矩方程,用M atlab 中的积分函数int [9]计算系数和自由项; 把系数和自由项代入力法基本方程,用M atlab 中的矩阵除法X =A /b 来计算多余未知力; 用M atlab 语言编制的程序和其中的图形编辑窗口来绘制弯矩图和剪力图。

2 应用举例

例1 用力法求图1所示刚架B 点处的反力并作刚架的弯矩图和剪力图,抗弯刚度EI =常数。

刚架是一个二次超静定结构,它的力法基本方程是:

11X 1+ 12X 2+ 1p =0 21X 1+ 22X 2+ 2p =0

式中,系数 ij 和自由项 i p 都代表基本结构的位移,i 和j 可分别取1和2。

为了计算系数和自由项,首先要列出弯矩方程,为此,取静定的基本体系(见图2)和基本结构(见图3)

。

图1 超静定刚架 图2 力法的基本体系 图3 力法的基本结构

121 长江大学学报(自然科学版) 2011年6月第8卷第6期

Journal of Yangtze University (Nat Sci Edit) Jun 2011,V ol 8N o 6

图2中,X 1和X 2为B 支座处的反力。

分段列弯矩方程如下:

在AC 梁段内(0 x 12,以A 点为坐标原点):

M 1=10 M 2=12-x M p =-50 5

在CD 梁段内(0 x 5,以C 点为坐标原点):

M 1=10-x M 2=0 M p =-50 (5-x )

在DB 梁段内(0 x 5,以D 点为坐标原点):

M 1=5-x M 2=0 M p =0

式中, M 1和 M 2为在单位荷载作用下所产生的弯矩,kN m ;M p 为在结构荷载作用下所产生的弯矩,kN m 。

运用Matlab 计算系数和自由项,只需列出杆段相应的弯矩方程并代入系数和自由项表达式,而不必每一计算步骤都要画出荷载弯矩图和单位弯矩图;同时,图乘法只适用于至少有一个直线型弯矩图的情况,而弯矩方程适用于任意状况,因此,用弯矩方程进行积分运算来求解系数和自由项更具一般意义,应用范围更广。

2 1 计算系数和自由项

因为力法基本方程中的各项都有E I ,可以消去。计算超静定结构在荷载作用下的内力时,只需要知道各杆EI 的相对值,而不需要各杆E I 的绝对值。

设AC 段的抗弯刚度为EI /12=1,则CB 段的抗弯刚度为12/10=1 2。根据叠加原理,在A C 、CD 和DB 3个杆段内,用积分函数int 逐个求出每一个系数和自由项的分量,并直接叠加,即可得到相应的系数和自由项。

在A C 梁段内:

111=int ((100),x ,0,12)=1200

在CD 梁段内:

211=int (((10-x )2),x ,0,5)=8753

在DB 梁段内: 3

11=int (((5-x )2),x ,0,5)=1253则:

11= 111+ 211+ 311=1533 3

其他系数和自由项为:

21=int ((10(12-x )),x ,0,12)=720 22=int (((12-x )2),x ,0,12)=576

1p =int ((-50 5 10),x ,0,12)+int ((-50 (5-x ) (10-x )/1 2),x ,0,5)=-61812518 2p =int ((-50 5 (12-x )),x ,0,12)=-18000

将以上系数和自由项代入力法基本方程,并将自由项移到等号右侧,用M atlab 中求解线性方程组的矩阵除法X =A /b 进行运算,可得:

A =1533 3720720576

b =[618125/18,18000]T

X =[18 6962,7 8798]即图2中的X 1=18 6962kN ;X 2=7 8798kN 。2 2 绘制弯矩图和剪力图

把X 1=18 6962kN ;X 2=7 8798kN 代入图2的分段弯矩方程,根据弯矩方程来作图。

在AC 梁段内:

M = M 1 X 1+ M 2 X 2+M p =10 18 6962+(12-x ) 7 8798-50 5

在CD 梁段内:

M = M 1 X 1+ M 2 X 2+M p =(10-x ) 18 6962-50 (5-x )

在DB 梁段内:

122 长江大学学报(自然科学版)2011年6月