专题提升(15) 巧用旋转进行证明与计算

沪科版九年级数学下册-解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明——体会旋转中常见解题技巧◆类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度1．(2016·合肥校级模拟)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为()A．60°B．85°C．75°D．90°第1题图第2题图第3题图2．(2016·株洲中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C 沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为________．4．如图，P是正三角形ABC内的一点，且P A＝5，PB＝12，PC＝13，若将△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．◆类型二利用旋转结合特殊三角形判定、性质或勾股定理求长度或证明5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D，若AC＝6，则AD的长为() A．2 B．3 C．2 3 D．3 26．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是________．7．(2016·娄底中考)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由．◆类型三利用旋转计算面积8．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是()A.2－1B.2＋1C. 2D. 3第8题图第9题图9．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则△DCE的面积为________．【方法3】参考答案与解析1．B 解析：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，∴∠C ＝∠E ＝70°，∠BAC ＝∠DAE .∵AD ⊥BC ，∴∠AFC ＝90°，∴∠CAF ＝90°－∠C ＝90°－70°＝20°，∴∠DAE ＝∠CAF ＋∠EAC ＝20°＋65°＝85°，∴∠BAC ＝∠DAE ＝85°.2．B3．90° 解析：∵将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转120°得到△AB ′C ′，∴∠BAB ′＝∠CAC ′＝120°，AB ＝AB ′，∴∠AB ′B ＝12(180°－120°)＝30°.∵AC ′∥BB ′，∴∠C ′AB ′＝∠AB ′B ＝30°，∴∠CAB ′＝∠CAC ′－∠C ′AB ′＝120°－30°＝90°.4．解：连接PP ′.∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.∵△P AC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P ′AB ，∴∠P ′AP ＝∠BAC ＝60°，AP ′＝AP ，BP ′＝CP ＝13，∴△AP ′P 为等边三角形，∴PP ′＝AP ＝5，∠APP ′＝60°.在△BPP ′中，∵PP ′＝5，BP ＝12，BP ′＝13，∴PP ′2＋BP 2＝BP ′2，∴△BPP ′为直角三角形，∠BPP ′＝90°，∴∠APB ＝∠APP ′＋∠BPP ′＝60°＋90°＝150°.即点P 与点P ′之间的距离为5，∠APB 的度数为150°.5．D 解析：在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋62＝62，则AB ′＝AB ＝6 2.在Rt △B ′AD 中，∠B ′AD ＝180°－∠BAC －∠BAB ′＝180°－45°－75°＝60°.则AD ＝AB ′·cos ∠B ′AD ＝62×12＝3 2. 6.2＋6 解析：连接AM ，由题意，得CA ＝CM ，∠ACM ＝60°，∴△ACM 为等边三角形，∴AM ＝CM ，∠MAC ＝∠MCA ＝∠AMC ＝60°.∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝CM ＝2 2.∵AB ＝BC ，CM ＝AM ，∴BM 垂直平分AC ，∴BO ＝12AC ＝2，OM ＝CM ·sin60°＝6，∴BM ＝BO ＋OM ＝2＋ 6.7．(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C .∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置，∴A 1B ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠A 1＝∠C ，∠A 1BD ＝∠CBC 1.在△BCF 与△BA 1D 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A 1＝∠C ，A 1B ＝BC ，∠A 1BD ＝∠CBF ，∴△BCF ≌△BA 1D ； (2)解：四边形A 1BCE 是菱形．理由如下：∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置，∴∠A 1＝∠A .∵∠ADE ＝∠A 1DB ，∴∠AED ＝∠A 1BD ＝α，∴∠DEC ＝180°－α.∵∠C ＝α，∴∠A 1＝α，∴∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C －∠A 1EC ＝180°－α，∴∠A 1＝∠C ，∠A 1BC ＝∠A 1EC ，∴四边形A 1BCE 是平行四边形．∵A 1B ＝BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形．8．A 解析：连接AE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝1，且∠B ＝90°，∠D ′CE ＝45°，由勾股定理得AC ＝12＋12＝ 2.由题意，得AD ′＝AB ＝1，∠AD ′E ＝90°，∴D ′C ＝2－1，∠D ′EC ＝∠D ′CE ＝45°，∴D ′E ＝D ′C ＝2－1，∴S △D ′EC ＝12(2－1)2＝32－2，∴S 阴影＝S △ABC －S △D ′EC ＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫32－2＝2－1. 9.1547 解析：由旋转的性质得△ACE ≌△ABD ，∴AE ＝AD ＝5，CE ＝BD ＝6，∠DAE ＝60°，∴DE ＝5.作EH ⊥CD 垂足为H .设DH ＝x .由勾股定理得EH 2＝CE 2－CH 2＝DE 2－DH 2，即62－(4－x )2＝52－x 2，解得x ＝58，∴DH ＝58.由勾股定理得EH ＝DE 2－DH 2＝52－⎝⎛⎭⎫582＝1587，∴△DCE 的面积＝12CD ·EH ＝1547.。

沪科版九年级数学下册第二十四章《巧用旋转进行计算或证明》优课件

4．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，若 ∠1＝110°，则∠α＝__20°__．
5．(2015·梧州)如图，在△ABC 中，∠A＝70°，AC＝ BC，以点 B 为旋转中心把△ABC 按顺时针旋转α度，得到 △A′BC′，点 A′恰好落在 AC 上，连接 CC′，求∠ACC′的度数．
11.如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，将 BC 按逆时针方向绕点 B 旋转 90°得到线段 BE，连接 AE.若 AB＝ 2，DC＝4，求△ABE 的面积．
解：过点 B 作 BG⊥DC 于点 G，过点 E 作 EF⊥AB 与 AB 的延长线交于点 F，∵∠BAD＝∠D＝∠DGB＝90°， ∴四边形 ABGD 是矩形，∴DG＝AB＝2，∴CG＝DC－DG ＝4－2＝2，∵∠CBG＋∠CBF＝90°，∴∠EBF＋∠CBF ＝90°，∴∠CBG＝∠EBF，在△BCG 与△BEF 中，∠ CBG ＝ ∠ EBF ， ∠ CGB ＝ ∠EFB ＝ 90 ° ， BC ＝ BE ， ∴ △ BCG≌△BEF，∴CG＝EF＝2，∴S△ABE＝12AB·EF＝2
＋∠FAB＝180°，∴AF∥BP，∴∠F、∠FPC＝60°，∴∠
FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，∴四边形 ABPF 是平行四边
形，又∵AB＝AF，∴平行四边形 ABPF 是菱形
13．将一副三角尺(在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B ＝60°；在 Rt△DEF 中，∠EDF＝90°，∠E＝45°)如图① 摆放，点 D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P，DF 经过点 C.
解：(1)证明：由旋转可知，AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，

沪科版九级数学下册练习：解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

沪科版九级数学下册练习：解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明——体会旋转中常见解题技巧◆类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度1．(2016·合肥校级模拟)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为() A．60° B．85° C．75° D．90°第1题图第2题图第3题图2．(2016·株洲中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是()A．50° B．60° C．70° D．80°3．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为________．4．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝5，PB＝12，PC＝13，若将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．◆类型二利用旋转结合特殊三角形判定、性质或勾股定理求长度或证明5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D，若AC＝6，则AD的长为()A．2 B．3 C．2D．326．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是________．7．(2016·娄底中考)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由．◆类型三利用旋转计算面积8．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是()A.－1B.＋1C.D.3第8题图第9题图9．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则△DCE的面积为________．【方法3】参考答案与解析1．B 解析：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠C＝∠E＝70°，∠BAC ＝∠DAE.∵AD⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°－∠C＝90°－70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAF＋∠EAC＝20°＋65°＝85°，∴∠BAC＝∠DAE＝85°.2．B3．90°解析：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝(180°－120°)＝30°.∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，∴∠CAB′＝∠CAC′－∠C′AB′＝120°－30°＝90°.4．解：连接PP′.∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵△PAC绕。

专题提升(15) 巧用旋转进行证明与计算

∴PP′＝2 2，∠BPP′＝45°.
又∵AP′＝CP＝3，AP＝1，
∴AP2＋P′P2＝1＋8＝9＝P′A2. ∴∠APP′＝90°.∴∠APB＝45°＋90°＝135°.
中考变形 3 答图①
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【类比探究】
解：如答图②，将△PBC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△BP′A，连接 PP′.
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(3)解：OP＝2.证明：如答图②，过点 P 作 PK⊥OA 于点 K，过点 N 作 NF⊥OB
于点 F. ∵∠OMP＝∠OPN，
∴∠PMK＝∠NPF.
在△NPF 和△PMK 中，
∠ ∠NNFPFP＝＝∠ ∠PPMKMK，＝90°， NP＝PM，
中考变形 2 答图②
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∴△NPF≌△PMK(AAS)． ∴PF＝MK，∠PNF＝∠MPK，NF＝PK. 又∵ON＝PQ， ∴在 Rt△NOF 和 Rt△PQK 中， NO＝PQ， NF＝PK， ∴Rt△NOF≌Rt△PQK(HL)．
全效学习
中考学练测·数学[人教]
第二部分第十二章专题提升(十五)
第二部分图形与几何
第十二章图形变换专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算
(人教版九上 P63 习题第 10 题) 如图，△ABD，△AEC 都是等边三角形．BE 与 DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
∵PB＝P′B＝1，∠P′BP＝90°，
∴PP′＝ 2，∠BPP′＝45°.
又∵AP′＝CP＝ 11，AP＝3，
∴AP2＋P′P2＝9＋2＝11＝P′A2. ∴∠APP′＝90°.∴∠APB＝90°－45°＝45°.

专题15 巧用旋转进行证明与计算-押题2018年中考数学之提升解题能力训练精品(解析版)

押题2018年中考数学之提升解题能力训练专题15 巧用旋转进行证明与计算【母题重现】（2017山东省潍坊市第24题）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）【解析】【分析】（1）先判断出四边形MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM，即可求出CC'；（2）①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论；②先判断出点A，C，P三点共线，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出结论．点睛：此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（2）的关键是判断出点A，C，P三点共线时，AP最大．考点：四边形综合题；平移的性质；旋转的性质；最值问题；探究型；压轴题．【方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．【中考回顾】（2017山东德州市第11题）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b(a ＞b),M在边BC上，且BM=b，连AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF。

2020届中考数学总复习课件：微专题十五巧用旋转进行证明与计算 (共29张PPT)

(2)MN2＝ND2＋DH2.理由如下：由旋转可知，∠BAM＝∠DAH， ∵∠BAM＋∠DAN＝45°， ∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°. ∴∠HAN＝∠MAN. 在△AMN 与△AHN 中，A∠MM＝AANH＝，∠HAN，
AN＝AN，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，∴MN＝HN. ∵∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝45°， ∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝90°， ∴NH2＝ND2＋DH2，∴MN2＝ND2＋DH2；
(3)如答图①，∵∠AEB＝∠ACB＝90°， ∴A，B，C，E 四点共圆， ∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE， ∵∠DAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE，∴BEDC＝AACB＝cos30°＝ 23， ∴EC＝ 23BD，在 Rt△ABE 中，∵AB＝5，AE＝3，
∴PP′2＋P′D2＝PD2，∴∠PP′D＝90°，
中考变形4答图
∴∠AP′D＝∠AP′P＋∠PP′D＝45°＋90°＝135°，
∴∠APB＝∠AP′D＝135°. ∵∠APB＋∠AP′P＝135°＋45°＝180°， ∴P′，P，B 三点共线．过点 A 作 AE⊥PP′于点 E，则 AE＝PE＝12PP′＝2， ∴BE＝PE＋PB＝2＋1＝3，在 Rt△ABE 中，AB＝ AE2＋BE2＝ 22＋32＝ 13.
3．如图 Z15－4，已知 AC⊥BC，垂足为 C，AC＝4，BC＝3 3，将线段 AC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°，得到线段 AD，连结 DC，DB. (1)线段 DC＝__4__； (2)求线段 DB 的长度．
图 Z15－4
解：(1)∵AC＝AD，∠CAD＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴DC＝AC＝4； (2)如答图，作 DE⊥BC 于点 E. ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，又∵AC⊥BC， ∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°. 在 Rt△CDE 中，DE＝12DC＝2，CE＝ 23DC＝2 3， ∴BE＝BC－CE＝3 3－2 3＝ 3. 在 Rt△BDE 中，BD＝ DE2＋BE2＝ 22＋（ 3）2＝ 7.

解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明——体会旋转中常见解题技巧◆类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度1．(2016·合肥校级模拟)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为()A．60°B．85°C．75°D．90°第1题图第2题图第3题图2．(2016·株洲中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C 沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为________．4．如图，P是正三角形ABC内的一点，且P A＝5，PB＝12，PC＝13，若将△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．◆类型二利用旋转结合特殊三角形判定、性质或勾股定理求长度或证明5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D，若AC＝6，则AD的长为() A．2 B．3 C．2 3 D．3 26．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是________．7．(2016·娄底中考)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由．◆类型三利用旋转计算面积8．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是()A.2－1B.2＋1C. 2D. 3第8题图第9题图9．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则△DCE的面积为________．【方法3】参考答案与解析1．B 解析：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，∴∠C ＝∠E ＝70°，∠BAC ＝∠DAE .∵AD ⊥BC ，∴∠AFC ＝90°，∴∠CAF ＝90°－∠C ＝90°－70°＝20°，∴∠DAE ＝∠CAF ＋∠EAC ＝20°＋65°＝85°，∴∠BAC ＝∠DAE ＝85°.2．B3．90° 解析：∵将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转120°得到△AB ′C ′，∴∠BAB ′＝∠CAC ′＝120°，AB ＝AB ′，∴∠AB ′B ＝12(180°－120°)＝30°.∵AC ′∥BB ′，∴∠C ′AB ′＝∠AB ′B ＝30°，∴∠CAB ′＝∠CAC ′－∠C ′AB ′＝120°－30°＝90°.4．解：连接PP ′.∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.∵△P AC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P ′AB ，∴∠P ′AP ＝∠BAC ＝60°，AP ′＝AP ，BP ′＝CP ＝13，∴△AP ′P 为等边三角形，∴PP ′＝AP ＝5，∠APP ′＝60°.在△BPP ′中，∵PP ′＝5，BP ＝12，BP ′＝13，∴PP ′2＋BP 2＝BP ′2，∴△BPP ′为直角三角形，∠BPP ′＝90°，∴∠APB ＝∠APP ′＋∠BPP ′＝60°＋90°＝150°.即点P 与点P ′之间的距离为5，∠APB 的度数为150°.5．D 解析：在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋62＝62，则AB ′＝AB ＝6 2.在Rt △B ′AD 中，∠B ′AD ＝180°－∠BAC －∠BAB ′＝180°－45°－75°＝60°.则AD ＝AB ′·cos ∠B ′AD ＝62×12＝3 2. 6.2＋6 解析：连接AM ，由题意，得CA ＝CM ，∠ACM ＝60°，∴△ACM 为等边三角形，∴AM ＝CM ，∠MAC ＝∠MCA ＝∠AMC ＝60°.∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝CM ＝2 2.∵AB ＝BC ，CM ＝AM ，∴BM 垂直平分AC ，∴BO ＝12AC ＝2，OM ＝CM ·sin60°＝6，∴BM ＝BO ＋OM ＝2＋ 6.7．(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C .∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置，∴A 1B ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠A 1＝∠C ，∠A 1BD ＝∠CBC 1.在△BCF 与△BA 1D 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A 1＝∠C ，A 1B ＝BC ，∠A 1BD ＝∠CBF ，∴△BCF ≌△BA 1D ； (2)解：四边形A 1BCE 是菱形．理由如下：∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置，∴∠A 1＝∠A .∵∠ADE ＝∠A 1DB ，∴∠AED ＝∠A 1BD ＝α，∴∠DEC ＝180°－α.∵∠C ＝α，∴∠A 1＝α，∴∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C －∠A 1EC ＝180°－α，∴∠A 1＝∠C ，∠A 1BC ＝∠A 1EC ，∴四边形A 1BCE 是平行四边形．∵A 1B ＝BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形．8．A 解析：连接AE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝1，且∠B ＝90°，∠D ′CE ＝45°，由勾股定理得AC ＝12＋12＝ 2.由题意，得AD ′＝AB ＝1，∠AD ′E ＝90°，∴D ′C ＝2－1，∠D ′EC ＝∠D ′CE ＝45°，∴D ′E ＝D ′C ＝2－1，∴S △D ′EC ＝12(2－1)2＝32－2，∴S 阴影＝S △ABC －S △D ′EC ＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫32－2＝2－1. 9.1547 解析：由旋转的性质得△ACE ≌△ABD ，∴AE ＝AD ＝5，CE ＝BD ＝6，∠DAE ＝60°，∴DE ＝5.作EH ⊥CD 垂足为H .设DH ＝x .由勾股定理得EH 2＝CE 2－CH 2＝DE 2－DH 2，即62－(4－x )2＝52－x 2，解得x ＝58，∴DH ＝58.由勾股定理得EH ＝DE 2－DH 2＝52－⎝⎛⎭⎫582＝1587，∴△DCE 的面积＝12CD ·EH ＝1547.。

2021年秋人教版九年级上学期数学作业课件：专题训练巧用旋转进行计算与证明

交于点O，则∠COA′的度数是(
)
B
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．如图所示，在正方形ABCD内有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3，求∠APD 的度数．
解：将三角形APD绕点D沿逆时针旋转90°到达△CDQ的位置；则∠PDQ＝90°， QD＝PD＝2，QC＝AP＝1；由勾股定理得：PQ2＝22＋22＝8；而CQ2＝1，PC2＝ 32＝9，∴PC2＝PQ2＋CQ2，∠PQC＝90°，∵∠PQD＝45°，∴∠CQD＝135°， ∴∠APD＝∠CQD＝135°
2021年秋人教版九年级上学期数学作业课件：专题训练巧用旋转进行
计算与证明
2020/9/17
类型之一通过旋转计算角度
1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE.若∠CAE＝65°，∠E
＝70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为( )
C
A．60° B．75° C．85° D．90°
14．(莱芜中考)如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接 AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE＝∠BAC，F，G，H分别为BC，CD， DE的中点，连接BD，CE，GF，GH.
(1)求证：GH＝GF； (2)试说明∠FGH与∠BAC互补．
类型之五利用旋转进行证明 13．如图，在△ABC中，AB＝AC.D是BC上一点，且AD＝BD.将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE. (1)求证：AE∥BC； (2)连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
解：(1)证明：由旋转性质得∠BAD＝∠CAE，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AB＝ AC，∴∠B＝∠DCA，∴∠CAE＝∠DCA，∴AE∥BC (2)解：四边形ABDE是平行四边形．理由：由旋转性质得AD＝AE，∵AD＝BD，∴AE＝BD，又∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形

专题提升(15) 巧用旋转进行证明与计算

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