第28章锐角三角函数复习
九年级数学下册 第28章锐角三角函数复习教案 人教新课标版 教案
第28章 锐角三角函数复习教案锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标：一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
siaA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边的对边A A ∠∠3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。
4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 归纳结果2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)004530cos sia +ta60°-tan30°三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=23,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=ba(2)三边之间关系a 2+b 2=c 2(勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题评析例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 2 a=6，解这个三角形．例2在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 20 B ∠=350，解这个三角形（精确到0.1）．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例 3在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． (三) 巩固练习在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
第二十八章 锐角三角函数++++复习课件+2024—2025学年人教版数学九年级下册
会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,
用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E
的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
【解析】原式=1-2 + =1- .
9
维度2基本技能(方法)、基本思想的应用
4.(2023·攀枝花中考)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,
则cos A的值为( C )
3
A.
5
3
B.
4
4
C.
5
4
D.
3
5. (2023·陕西中考)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.
答:遮阳宽度CD约为3.6 m;
13
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:
sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14, 2≈1.41)
【解析】(2)如图,
过点E作EH⊥AB于H,∴∠BHE=90°,
12
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m);
【解析】(1)由对称知,CD=2OD,AD=AC=2 m,∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°,∴sin
α= ,
∴OD=AD·sin α=2×sin 65°≈2×0.9=1.8(m),∴CD=2OD=3.6 m,
3
课标 内容要求
第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)
第二十八章 锐角三角函数单元总结【知识要点】 知识点一 锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA 、cosA 是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，对边邻边C知识点二 解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一 正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD ＝5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A 【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴2222=108=6AB AC --，∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A 5B25C5D．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，222425+=∴cos∠25525=．故选B ．变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠=，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（ ） A ．18 B ．2C ．12D ．118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC 中，cosA ＝ACAB，即可求得AC 的长． 【详解】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴cosA ＝ACAB ， ∵cosA ＝13，AB ＝6，∴AC ＝123AB =，故答案选：B ． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系．变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M （5，2），那么cosα的值是（ ）A 5B ．23C 25D 5【答案】D 【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（5，2），∴OH＝5，MH＝2，∴OM＝22(5)2+＝3，∴cosα＝5 OHOM=，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C3D3【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】 如图，连接BC ，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB 2+BC 2=AC 2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan ∠BAC=1， 故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解． 解析：如图，作DE ⊥AB 于E ．∵tan ∠DBA==，∴BE=5DE ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE ．∴BE=5AE ，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=，AE=2．故选A.变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若2tan5BAC∠=，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解：因为2tan5BCBACAC＝∠=，又BC＝30，所以，3025AC＝，解得：AC＝75m，所以，故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(312) D．(－123【答案】B 【详解】∵点（-sin60°，cos60°）即为点（312），∴点（-sin60°，cos60°）关于y 3，12）．变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=3，sin30°=12，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC中，sin A=cos B=22，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=45，则cosB的值等于( )A．35B．45C．34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cos B=sin A=45．故选B．点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA= 12，那么sinA 的值是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可． 【详解】：∵Rt △ABC 中，cosA=12 ，∴ =2， 故选B ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠=，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（ ） A ．35B ．53C ．34D ．43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∴cosA=b c ，tanA=ab ，a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45，设b=4x ，则c=5x ，a=3x ．∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六 解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α， 在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα， 故选B ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（ ）A ．10B ．15C ．6D ．10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，在Rt ACD ∆中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD ∆中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sinB 的值．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ACD ∆中，1CD CA cosC ⋅＝＝，2215AD AD CD ∴=-=；在Rt ABD ∆中，315BD CB CD AD ＝﹣＝，＝，22BD AD 26AB ∴=+=，AD 10sin AB B ∴==． 故选：D ．【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A．11米B．（36﹣153）米C．153米D．（36﹣103）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝103（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．∴甲楼高为（36﹣103）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD ∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ，先在RT △BDN 中求出线段BN ，在RT △ABM 中求出AM ，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题．【详解】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在RT △BDN 中，BD=30，BN ：ND=13，∴BN=15，DN=153，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=603153453-=，在RT△ABM中，tan∠ABM=43 AMBM=，∴AM=603，∴AC=AM+CM=15603+．【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．【解析】分析：利用锐角三角函数，在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF ．通过矩形CEFH 得到CH 的长．详解：在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE=CE AE， ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中，∵tan ∠DBF=DF BF， ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm ）∵CE ⊥EF ，CH ⊥DF ，DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形，∴CH=EF=151（cm ）.答：高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．。
第28章 锐角三角函数 复习学案
第28章锐角三角函数复习学案一、课程学习目标1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2、能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3、理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4、通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。
二、本章知识结构框图三、知识点与方法（一）正弦、余弦、正切的意义【第1课时】（1）在Rt△ABC中，∠C=90度，则锐角A的与的比叫做∠A的正弦，记作；则锐角A的与的比叫做∠A的余弦，记作；则锐角A的与的比叫做∠A的正切，记作。
（2）锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的。
【练习】1、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2、如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cos α的值等于（ ）A ．34B ．43C ．45D ．35图1 图2 图3 3、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ）A ．a=c ·sinB B ．a=c ·cosBC ．a=c ·tanBD ．以上均不正确 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，32cos =A ，则tanB 等于（ ）A ．35B ．C ．25．5、、如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，c=220，则∠B 的度数为_______．7、已知：α是锐角，247tan =α，则sin α=_____，cos=_______． 8、如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，•另一边经过点P ()32,2，求角α的三个三角函数值．9、（2013•自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是 。
第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中，∠C=90°.（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=aa（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=aa（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示：sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.（2）sin α=cos（90°-α）cos α=sin（90°-α）tan α·tan（90°-α）=1（3）锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2（90°-α）=1（5）tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°，则sin α=cos α； 若α<45°，则sin α<cos α； 若α>45°，则sin α>cos α；28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中，三边之间的关系是a 2+b 2=c 2（勾股定理）； 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边，cosA=∠A 的邻边斜边，tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c ，较简便的方法是用正弦求出BC ，用余弦求出AC ，也可用勾股定理求出AC ，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角，且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图，在∠ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( )A．52B．12C．255D．554.如图，在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝35，则AC的长为( )A．3 B．9 C．4 D．127.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图，在∠ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14 ，则sinB 的值为( )A.102 B ．153 C ．64 D ．10410.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线 AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos∠ADC 的值为( )A ．21313B ．31313C ．23D ．53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB，垂足为D，若AC＝ 5 ，BC ＝2，则sin∠ACD的值为_________．16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________．三、解答题19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据：aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)。
人教版-数学-九年级下册--第二十八章 锐角三角函数全章小结与复习测试(含答案)
小结与复习知识结构基础知识1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，sinA=cosB=ac， cosA=sinB=bc，tanA=cotB=ab， cosA=tanB=ba．2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB． 3．同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=sin cos,cotcos sinA AAA A．4．特殊角的三角函数三角函数0°30°45°60°90°sinα 0 1222321cosα 1 322212tanα 0 321 3不存在cotα不存在3 1 33解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表：类型已知条件解法解直角三角形注意点1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位． 思想方法总结 1．转化思想转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题． 2．数形结合思想本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决． 3．函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a 与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a 任意确定的一个度数，sina 都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina 在（01）之间任意确定的一个值，锐角a 都有惟一确定的一个度数与之对应． 4．方程思想在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素． 中考新题型 例1 计算：（1）sin 230°-cos45°·tan60°（223tan 30︒+分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：（1）sin30°-cos45°·tan60°=14-2=14（2）原式+1-3×（3）2+1-1+2（1-2）=2 说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，•这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．例 2 如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．•小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724）分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF•中求出BC 与DF，两者之和即为所求．解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．答：缆车垂直上升了246.28米．说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；•二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．课时作业设计本章单元测试．单元测试一、选择题．1．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于（）．A．45 B．5 C．15D．1452．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA=34，则cosA等于（）．A．45B．35C．43D．343．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（）．A ．15sin50°米B ．15cos50°米；C ．15tan50°米D ．15cot50°米CBAaADC(第3题) (第6题) (第7题) 4．如果si n 2a+sin 230°=1，那么锐角a 的度数是（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若2，则cosB 的值为（ ）． A ．12B ．22C ． 32D ．16．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，•测得AC=a ，∠ACB=a ，那么AB 等于（ ）．A ．a ·sinaB ．a ·cosaC ．a ·tanaD ．a ·cota7．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为（ ）． A ．43 B ．34 C ．45 D ．358．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm ，则斜边的长是（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 9．在△ABC 中，sinB=cos （90°-C ）=12，那么△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形10．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（ ）． A ．sinA=125 B ．cosA=1213 C ．tanA=125 D ．cotA=121311．如图，为测楼房BC 的高，在距离房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC•的高为（ ）．A．30tanα米B．3030.30sin.tan30sinC Dααα米米BAαCBADC(第11题) (第12题)12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长为（）．A．2 B．2 C．1 D．22二、填空题．13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2，•那么PP′的长为________．（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°=6262,cos1544-+︒=）(第13题) (第14题) (第21题)14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）15．sin30°=________．1635°=________．（精确到0.01）17．若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为_______．18．锐角A满足2sin（A-15°）3A=________．19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________．20．已知A是锐角，且sinA=13，则cos（90°-A）=________．21．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：•将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．三、计算题．22°-）．23．计算：cos60°-1．24．计算：（1）sin30°+cos45°+tan60°-cot30°．（2cot303tan30 cos27sin30cos45︒-︒︒+︒-︒25．若方程2x2+（4sinθ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．四、解答题．26．如图，为申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况．在大道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离B点3米处的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B•点的俯角为30°，问距离B点8 1.73）27．我边防战士在海拔高度（即CD 的长）为50米的小岛顶部D 处执行任务，上午8时发现在海面上的A 处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC•方向航行一段时间后到达B 处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．（•计算结果保留根号）28．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成58°，•求拉线下端点A 与杆底D 的距离AD ．（精确到0.01米）58B A4mD C答案：一、1．B 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．B二、13 14．2.38 15．12 16．1.10 17．1218．75° 1920．1321．三、22°-）0．23．解：原式=12-12．24．（1）12（2）1 25．θ=45°． 四、26．过点C 作CE ⊥AB 于E ，Rt △CBE 中，tan30°=BE CE，∴BE=CE ·tan30° Rt △CAE 中，tan60°=AEEC，∴AE=CE ·tan60°∴4×1.73=6.92<8． ∴保护物不在危险区．27．解：根据题意，∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°，∴BC=DC=50．在Rt △ADC 中，AC=CD ×tan ∠AB=AC-BC=50-1）（米）．答：该船在这段时间内的航程为50）米． 28．解：在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=58°，CD=5米．∵tan ∠CAD=CDAD ， ∴AD=5tan tan 58CD CAD =∠︒≈3.12（米）．答：拉线下端点A 与杆底D 的距离AD 约为3.12米．。
数学：第二十八章锐角三角函数复习课件(人教新课标九年级下)
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☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
确定角的范围
3. 当∠A为锐角，且cosA=
1 5
3. 确定值的范围
4. 确定角的范围
那么（ D ） (A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
1 3
4. 当∠A为锐角，且sinA=
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☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
求锐角A的值
1. 已知 tgA= 3 ，求锐角A . 2. 已知2cosA -
3 =0, 3 =0 3
∠A=60° ∠A=30°
求锐角A的度数 . 解：∵ 2cosA -
∴ 2cosA =
∴cosA=
3 2
∴∠A= 30°
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☆ 应用练习
1.已知角，求值
求下列各式的值
1. 2sin30°+3tg30°+ctg45° 2. cos245°+ tg60°cos30°
=2 + d 3
=2
= 3 - 2o 2 = 4 +2 o3
cos 45o sin 30o 3. cos 45o sin 30o coso 4. tg 45o sin 60o ctg90o
3 2
1 2 3 2
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☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
确定角的范围
1. 当∠A为锐角，且tgA的值 大于 3 时，∠A（ B ）
3
3. 确定值的范围
4. 确定角的范围
(A)小于30° (C) 小于60°
第28章-锐角三角函数复习课
A
____________________
D C
例
2
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区， 一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在 北偏西60˚，航行24海里到C，见岛A在 北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触 礁的危险？
N1 A N
D
C
B
练习1.国外船只，除特许外，不得进入我国 海洋100海里以内的区域，如图，设A、B是我 们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里， 海岸线是过A、B的一条直线，一外国船只在P 点，在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得 ∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警 告，令其退出我国海域. P
D ∵ ∠B=45°，∠ACB=75°∴∠A=60°
CD ∵sinA= AC
AD cosA= AC
B
450
75° C
∴CD=AC· sin60°= 4 3 ∵ ∠BDC = 90°
2
AD=AC· cos60°=4 ∴BD=CD= 4 3
∴∠BCD=45°
2
∴S△ABC= 1 AB CD 1 4 3 4 4 3 24 8 3
a sin A c
A
b 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠ A的余弦，记作 cos A c a 锐角A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切，记作 tan A b
我们把 A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的三角函数
练习巩固
1. 分别求出图中∠A的正弦值、余弦值和正切值
B 2
C
C
B A
6
A
A
6
2 B
2
C
一、本章教学内容 28．1 锐角三角函数 28．2 解直角三角形 二、本章知识结构框图
锐角三角函数复习教案
第二十八章锐角三角函数（复习）一、教学目标：：1、掌握锐角三角函数的概念，利用锐角三角函数的意义及直角三角形的边角关系解决一些数学问题。
2、通过运用勾股定理，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数知识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3、渗透数形结合思想，培养学生良好的学习习惯。
二、教学重点：锐角三角函数及直角三角形有关知识的综合运用三、教学难点：实际问题转化成数学模型。
四、教学过程：（一）师生共同复习本章知识结构（1）锐角三角函数及特殊角的三角函数值：①如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．那么∠A的正弦：sin A＝∠A的余弦：cos A＝∠A的正切：tan A＝∠B的正弦：sin A＝∠B的余弦：cos B＝∠B的正切：tan B＝思考：通过边角关系，你发现了什么规律？②特殊角的三角函数值：③三角函数的增减性：当0°< α < 90°时对于sinα与tanα，角度越大，函数值越；对于cosα，角度越大，函数值越 .(2). 解直角三角形①在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．三边关系：三角关系：边角关系：(3). 三角函数的应用 ①仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. ② 坡度，坡角如图：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ） 的比叫做坡面坡度.记作i ，即i= h l.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α. 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. ③ 方位角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示 （二）、双基练习1、若∠A 为锐角，sinA=13,则：cosA=_____,tanA=______2、比较大小：sin530_____ sin540 sin270______ cos7203、(2014·凉山州)在△ABC 中，若|cos A －12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4、(2015·兰州)如图，△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则cos A ＝( )A .52B .12C .255D .555、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35，BE ＝2，则tan ∠DBE的值是_ __． （三）、能力提升练习 6、(2015·巴中)计算：|2－3|－(2015－π)0＋2sin 60°＋(13)－1.7、(2015·丽水)如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos ∠α的值，错误的是( )A .BD BCB .BC AB C .AD AC D .CD AC8、(2015·太原)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255 C .55 D .129、如图在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=8，tan ∠BDC=34，则线段AB 的长为( ) A 、 4 B 、5 C 、6 D 、1010、如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交所成的锐角为α，若AC=a ，BD=b ，则：S □ABCD=( )A 、12absinaB 、absinaC 、abcosaD 、 12abcosa11、如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A .12B .34C .32D .4512、(2014·临沂)如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为( )A ．20海里B ．10 3 海里C ．20 2 海里D ．30海里13、(2015·曲靖)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则cos D ＝____． 14、(2015·宁波)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度．站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的俯角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是__________m (结果保留根号)15、(2015·牡丹江)在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝22，求BC 的长。
人教版初三下册数学第二十八章锐角三角函数章节复习和练习(导学案无答案)
锐角三角函数【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB 记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点二、特殊角的三角函数值如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；A Cab(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．例题分析类型一、锐角三角函数值的求解策略例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切值．举一反三：【变式】在ABC Rt 中，∠C=90。
,若a=3，b=4，则c= ，sinA= ， cosA= ，sinB= ， cosB= ．类型二、特殊角的三角函数值的计算 例2．求下列各式的值：(1) 6tan 230°﹣3sin60°﹣2sin45°；(2) 2sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；C ab(3)。
60tan 45cos 2260tan 60cos 60sin 2+-+类型三、锐角三角函数之间的关系例3．已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足（1﹣tanA ）2+|sinB ﹣23|=0 （1）试判断△ABC 的形状．（2）求（1+sinA ）2﹣2B cos ﹣（3+tanC ）0的值．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用例4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【巩固练习】 一、选择题1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，则tanB ＝ ( ) A ．34 B ．43 C ．53 D ．542.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A ．2B ．552 C ．55 D ． 213. 已知锐角α满足sin25°＝cos α，则α＝( )A ．25°B ．55°C ．65°D ．75°4．如图所示，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为 ( )A ． 21B ． 43C ． 23D ．54第4题 第5题5．如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sinB 的值是( ) A ．1475 B ．53 C ．721 D ．14216．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值( ) A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．不变 7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC ＝30cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．330cmB ．320cmC ．310cmD ．35cm第7题 第8题8. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AC ＝5，BC ＝2，则sin∠ACD 的值为( )A ．35 B ．352 C ．25 D ． 32 二、填空题9． (1)锐角∠A 满足2sin(∠A-15°)＝3，则∠A ＝________； (2)已知α为锐角，3)90tan(=-a 。
九人数学下册教学课件第二十八章 小结与复习
∴∠AFE +∠BFC = 90°.
∵∠BCF +∠BFC = 90°，∴∠AFE =∠BCF.
在 Rt△BFC 中，BC = 8，CF = 10，
10
由勾股定理得 BF = 6.
∴ tan∠BCF = BF = 3 .
∴
tan∠AFE
=
BC 4 tan∠BCF
=
3
.
4
10 8
针对训练
如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D．若 BC＝
解：原式 3 3 3 = 7 .
3
44
考点三 解直角三角形
例 4 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，点 D 在 BC 上，
BD = 4，AD = BC，cos∠ADC = 3 ．
(1) 求 CD 的长；
5
分析：图中给出了两个直角三角形，
A
CD 可在 Rt△ACD 中求得，由 AD =
BC，CD = BC－BD，以及 cos∠ADC
= 20× 3 = 10 3 (m).
2
F
在 Rt△AEF 中，∠E = β = 45°， 则 AE AF 10 6 (m).
sin 45 故改造后的坡长 AE 为10 6 m.
F
针对训练
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横
断面为梯形 ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为 45°，高
解：如图，作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H．
则四边形 DHCG 为矩形．
故 DG = CH，CG = DH，DG∥HC，
∴∠DAH =∠FAE = 30°.
在 Rt△AHD 中，∵∠DAH = 30°，AD = 6，
第28章锐角三角函数复习课(2)_2023年学习资料
应用练习-6、在△ABC中，∠C=90°，AB=15,-sinA=1,则BC等于B-3-A.45-B.5.-D-7、在△ABC中，∠C=90°，AC=6,-BC=23,则∠B等于C-A.30°-B.45°-C. 0°-D.90
范例-根据图中所给的数据，求避雷针CD的长-解：在Rt△ABD中-∠BAD=45,.BD=AB=52m-在 十△ABC中-·tan∠BAC=-..BC=AB.tan∠BAC-=52tan30°-525-.CD=BD BC--52-325-156-52W3-答：避雷针CD的长为-ma
知识点二特殊角的三角函数值：-锐角a-300-450-600-增减性-sina-1-2-递增-√2-cos -626-递减-tand
范例-特殊角的三角函数值可以“熟记”或“推-导”-2、-评算：（①sin230°-cos45°.tan60 解：原武=-空3西上-42-1--3tan230°+2V/sin45°-12-丽：原式2+1-+2--02+1-*2x0-9-=2
第28章复习【考点攻略-解：在Rt△ADC中，-AC-.'sin∠ADC=-AD'-..AD=-V3-si ∠ADC=sin600=2.-.BD=2AD=4.-tan ZADC=DC'-1V3-..DC=-tn∠A C tan60°=l.-..BC=BD+DC=5.-在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC2=27.-.△ BC的周长=AB+BC+AC=2W7+5+V3.-数学·
第28章复习丨考点攻略-|考点攻略-考点一-锐角三角函数定义-例1如图8-2所示，∠BAC位于6×6的方格 中，则-tan∠BAC=2-数学。
第28章复习丨考点攻略-B-A-C-图28-2-数学·
第28章 锐角三角函数复习学案
锐角三角函数（复习）【学习目标】1.了解并掌握三个锐角三角函数：正弦（sinA）、余弦（cosA）和正切（tanA）.2.熟知30°，45°，60°角的三角函数值.3.能利用锐角三角函数解决简单的解直角三角形问题.基础部分活动1 复习回顾1.如右图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的三角函数值为：2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值：30°45°60°sinAcosAtanA观察表格，谈谈你记忆以上三个特殊角三角函数值的诀窍：要点部分活动2 例题巩固考点一锐角三角函数的定义1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，则tanA=_____，sinA=_____.2.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．C．D．▲练习：如图，ABC的顶点都是正方形网格的格点，求BAC∠的正弦值为_____.考点二、特殊角的三角函数值的考查1. 已知sinA 3A为锐角，则∠A的度数为2.（1）sin260°＋cos260°－cos45°；（2）2sin30°+3cos60°－4tan45°3. 锐角A满足tan(A-15)o3A的度数。
4. 在△ABC中，若223cos sin022A B⎛-+-=⎝⎭(),A B∠∠均为锐角，求C∠的度数。
考点三、利用锐角三角函数解直角三角形1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，sinA =13，求cosA和tanA的值.▲练习：如图，在Rt ABC 中，590,sin 13B A ∠=︒=，点D 在AB 边上，且45,5BDC BC ∠=︒=．（1）求AD 长；（2）求ACD ∠的正弦值．拓展部分★在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：tan60︒=______，tan30︒=______，发现结论：tan A ______12tan 2A ；（选填“=”或“≠”）（2）实践探究：如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2,1AC BC ==，求1tan2A 的值； 小明想构造包含12A ∠的直角三角形：延长CA 至点D ，使得DA AB =，连接BD ，所以得到12D A ∠=∠，即转化为求D ∠的正切值．请按小明的思路进行余下的求解； （3）拓展延伸：如图2，在Rt ABC 中，,1903,tan 3C AC A ∠===︒．求tan2A 的值．中午练习1.如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，P M ＝PN ，若MN ＝2，则OM ＝ ( ) A ．3； B ．4； C ．5； D ．62.在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cosB ＝22，则BC 边长为( ) A ．7 B ．8 C ．8或17 D ．7或173.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为__________．4.求下列各式的值；（1）3tan30sin452sin60︒+︒-︒； （2）2sin 60tan30cos30tan 45︒-︒⋅︒+︒．5.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，BC ＝6. (1)求sinC ；(2)求AC 边上的高BD.。
锐角三角函数复习
∠A的邻边 斜边 (2)∠A的余弦：cosA＝
∠A的对边 (3)∠A的正切：tanA＝∠A的邻边
＝
b c
a b
；
＝
.
数学·新课标（RJ）
第28章复习 ┃ 知识归类 [易错点] 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前 提是在直角三角形中．
2．30°，45°，60°角的三角函数值
1 sin30°＝ 2 3 cos30°＝ 2 tan30°＝ 3 3
，sin45°＝ ，cos45°＝ ，tan45°＝
2 3 2 ，sin60°＝ 2 ； 1 2 ，cos60°＝ ； 2 2 第28章复习 ┃ 知识归类
3．解直角三角形的依据
(1) 在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90°， a ， b ， c 分别是∠ A ，∠ B ， ∠C的对边．
三边关系：
三角关系： 边角关系：sinA＝cosB＝ cosA＝sinB＝ tanA＝ ， ，tanB＝
；
； ，
.
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的 2个元素(至少有一个是边 )， 就可以求出其余的3个未知元素．
数学·新课标（RJ）
第28章复习 ┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 锐角三角函数定义
如图28－2所示，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC
＝________.
3 2
数学·新课标（RJ）
第28章复习 ┃ 考点攻略
考点二特殊角的三角函数值（2014年 20题）
1 sin 60 32 1 8 3 1
数学·新课标（RJ）
►
如图所示，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾
人教版初中九年级下册数学教案 第二十八章 锐角三角函数 章末复习
章末复习1.进一步理解并掌握锐角三角形函数的意义，能用定义进行相关的计算；2.熟记特殊角的三角函数值，能用计算器求任意锐角的三角函数值或利用锐角的三角函数值求相应角的度数；3.能用解直角三角形知识解决实际应用问题.4.进一步增强学生分析问题、解决问题的能力，掌握数形结合的思想方法.5.进一步增强学生的数学应用意识，感受数学的转化思想方法，增强学生对数学学习的热情.【教学重点】通过对本章知识的回顾，巩固所学知识，能熟练运用所学知识解决具体问题.【教学难点】运用锐角三角函数解决实际应用问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】教学前，教师应根据本章知识内容设计一个适合要求的知识结构框图，教学时，与学生一道回顾本章知识，按自己的设计思路展示出结构图，让学生加深对本章知识的系统理解.二、释疑解惑，加深理解问题 1 请用计算器探索出锐角函数的函数值随自变量锐角从小到大的变化而变化的情况，你有什么发现?【教学说明】教师可引导学生利用计算器求出0°〜10°，10°〜20°，20°〜30°，……，80°〜90° 之间的某一锐角的三角函数值，通过分析得到的函数值，可获得锐角三角函数的一些简单性质.【归纳结论】对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的函数值随自变量锐角A的增大而增大，且sinA必满足0＜ sinA＜1;它的余弦函数(cosA)的函数值随锐角A的增大而减小，且 cosA必满足0＜COSA＜1;它的正切函数（tanA) 的函数值随锐角A的增大而增大，且tanA满足tanA ＞0.试一试若锐角A的余弦值cosA = 3，则锐角A的取值范围是（）A. 60°＜A＜90°B. 45°＜A＜60°C. 30°＜A＜45°D. 0°＜A＜30°分析与解由于cos30°=≈0. 866,cos45°= ≈0.707 ,cos60° =12，且 cosA = 34= 0.75，知 cos45°＜cosA＜cos30°，结合余弦函数的性质，其函数值随角度的增大而减小，从而可知 30°＜A ＜；45°，故应选 C.问题 2 利用锐角三角函数定义及勾股定理，你能证明sin2A + cos2A = 1吗？你有何发现？问题3 若∠A + ∠B =90，你能探索出 tanA与tanB之间有什么关系吗？与同伴交流.【教学说明】教师应引导学生构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系及相应锐角的三角函数的意义不难得出结论.经历由问题1的感性认识到问题2、3的理性思考可进一步开拓学生的思维能力，增强解题技能.【结论】 1.对于任意锐角A ，总有sin 2A + cos 2A = 1 ；2.若两个锐角∠A ，∠B 满足∠A + ∠B = 90°， 则必有 tanA • tanB = 1.试一试 化简 22sin 232sin 231cos 23︒-︒+-︒-tan1°·tan11°· tan21°·tan31°·tan89°·tan79°·tan69°·tan59°.分析与解 由2sin 232sin 23︒-︒ = 2sin 231︒-（）= |sin 231︒-| = 1 - sin23°，21cos 23-︒ = 2sin 23︒ = sin23°，及tan1°·tan89°=1 等可得到原式 = 1 - sin23°+ sin23°- 1 = 0.三、典例精析，复习新知例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知cosA=13，求cosB 和tanA的值.分析与解 结合图形及已知条件，由cosA= 13 =AC AB ，故不妨设AC=m ，则AB=3m ，由勾股定理易得BC=22m ，从而cosB =BC AB= 223m m = 223, tanA =BC AC = 22m m = 22.例2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O经过点C ，E 是⊙O 上一点，且∠BEC=45°.（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）若BE=8 cm，sin∠BCE = 45，求⊙O的半径.分析与解本例是一道圆、平行四边形、锐角三角函数的小综合问题，在（1）中可直接由∠BEC=45°得到∠BOC=90°（添加辅助线OC），再利用平行四边形性质，可得到∠OCD=∠BOC=90°，从而CD是⊙O的切线；在（2）中，应先连AE，利用圆的性质可得∠BAE=∠BCE，又AB为⊙O直径，故△ABC为直角三角形，这样由sin∠BCE= 45，得到sin∠BAE=4 5 = BEAB，又BE=8，从而得AB=10，故⊙O的半径为5.通过上面的分析可以发现，对于不是直角三角形中的锐角三角函数问题，常常需通过添加辅助线，将这一锐角三角函数转化为直角三角形中某个角的三角函数来解决问题.例3 小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形，已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO'=2米，当吊臂顶端由A点抬升至点A'（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B'处，紧绷着的吊缆A B''=AB.AB垂直地面O'B于点B，A B''垂直地面O'B于点C，吊臂长度O A'=OA=10 m，且cosA = 35，sin A' = 12.（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B'C.（结果保留根号）分析与解过O作OF⊥AB于F，交A B''于点E（如图），这样可在Rt△AOF中，利用OA=10， cosA= 35，求出AF=6，从而得OF=8，在Rt△A'OE中，由O A'=10，sin A'=12，得OE=5，从而BC=EF=OF-OE=8-5=3 m，即重物在水平方向移动的距离为3 m；同样，可求出AB=AF+BF=AF+OO' =6+2=8，在Rt△A'OE中，可得A'E=53.故A'C=A'E+EC =53+2,这样B'C= A'C-A B''=A'C-AB=53+2-8=53-6，即此重物在竖直方向移动的距离为（53-6） m.例 4 某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°,已知A 点的高度AB 为2 m ，台阶AC 的坡度为1∶3 (即AB ∶BC=1∶3，且B 、C 、E 三点在同一直线上，请根据以上条件求出树DE 的高度（测倾器的高度忽略不计）.分析与解 如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形.∴AF=BE ，EF=AB=2.设DE=x ，在Rt △CDE 中，CE=tan DCE DE ∠ = tan 60?DE = 33x . 在Rt △AFD 中，DF = DE - EF = x - 2，∴AE=tan DAF DF ∠ = 2tan 30?x - = 3(x 2)-. ∵AF = BE = BC + CE ，∴3(x 2)- = 23 + 33x .解得.例5 图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O 到BC （或DE ）的距离大于或等于⊙O 的半径时（⊙O 是桶口所在圆，半径为OA ），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F ，C-D 是CD 〖T ，AB=FE=5 cm ，∠ABC=∠FED=149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.（参考数据：314≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97,）分析与解要判断图丙中所示提手是否合格，可过O作OM⊥BC 于M，只须比较OM与OA的大小即可.这时再连OB，在Rt△ABO中，由tan ∠ABO = OAOB= 3.4及tan73.6°=3.4可知∠ABO=73.6°，又∠ABC=149°，从而= 175∠MBO=75.4°，又OB = 22+ =314≈17.72，且sin+ = 25289AB OA，∴OM=OB·sin∠MBO=17.72×sin75.4°=17.72×0.97≈17.2，∠MBO=OMOB由OM＞OA知，这个提手是合格的.【教学说明】上述所选四道题中的例1，例2可由学生自主探究，独立完成，然后相互交流，互相检查.例3、例4文字叙述较长，教师应作好引导，帮助学生分析，找出解决问题的突破口，让学生在理解的基础上探寻结论，进一步体验用锐角三角函数知识解决实际问题的过程、方法，加深对本章知识的理解.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？【教学说明】师生相互交流，让学生谈谈自己的想法，提出来与大家分享，也可帮助学生进行知识、方法的提炼，形成完整的知识结构.1.布置作业：从教材P84～85复习题28中选取.2.完成创优作业中本课时的练习.本课时为复习课，首先要让学生了解本章的知识体系，教学的展开以问题的解决为中心，指导学生自主理清由实际问题转化为三角函数模型的思路，增强学生数学问题的转化意识.。
必刷基础练【28.1 锐角三角函数】(解析版)
2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第28章《锐角三角函数》28.1 锐角三角函数知识点01：锐角三角函数的定义1．（2022秋•钢城区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，BC＝8，则AC等于（ ）A．6B．16C．12D．4解：∵∠C＝90°，∴tan A＝＝2，∴AC＝BC＝×8＝4．故选：D．2．（2022秋•晋州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．3．（2022秋•浦东新区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝6，下列等式中正确的（ ）A．tan A＝B．sin A＝C．cot A＝D．cos A＝解：∵AB2＝BC2+AC2，∴AB2＝62+92＝117，∴AB＝3；A、tan A＝＝＝，故A不符合题意；B、sin A＝＝＝，故B不符合题意；C、cot A＝＝＝，故C符合题意；D、cos A＝＝＝，故D不符合题意，故选：C．4．（2022秋•杨浦区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（ ）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝解：∵∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC＝＝＝2，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝＝，cot A＝＝2．故选：A．5．（2022秋•黄浦区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，那么下列各式中正确的是（ ）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝，∴sin A＝＝，cos A＝＝．tan A＝＝＝，cot A＝＝．故选：A．6．（2022•睢宁县模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B的值是 ．解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴sin B＝＝，故答案为：．7．（2021秋•牡丹江期末）在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，cos A＝，sin C＝，则∠B＝ 60° ．解：∵∠A，∠C都是锐角，cos A＝，sin C＝，∴∠A＝60°，∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，故答案为：60°．8．（2022春•衡阳月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则tan B＝ ．解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴BC＝＝5，∴tan B＝＝．故答案为：．9．（2022秋•惠山区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．＝9，求△ABC的周长．（2）tan A＝2，S△ABC解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，∴b＝＝＝5，∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°；（2）∵tan A＝＝2，∴a＝2b，∵S＝9，△ABC∴＝9，∴＝9，解得：b＝3（负数舍去），即a＝6，由勾股定理得：c＝＝＝3，∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+3＝9+3．10．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．知识点02：锐角三角函数的增减性11．（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．12．（2022•路南区二模）梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A．sin A的值越大，梯子越陡B．cos A的值越大，梯子越陡C．tan A的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关解：根据锐角三角函数值的变化规律，知sin A的值越大，∠A越大，梯子越陡．故选：A．13．（2022秋•晋江市期中）比较大小：tan50° ＜ tan60°．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．14．（2021秋•淮阴区期末）比较大小：sin50° ＜ sin60°（填“＞”或“＜”）．解：由于50°＜60°，根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得，sin50°＜sin60°，故答案为：＜．15．用锐角α的三角函数的定义去说明（1）0＜sinα＜1（2）0＜cosα＜1（3）tanα＞sinα解：（1）sinα＝，0＜a＜c，0＜1，即0＜sinα＜1；（2）cosα＝，0＜b＜c，0＜＜1，即0＜cosα＜1；（3）tanα＝，sinα＝，由0＜b＜c，得＞，即tanα＞sinα．16．（2019春•西湖区校级月考）如图，半径为4的⊙O内一点A，OA＝．点P在⊙B上，当∠OPA最大时，求PA的长．解：如图，作OE⊥PA于E，∵sin∠OPA＝，∴OE的值取最大值时，sin∠OPA的值最大，此时∠OPA的值最大，∵OE≤OA，∴当OE与OA重合时，即PA⊥OA时，∠OPA的值最大．如图，∵在直角△OPA中，OA＝2，OP＝4，∴PA＝＝2．知识点03：同角三角函数的关系17．（2022春•巴东县期中）x为锐角，，则cos x的值为（ ）A．B．C．D．解：∵sin2x+cos2x＝1，，∴cos x＝＝＝．故选：B．18．（2021秋•舟山期末）在直角△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝，求cos A＝（ ）A．B．C．D．2解：∵sin2A+cos2A＝1，∴cos A＝＝.\故选：C．19．（2021•温江区校级开学）计算：（cos230°+sin230°）×tan60°＝ ．解：原式＝[（）2+（）2]×＝，故答案为：．20．（2021秋•金牛区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则sin A+cos A＝ ．解：如图，∵tan A＝2，∴设AB＝x，则BC＝2x，AC＝＝x则有：sin A+cos A＝+＝+＝．故答案为：．21．（2020秋•万州区校级期中）计算：sin225°+cos225°﹣tan60°＝ 1﹣ ．解：∵sin225°+cos225°＝1，tan60°＝，∴sin225°+cos225°﹣tan60°＝1﹣，故答案为：1﹣．22．（2021秋•鄞州区校级月考）计算：（1）4sin260°﹣3tan30°；（2）+cos245°+sin245°．解：（1）4sin260°﹣3tan30°＝4×＝3﹣；（2）+cos245°+sin245°＝＝4+1＝5．23．（2021秋•绥宁县月考）计算：（1）sin230°+tan60°﹣sin245°+cos230°；（2）+（1+π）0﹣2cos45°﹣|1﹣|．解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+＝+；（2）原式＝2+1﹣2×﹣+1＝2+1﹣﹣+1＝2．24．（2022秋•蓬莱区期中）计算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α为锐角，sin（α+15°）＝，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．解：（1）原式＝|1﹣|﹣4×+1＝﹣1﹣2+1＝﹣；（2）∵sin60°＝，sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1＝2﹣4×+1+3＝4．知识点04：互余两角三角函数的关系25．（2022秋•芝罘区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．cos A＝cos B C．sin A＝cos B D．tan A＝tan B 解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B．故选：C．26．（2021秋•怀化期末）已知锐角α，且sinα＝cos38°，则α＝（ ）A．38°B．62°C．52°D．72°解：∵锐角α，且sinα＝cos38°，sin A＝cos（90°﹣∠A），∴sinα＝cos（90°﹣α）＝cos38°，∴90°﹣α＝38°，解得：α＝52°．故选：C．27．（2021秋•怀宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B＝ ．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．28．（2020秋•肥东县期末）已知α为锐角，则sinα﹣cos（90°﹣α）＝ 0 ．解：∵α为锐角，∴sinα＝cos（90°﹣α），∴sinα﹣cos（90°﹣α）＝0．故答案为0．29．（2019秋•双流区期末）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则tan B＝ ．解：如图．在Rt△ABC中，∵sin A＝＝，∴设BC＝x，AB＝3x，则AC＝＝2x，故tan B＝＝＝．故答案为：．30．（2017•吴兴区校级二模）已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．31．化简下列各式：（1）4cos2（90°﹣θ）+4sin2（90°﹣θ）+4（2）．解：（1）原式＝4sin2θ+4cos2θ+4＝4（sin2θ+cos2θ）+4＝4+4＝8；（2）原式＝﹣1＝﹣1＝1+tan2θ﹣1＝tan2θ．知识点05：特殊角的三角函数值32．（2022秋•巨野县期中）∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．33．（2021秋•梁平区期末）式子2cos30°﹣tan45°﹣的值是（ ）A．0B．2C．2D．﹣2解：原式＝2×﹣1﹣（﹣1）＝﹣1﹣+1＝0．故选：A．34．（2022秋•乳山市校级月考）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，sin C的值是（ ）A．B．C．1D．解：∵∠A＝105°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，∴sin C＝sin30°＝．故选：A．35．（2022秋•虎丘区校级期中）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝ 60° ．解：∵∠α为锐角，sinα＝，∴∠α＝60°．故答案为：60°．36．（2022秋•东平县校级月考）若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是 直角三角形 ．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．37．（2022秋•铁西区期中）在△ABC中，若sin A＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是 75° ．解：∵，∠A，∠B都是锐角，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案为：75°．38．（2022秋•垦利区期中）在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 105° ．解：∵|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，∴sin A﹣＝0，﹣cos B＝0，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．39．（2022秋•黄浦区期中）计算：．解：原式＝﹣＝cot30°﹣1﹣＝﹣1﹣＝﹣1﹣（+1）＝﹣1﹣﹣1＝﹣2．40．（2022秋•莱西市期中）计算：（1）；（2）cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．解：（1）原式＝＝＝﹣1﹣＝﹣；（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣＝﹣1+﹣＝﹣．。
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，
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件:解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)， 就可以求出其余的3个未知元素．
方法技巧 解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)， 无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的图形，要 善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、公共边、相 等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起， 从而达到解题的 目的．
30°，45°，60°角的三角函数值
sin30°＝
，sin45°＝，sin60°＝ Nhomakorabea；
cos30°＝
，cos45°＝
，cos60°＝
；
tan30°＝
，tan45°＝
，tan60°＝
.
考点三
解直角三角形
已知：如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝ 90° ， AC＝ 3. 点 D 为 BC 边上一点，且 BD＝2AD，∠ADC＝60° .求△ ABC 的 周长． (结果保留根号 )
北
60° 45°
X X
A
30° 500
45° B
C
方法技巧 解应用题时，先要将实际问题转化为数学问题，找出直角三 角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁，从而利用解直角三角 形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际情况的答案．
强化训练
目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新 电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔 顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°.
知识点归纳
3．解直角三角形的依据 (1)在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，a， b，c分别是∠A，∠ B， ∠C的对边． 2＋b2＝c2 a 三边关系： ； ∠A＝90°－∠B 两锐角关系：
a b 边角关系：sinA＝cosB＝ c ，cosA＝sinB＝ c sinB sinA tanA＝ cosA ，tanB＝ cosB .
训 练
， AC=5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是?
[易错点] 忽视用边的比 表示锐角的正弦、余弦 和正切的前提是在直角 三角形中．
3 如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=5
考点四 解直角三角形在实际中的应用
如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海 中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B 处，测得海中灯塔P在北偏东45°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC是多少米？（结果用根号表 P 示）．
强化训练
如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北 30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然 气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输 气管道步行2000m到达C处，测得小区M位于C的 北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道 连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的 长.
∠A的邻边 斜边 (2)∠A的余弦：cosA＝
∠A的对边 ∠A的邻边
＝
b c a b
；
(3)∠A的正切：tanA＝
＝
.
训 练
3 BC 在△ABC中， C=90°，sinA= 5 ，则 AC =(
)
3 4 3 4 A. B. C. D. 4 3 5 5
考点二 特殊角的三角函数值的考查 计算
2. 特殊角的三角函数值
(sin39°≈0.6293, cos39°≈0.7771, tan 39° ≈0.8098)
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
解：(1)由题意得∠ACB＝45° ，∠A＝90° ， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝610(米)． (2)DE＝AC＝610，在 Rt△BDE 中， BE tan∠BDE＝ ， DE ∴BE＝DE· tan39° . ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE· tan39° ＝610－610×tan39° ≈116(米)． 答：大楼的高度 CD 约为 116 米．
第28章锐角三角函数复习
考点一锐角三角函数定义 如图所示，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tanA ＝________.
1. 锐角三角函数的定义 如图所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是
∠A，∠B，∠C的对边 . ∠A的对边 a (1)∠A 的正弦：sinA＝ ＝ ； c 斜边
解：过点M作MN⊥AC，此时MN最短，点N即为所求 的支管道连接点．由题意得，在Rt△MAN中， ∠MAN=60°—30°=30°， 3 则MN=AN· tan30°= 3 AN. 在Rt△MNC中，∠MCN=60°， 则MN=NCtan60°= 3 NC= 3 (2000-AN). 3 ∴ 3 AN= 3 (2000-AN)， ∴AN=1500（m）