上海市浦东新区2020届高三数学一模试卷(有答案)
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在 中， ，周长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 与 的斜率之和为
，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为 ，点 为椭圆 上的一个动点，试根据 面积 的
不同取值范围，讨论 存在的个数，并说明理由.
21.已知函数 的定义域为 ，值域为 ，即 ，
上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.集合 ， ，则
2.不等式 的解集为
3.已知函数 的反函数是 ，则
4.已知向量 ， ，则向量 在向量 的方向上的投影为
5.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则
6.在 的二项展开式中， 的系数是
若 ，则称 在 上封闭.
（1）分别判断函数 ， 在 上是否封闭，说明理由；
（2）函数 的定义域为 ，且存在反函数 ，若函数
在 上封闭，且函数 在 上也封闭，求实数 的取值范围；
（3）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，若 ，有 恒成立，
则称 在 上是单射，已知函数 在 上封闭且单射，并且满足 ，其中
（ ）， ，证明：存在 的真子集，
，使得 在所有 （ ）上封闭.
参考答案
一.填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9.1010. 11. 12.
二.选择题
13. B 14.B 15. C 16. B
三.解答题
17.（1） 是异面直线 与 所成的角或其补角.2分
在等腰 中，
易得 ……………………4分
即：异面直线 与 所成的角 ……………………1分
13.若实数 ，则命题甲“ ”是命题乙“ ”的（）条件
A.充分非必要B.必要非充分
C.充要D.既非充分又非必要
14.已知 中， ， ，点 是 边上的动点，点 是 边上的
动点，则 的最小值为（）
A. B. C. D.0
15.某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位：℃）满足函数关系
（ 为自然对数的底数， 、 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小
（2）函数 在D上封闭，则 .函数 在 上封闭，则 ，
得到： .…………………………………………（2分）
在 单ຫໍສະໝຸດ Baidu递增.
则 在 两不等实根．…………（1分）
，
故 ，解得 ．…………（3分）
另解： 在 两不等实根．令
在 有两个不等根，画图，由数形结合可知，
解得 ．
（3）如果 ，则 ，与题干 矛盾.
因此 ，取 ，则 .…………………………（2分）
………………………1分
当 时， 个数为0个
当 时， 个数为1个
当 时， 个数为2个
当 时， 个数为3个
当 时， 个数为4个……………………3分
21.（1）因为函数 的定义域为 ，值域为 ，（取一个具体例子也可），
所以 在 上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）
在 上封闭……………………（结论和理由各1分）
………………………1分
…………………………1分
………………………………………1分
依题： 即： …………………………1分
……………………………………………………………1分
过定点 …………………………………………1分
（3） ， ………………………1分
设直线 与椭圆 相切，
……………………1分
得两切线到 的距离分别为
……………………3分
， ……………………3分
（2）∵ ，
∴ ， ，……………………2分
当 时，
……………………3分
当 时， 是偶数，
……………………3分
20.（1）由 得： ，所以 ………①
又 周长为 ，所以 ………②
解①②方程组，得
所以椭圆方程为 ………………………4分
（2）设直线 方程： ，交点
接下来证明 ，因为 是单射，因此取一个 ，
则 是唯一的使得 的根，换句话说 .……………（2分）
考虑到 ，即 ，
因为 是单射，则
这样就有了 .………………………………………………（3分）
接着令 ，并重复上述论证证明 .…………（1分）
7.某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好
有1个二等品的概率为
8.已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，若 ，则实数 的取值范围是
9.已知等比数列 前 项和为 ，则使得 的 的最小值为
10.圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则此圆锥的表面积为
11.已知函数 （ ），将 的图像向左平移 个单位得到函数 的
图像，令 ，如果存在实数 ，使得对任意的实数 ，都有
成立，则 的最小值为
12.在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 、 是双曲线 上的两个动点，动
点 满足 ，直线 与直线 斜率之积为2，已知平面内存在两定点 、
，使得 为定值，则该定值为
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
（2） ……………………4分
……………………3分
18.（1）由 ，∴ ，……………………2分
由正弦定理得： ，……2分
∴ ；
；
由 ，∴ ，……………………2分
∴ ；……………………1分
（2）由 ，∴ ，
∴ ，∴ ；……………………4分
由 知， ，∴ ，……………2分
∴ .……………………1分
19.（1）
（2）求三棱锥 的体积.
18.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，
，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 的值.
19.已知等差数列 的公差为2，其前 项和 （ ， ）.
（1）求 的值及 的通项公式；
（2）在等比数列 中， ， ，令 （ ），
求数列 的前 项和 .
20.已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，设点 ，
时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时
A.22B.23C.24D.33
16.关于 的方程 恰有3个实数根 、 、 ，则
（）
A.1B.2C. D.
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.如图，在长方体 中， ， ， .
（1）求异面直线 与 所成的角；
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 与 的斜率之和为
，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为 ，点 为椭圆 上的一个动点，试根据 面积 的
不同取值范围，讨论 存在的个数，并说明理由.
21.已知函数 的定义域为 ，值域为 ，即 ，
上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.集合 ， ，则
2.不等式 的解集为
3.已知函数 的反函数是 ，则
4.已知向量 ， ，则向量 在向量 的方向上的投影为
5.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则
6.在 的二项展开式中， 的系数是
若 ，则称 在 上封闭.
（1）分别判断函数 ， 在 上是否封闭，说明理由；
（2）函数 的定义域为 ，且存在反函数 ，若函数
在 上封闭，且函数 在 上也封闭，求实数 的取值范围；
（3）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，若 ，有 恒成立，
则称 在 上是单射，已知函数 在 上封闭且单射，并且满足 ，其中
（ ）， ，证明：存在 的真子集，
，使得 在所有 （ ）上封闭.
参考答案
一.填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9.1010. 11. 12.
二.选择题
13. B 14.B 15. C 16. B
三.解答题
17.（1） 是异面直线 与 所成的角或其补角.2分
在等腰 中，
易得 ……………………4分
即：异面直线 与 所成的角 ……………………1分
13.若实数 ，则命题甲“ ”是命题乙“ ”的（）条件
A.充分非必要B.必要非充分
C.充要D.既非充分又非必要
14.已知 中， ， ，点 是 边上的动点，点 是 边上的
动点，则 的最小值为（）
A. B. C. D.0
15.某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位：℃）满足函数关系
（ 为自然对数的底数， 、 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小
（2）函数 在D上封闭，则 .函数 在 上封闭，则 ，
得到： .…………………………………………（2分）
在 单ຫໍສະໝຸດ Baidu递增.
则 在 两不等实根．…………（1分）
，
故 ，解得 ．…………（3分）
另解： 在 两不等实根．令
在 有两个不等根，画图，由数形结合可知，
解得 ．
（3）如果 ，则 ，与题干 矛盾.
因此 ，取 ，则 .…………………………（2分）
………………………1分
当 时， 个数为0个
当 时， 个数为1个
当 时， 个数为2个
当 时， 个数为3个
当 时， 个数为4个……………………3分
21.（1）因为函数 的定义域为 ，值域为 ，（取一个具体例子也可），
所以 在 上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）
在 上封闭……………………（结论和理由各1分）
………………………1分
…………………………1分
………………………………………1分
依题： 即： …………………………1分
……………………………………………………………1分
过定点 …………………………………………1分
（3） ， ………………………1分
设直线 与椭圆 相切，
……………………1分
得两切线到 的距离分别为
……………………3分
， ……………………3分
（2）∵ ，
∴ ， ，……………………2分
当 时，
……………………3分
当 时， 是偶数，
……………………3分
20.（1）由 得： ，所以 ………①
又 周长为 ，所以 ………②
解①②方程组，得
所以椭圆方程为 ………………………4分
（2）设直线 方程： ，交点
接下来证明 ，因为 是单射，因此取一个 ，
则 是唯一的使得 的根，换句话说 .……………（2分）
考虑到 ，即 ，
因为 是单射，则
这样就有了 .………………………………………………（3分）
接着令 ，并重复上述论证证明 .…………（1分）
7.某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好
有1个二等品的概率为
8.已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，若 ，则实数 的取值范围是
9.已知等比数列 前 项和为 ，则使得 的 的最小值为
10.圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则此圆锥的表面积为
11.已知函数 （ ），将 的图像向左平移 个单位得到函数 的
图像，令 ，如果存在实数 ，使得对任意的实数 ，都有
成立，则 的最小值为
12.在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 、 是双曲线 上的两个动点，动
点 满足 ，直线 与直线 斜率之积为2，已知平面内存在两定点 、
，使得 为定值，则该定值为
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
（2） ……………………4分
……………………3分
18.（1）由 ，∴ ，……………………2分
由正弦定理得： ，……2分
∴ ；
；
由 ，∴ ，……………………2分
∴ ；……………………1分
（2）由 ，∴ ，
∴ ，∴ ；……………………4分
由 知， ，∴ ，……………2分
∴ .……………………1分
19.（1）
（2）求三棱锥 的体积.
18.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，
，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 的值.
19.已知等差数列 的公差为2，其前 项和 （ ， ）.
（1）求 的值及 的通项公式；
（2）在等比数列 中， ， ，令 （ ），
求数列 的前 项和 .
20.已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，设点 ，
时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时
A.22B.23C.24D.33
16.关于 的方程 恰有3个实数根 、 、 ，则
（）
A.1B.2C. D.
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.如图，在长方体 中， ， ， .
（1）求异面直线 与 所成的角；