与圆有关的位置关系知识点,圆与圆的位置关系经典例题及答案解析
圆与圆的位置关系(解析版)
第50讲：圆与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0).三、自主热身、归纳总结1、圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0，则两圆的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y ＋2)2＝22，∴C 1C 2＝5，且2－1＜5＜2＋1，∴两圆相交．故选B .2、圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为( )A . 2B . 2 2C . 3D . 23 【答案】B【解析】由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，∴所求弦长为2 2.故选B .3、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B 【解析】圆M ：x 2＋(y －a)2＝a 2(a>0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫||a 22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2，由||2－1<()0－12＋()2－12<2＋1得两圆相交．故选B .4、知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为____． 【答案】(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18【解析】 设圆C 方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则由题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，()a ＋52＋()b ＋52＝()r±522，a 2＋()b ＋62＝r2解之得圆C 方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.5、半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为_ _ 【答案】(x±4)2＋(y －6)2＝36．【解析】 由题意知，圆心可设为(a ，6)，半径r ＝6，∴()a －02＋()6－32＝6－1，∴a ＝±4，∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.6、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 【答案】2或－5【解析】圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.当圆C 1与圆C 2相外切时，显然有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，整理得m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2.四、例题选讲考点一、圆与圆的位置关系例1、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解析】 两圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)当m ＝45时，4－11＜|MN |＝5＜11＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.所以公共弦长为=. 变式1、分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．【解析】 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2＝50－k ，k<50.从而|C 1C 2|＝（－2－1）2＋（3－7）2＝5. 当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k<6， 即14<k<34时，两圆相交．当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切； 当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切． ∴当k ＝14或k ＝34时，两圆相切．方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．考点二 圆与圆的综合问题例2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为________．【答案】 94【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故ab 的最大值为94.变式1、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相内切， 则 a 2＋b 2的最小值为__________．【答案】 12【解析】 由圆C 1与圆C 2内切，得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1，即(a ＋b)2＝1.又由基本不等式a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a 2＋b 2的最小值为12.变式2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相交”，则公共弦所在的直线方程为______________________． 【答案】 (2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0【解析】 由题意将圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0①，圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0②， 由②－①得(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0，即所求公共弦所在直线方程为(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0.变式3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A. 3B. 8C. 4D. 9 【答案】D【解析】 由题设中可知两圆相内切，其中C 1(－2a ，0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝a 2＋4b 2，由题设可知a 2＋4b 2＝2－1，即a 2＋4b 2＝1，则1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(a 2＋4b 2)＝5＋4b 2a 2＋a 2b2≥5＋4＝9.当且仅当a 2＝2b 2时等号成立．故选D.变式4、 已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为____． 【答案】[]7，13【解析】 设AB 的中点为E ，则其轨迹为x 2＋y 2＝14，|PA →＋PB →|＝2||PE →，由||PE →∈⎣⎡⎦⎤72，132，∴|PA →＋PB →|∈[]7，13.变式5、 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0交点的圆的方程．【解析】 (方法1)(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解这个方程组求得两圆的交点坐标A(－4，0)，B(0，2)． 因所求圆心在直线x ＋y ＝0上，故设所求圆心坐标为(x ，－x)，则它到上面的两上交点(－4，0)和(0，2)的距离相等，故有()－4－x 2＋()0＋x 2＝x 2＋()2＋x 2，即4x ＝－12，∴x ＝－3，y ＝－x ＝3，从而圆心坐标是(－3，3)．又r ＝()－4＋32＋32＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法2)(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)同方法1求得两交点坐标A(－4，0)，B(0，2)，弦AB 的垂直平分线方程为2x ＋y ＋3＝0，它与直线x ＋y ＝0交点(－3，3)就是圆心，又半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法3)(用待定系数法求圆的方程)同方法1求得两交点坐标为A(－4，0)，B(0，2)．设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵两点在此圆上，且圆心在x ＋y ＝0上，∴得方程组⎩⎨⎧()－4－a 2＋b 2＝r 2，a 2＋()3－b 2＝r 2，a ＋b ＝0，解之得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法4)设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－2()1－λ1＋λx ＋2()5＋λ1＋λy －8()3＋λ1＋λ＝0.可知圆心坐标为(1－λ1＋λ，－5＋λ1＋λ)．∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴1－λ1＋λ－5＋λ1＋λ＝0，解得λ＝－2.将λ＝－2代入所设方程并化简，求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的关系，然后转化为函数的思想进行解决。
第11讲 圆与圆的位置关系(解析版)
第11讲 圆与圆的位置关系题型一：圆与圆的位置关系【例1】（2022·全国·高二课时练习）“a ＝3”是“圆与圆相切”的（ ）221x y +=()224x a y ++=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】（北京高二期末）已知圆的方程为，圆的方程为1O 22()()4x a y b -+-=2O ，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）22(1)1x y b +-+=,a b ∈R A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为()()4:221=-+-b y a x O ()b a O ,121=r 圆的圆心为，半径为()11:222=+-+b y x O ()1,01-b O 12=r 所以，所以两圆不可能内含，故选C2122111r r a O O -=≥+=【例3】（山东聊城市·高二期末）已知圆与圆()()()221:80C x a y a a -+-=>没有公共点，则实数的取值范围为（ ）222:220C x y x y +--=a A ．B ．()0,2()4,+∞C ．D ．()()0,24,+∞ ()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆；()()8:221=-+-a y a x C ()a a C ,1221=r 所以圆，，圆心，半径为()()211:222=-+-y x C ()1,12C 22=r 所以，由于两圆没有公共点，则或者()()12112221-=-+-=a a a C C 121-<r C C ，解得或者，故选C121+>r C C 20<<a 4>a 【例4】（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点，，若圆C 上存在点P ，使得(),0A m -()(),00B m m >90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】【分析】由题意得点轨迹，转化为有交点问题P 【详解】，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，90APB ∠=︒AB O ||OP m =P m又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则，而，|1|||1m OC m -≤≤+||10OC ==得．911m ≤≤故选：B【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆229:4O x y +=22:()(1)1M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得，则实数π3APB ∠=a的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[[[【题型专练】1.（浙江高二期末）圆与圆的位置关系为（ ）221:(1)1C x y -+=222:(4)(4)17C x y -+-=A ．内切B ．相切C ．相交D ．外离【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为()11:221=+-y x C ()0,11C 11=r 圆的圆心为，半径为()()1744:222=-+-y x C ()4,42C 172=r 所以，所以两圆相交，故选C()171541411721222112+=+<=+-=<-=-r r C C r r2.（2022·全国·高二课时练习）（多选）若圆与圆()(221:19C x y -+=()222:1Cx a y -+=没有公共点，则实数a 的值可能是（ ）A ．7B ．C ．－2D ．11【答案】AD3.（江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆关于直线()221:210C x y x my m R +-++=∈对称，圆的标准方程是，则圆与圆210x y ++=2C ()()222316x y ++-=1C 2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】B【解析】圆，即，表示以012:221=++-+my x y x C ()421222m m y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫⎝⎛-2,11m C 为圆心，因为圆关于直线对称。
圆与圆的位置关系参考答案
2.5.2 圆与圆的位置关系参考答案1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( )A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离答案 C解析 由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2，所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 A解析 圆x 2＋y 2－2x －5＝0的圆心为M (1,0)，圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心为N (－1,2)，两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ，其方程为y －0x －1＝2－0－1－1，即x ＋y －1＝0. 3．圆(x －4)2＋y 2＝9和圆x 2＋(y －3)2＝4的公切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2. 两圆的圆心距为42＋32＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋m ＝0与圆(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝36内切，则实数m 的值为( )A ．0B ．－120C ．0或－120D ．5答案 C解析 将圆C ：x 2＋y 2－2x ＋m ＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－m ，由两圆内切可得|6－1－m |＝5，解得m ＝0或－120.5．圆C 1：(x －1)2＋y 2＝4与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9的相交弦所在的直线为l ，则直线l 被圆O ：x 2＋y 2＝4截得的弦长为( ) A.13 B ．4 C.43913 D.83913答案 D解析 由圆C 1与圆C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0.圆心O (0,0)到l 的距离d ＝21313，圆O 的半径R ＝2， 所以截得的弦长为2R 2－d 2＝24－413＝83913. 6．(多选)下列圆中与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相切的是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝9B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝9C ．(x －2)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝49答案 BCD解析 由圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，可知圆心C 的坐标为(－1,2)，半径r ＝2.A 项，圆心C 1(－2，－2)，半径r 1＝3.∵|C 1C |＝17∈(r 1－r ，r 1＋r )，∴两圆相交；B 项，圆心C 2(2，－2)，半径r 2＝3，∵|C 2C |＝5＝r ＋r 2，∴两圆外切，满足条件；C 项，圆心C 3(2,2)，半径r 3＝5，∵|C 3C |＝3＝r 3－r ，∴两圆内切；D 项，圆心C 4(2，－2)，半径r 4＝7，∵|C 4C |＝5＝r 4－r ，∴两圆内切．7．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，则实数a ，b 的关系是________．答案 4a 2＋b 2＝1解析 圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0，化为标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2a ,0)，半径长为2.圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0，化为标准方程为x 2＋(y －b )2＝1.圆心坐标为(0，b )，半径长为1.由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以(2a )2＋b 2＝2－1＝1，整理得4a 2＋b 2＝1.8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0 解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0. 9．已知两圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，直线l ：x ＋2y ＝0.(1)当圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4时，求r 的值；(2)当r ＝1时，求经过圆C 1与圆C 2的交点且和直线l 相切的圆的方程．解 (1)由圆C 1：x 2＋y 2＝4，知圆心C 1(0,0)，半径r 1＝2，又由圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，可得x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x ＋4y －9＋r 2＝0.因为圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C 1(0,0)，即r 2＝9(r >0)，解得r ＝3.(2)设过圆C 1与圆C 2的圆系方程为(x －1)2＋(y －2)2－1＋λ(x 2＋y 2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)·y 2－2x －4y ＋4(1－λ)＝0，所以⎝⎛⎭⎫x －1λ＋12＋⎝⎛⎭⎫y －2λ＋12＝4λ2＋1(λ＋1)2，由圆心到直线x ＋2y ＝0的距离等于圆的半径，可得⎪⎪⎪⎪1λ＋1＋4λ＋15＝4λ2＋1|λ＋1|，解得λ＝1，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0. 10．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0.(1)若直线l 1过定点A (1,1)，且与圆C 相切，求l 1的方程；(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x －y ＋2＝0上，且与圆C 外切，求圆D 的方程． 解 (1)圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4，所以圆C 的圆心为(3,4)，半径为2.①若直线l 1的斜率不存在，即直线为x ＝1，符合题意．②若直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为y －1＝k (x －1)．即kx －y －k ＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，所以|3k －4－k ＋1|k 2＋1＝2，即|2k －3|k 2＋1＝2， 解得k ＝512，所以直线方程为5x －12y ＋7＝0. 综上，所求l 1的方程为x ＝1和5x －12y ＋7＝0.(2)依题意，设D (a ，a ＋2)．又已知圆C 的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知|CD |＝5，∴(a －3)2＋(a ＋2－4)2＝5，解得a ＝－1或a ＝6.∴D (－1,1)或D (6,8)，∴所求圆D 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝9或(x －6)2＋(y －8)2＝9.11. 设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C 1C 2|为( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．82答案 C解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y ＝x 上．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32，∴|C 1C 2|＝(a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.12．(多选)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ，则有( )A ．公共弦AB 所在直线的方程为x －y ＝0B ．线段AB 中垂线的方程为x ＋y －1＝0C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为22＋1 答案 ABD解析 对于A ，由圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ， 两式作差可得4x －4y ＝0，即公共弦AB 所在直线方程为x －y ＝0，故A 正确；对于B ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，又k AB ＝1，则线段AB 中垂线的斜率为－1，即线段AB 中垂线的方程为y －0＝－1×(x －1)，整理可得x ＋y －1＝0，故B 正确；对于C ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，半径r ＝1，所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫222＝2，故C 不正确； 对于D ，P 为圆O 1上一动点，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离为d ＝22，半径r ＝1，即P 到直线AB 距离的最大值为22＋1，故D 正确． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1 : x 2 ＋y 2＝8与圆C 2 : x 2＋y 2＋2x ＋y －a ＝0相交于A ，B 两点．若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为________________． 答案 {}8，8－25，8＋25解析 由题知，直线AB 为2x ＋y ＋8－a ＝0，当∠P AB ＝90°或∠PBA ＝90°时，设C 1到AB 的距离为d ，因为△ABP 为等腰直角三角形，所以d ＝12|AB |，即d ＝8－d 2，所以d ＝2，所以|8－a |22＋12＝d ＝2， 解得a ＝8±25， 当∠APB ＝90°时，AB 经过圆心C 1，则8－a ＝0，即a ＝8.14．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________________．答案 x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入直线l ：2x ＋4y －1＝0的方程， 可得λ＝13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 解析 因为圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0，所以(x －a )2＋(y －a )2＝1，其圆心C (a ，a )，半径r ＝1.因为点P 到点(0,1)的距离为2，所以P 点的轨迹为x 2＋(y －1)2＝4.因为P 又在(x －a )2＋(y －a )2＝1上，所以圆C 与圆x 2＋(y －1)2＝4有交点，即2－1≤a 2＋(a －1)2≤2＋1，所以1－172≤a ≤0或1≤a ≤1＋172. 所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172. 16．已知圆M 与圆N ：⎝⎛⎭⎫x －532＋⎝⎛⎭⎫y ＋532＝r 2关于直线y ＝x 对称，且点D ⎝⎛⎭⎫－13，53在圆M 上． (1)判断圆M 与圆N 的位置关系；(2)设P 为圆M 上任意一点，A ⎝⎛⎭⎫－1，53，B ⎝⎛⎭⎫1，53，P ，A ，B 三点不共线，PG 为∠APB 的平分线，且交AB 于G ，求证：△PBG 与△APG 的面积之比为定值．(1)解 N ⎝⎛⎭⎫53，－53关于直线y ＝x 的对称点为M ⎝⎛⎭⎫－53，53， 所以圆M 的半径r ＝|MD |2＝⎝⎛⎭⎫－53＋132＋⎝⎛⎭⎫53－532＝43， 所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋532＋⎝⎛⎭⎫y －532＝169. 又|MN |＝⎝⎛⎭⎫1032＋⎝⎛⎭⎫1032＝1023>43×2， 故圆M 与圆N 相离．(2)证明 设P (x 0，y 0)，则|P A |2＝(x 0＋1)2＋⎝⎛⎭⎫y 0－532＝(x 0＋1)2＋169－⎝⎛⎭⎫x 0＋532＝－43x 0，|PB |2＝(x 0－1)2＋⎝⎛⎭⎫y 0－532＝(x 0－1)2＋169－⎝⎛⎭⎫x 0＋532＝－163x 0， 所以⎝⎛⎭⎫|P A ||PB |2＝14，即|P A ||PB |＝12. 又PG 为∠APB 的平分线，故S △BPG S △APG ＝|PB ||P A |＝2为定值．。
直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题及高考题和答案
直线与圆、圆与圆位置关系【考纲说明】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
【知识梳理】一、直线与圆的位置关系1、 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法（1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式24b ac ∆=-0∆>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点0∆=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点0∆<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点2、圆的切线方程若圆的方程为222x y r +=，点P 00(,)x y 在圆上，则过P 点且与圆222x y r +=相切的切线方程为2o o x x y y r +=.经过圆22()()x a y b r -+-=上一点P 00(,)x y 的切线方程为222()()22o o x x y y a b r ++-+-=. 3、直线与圆相交直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有2224l r d =+，即l =二、圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。
2、判断圆与圆的位置关系常用方法（1）几何法：设两圆圆心分别为12,O O ，半径为1212,()r r r r ≠，则1212OO r r >+⇔圆1O与圆2O 相离⇔有4条公切线 1212OO r r =+⇔圆1O与圆2O 外切⇔有3条公切线 121212||r r OO r r -<<+⇔圆1O与圆2O 相交⇔有2条公切线 1212||OO r r =-⇔圆1O与圆2O 内切⇔有1条公切线 1212||OO r r <-⇔圆1O与圆2O 内含⇔有0条公切线. （2）代数法：方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩ 有两组不同的实数解⇔两圆相交；有两组相同的实数解⇔两圆相切；无实数解⇔两圆外离或内含。
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5－4B．－1C．6－2D．【答案】A【解析】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径不变，圆的圆心坐标半径的最小值为连接圆与圆圆心，再减去两圆的半径因此的最小值【考点】圆与圆的位置关系．2.若圆与圆（）的公共弦长为，则_____.【答案】1【解析】因为圆与圆（）的公共弦所在的直线方程为：；又因为两圆的公共弦长为，所以有．【考点】圆与圆的位置关系．3.圆和圆的位置关系为．【答案】内切【解析】通过利用两点间的距离公式计算,寻找其与两圆的半径和,差的关系,判断可知,所以内切.【考点】两圆位置关系的判断.4.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理：.圆心坐标为，代入直线方程，解得：，代入得圆的方程：.【考点】经过两圆交点的圆的方程5.圆与圆的位置关系为（）A．两圆相交B．两圆相外切C．两圆相内切D．两圆相离【答案】A【解析】∵，，∴两圆的圆心距，所以两圆相交，故选A．【考点】圆与圆的位置关系．6.两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．3B．2C．0D．－1【答案】A【解析】由圆的知识可知公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，中点为代入直线得，【考点】圆与圆的位置关系点评：两圆相交时，两圆心的连心线是公共弦的垂直平分线7.圆: 与圆: 的位置关系是A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】∵的圆心为（-2，2）半径为1圆的圆心为（2，5）半径为4，∴，∴两圆外切，故选D【考点】本题考查了两圆的位置关系点评：通过两圆心的距离与半径和（差）的比较即可得到两圆的位置关系8.已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴两圆的公共弦所在直线方程为x+2y-1=0，【考点】本题考查了圆与圆的位置关系点评：两圆相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程9.两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为（）A．x+y+3=0B．2x－y－5=0．C．3x－y－9=0．D．4x－3y+7=0【答案】C【解析】解：因为两圆的圆心为（2,3）（3,0），则由两点式可知连心线的方程为3x－y－9=0．选C10.（本题满分14分）已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.（1）求点的轨迹方程；（2）点的轨迹上是否存在点，使得点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.【答案】（1）点的轨迹方程是.（2）点的轨迹上不存在满足条件的点.【解析】本试题主要是考查了动点的轨迹方程的求解，以及满足动点到定点的距离差为定值的点是否存在的探索性问题的运用。
新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析
人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3． 变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.在平面直角坐标xoy中，设圆M的半径为1，圆心在直线上,若圆M上不存在点N，使,其中A（0，3），则圆心M横坐标的取值范围 .【答案】【解析】设，由得：化简得：，表示为以为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B与圆无交点，即或，解得圆心M横坐标的取值范围为：【考点】动点轨迹，圆与圆位置关系2.设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2，＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，∴S＝·|△AOB |||＝·≥×6＝3.3.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 4.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.5.圆：与圆：的公共弦长等于.【答案】【解析】将的方程化为标准方程得：.将两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.圆心到弦的距离为，所以弦长.【考点】两圆的位置关系及弦长.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29，0)．(1)求圆弧C2所在圆的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l 的距离．【答案】（1）x2＋y2－28x－29＝0.（2）P不存在（3）【解析】(1)由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍去)；由解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，因为EF>2r1，EF>2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋，即＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.7.已知圆C1：x2＋y2－2y＝0，圆C2：x2＋(y＋1)2＝4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且直线PC1，PC2的斜率之积为－.(1)求动点P的轨迹M的方程；(2)是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得|C1C|＝|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在【解析】(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0，1)，和C2(0，－1)，设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC1，PC2的斜率分别为(x≠0)和 (x≠0)．由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．所以动点P的轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠0)．(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．联立方程组得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①依题意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.当－<k<时，设交点分别为C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点为N(x，y)，则x1＋x2＝，则x＝＝，所以y0＝k(x－2)＝k＝.要使|C1C|＝|C1D|，必须C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，因为Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0无解，所以不存在直线，使得|C1C|＝|C1D|，综上所述，不存在直线l，使得|C1C|＝|C1D|.8.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线11.圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切 D相离【答案】B【解析】两圆圆心间的距离，两圆半径的差为和为，因为，故两圆相交，选B.【考点】圆与圆的位置关系.12.若直线y＝kx与圆－4x＋3＝0的两个交点关于直线x＋y＋b＝0对称，则（）A．k＝1，b＝－2B．k＝1，b＝2C．k＝－1，b＝2D．k＝－1，b＝－2【答案】A【解析】：若直线与圆的两个交点关于直线对称，则直线与直线垂直,故斜率互为负倒数,可知,而过弦的中点,且与弦垂直的直线必过圆心,而圆心的坐标为,代入直线得,.【考点】直线与圆的位置关系，考查学生数形结合能力.13.两圆和的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．外离【答案】C【解析】圆的圆心为，半径；圆的方程可以变形为，其圆心为，半径．圆心距，所以圆内切于圆．【考点】平面内两圆的位置关系．14.已知圆，直线．（Ⅰ）若与相切，求的值；（Ⅱ）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2【解析】(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y－3)2=9，圆心为C(－1，3)，半径为 r = 3， 2分若l与C相切，则得=3，∴(3m－4)2=9(1+m2)，∴m =． 5分(Ⅱ)假设存在m满足题意。
与圆相关的位置关系
➢ 典型例题解析
【例3】如图，O是∠CAE平分线上的一点，以 点O为圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C 和D、E，连结BD、CE.
那么3这条弦所对的圆周角为 ( A.60° B.120°
)D
C.45° D.60°或120°
6.(江苏苏州市)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的
一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=(D
)
A．35° C．110°
B.70° D.140°
结束寄语
• 数学之所以诱人，就 在于它的奥妙无穷.
一、判断题
之间的距离是______cm.
5、⊙O的半径是6,弦AB的长是6,则弧AB的中点到AB的中点的距离是
______.CPOBAD
6、如图:⊙O的直径AB⊥CD于P,
C
AP=CD=4cm,则OP=______cm. A O P B
D
7、已知⊙O中,AB是弦,CD是直径,且CD⊥AB于M.⊙O的半径是 15cm,OM:OC=3:5,则AB=______.
( √) 7、经过圆O内一点的所有弦中,以与OP垂直的弦最短. (√) 8、弦的垂直平分线经过圆心. ( √ ) 9、⊙O的半径是5,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则两弦间的距
离是1. ( ×) 10.在半径是4的圆中,垂直平分半径的弦长是3.( × ) 11.任意一个三角形一定有一个外接圆且只有一个外接圆.
C GD B
F A EO
证明：过O作OG⊥CD ∵ OG⊥CD ∴ DG=CG
∵ CE⊥CD,DF⊥CD,OG⊥CD ∴CE∥OG ∥ DF
2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
中考数学专题5 圆与圆的位置关系
中考信息速递之五——圆与圆的位置关系知识要点：1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R 和r ，同心距为d ） （1）两圆外离⇔d ＞R+r ； （2）两圆外切⇔d=R+r ； （3）两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r ； （4）两圆内切⇔d=R －r ；（5）两圆内含d ＜R－r 。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．公切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为（1）（2）（3）（4） （5）（6）外公切线4．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
5．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点6圆与圆的位置关系总结如下设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：【典型例题】例1．已知如图，⊙O1和⊙O2相交于点E、F，直径AE的延长线交⊙O2于点B，延长AF交⊙O2于点C，⊙O1的切线ED交AC于点D，求证：AE/EB=AD/DC。
B例2．如图，已知AB是⊙O的直径，以B为圆心的圆交⊙O于E、F两点；直线AB与⊙B 交于点C、D，EC的延长线与⊙O交于点G，连结AE、DE、BG。
求AE·BC=DE·CG。
例3. 设两圆半径为R和r，圆心距为d，请将下表填写完整：DA中考考点基础练习：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
圆和圆的位置关系经典例题+练习
例1. 已知⊙O 1、⊙O 2半径分别为15cm 和13cm ，它们相交于A 、B 两点，且AB 长24cm ，求O 1O 2长。
分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧；因此，我们必须分两种情况来解。
解：（1）连结O 1O 2交AB 于C （2）连结O 1O 2并延长交AB 于C ∵⊙O 1 ⊙O 2交于A 、B 两点 ∴⊥，且O O AB AC AB cm 121212== 在Rt △AO 1C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 11222215129=-=-=() 在Rt △AO 2C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 22222213125=-=-=∴如图（1） O 1O 2=O 1C+O 2C=14cm如图（2） O 1O 2=O 1C －O 2C=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。
例2. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AC 切⊙O 2于C 交⊙O 1于B ，AP 交⊙O 2于D ，求证：（1）PC 平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。
证明：（1）过P 点作公切线PM 交AC 于M 点 ∵AC 切⊙O 2于C∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC在⊙O1中，由弦切角定理：∠BPM=∠A∵∠CPD为△APC的外角∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC∴PC平分∠BPD。
（2）两圆内切时仍有这样的结论。
证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP∴∠MPC=∠MCP∴∠MPB=∠A∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A又∠MPC=∠MPB+∠BPC∴∠BPC=∠CPA即PC平分∠BPD。
在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.2.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.3.已知数列，圆，圆，若圆C2平分圆C1的周长，则的所有项的和为.【答案】4024【解析】设圆与圆交于,，则直线的方程为：，化简得：又圆平分圆的周长，则直线过,代入的方程得：, ∴.【考点】圆与圆的位置关系、直线方程、数列求和.4.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4B．－1 C．6－2D．【答案】A【解析】设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C′1(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝＝5而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】由得2ay＝2，即y＝，则2＋2＝22，解得a＝1.6.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1< <5，所以两圆的位置关系为相交．7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．8.若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0(b∈R)外切，则a＋b的最大值为________．【答案】3.【解析】依题意知C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1，则|C1C2|＝＝2＋1＝3，∴a2＋b2＝9，∴ (θ为参数)，∴a＋b＝3(sin θ＋cos θ)＝3 sin≤3.9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．11.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线12.直线l1：y=x、l2:y=x+2与⊙C：的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1B．0或-1C．-1D．1【答案】B【解析】直线l1：y=x与l2:y=x+2之间的距离为，⊙C：的圆心为（m，m），半径r2=m2+m2，由题意可得解得 m=0或m=-1，故选B.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离.13.已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，-3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即故选A．【考点】圆与圆的位置关系点评：中档题，利用数形结合思想，将|PM|+|PN|的最小值转化成为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和。
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支【答案】D【解析】设动圆的圆心坐标为（x，y），半径为，由于动圆与圆和圆都外切，所以，所以，根据双曲线的定义可知动圆的轨迹为双曲线的一支.【考点】1.圆与圆的位置关系；2.双曲线的定义.2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，与圆C截得的弦长是6.【答案】(1) 两圆相离 (2) 4x－7y＋19＝0【解析】(1)先由圆方程确定圆心坐标和半径，然后根据两圆心之间的距离与两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系；(2)由条件可知两弦长分别是两圆的直径，故所求直线过两圆圆心，故求连心线的直线方程即可.试题解析：(1)圆C1的圆心C1(－3,1)，半径r1＝2；圆C2的圆心C2(4,5)，半径r2＝2.∴C1C2＝＝>r1＋r2，∴两圆相离.（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4x－7y＋19＝0.【考点】1.两圆位置关系的判断；2.直线方程.3.已知一个动圆与圆C：相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________.【答案】【解析】设动圆的圆心为P（x,y）,半径为r，由题意，,∴,∴动圆圆心P的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以a=5,c=4,∴,∴动圆圆心的轨迹方程是【考点】本题考查了轨迹方程的求法点评：熟练掌握椭圆的定义是解决此类问题的关键，属基础题4.如图，已知圆，圆．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆、圆的周长．①求证：动圆圆心在一条定直线上运动；②动圆是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）或（2）①求出圆心的轨迹方程为直线即可；②动圆过定点和【解析】（1）由题意可知，，，由图知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为……3分解得或，所以直线的方程为或．……6分（2）①证明：设动圆圆心，由题可知则化简得，所以动圆圆心在定直线上运动．……10分②动圆过定点设，则动圆的半径为动圆的方程为整理得……14分，解得或所以动圆过定点和．……16分【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系.点评：求解直线与圆的位置关系，主要看圆心到直线的距离与半径的关系，设直线方程时要注意直线的适用条件.5.圆与圆的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】两个圆的圆心距等于所以两个圆相交.【考点】本小题主要考查两个圆的位置关系.点评：判断两个圆的位置关系，主要是根据两个圆的圆心距与半径的和或差的关系.6.已知两圆x2+y2="1" 和 (x+1)2+(y－3)2=10相交于A、B两点, 则直线AB的方程是________．【答案】【解析】两圆方程作差可得直线AB的方程是.【考点】本小题主要考查两圆的公共点所在直线的方程.点评：两个圆相交时，两个圆的方程相减即可得到直线AB的方程.7.两圆相交于点,两圆的圆心均在直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两圆的相交弦所在的直线与圆心连线的直线垂直，且被其平分，因此可知AB的中点坐标在直线上，代入可知为将m的值代入上式解得c=2，因此可知m+c=-1，选A.【考点】本试题考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的综合运用。
专题59 圆与圆的位置关系(解析版)
专题59 圆与圆的位置关系专题知识梳理1．如果两圆的半径分别为R ，r (R >r )，两圆心之间的距离为d ，则两圆 相离⇔d >R ＋r ；外切⇔__d ＝R ＋r ； 相交⇔__R －r <d <R ＋r __； 内切⇔__d ＝R －r ； 内含⇔__d <R －r __．2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．3．当两圆相交时，将两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．考点探究考向1 圆与圆的位置关系【例】已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解析】 因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.故两圆的公共弦的长为2112－⎝ ⎛⎭⎪⎫||4＋3×3－2342＋322＝27. 题组训练1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是____．【解析】设(,)M x y ，∵点M 满足MA 2＋MO 2＝10，∴2222(2)10x y x y +-++=，解得22(1)4x y +-=，又点M 在圆C 上，等价于两圆有交点，∴221(3)9a a ≤+-≤，解得03a ≤≤．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ．【解析】设圆C 的半径是r ，圆心坐标为(),0C a ，由题意得2222121,9r CC r CC =+=+，所以22128CC CC =+，解得0a =，从而得281r =，故圆C 的方程为2281x y +=.3.已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是____．【解析】 CO ＝42＋（－3）2＝5.若圆C 与圆O 外切，则r c ＋1＝5，所以r c ＝4.若圆C 与圆O 内切，因为点C 在圆O 外，所以r c －1＝5，所以r c ＝6.故圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36. 4.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝____．【解析】 方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件知22－（3）2＝1a ，即a ＝1.5.求经过两圆(x ＋3)2＋y 2＝13和x 2＋(y ＋3)2＝37的交点，且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程． 【解析】 因为所求的圆经过两圆(x ＋3)2＋y 2＝13和x 2＋(y ＋3)2＝37的交点，所以设所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2－13＋λ(x 2＋(y ＋3)2－37)＝0展开、配方、整理，得(x ＋31＋λ)2＋(y ＋3λ1＋λ)2＝4＋28λ1＋λ＋9（1＋λ2）（1＋λ）2圆心为(－31＋λ，－3λ1＋λ)，代入方程x －y －4＝0，得λ＝－7，故所求圆的方程为(x ＋12)2＋(y ＋72)2＝892.6.已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2的坐标为(2，1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程．【解析】 (1)设圆O 1的半径为r 1，圆O 2的半径为r 2.∵两圆外切，∴O 1O 2＝r 1＋r 2，∴r 2＝O 1O 2－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2，将两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22.∵圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0.作O 1H ⊥AB 于点H ，则AH ＝12AB ＝2，O 1H ＝2，由圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离|r 22－12|42＝2，得r 22＝4或20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.考向2 圆的综合应用【例】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．【解析】 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M到直线l 的距离d ＝||2×6－7＋m 5＝||m ＋55.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝（m ＋5）22＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． ∵A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①∵点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点， ∴5－5≤[]t ＋4－62＋3－72≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 题组训练1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4及点A (－1，0)，B (1，2)． (1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得P A 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 【解析】 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2，0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1，0)，B (1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝||2－0＋m 2＝||2＋m 2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋(MN2)2，所以4＝（2＋m ）22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，P A 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.2.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：22(1)(4)1(0)x a y a a -+++-=>，点N 为圆M 由任意一点.若以Ｎ为圆心，ＯＮ为半径的圆与圆至多有一个公共点，求a 的最小值.【解析】∵圆M ：22(1)(4)1(0)x a y a a -+++-=>的圆心为(1,4)a a --，点N 为圆M 由任意一点.若以Ｎ为圆心，ＯＮ为半径的圆与圆至多有一个公共点，∴2ON ≥，又∵ON 的最小值为1OM-，∴3OM ≥，3≥，即2540a a -+≥，解得4a ≥或01a <≤.3.（2018苏北四市一模）在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ．【解析】设圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上一点(,)P a b ，关于直线0x y -=的对称点为(,)Q b a ．则得22222(1),(2)(1)1,a b r b a ⎧+-=⎨-+-=⎩ 解得2223r a b =+-，又∵22(2)(1)1b a -+-=， ∴动直线22230a b r +--=与22(2)(1)1b a -+-=有交点，即得1≤，解得233r -≤≤+11r ≤≤．4.已知圆22:2440C x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.【解析】假设存在直线l ：y x b =+满足题意，并设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入圆C 中，22()24()40x x b x x b ++-++-=，化简得222(22)440x b x b b ++++-=，∵以弦AB 为直径的圆过原点，∴OA OB ⊥，即12120x x y y +=，又∵212442b b x x +-=，121x x b +=--，∴2212121224()2b b y y x x b x x b +-=+++=，∴2221212442434022b b b b x x y y b b +-+-+=+=+-=，解得1b =或4b =-. ∴满足条件的直线方程为1y x =+或4y x =-.。
圆与圆的位置关系答案
圆与圆的位置关系一、选择题：1.如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【】A．外离B．相切C．相交 D．内含2.若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是【】A．内含B．内切C．外切D．外离3.如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是【】 A．b= a B．C．D．4.已知⊙O1与⊙O2外切，O1O2=8cm，⊙O1的半径为5cm，则⊙O2的半径是【】A. 13cm.B. 8cmC. 6cmD. 3cm5.已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【】A.外离B.内切C.相交D.内含6.若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【】A.内切B.相交C.外切D.外离7.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】 A．外切 B．相交 C．内切 D．内含8.⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和4cm，如果O1O2＝7cm，则这两圆的位置关系是【】A．内含 B．相交 C．外切 D．外离9.若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为【】A. 外切B. 内切C. 外离D. 相交10.如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1.点⊙P（a,0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为【】（A）3 （B）1 （C）1，3 （D）±1，±311.已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是【】A． 8cm B．5cm C．3cm D．2cm12.⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是【】A．内含B．内切C．相交D．外切13.已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的范围是【】A. 0<d<2B. 1<d<2C. 0<d<3D. 0≤d<214.圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为【】(A)1 (B)3 (C)1或2 (D)1或315.第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，下图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在．．．的位置关系是【】 A外离 B内切 C外切 D相交二、填空题：1.半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为cm．2.如图，⊙M与⊙N外切，MN＝10cm，若⊙M的半径为6cm，⊙N的半径为 cm。
专题08 圆与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题08圆与圆的位置关系【知识梳理】1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d ．当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．5、圆系方程（1）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（2）以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；（3）与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；（4）过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【专题过关】【考点目录】考点1：圆与圆的位置关系考点2：两圆的公共弦问题考点3：公切线问题考点4：圆系方程的应用【典型例题】考点1：圆与圆的位置关系1．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆221:49C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，这两圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切【答案】B【解析】由题意得，圆1C 圆心()0,0，半径为7；圆()()222:3416C x y -+-=，圆心()3,4，半径为4，5=，因为74574-<<+，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.2．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）圆224x y +=与圆2286160x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内含D ．外切【答案】D【解析】由题，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆2286160x y x y +--+=，即()()22439x y -+-=，所以圆心为()4,3，半径为3；523==+，所以两圆外切.故选：D3．（2021·吉林油田高级中学高二期中）圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】D【解析】圆2264120x y x y +-++=的圆心坐标是()3,2-，半径是1；圆22142140x y x y +--+=的圆心坐标是()7,1，半径是6，561==-，故两个圆内切.故选：D.4．（2021·安徽滁州·高二期中）已知圆1C ：()()22225x a y -++=，圆2C ：()()2214x y a +++=，若圆1C 与圆2C 内切，则实数a 的值是（）A ．2-B ．2C ．1-或2D ．1或2-【答案】C【解析】由题可知圆心()1,2C a -，半径15r =，圆心()21,C a --，半径22r =，因为圆1C 与圆2C 内切，所以12123C C r r ==-=，解得1a =-或2a =．故选：C ．5．（多选题）（2021·辽宁大连·高二期中）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．PQ 的最小值为3B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交【答案】ABC【解析】根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距125C C ==>R +r ，故两圆外离，故D 错误；则PQ 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 正确，B 正确；对于C ，两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，故C 正确.故选：ABC.6．（2020·江西·宜春九中高二期中（文））已知圆C ：22680x y x y m +--+=，其中R m ∈．(1)已知圆C 与圆：221x y +=外切，求m 的值；(2)如果直线30x y +-=与C 相交所得的弦长为m 的值．【解析】（1）由圆22:680C x y x y m +--+=，可得22(3)(4)25x y m -+-=-，则圆心(3,4)C ，半径r =由圆221x y +=，可得圆心(0,0)，半径1R =，因为两圆外切，1=，解得9m =．（2）圆C 的圆心坐标为(3,4)圆心到直线的距离d ==又直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为∴2225m +=-，解得3m =-．m ∴的值为3-．7．（2021·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知圆1C 的圆心在x 轴上，且过()5,2，()0,3两点．(1)求圆1C 的方程；(2)若圆1C 与圆()()()2222:120C x y r r +++=>有公共点，求r 的取值范围．【解析】(1)由题意，设()()222111:0C x a y r r -+=>，由圆1C 过()5,2，()0,3两点可得()()2222215203a r a -+==-+，解得2a =，1r =所以圆1C 的方程为()22213x y -+=．(2)()()2222:12C x y r +++=(r ＞0)的圆心为()21,2C --，半径为r ，因为圆1C 与圆2C 有公共点，所以两圆外切、相交或内切，所以1121r r C C r r -≤≤+，又21C C =r r +，0r ≤≤又0r >，所以(0,r ∈.8．（2018·湖北·葛洲坝中学高二期中（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2-4x =0及点A （-1，0），B （1，2）．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =AB ，求直线l 的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得PA 2+PB 2=12?若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．【解析】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心C （2，0），半径为2．因为l ∥AB ，且A （-1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2011(1)-=--．设直线l 的方程为x -y +m =0，则圆心C 到直线l 的距离为|20|2|22d ==因为222222MN AB =+而2222MN CM d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2(2)422m +=+，解得m =0或m =-4，所以直线l 的方程为x -y =0或x -y -4=0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则22(2)4x y -+=，所以PA 2+PB 2=2222(1)(0)(1)(2)12x y x y ++-+-+-=，整理得x 2+y 2-2y -3=0，即x 2+（y -1）2=4．因为22|22|(20)(01)22-<-+-<+，所以圆（x -2）2+y 2=4与圆x 2+（y -1）2=4相交，所以点P 的个数为2．9．（2021·广东番禺中学高二期中）已知圆C 1:(x -1)2+(y +5)2=50，圆C 2:(x +1)2+(y +1)2=10.（1）证明圆C 1与圆C 2相交；（2）若圆C 3经过圆C 1与圆C 2的交点以及坐标原点，求圆C 3的方程.【解析】（1）证明:依题意得，C 1(1，-5)，r 1，C 2(-1，-1)，r 2，因此，C 1C 2|=C 1与C 2相交.（2）设圆C 1与圆C 2的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立2222(1)(5)50(1)(1)10x y x y ⎧-++=⎨+++=⎩，，两式相减得x -2y +4=0，即x =2y -4，代入第一个式子得，(2y -5)2+(y +5)2=50，解得12120240y y x x ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，，，，∴圆C 3过A (-4，0)，B (0，2)，原点O (0，0).易得△ABO 为直角三角形，∴r=1||2AB =AB 的中点(-2，1)，∴圆C 3的方程为(x +2)2+(y -1)2=5.10．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，(0,0)O ，(0,3)A -，动点M 满足2AM MO =，M 的轨迹方程为____，M 的轨迹与圆()()22241,(0)x y r r -+-=>有公共点，则实数r 的取值范围是____．【答案】22(1)4x y +-=[2,6]【解析】设(,)M x y ，由2AM MO =得()()222234x y x y ++=+，化简得22(1)4x y +-=；M 的轨迹与圆()()22241,(0)x y r r -+-=>有公共点，两圆心分别为(0,1),(4,1)，圆心之间的距离为4，故242r r -≤≤+，解得26r ≤≤.故答案为：22(1)4x y +-=；[2,6].考点2：两圆的公共弦问题11．（多选题）（2021·福建宁德·高二期中）（多选）下列命题正确的有（）A ．直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()33-，B ．已知圆2214C x y +=：与圆2222210C x y x y +--+=：相交于A B ，两点，则直线AB 的方程为2250x y ++=.C ．圆()2211x y ++=与圆()()222420x y m -+-=-恰有三条公切线，则4m =D ．已知点P Q ，分别为圆()()22121x y -++=与直线3450x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为3.【答案】AC【解析】对于A ，直线()()34330R m x y m m ++-+=∈化为：()33430m x x y +++-=，令303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()33-，，故A 正确；对于B ，两圆的方程相减得2214x y +-=，所以直线AB 的方程为2250x y +-=，故B 错误；对于C ，若圆()2211x y ++=与圆()()222420x y m -+-=-恰有三条公切线，所以两圆外切，圆()2211x y ++=的圆心为()1,0-，半径为1，圆()()222420x y m -+-=-圆心为()2,41=4m =，故C 正确；对D ，已知点P Q ，分别为圆()()22121x y -++=与直线3450x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，圆心()1,2-到直线3450x y +-=2=，所以PQ 的最小值为211-=，故D 错误.故选：AC.12．（2022·上海市控江中学高二期中）已知圆222450x y x y ++--=与22210x y x ++-=相交于A B ､两点，则公共弦AB 的长是___________.【答案】2【解析】由题意AB 所在的直线方程为：()()2222245210x y x y x y x ++---++-=，即1y =-，因为圆22210x y x ++-=的圆心()1,0O -，半径为r =所以，圆心()1,0O -到直线1y =-的距离为1，所以2AB ==.故答案为：213．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）已知两圆221:210240C x y x y +-+-=，222:2280C x y x y +++-=，则下列结论正确的是（）A ．两圆外离B ．两圆有3条公切线C ．两圆相交，且两圆的公共弦长为D ．两圆的公共弦方程为240x y -+=【答案】CD【解析】由题得221:(1)(5)50C x y -++=，圆心1C 坐标为1(1,5),r -=222:(1)(1)10C x y +++=,圆心2C 坐标为2(1,1),r --=.所以12||C C ==所以121212||r r C C r r -<<+，所以两圆相交.所以选项AB 错误.两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程240x y -+=；所以圆心1C 到公共弦所在直线的距离d =∴公共弦的长为=．所以选项CD 正确.故选：CD14．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+【答案】AD【解析】由2220x y x +-=与22240x y x y ++-=作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确，B 错误；对于C ，圆心1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为2d ==，圆1O 的半径1r =，所以AB ==C 错误；对于D ，点P 为圆1O 上一动点，则点P 到直线AB 距离的最大值为12d r +=+，故D 正确.故选：AD.15．（多选题）（2021·山东·菏泽一中高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:460O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．两圆圆心距12OO =【答案】ABD【解析】2220x y x +-=①，22460x y x y ++-=②，用①减去②即得到公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确；把圆221:20x y x O +-=化为标准方程得22(1)1x y -+=，圆心1O 为(1,0)，半径为11r =，把圆222:460O x y x y ++-=化为标准方程为22(2)(3)13x y ++-=，圆心2O 为(2,3)-，2r 线段AB 中垂线即为圆心1O 与圆心2O 两点构成的直线为10x y +-=，故B 正确；圆心1O 到公共弦所在直线0x y -=的距离为22d ==，故公共弦AB 的长为，故C 错误；圆心1O 到圆心2O 的距离12O O ==，故D 正确.故选：ABD.16．（2022·全国·高二期中）已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度.【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为221:(1)(5)50C x y -++=，222:(1)(1)10C x y +++=,则圆1C 的圆心为(1,5)-，半径1r =圆2C 的圆心为(1,1)--，半径2r =.12C C =12r r +=12r r -=121212r r C C r r ∴-<<+，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.(3)由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩,解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴两圆的交点坐标为(4,0)-和(0,2).∴=17．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知圆M 经过点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C .(1)求圆M 的一般方程；(2)求圆M 与圆222x y +=的公共弦长.【解析】(1)设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，把(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C 三点坐标代入圆M得：042044220F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得：220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆M 的一般方程为22220x y x y +--=(2)联立22220x y x y +--=与222x y +=得：1x y +=，即1y x =-，代入到圆222x y +=中，解得：112x =，212x +=，分别代入1y x =-，求出112y +=，212y =，所以两交点的坐标为11,22⎛+ ⎝⎭，1122⎛+- ⎝⎭，则公共弦长等于=18．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）已知圆2222122610:1012450C x y x y C x y x y +---=+--+=：，(1)求证：12,C C 相交；(2)求圆12,C C 的公共弦所在的直线方程．【解析】(1)圆221:2610C x y x y +---=的圆心1(1,3)C，半径1r =222:1012450C x y x y +--+=的圆2(5,6)C，半径24r ==，12||5C C，124||54C C =<+，∴圆1C 和圆2C 相交．(2)两圆221:2610C x y x y +---=，222:1012450C x y x y +--+=，∴两圆相减，得圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线方程为：86460x y +-=，即43230x y +-=．19．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）已知线段AB 的端点B 的坐标是(5,2)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动．(1)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(2)求曲线M 与22(1)(2)2x y -+-=的公共弦长．【解析】(1)设(,)M x y ，00(,)A x y ，则0052,,22x x y y +=+=，即025x x =-，022y y =-，又00(,)A x y 在已知圆上，所以2200(1)4x y ++=，即22(251)(22)4x y -++-=，化简得22(2)(1)1x y -+-=．即为点M 的轨迹方程；(2)由（1）知点M 的轨迹是圆，与已知圆22(1)(2)2x y -+-=方程相减得：2210x y -++=，即2210x y --=．圆22(2)(1)1x y -+-=的圆心为(2,1)C ，半径为1r =，C 到直线2210x y --=的距离为24d =，所以公共弦长为l ===考点3：公切线问题20．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆221:(1)(2)9C x y -+-=，222:(2)(3)4C x y -+-=(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线l 与圆1C 交于P ，Q ，且线段PQ 的长度为C ，直线l 总与之相切.【解析】（1）由圆221:(1)(2)9C x y -+-=可得()11,2C ，半径13r =，由圆222:(2)(3)4C x y -+-=可得()22,3C ，半径22r =，12C C =所以12121215r r C C r r =-<<+=，所以圆12,C C 相交.设直线RS 分别与圆12,C C 切于R ，S ，连接12,C R C S ，在直角梯形12C C SR 中，12123,2,C R C S C C ===所以||1RS =，即它们的公切线之长为1；（2）设线段PQ 的中点为D ，则1C D PQ ⊥，因为动直线l 与圆1C 交于P ，Q ，且线段PQ 的长度为所以1C D =又因为1C D PQ ⊥，所以点()11,2C 到直线l 所以直线l 总与圆22(1)(2)3x y -+-=相切，所以存在一个定圆22:(1)(2)3C x y -+-=，直线l 总与之相切.21．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知两圆221:1C x y +=，222:68110C x y x y +---=，则两圆的位置关系为___________，两圆的公切线方程为___________.（用一般式表示）【答案】内切3450x y ++=【解析】由圆221:1C x y +=可得圆心()10,0C ，半径1r =，由222:68110C x y x y +---=可得()()223436x y -+-=，可得圆心()23,4C ，半径6R =，因为圆心距125C C ==，5R r -=，所以12C C R r =-，所以两圆的位置关系为内切，设公切线方程为：y kx b =+，由题意可得16==，因为两圆圆心所在直线12C C 垂直于公切线，且1243C C k =，所以34k =-1=可得54b =，经检验54b=6=，所以54b =-，所以两圆的公切线方程为3544y x =--即3450x y ++=.故答案为：内切；3450x y ++=.22．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知两圆方程分别为224x y +=和()()22349x y -+-=．则两圆的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【解析】两圆的圆心分别为(0,0)和(3,4)，半径分别为2和3523==+，则两圆外切，公切线有3条．故选：C23．（2022·上海·格致中学高二期中）已知圆221:4O x y +=，圆()222:22400O x y mx my m +---=≠，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）A ．4条B ．2条C ．1条D ．0条【答案】B【解析】由221:4O x y +=，得圆()10,0O ，半径为12r =，由()222:22400O x y mx my m +---=≠，得()2,O m m ，半径为2r ==所以210O O >，2120r r ->，122r r +=+所以121212O O r r r r -<<+，所以圆1O 与圆2O 相交，所以圆1O 与圆2O 有两条公共的切线.故选：B.24．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）两圆221:1C x y +=，222:(3)(4)16C x y -+-=的公切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【解析】圆221:1C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径11r =，圆222:(3)(4)16C x y -+-=的圆心2(3,4)C ，半径24r =，而1212||5C C r r ==+，即圆1C 与2C 外切，它们有3条公切线，所以圆1C 与2C 的公切线有3条.故选：C25．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））圆221:20O x y y +-=和圆222:8120O x y y +-+=的公切线的条数为______．【答案】3【解析】由题知圆1O ：2220x y y +-=的圆心()10,1O ，半径11r =，圆2O ：228120x y y +-+=的圆心()20,4O ，半径22r =，所以123O O =，123r r +=，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线.故答案为：326．（2021·湖南·高二期中）若圆221:20C x y x m +--=与圆222:40C x y y m +++=恰有2条公切线，则m 的取值范围为（）A ．()0,4B ．()1,4-C ．()1,0-D ．[)0,4【答案】B【解析】因为圆221:(1)1C x y m -+=+与圆222:(2)4C x y m ++=-恰有2条公切线，所以10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨解得1 4.m -<<故选：B ．考点4：圆系方程的应用27．过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是_______．【答案】22310x y x y +-+-=【解析】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=．28．已知圆221:230C x y x +--=与圆222:4230C x y x y +-++=相交于A 、B 两点．（1）求公共弦AB 所在直线方程；（2）求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程．【解析】（1）22230x y x +--=，①224230x y x y +-++=，②①-②得2260x y --=即公共弦AB 所在直线方程为30x y --=．（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++-++-+=因为圆过原点，所以330λ-+=，1λ=所以圆的方程为2230x y x y +-+=29．已知圆222212:6160,:450C x y x C x y x ++-=+--=．求证：对任意不等于1-的实数λ，方程()2222616450x y x x y x λ++-++--=是通过两个已知圆交点的圆的方程．【解析】若(,)m n 是圆1C 、圆2C 的交点坐标，则226160m n m ++-=且22450m n m +--=，所以(,)m n 必在()2222616450x y x x y x λ++-++--=上，又()22222261645(1)(1)(64)1650x y x x y x x y x λλλλλ++-++--=++++---=，所以2222329925(1(1)x y λλλλλ+=-+++++，则在1λ≠-时221919()240(1)λλ++>+，方程表示圆，综上，对任意不等于1-的实数λ，方程()2222616450x y x x y x λ++-++--=是通过两个已知圆交点的圆的方程．30．已知圆221:4440C x y x y ++-+=和圆222:20C x y x ++=．（1）求证：两圆相交；（2）求过点()2,3-，且过两圆交点的圆的方程．【解析】（1）证明：∵圆221:4440C x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，表示以()12,2C -为圆心，半径等于2的圆，圆222:20C x y x ++=，即()2211x y ++=，表示以()21,0C -为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距12C C =，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．（2）设过两圆交点的圆的方程为()222244420x y x y x y x λ++-++++=．把点()2,3-代入，求得13λ=．故所求圆的方程为()22221444203x y x y x y x ++-++++=，即2273302x y x y ++-+=．31．（2021·北京通州·高二期中）经过点(2,2)M -以及圆2260x y x +-=与圆22240x y x y +--=交点的圆的方程为________．【答案】2250x y x y +--=【解析】设过圆2260x y x +-=与圆22240x y x y +--=交点的圆的方程为：22226(24)0x y x x y x y λ+-++--=①把点M 的坐标(2,2)-代入①式得13λ=，把13λ=代入①并化简得2250x y x y +--=，∴所求圆的方程为：2250x y x y +--=，故答案为：2250x y x y +--=．。