浙江杭州高二下学期期末考试数学试题含答案
浙江杭州2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
2022届杭州市高二第二学期数学期末检测试题含解析
2022届杭州市高二第二学期数学期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知x ，y 的取值如下表示：若y 与x 线性相关，且$0.95y x a =+，则a =（ ）A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.9 【答案】B【解析】【分析】求出,x y ，代入回归方程可求得a ．【详解】由题意013424x +++==， 2.2 4.3 4.8 6.7 4.54y +++==， 所以4.50.952a =⨯+， 2.6a =．故选：B.【点睛】本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键．回归直线一定过中心点(,)x y ． 2．已知集合{|0}M x R x =∈>，集合{|lg(3)}N x R y x =∈=-，则（ ）A ．{|3}M N x x =<IB ．{|3}M N x x =<UC ．{|03}M N x x =<<ID ．()R C M N =∅I【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的定义域，化简集合集合N ，再利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合{|0}M x R x =∈>，集合{}{|lg(3)}|3N x R y x x x =∈=-=<，所以由交集的定义可得{|03}M N x x =<<I ，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转3．球的体积是323π，则此球的表面积是（ ） A ．12πB ．16πC ．163πD ．643π 【答案】B【解析】【分析】 先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.【详解】设球的半径为R ，则由已知得343233R ππ=，解得2R =，故球的表面积2416S R ππ==表. 故选：B【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.4．设复数1=-i z i ，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．12B ．2C ．1D ．2【答案】A【解析】【分析】 先对1=-i z i 进行化简，然后得出z ，即可算出z z ⋅ 【详解】()()()1111122i i i i z i i i +===-+--+ 所以122i z =--，所以111112222442i i z z ⎛⎫⎛⎫-+--=+= ⎪⎭⎭=⎝⎝⋅⎪ 故选：A【点睛】本题考查的是复数的运算，较简单.5．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立.详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意；故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.6．函数cos y x =的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解．【详解】由角函数的周期公式，可得函数cos y x =的周期2T π=，又由绝对值cos y x =的周期减半，即为最小正周期为π，故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．7．若228m C =,则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】 分析：根据组合数的计算公式，即可求解答案.详解：由题意()212821m m m C -==⨯且2m >，m N +∈，解得8m =，故选B.点睛：本题主要考查了组合数的计算公式的应用，其中熟记组合数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.A ．16B ．163C ．163D ．1283【答案】C【解析】【分析】 由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，∴正方体的内切球的体积344V π1π33=⨯=球， 又由已知V πV 4=球牟合方盖，4416V ππ33∴=⨯=牟合方盖． 故选C ．【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．9．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm【答案】C【解析】【分析】 设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可．【详解】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱，可得32243663r r r r πππ⨯+⨯=⨯，解得3r =，故选C.【点睛】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题． 10．甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s =>D ．1212,x x s s【答案】B【解析】【分析】 根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小．【详解】 由茎叶图可看出甲的平均数是89141515162122158+++++++=， 乙的平均数是78131515172223158+++++++=， ∴两组数据的平均数相等． 甲的方差是()149361001364921.58+++++++= 乙的方差是()164494004496432.258+++++++= ∴甲的标准差小于乙的标准差， 故选B ．【点睛】本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．11．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且12(0)()(1)2x f f x f e x x -+'=-，若存在实数x ，使不等式2()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(,2][2,)-∞-+∞UB ．(,1][4,)-∞-+∞UC ．(,2][4,)-∞-⋃+∞D ．(,1][2,)-∞-+∞U【答案】C【解析】【分析】对函数求导，分别求出(0)f 和(1)f '的值，得到21()2x f x e x x =+-，利用导数得函数()f x 的最小值为1，把存在实数x ，使不等式2()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立的问题转化为2min ()3f x m am ≤--对于任意[0,3]a ∈恒成立，分离参数a ，分类讨论m 大于零，等于零，小于零的情况，从而得到m 的取值范围。
杭州市2022届数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
杭州市2022届数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知A,B 为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2•MN AN NB λ= ,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线【答案】C 【解析】试题分析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建立坐标系， 设M （x ，y ），A （-a ，0）、B （a ，0）；因为2MN AN NB λ=⋅，所以y 2=λ（x+a ）（a-x ）， 即λx 2+y 2=λa 2，当λ=1时，轨迹是圆． 当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程； 当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程; 当λ=0时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程． 故选C ．考点：轨迹方程的求法,圆锥曲线方程。
点评：中档题，判断轨迹是什么，一般有两种方法，一是定义法，二是求轨迹方程后加以判断。
2．已知随机变量X 的分布列如下表所示则(25)E X -的值等于 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为：A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量， E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.3．设集合{}20M x x =-≥,{}2430N x x x =-+<，则M N =（ ）A ．{|23}x x -<<B ．{|13}x x <≤C ．{|23}x x ≤<D ．{|32}x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合M 、N ，再利用交集的运算律可得出集合M N ⋂. 【详解】{}{}202M x x x x =-≥=≥，{}{}243013N x x x x x =-+<=<<，因此，{}23M N x x ⋂=≤<，故选C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A ．37.5分钟B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟【答案】A 【解析】 【分析】【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y Nsin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y Nsin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32，k=0，1，2，1．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=1×12+32=17.5（分钟）． 故选A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.5．设袋中有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．46801010100C C C B ．64801010100C C C C ．46802010100C C CD ．64802010100C C C 【答案】D 【解析】本题是一个古典概型，∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有10100C 种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有648020C C 种取法，由古典概型公式得到P= 64802010100C C C ⋅， 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.6．既是偶函数又在区间(0)π，上单调递减的函数是（ ） A ．sin y x = B ．cos 2y x =C ．sin 2y x =D ．cos y x =【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据函数sin y x =和sin 2y x =都是奇函数，故排除A ，C ；由于函数cos 2y x =是偶函数，周期为，在上是减函数，在上是增函数，故不满足题意条件，即B 不正确；由于函数cos y x =是偶函数，周期为，且在上是减函数，故满足题意，故选D.考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性.7．已知e 为自然对数的底数，则函数x y xe =的单调递增区间是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(],1-∞- C ．[)1,+∞ D ．(],1-∞【答案】A 【解析】因(1)xy x e =+'，故当1x ≥-时(1)0xy x e '=+≥，函数单调递增，应选答案A 。
2020年浙江省杭州市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2020年浙江省杭州市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．要得到函数22cos sin y x x =-的图象，只需将函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】22cos sin y x x =-=cos2x,cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=cos 28x π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以只需将函数cos 24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象向右平移8π个单位可得到22cos sin 2,y x x cos x =-= 故选B2．己知函数()2sin 20191x f x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0【答案】A 【解析】 【分析】设()12019in 12019xxg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值． 【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx xf x x x -=+=++++设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x x x x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=Q ，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题．3．执行如图所示的程序框图，若输入的16n =，则输出的i ，k 的值分别为（ ）A ．3，5B ．4，7C ．5，9D ．6，11【答案】C 【解析】执行第一次循环后，11s =+，2,3i k ==，执行第二次循环后，112316s =+++<，3,5i k ==，执行第三次循环后，11233516s =+++++<，4,7i k ==，执行第四次循环后1123354716s =+++++++>，此时5,9i k ==，不再执行循环体，故选C .点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.4．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（） A ．5400海里 B ．2700海里C ．4800海里D ．3600海里【答案】D 【解析】 【分析】求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。
2020年浙江省杭州市数学高二(下)期末学业水平测试试题含解析
2020年浙江省杭州市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点O 为正方体''''ABCD A B C D -的中心，点E 为棱'BB 的中点，点F 为棱''B C 的中点，则空间四边形'OEFD 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：根据空间四边形OEFD 在正方体前后面、上下面和左右面上的正投影，即可得到正确的选项. 详解：空间四边形OEFD 在正方体前后面上的正投影是A 选项；空间四边形OEFD 在正方体前上下上的正投影是B 选项；空间四边形OEFD 在正方体左右面上的正投影是D 选项，故选C.点睛：本题主要考查了平行投影和平行投影的作法的应用问题，主要同一图形在不同面上的投影不一定相同，属于基础题，着重考查了空间推理能力.2．已知ξ的分布列为 ξ-1 0 1 p 12 13 16 设23ηξ=+，则()E η的值为（ ）A ．4B ．73C ．54D ．1【答案】B【解析】【分析】 由ξ的分布列，求出1()3E ξ=-，再由()2()3E E ηξ=+，求得7()3E η=.【详解】111111()(1)01236263E ξ=-⨯+⨯+⨯=-+=-， 因为23ηξ=+，所以17()2()32()333E E ηξ=+=⨯-+=. 【点睛】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量a b ηξ=+，具有线性关系，直接利用公式()()E aE b ηξ=+能使运算更简洁.3．若0,10,a b <-<<则有 （ ）A ．2a ab ab >>B ．2a ab ab <<C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>【答案】D【解析】①2(1)ab ab ab b -=-，∵0,10a b <-<<，∴20ab ab ->，故2ab ab >．②22(1)ab a a b -=-，0,10a b <-<<，∴20ab a ->，故2ab a >．综上2ab ab a >>．选D ．4．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ,若对任意的正实数x ,都有()()22f x xf x '+<恒成立,则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为( ) A ．()(),11,-∞-+∞UB ．()1,1-C ．()()1,00,1-UD ．{}|1x x ≠±【答案】A【解析】【分析】【详解】 分析：构造新函数22()()g x x f x x =-，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．详解：设22()()g x x f x x =-，则2'()2()'()2g x xf x x f x x =+-(2()'()2)x f x xf x =+-，由已知当0x >时，'()(2()'()20g x x f x xf x =+-<，∴()g x 在(0,)+∞上是减函数，又∵()f x 是偶函数，∴22()()g x x f x x =-也是偶函数，(0)0g =，不等式22()(1)1x f x f x -<-即为22()(1)1x f x x f -<-，即()(1)g x g <， ∴()(1)g x g <，∴1x >，即11x x <->或． 故选A ．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如()()g x xf x =，()()f x g x x=，()()x g x e f x =，()()xf xg x e =等等． 5．设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则的取值范围是A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．ln210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln211,42+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】令()'()ln 21g x f x x ax ==-+，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，1'()20g x a x=-=Q 有解，故0a >,10221{()02(2)0a g ag <<∴>⇒<ln 211(,)42a +∈ 点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()()ln f x x ax =-(a R ∈)在区间()0,2上有两个极值点，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，所以1'()20g x a x=-=有解，故0a >,只需要满足10221{()02(2)0ag ag <<><解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用 6．要得到函数1sin 2y x =的图象，只需将函数1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 【答案】D【解析】【分析】 将函数1sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭表示为1sin 22y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角函数的变换规律可得出正确选项. 【详解】 1sin 1s n 222i 4y x x ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎛⎪⎢⎥⎝⎭⎫=+= ⎭⎣⎪⎝⎦Q ，因此，为了得到函数1sin 2y x =的图象，只需将函数1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换，解决三角函数平移变换需要注意以下两个问题：（1）变换前后两个函数名称要保持一致；（2）平移变换指的是在自变量x 上变化了多少.7．直线210x y -+=的一个方向向量是（ ）．A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1-D ．()2,1 【答案】D【解析】【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量.【详解】 直线的斜率为12，故其方向向量为()2,1. 故选：D【点睛】本小题主要考查直线的方向向量的求法，属于基础题.8．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,，且(0.97)0.005P X <=，则(0.970.99)P X <<=（ ）A ．0.96B ．0.97C ．0.98D ．0.99【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率.【详解】由于0.98μ=，故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=，故选D.【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.9．设，随机变量X ，Y 的分布列分别为（ ）当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ）A ．2B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】先利用数学期望公式结合二次函数的性质得出的最小值，并求出相应的，最后利用数学期望公式得出的值。
杭州市2022届数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
杭州市2022届数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,...8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①ˆˆy bx a =+；②y x d =；③ln y p q x =+；④21k x y k e =+；⑤212y c x c =+，则较适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③⑤2．在()82x -的二项展开式中，二项式系数的最大值为a ，含5x 项的系数为b ，则ab=（ ） A ．532B ．532-C ．325D ．325-3．同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．564． “直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x<10}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则(∁U A)∩B ＝( ) A ．{6，8}B ．{2，4}C ．{2，6，8}D ．{4，8}6．已知a ＝log 34，b ＝212-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝131log 6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c7．若x ，y 满足条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．若()()221f x xf x '=+，则()0f '等于（ ） A ．2B ．0C ．-2D ．-49．在极坐标中，点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的的距离为（ ） A ．3πB ．3C ．2D ．249π+10．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）.A ．-1B ．122-C ．222-D ．22-11．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ） A ．3761()2CB ．2741()2AC ．2741()2CD ．1741()2C12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．0D ．无法判断二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知3i 12i z =-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为________14．已知点M 抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，则MA MF +的最小值________．15．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =______.16．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的最小值为__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知向量1()2)2a cosxb cos x x R ==∈v v ，，，，，设函数•f x a b =vv （）（1）求()f x 的最小正周期 （2）求函数()f x 的单调递减区间 （3）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 18．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）sin 213°+cos 217°-sin13°cos17° （2）sin 215°+cos 215°-sin15°cos15° （3）sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°（4）sin 2（-18°）+cos 248°- sin 2（-18°）cos 248° （5）sin 2（-25°）+cos 255°- sin 2（-25°）cos 255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论 19．（6分）已知：22)nx(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含32x 的项.20．（6分）已知等比数列{}n a ，{}n b 的公比分别为p ，q ()p q ≠．（1）若111a b ==，24p q ==，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ； （2）若数列{}n c ，满足n n n c a b =+，求证：数列{}n c 不是等比数列．21．（6分）如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中, 1. 1.2,4,AC BC AC BC AA ⊥=== M 为侧面11AA CC 的对角线的交点, D E 、分别为棱,AB BC 的中点.A BC；(1)求证:平面MDE//平面11--的余弦值.(2)求二面角C ME D22．（8分）观察以下等式：13＝1213+23＝（1+2）213+23+33＝（1+2+3）213+23+33+43＝（1+2+3+4）2（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明．（2）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝n3+n，求S1．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】分析：先根据散点图确定函数趋势，再结合五个选择项函数图像，进行判断选择.详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近或对数曲线(上部分)的附近，所以y＝x d或y＝p＋qlnx较适宜，故选B.点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.2．B【解析】【分析】由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含5x项的系数，进而可求出结果.【详解】因为()82x -的二项展开式的通项为：818(2)r r rr T C x -+=-，因此二项式系数的最大值为：48876570432a C ⨯⨯⨯===⨯⨯，令85r -=得3r =，所以，含5x 项的系数为338(2)448b C -=-=，因此70544832a b ==--. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 3．B 【解析】3162P ==,所以选 B. 4．B 【解析】 【分析】 【详解】由“直线l 垂直于平面α”可得到“直线l 垂直于平面α内无数条直线”， 反之不成立（如与无数条平行直线垂直时不成立），所以“直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的必要而不充分条件，故选B. 考点：充分条件与必要条件 5．A 【解析】 【分析】先化简已知条件,再求,()U U C A C A B ⋂. 【详解】由题得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,U =U C A ={}5,6,7,8,9,因为{}2,4,6,8B =, ∴()U C A B =I {}6,8,故答案为A【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 6．B 【解析】【分析】得出126133331log log 6log 4,log 62,()42-=><=，从而得到,,a b c 的大小关系，得到答案．【详解】由题意，根据对数的运算可得1261333331log log 6log 4,log 6log 92,()42-=><==，所以b c a >>，故选B ． 【点睛】本题主要考查了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．A 【解析】作出约束条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域（阴影部分），由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z ， 经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小． 由 220y x y =⎧⎨-+=⎩ 解得A （0，2）．此时z 的最大值为z=2×0﹣2=﹣2， 故选A ．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 8．D 【解析】 【分析】先求导，算出()1f '，然后即可求出()0f ' 【详解】因为()()221f x xf x '=+，所以()()212f x f x ''=+所以()()1212f f ''=+，得()12f '=- 所以()42f x x '=-+，所以()04f '=- 故选：D 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单. 9．C 【解析】分析：先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.详解：由题得2cos1,2sin33x y ππ=⨯==⨯=∴点的坐标为，因为4cos ρθ=，所以222224cos ,40,(2)4x y x x y ρρθ=∴+-=∴-+=，所以圆心的坐标为（2,0），2=，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平. （2）极坐标化直角坐标的公式为cos ,sin .x y ρθρθ== 10．A 【解析】 【分析】先根据()f x 的单调性确定出最小值从而确定出1x 的值，再由不等式即可得到2x 的范围，根据二次函数零点的分布求解出a 的取值范围. 【详解】 因为()()()1112,22x f x x x x +'=-=∈-+∞++， 所以当()2,1x ∈-- 时，()0f x ¢<，当()1,x ∈-+∞时，()0f x ¢>，所以()f x 在()2,1--上递减，在()1,-+∞上递增，所以()()min 10f x f =-=，所以11x =-， 又因为121x x -≤，所以220x -≤≤，因为()2244g x x ax a =-++对应的()2444a a ∆=--，且()g x 有零点，（1）当()24440a a ∆=-->时，2a >+2a <-，所以()()200020g g a -≥⎧⎪≥⎨⎪-≤≤⎩，所以88044020a a a +≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，所以12a -≤<-（2）当()24440a a ∆=--=时，2a =+2a =- 此时[]22,0x a =∈-，所以2a =-综上可知：12a -≤≤-min 1a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析. 11．B 【解析】 【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果. 【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况，所以所求概率为7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B. 【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 12．B 【解析】 【分析】由条件结构，输入的x 值小于0，执行y ＝﹣x ，输出y ，等于0，执行y ＝0，输出y ，大于0，执行y ＝1x ，输出y ，由x ＝1＞0，执行y ＝1x 得解． 【详解】因为输入的x 值为1大于0，所以执行y ＝1x ＝1，输出1． 故选：B ． 【点睛】本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2i - 【解析】 【分析】根据复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解． 【详解】Q 3i 12i z =-，312i 21221i iz i i i ----∴====+-， ∴共轭复数为2i -故答案为2i - 【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，属于基础题． 14．3 【解析】 【分析】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，根据抛物线的定义将问题转化为MA MN +的最小值，根据点A 在圆C 上，判断出当、、C N M 三点共线时，MA MN +有最小值，进而求得答案. 【详解】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，又MN MF =，所以=MA MF MA MN ++，因为点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，且()3,1C ，半径为1r =，故当、、C N M 三点共线时，()min 413MA MN CN r +=-=-=，所以MA MF +的最小值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想. 15．4 【解析】 【分析】 逐个计算n i 即可. 【详解】由题,因为234,1,,1i i i i i i ==-=-=,故()4a i =. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查新定义与复数的基本运算,属于基础题型. 16．16. 【解析】由题意可知抛物线2:4C y x =的焦点():1,0F ，准线为1x =-设直线1l 的解析式为()1y k x =- ∵直线12,l l 互相垂直 ∴2l 的斜率为1k-与抛物线的方程联立()21{4y k x y x=-=，消去y 得()2222240k x k x k -++=设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由跟与系数的关系得212224k x x k++=，同理23421241k x x k ++= ∵根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 ∴1211AB x x =+++，同理3411DE x x =+++∴2222221242444848161k k AB DE k k k k+++=++=++≥+=，当且仅当21k =时取等号. 故答案为16点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）π；（2）5++)36k k k Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（；（3）最大值为1，最小值为12- 【解析】【分析】（11cos cos22x x x -，再根据二倍角公式以及配角公式得sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数性质求周期，（2）根据正弦函数单调性得3+22+2262k x k πππππ≤-≤，解得结果，（3）先根据自变量范围得52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数性质得最值. 【详解】 解：（1）由题意得()•f x a b =v v1cos cos2sin 226x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ T π=最小正周期。
浙江省杭州市高二数学下学期期末教学质量检测试题(含解析)
2016-2017学年浙江省杭州市高二（下）期末考试数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A. {3}B. {2，3}C. {0，2，3}D. {﹣2，0，2}【答案】B【解析】 ,选B点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 设d为点P（1，0）到直线x﹣2y+1=0的距离，则d=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选B3. 设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】选D4. 下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】图A,B,D中,对任意的x只有唯一的y与其对应，而在图C中，当x>0时，由两个y值与其对应，故选C5. sin15°cos15°=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，选A6. 函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A. （0，1）B. [0，1]C. （﹣∞，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，0]∪[1，+∞）【答案】C【解析】，则定义域为，选C7. 若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若l∥α，m∥α，则l∥mB. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC. 若l∥α，m⊂α，则l∥mD. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α【答案】D【解析】选项A错误，两直线可能相交；选项B错误，直线可能在平面内；选项C 错误，只有当直线在同一平面内时有选项D正确，故选D8. 若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当x>1时，有；当时，有x>1或x<0，故“x＞1”是“”的充分非必要条件，故选A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9. 下列函数是奇函数的是（）A. f（x）=x2+2|x|B. f（x）=x•sinxC. f（x）=2x+2﹣xD.【答案】D【解析】选项A：，是偶函数；选项B：，偶函数；选项C：，偶函数；选项D：，奇函数，故选D10. 圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：由题两圆的圆心分别为，，圆心距为，两圆的半径分别为2,3，由于，所以两圆相交。
2019-2020学年杭州市高二(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年杭州市高二(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共15小题，共60.0分） 1.设集合A ={x ∈Z|x 2<3}，B ={x|2x >12}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {−1,0}C. {−1,0，1}D. {0,1，2}2.已知函数f(x)={−x 2−2x +3,x ≤0|2−lnx|,x >0，直线y =k 与函数f(x)的图象相交于四个不同的点，交点的横坐标从小到大依次记为a ，b ，c ，d ，则abcd 的取值范围是( )A. [0,e 2]B. [0,e 2)C. [0,e 4]D. [0,e 4)3.已知a =log 32，那么log 38−2log 36用a 表示是( )A. 5a −2B. a −2C. 3a −(1+a)2D. 3a −a 2−14.计算sin π6+tan π3的值为( )A. 3√32B. 5√36C. 12+√33D. 12+√35. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A.B.C.D.6.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是{x =t +1y =t −3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A. √14B. 2√14C. √2D. 2√27.已知、、三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能得出平面的条件是( )A. B.C. D.8.已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式的概率为()A. B. C. D.9.已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是()A. α⊥γβ⊥γ}⇒α//βB. m⊥ln⊥l}⇒m//nC. m//βl⊥m }⇒l//β D. m//nn⊥γ}⇒m⊥γ10.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立11.设表示不超过实数的最大整数，则在直角坐标平面上满足的点所形成的图形的面积为()A. 10B. 12C. 10D. 1212.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=4，a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为()A. −1B. −2C. 2D. 113.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，又直线FM与直线y=bax相交于第一象限内一点P，若M为线段FP的中点，则该双曲线的离心率为() A. √2 B. 2 C. √3 D. 314.已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是()A. B. (1,2] C. (1,3) D.15.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角C1−AB−D的平面角等于()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）16.已知函数f(x)=，把函数g(x)=f(x)−x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的一个通项公式是___17.16在△ABC中，角所对的边分别是.若，则角B的大小为．18.函数f(x)=x2−x+4(x>1)的最小值为______．x−1<2t2−1 19.已知数列{a n}中，a1=2，na n+1=(n+1)a n+1，若对于任意的n∈N∗，不等式a n+1n+1恒成立，则实数t的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）20.已知tanα，tanβ是方程2x2+3x−7=0的两个实根．(1)求tan(α+β)的值；(2)求cos(α−β)的值．sin(α+β)21.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ACB=π，四6边形ABEF为直角梯形，BE//AF，∠BAF=π，BE=2，AF=3，2平面ABCD⊥平面ABEF．(1)求证：AC⊥平面ABEF；(2)求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值．22.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N∗，且a5+a6=24，S3=15．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．a n2−123.抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F，过点H(3,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于点A，B和点C，D，其中点A，C在x轴上方．(Ⅰ)若点C的坐标为(2,2)，求△ABC的面积；(Ⅱ)若p=2，直线BC过点F，求直线CD的方程．)+1]⋅[log(x+3)y]=1，24.已知正实数x，y满足等式[log y(1−1x(1)试将y表示为x的函数y=f(x)，并求出定义域和值域．(2)是否存在实数m，使得函数g(x)=mf(x)−√f(x)+1有零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：集合A ={x ∈Z|x 2<3}={x ∈Z|−√3<x <√3}={−1,0，1}， B ={x|2x >12}={x|x >−1}， ∴A ∩B ={0,1}． 故选：A ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强．画出y =f(x)与y =k 的图象，运用韦达定理和对数的运算性质，计算即可得到所求范围． 解：函数f(x)={−x 2−2x +3,x ≤0|2−lnx|,x >0的图象如下：四个交点横坐标从小到大，依次记为a ，b ，c ，d ， 结合图象可知3≤k <4，则a ，b 是x 2+2x +k −3=0的两根， ∴a +b =−2，ab =k −3， ∴ab ∈[0,1)，且lnc =2−k ，lnd =2+k ， ∴ln(cd)=4，∴cd =e 4， ∴abcd ∈[0,e 4)， 故选：D ．3.答案：B解析：利用对数的幂的运算法则及积的运算法则将log 38−2log 36用log 32表示，从而用a 表示．解决对数的化简、求值题时，先判断出各个对数的真数的形式，再选择合适对数的运算法则化简． 解：∵log 38−2log 36=3log 32−2(1+log 32)=log 32−2 =a −2故选B ．4.答案：D解析：解：sin π6+tan π3=12+√3， 故选：D ．直接由特殊角的三角函数求值即可得答案． 本题考查了三角函数的化简求值，是基础题．5.答案：A解析：试题分析：由三视图可知，此几何体为一个正方体里面挖了一个底面在上，顶点在下的圆锥，正方体的棱长为2，圆锥底面半径为1，高为2，故它的体积为考点：1、识别三视图；2、空间几何体体积的计算．6.答案：D解析：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查点到直线的距离公式，属于基础题．先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再求弦长．解：直线l 的参数方程是{x =t +1y =t −3(t 为参数)，化为普通方程为x −y −4=0； 圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x 2+y 2=4x ， 即(x −2)2+y 2=4，表示以(2,0)为圆心、半径r 等于2的圆． 弦心距d =√2=√2<r ，∴弦长为2√r 2−d 2=2√4−2=2√2， 故选D ．解析：试题分析：因为点三点不共线所以可以以为基底表示平面内任意一个向量.假设点在平面内则可得存在实数使得.所以可得.整理可得.所以的系数和为1.故只能选B．考点：1.向量的共面表示.2.平面向量的基本定理.3.空间向量的表示．8.答案：B解析：此题主要考查简单线性规划和与面积有关的几何概型的应用，关键是求出三角形与扇形的面积．解：满足约束条件区域为ΔABO内部(含边界)，与圆x2+y2=2的公共部分如图中阴影扇形部分所示：则点P满足不等式x2+y2≤2的概率为：P=14×2π12×2×(43+4)=3π32．故选B．解析：解：三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ，知： 在A 中，α⊥γβ⊥γ}⇒α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，m ⊥ln ⊥l }⇒m 与n 相交、平行或异面，故B 错误； 在C 中，m//βl ⊥m}⇒l 与β相交、平行或l ⊂β，故C 错误； 在D 中，m//nn ⊥γ}⇒m ⊥γ，由线面垂直的判定定理得m ⊥γ，故D 正确． 故选：D ．在A 中，α与β相交或平行；在B 中，m 与n 相交、平行或异面；在C 中，l 与β相交、平行或l ⊂β；在D 中，由线面垂直的判定定理得m ⊥γ．本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10.答案：C解析：故答案为C ．11.答案：B解析：试题分析：首先对任意的，满足的点组成的图形是单位正方形(，)，面积为1，而椭圆上整点有，，，共12个，因此所求图形面积为12.选B ．考点：函数图象，图形面积．12.答案：A解析：解：∵a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，∴a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0∴a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−4， 所以向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为：a ⃗ ⋅b ⃗|b ⃗ |=−44=−1，故选：A ．先根据a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )推出a ⃗ ⋅b ⃗ =−4，然后根据向量a ⃗ 在b ⃗ 上投影的概念得到：a⃗ ⋅b ⃗|b ⃗ |=−1． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．13.答案：B解析：本题考查了双曲线的性质，属于中档题．设双曲线的右焦点为F ′，连接F ′P.求出P 点坐标和PF ′，根据勾股定理得出a ，c 的关系即可． 解：设双曲线的右焦点为F ′，连接F ′P.因为O 是线段FF ′的中点，M 为线段FP 的中点，所以F ′P//OM 且|F ′P|=2|OM|=2a ．因为直线FP 与圆x 2+y 2=a 2相切于点M ，所以OM ⊥FP ，从而F ′P ⊥FP ， 所以点P 是以FF ′为直径的圆与直线y =ba x 的交点． 由{y =ba x(x >0)x 2+y 2=c 2得{x =a y =b ，所以P(a,b)． 又F ′(c,0)，|F ′P|=2a ，所以(c −a)2+b 2=4a 2． 根据b 2=c 2−a 2，可得c =2a ． 故双曲线的离心率e =ca =2． 故选：B ．14.答案：A解析：试题分析：由于函数对任意，都有成立，所以在单调递减．所以满足：，解之得：．考点：函数的单调性．15.答案：B解析：本题考查二面角的平面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C 1−AB −D 的平面角的大小．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为1， 则A(1,0，0)，B(1,1，0)，C 1(0,1，1)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)， 设平面ABC 1的法向量n⃗ =(x,y,z )， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y +z =0 ， 取x =1，得n⃗ =(1,0,1)， 平面ABD 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 设二面角C 1−AB −D 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2=√22， ∴θ=45°，∴二面角C 1−AB −D 的平面角等于45°，故选B．16.答案：解析：解：当x∈(−∞,0]时，由g(x)=f(x)−x=2x−1−x=0，得2x=x+1.令y=2x，y=x+1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(−∞,0]上的图象，由图象易知交点为(0,1)，故得到函数的零点为x=0．当x∈(0,1]时，x−1∈(−1,0]，f(x)=f(x−1)+1=2x−1−1+1=2x−1，由g(x)=f(x)−x= 2x−1−x=0，得2x−1=x.令y=2x−1，y=x.在同一个坐标系内作出两函数在区间(0,1]上的图象，由图象易知交点为(1,1)，故得到函数的零点为x=1．当x∈(1,2]时，x−1∈(0,1]，f(x)=f(x−1)+1=2x−1−1+1=2x−2+1，由g(x)=f(x)−x= 2x−2+1−x=0，得2x−2=x−1.令y=2x−2，y=x−1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(1,2]上的图象，由图象易知交点为(2,1)，故得到函数的零点为x=2．依此类推，当x∈(2,3]，x∈(3,4]，…，x∈(n,n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为(3,1)，(4,1)，…，(n+1,1)，得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1.其对应的数列的通项公式为．17.答案：解析：解析：由余弦定理得，又，∴B=18.答案：5解析：解：f(x)=x 2−x+4x−1=(x−1)2+(x−1)+4x−1=(x −1)+4x−1+1，由于x >1， 则：x −1>0，所以：f(x)=(x −1)+4x−1+1≥2√(x −1)⋅4(x−1)+1=5， 故函数f(x)的最小值为5． 故答案为：5直接利用函数的关系式的变换和基本不等式求出结果．本题考查的知识要点：函数关系式的恒等变换，基本不不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.答案：(−∞,−√2]∪[√2,+∞)解析：解：根据题意，数列{a n }中，na n+1=(n +1)a n +1， 即na n+1−(n +1)a n =1，则有an+1n+1−a n n =1n(n+1)=1n −1n+1， 则有an+1n+1=(an+1n+1−a n n)+(a n n−a n−1n−1)+⋯+(a 22−a 1)+a 1=(1n −1n+1)+(1n+1−1n )+⋯+(1−12)+2=3−1n+1<3，对于任意的n ∈N ∗，不等式an+1n+1<2t 2−1恒成立，即3≤2t 2−1恒成立， 可得t ≥√2或t ≤−√2，则实数t 的取值范围是(−∞,−√2]∪[√2,+∞)． 故答案为：(−∞,−√2]∪[√2,+∞)．由题意可得an+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，运用裂项相消求和可得a n+1n+13−1n+1<3，再由不等式恒成立问题可得3≤2t 2−1，解不等式即可得到t 的范围．本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对na n+1=(n +1)a n +1的变形，属于中档题．20.答案：解：(1)∵tanα，tanβ是方程2x 2+3x −7=0的两个实根，∴tanα+tanβ=−32，tanαtanβ=−72， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−321+72=−32+7=−13；(2)∵tanα，tanβ是方程2x 2+3x −7=0的两个实根， ∴tanα+tanβ=−32，tanαtanβ=−72，∴sin(α+β)cos(α−β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=tanα+tanβ1+tanαtanβ=−321−72=35． ∴cos(α−β)sin(α+β)=53． 解析：(1)根据根与系数之间的关系得到tanα+tanβ和tanαtanβ的值，利用两角和的正切公式进行计算即可；(2)利用根与系数的关系、两角和差的正弦余弦公式、同角三角函数基本关系式即可得出． 本题主要考查两角和的正切公式的应用，考查了两角和差的正弦余弦公式、同角三角函数基本关系式，利用根与系数之间的关系求出tanα+tanβ，tanαtanβ的值是解决本题的关键，属于中档题．21.答案：解：(1)证明：在△ABC中，因为AB =1，BC =2，∠ACB =π6，由余弦定理可得AB 2=BC 2+AC 2−2BC ⋅AC ⋅cos∠ACB ，即1=4+AC 2−2×2⋅AC ⋅√32，解得AC =√3，所以AC 2+AB 2=BC 2，即AC ⊥AB ，又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCE ∩平面ABEF =AB ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面ABEF ；(2)由平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCE ∩平面ABEF =AB ， ∠BAF =π2，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，由(1)可知AF ⊥平面ABCD ， 故建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,√3),D(−1,0,√3),E(1,2,0),F(0,3,0)， 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−√3),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,−√3)，设平面DEF 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则有{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y −√3z =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +3y −√3z =0，取z =4，则x =y =√3可得n ⃗ =(√3,√3,4)， 又AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0)是平面ABCD 的一个法向量，所以|cos <n ⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3√3+3+16×3=√6622， 所以平面ABCD 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为√6622．解析：(1)在△ABC 中，利用余弦定理求出AC ，然后由勾股定理可得AC ⊥AB ，结合面面垂直的性质定理证明即可；(2)利用面面垂直的性质定理证得AF ⊥平面ABCD ，又AF ⊥平面ABCD ，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，利用待定系数法求出平面的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可． 本题考查了立体几何的综合应用，涉及了面面垂直的性质定理，余弦定理，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 5+a 6=24，S 3=15．∴2a 1+9d =24，3a 1+3d =15， 解得a 1=3，d =2．∴a n =3+2(n −1)=2n +1． (2)b n =1a n2−1=1(2n+1)2−1=14(1n −1n+1)，∴数列{b n }的前n 项和T n =14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=14(1−1n +1) =n4(n+1)．解析：(1)利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出； (2)利用“裂项求和”方法即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：(Ⅰ)∵点C(2,2)在抛物线E 上，∴4=4p ，p =1，∴抛物线E 的方程为y 2=2x ，∵k CD =2−02−3=−2，且AB ⊥CD ，∴k AB ⋅k CD =−1， ∴k AB =12，又∵直线AB 过点H(3,0)，∴直线AB 方程为y =12(x −3)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y 2=2xy =12(x −3)，化简得y 2−4y −6=0；所以△=40>0，且y 1+y 2=4，y 1⋅y 2=−6，此时|AB|=√(1+22)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=10√2，|CH|=√(2−3)2+(2−0)2=√5， ∴S △ABC =12|AB|⋅|CH|=12×10√2×√5=5√10．(Ⅱ)设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，则HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3−3,y 3)， ∵AB ⊥CD ，∴HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3)(x 3−3)+y 2y 3=x 2x 3−3(x 2+x 3)+9+y 2y 3=0，(1) ∵直线BC 过焦点F(1,0)，且直线BC 不与x 轴平行， ∴设直线BC 的方程为x =ty +1，联立{y 2=4xx =ty +1，得y 2−4ty −4=0，△=16t 2+16>0，且y 2+y 3=4t ，y 2⋅y 3=−4，(2)∴x 2+x 3=ty 2+1+ty 3+1=t(y 2+y 3)+2=4t 2+2，x 2⋅x 3=y 224⋅y 324=(y 2y 3)216=1．代入(1)式得：1−3(4t 2+2)+9−4=0，解得t =0，代入(2)式解得：y 2=−2，y 3=2，此时x 2=x 3=1；∴C(1,2)， ∴k CD =2−31−0=−1，∴直线CD 的方程为y =−x +3．解析：(Ⅰ)点C(2,2)在抛物线E 上，可得4=4p ，解得p ，可得抛物线E 的方程为y 2=2x.由AB ⊥CD ，可得k AB ⋅k CD =−1，解得k AB ，由直线AB 过点H(3,0)，可得直线AB 方程为y =12(x −3)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，与抛物线方程联立化简得y 2−4y −6=0；可得|AB|=√(1+22)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]，|CH|，S △ABC =12|AB|⋅|CH|．(Ⅱ)设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，则HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3−3,y 3)，利用AB ⊥CD ，可得HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2x 3−3(x 2+x 3)+9+y 2y 3=0.根据直线BC 过焦点F(1,0)，且直线BC 不与x 轴平行，设直线BC 的方程为x =ty +1，联立{y 2=4xx =ty +1，得y 2−4ty −4=0，利用根与系数的关系即可得出．本小题考查直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查学生基本运算能力，推理论证能力，运算求解能力；考查学生函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，属于难题．24.答案：解：(1)由等式的log y y(1−1x )=log y (x +3)，则y(1−1x )=x +3即y =x(x+3)x−1由题意知{x >0y >0且y ≠11−1x >0，解得x >1，∴f(x)=x(x+3)x−1的定义域是(1,+∞)．令x −1=t ，则x =t +1，且t >0，y =(t+1)(t+4)t=t +4t +5，根据基本不等式得出函数f(x)的值域是[9,+∞)．(2)若存在满足题意的实数m ，则关于x 的方程mf(x)−√f(x)+1=0在区间(1,+∞)上有实解 令√f(x)=u ，则由(1)知u ∈[3,+∞)问题转化为关于u 的方程mu 2−u +1=0在区间[3,+∞)上有实解， 化为：m =−1u 2+1u =−(1u −12)2+14又1u ∈(0,13], 所以m ∈(0,29],即存在满足题意的实数m ，其取值范围是(0,29]．解析：(1)利用对数的运算性质和换底公式进行转化去掉对数符号是解决本题的关键，进行同底化找x ，y 之间的关系，然后根据对数式有意义的条件列出关于自变量的不等式，求出该函数的定义域，结合函数解析式的特征，求出函数的值域；(2)利用换元法将方程有解问题转化为求某个函数的值域问题，注意分离变量思想的运用． 本题属于函数与方程的综合问题，考查学生对数运算的能力、函数定义域的思想、值域的求法、方程有解问题的转化方法和分离变量的思想，考查学生的转化与化归能力．。
2022-2023学年浙江省杭州市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=17．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．3√28．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．34D ．√32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若函数f （x ）导函数的部分图象如图所示，则（ ）A ．x 1是f （x ）的一个极大值点B ．x 2是f （x ）的一个极小值点C ．x 3是f （x ）的一个极大值点D ．x 4是f （x ）的一个极小值点10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A ：“两次向上的点数之和大于7”，事件B ：“两次向上的点数之积大于20”，事件C ：“两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A ．事件B 与事件C 互斥 B ．P(AB)=572C ．P(B|A)=25D ．事件A 与事件C 相互独立11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1eC ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 ． 16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝2． （1）求抛物线C 的标准方程．（2）已知点P （1，0），直线AP ，BP 分别与抛物线C 交于点C ，D ． ①求证：直线CD 过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ．2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量， ∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3）， 故选：A ．2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c → D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：−b →−c →=−(b →+c →)，则b →+c →，b →，−b →−c →共面，故b →+c →，b →，−b →−c →不能构成基底，故A 错误；a →=12[(a →+b →)+(a →−b →)]，因此向量a →，a →+b →，a →−b →共面，故不能构成基底，故B 错误； 假设c →=λ(a →+b →)+μ(a →−b →)，即c →=(λ+μ)a →+(λ−μ)b →，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C 正确；(a →+b →)+c →=a →+b →+c →，因此向量a →+b →，a →+b →+c →，c →共面，故不能构成基底，故D 错误． 故选：C ．3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f ，公比为√212的等比数列{a n }， 第四个单音的频率为a 4=f ×(√212)3=214f ．故选：B ．4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：①若点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外，则a 2+b 2＞1， ∵圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +2＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b ，∴d 与半径1的大小无法确定，∴不能得到直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，∴充分性不成立， ②若直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，则圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +1＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b 1，即a 2+b 2＞4，点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外．∴点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外是直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交的必要不充分条件． 故选：B ．5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有C 31C 32A 22=18种．故选：C ．6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=1解：由统计学知识可知，R 2越大，拟合效果越好，又A 小组的决定系数R 2＝0.8732，B 小组的决定系数R 2＝0.9375， ∴B 小组的拟合效果好，则回归方程为v =−0.5006u +0.4922，又u ＝x 2，v ＝y 2，∴y 2＝﹣0.5006x 2+0.4922，即0.5006x 20.4922+y 20.4922=1．故选：C ．7．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3B ．72C ．4D ．3√2解：因为AD →+BD →+CD →=（OD →−OA →）+（OD →−OB →）+（OD →−OC →）＝3OD →−（OA →+OB →+OC →）＝3OD →， 且|OD →|＝1，所以|AD →+BD →+CD →|＝3，而|AD →+BD →+CD →|≤|AD →|+|BD →|+|CD →|=|AD|+|BD|+|CD|，当且仅当AD →，BD →，CD →同时时，等号成立，而A ，B ，C ，D 在球面上，不可能共线，即AD →，BD →，CD →不同向， 所以|AD |+|BD |+|CD |＞|AD →+BD →+CD →|＝3，且|AD |，|BD |，|CD |均小于直径长2，即|AD |+|BD |+|CD |＜6， 综上，3＜|AD |+|BD |+|CD |＜6， 根据选项可知A 不符合． 故选：A ． 8．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．34D ．√32解：不妨设点P 位于第一象限，如图所示，因为I 为△PF 1F 2的内心，所以P A 为∠F 1PF 2的角平分线， 所以PF 1PF 2=F 1A AF 2，因为|OA →|=14c ，所以|PF 1||PF 2|=|F 1A||AF 2|=53，设|PF 1|＝5t ，则|PF 2|＝3t ，由椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|＝8t ＝2a ， 可得t =a 4，所以|PF 1|=5a 4，|PF 2|=3a4，又因为PF 1→⋅PF 2→=|PF 1→|⋅|PF 2→|cos∠F 1PF 2=54a ×34a ⋅cos∠F 1PF 2=116a 2， 所以cos ∠F 1PF 2=115，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，cos∠PF1F2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2|PF1||PF2|=17a28−4c215a28=115，所以a2＝2c2，则e=√c2a2=√22．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则（）A．x1是f（x）的一个极大值点B．x2是f（x）的一个极小值点C．x3是f（x）的一个极大值点D．x4是f（x）的一个极小值点解：由图象可知，当x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x2＜x＜x4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞x4时，f′（x）＜0，函数单调递减，故x1，x4是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，x3不是的极值点．故选：AB．10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（）A．事件B与事件C互斥B．P(AB)=572C．P(B|A)=25D．事件A与事件C相互独立解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，以（m，n）为一个基本事件，则基本事件的总数为62＝36，事件A 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，3）、 （5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共15种， 事件B 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 事件C 包含的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、 （2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、 （3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、 （6，1）、（6，2）、（6，3），共30种， 对于A ，事件B 与事件C 互斥，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 所以，P(AB)=636=16，故B 错误； 对于C ，P(B|A)=n(AB)n(A)=615=25，故C 正确； 对于D ，P(A)=1536=512，P(C)=3036=56，事件AC 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（5，3）、（5，4）、 （6，2）、（6，3），共9种， 所以，P(AC)=936=14≠P(A)⋅P(C)，故D 错误． 故选：AC ．11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 解：由题意可得e 2=a 2+4a =a +4a，因为a ＞0， 所以e 2=a 2+4a =a +4a ≥2√m ⋅4m =4，即e ≥2，当且仅当a =4a，即a ＝2 时，等号成立． 此时双曲线方程是x 22−y 26=1，渐近线方程是√3x ±y =0．故A 错误，B 正确；设直线为x ＝my +n 代入双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)， 可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）﹣a （a 2﹣a +4）＝0，又双曲线的渐近线方程为x 2a−y 2a 2−a+4=0，直线方程代入可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）＝0， ∵直线l 与双曲线右支交于两点A ，B ，与渐近线交于两点C ，D ，A 在B ，C 两点之间， ∴AB 、CD 的中点重合，∴|AC |＝|BD |，故C 正确．当a ＝1，双曲线的方程为x 2−y 24=1，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A （m ，n ），故双曲线在A （m ，n ）的切线方程为mx −14ny ＝1， 与y ＝2x 联立可得E 的横坐标为44m−2n， 与y ＝﹣2x 联立可得E 的横坐标为44m+2n，∴S △EOF =12|OE |•|OF |•sin ∠EOF =12×√1+22×44m−2n ×√1+22×44m+2n ×sin ∠EOF =52×1616m 2−4n 2×sin ∠EOF =52×1616×sin ∠EOF =52sin ∠EOF 为定值，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e C ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22解：对于A 选项：f （0）＝0，f ′(x)=x′⋅e x −x⋅(e x )′(e x )2=1−xe x ，f ′（0）＝1，所以曲线f （x ）在x ＝0处的切线为：y ＝x ； 同理g （1）＝0，g ′(x)=1−lnxx 2，g ′（1）＝1，曲线g （x ）在x ＝1处的切线为y ＝x ﹣1， 即曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行，正确； 对于B 选项：f ′(x)=1−xe x，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1， 所以曲线f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f(1)=1e ， 又当x →﹣∞时f （x ）→﹣∞，当x →+∞时f （x ）→0，若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e 或a ≤0，错误； 对于C 选项：曲线g （x ）的定义域为：（0，+∞），g ′(x)=1−lnxx 2，令g ′（x ）＝0，解得x ＝e ，所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，且g(1)=0，g(e)=1e， 所以曲线f （x ）与曲线g （x ）的大致图像为：易知当x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（0，1）上无交点； 当x ∈[1，e ]时，f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，且f(1)=1e＞g(1)=0，f （e ）＝e 1﹣e ＜g （e ）＝e ﹣1，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（1，e ）上有一个交点；当x ∈（e ，+∞）时，记h （x ）＝x ﹣lnx ，ℎ′(x)=1−1x，当x ＞e 时h ′（x ）＞0恒成立， 即h （x ）在（e ，+∞）上单调递增，即h （x ）＞h （e ）＝e ﹣1＞0，即x ＞lnx ＞1， 又曲线f （x ）在（1，+∞）上单调递减，所以f （x ）＜f （lnx ），即x ex＜lnx e lnx=lnx x，即f （x ）＜g （x ）恒成立，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（e ，+∞）上没有交点； 所以曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点，正确；对于D 选项：当直线y ＝a 经过曲线f （x ）与g （x ）的交点时，恰好有3个公共点， 且0＜x 1＜1＜x 2＜e ＜x 3，x 1e x 1=x 2e x 2=lnx 2x 2=lnx 3x 3，由f （x 1）＝f （x 2）＝f （lnx 2），所以x 1＝lnx 2， 由g(x 2)=g(x 3)=g(e x 2)，所以x 3=e x 2， 即x 1⋅x 3=lnx 2⋅e x 2=x 22，正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ﹣28 ．解：（x ﹣y ）（x +y ）8＝x （x +y ）8﹣y （x +y ）8，二项展开式x （x +y ）8的通项为xC 8r x 8−r y r =C 8r x 9−r y r，二项展开式y （x +y ）8的通项为yC 8k x 8−k y k =C 8k x 8−k y k+1，令{r =6k +1=6，解得{r =6k =5，因此，x 3y 6项的系数为C 86−C 85=28−56=−28， 故答案为：﹣28．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 0 ． 解：因为f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ， 所以f ′(x)=−sin(x −1)−1x，f ″(x)=1x 2−cos(x −1)， 则f ′(1)=−11−sin0=−1，f ″(1)=11−cos0=0， 所以曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=|0|[1+(−1)2]32=0．故答案为：0．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 63 ． 解：因为a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，a 2＝8＞0， 所以a n ＞0，a na n−1=2(−1)n +n ， 所以b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1）=log 2(a 2n+2⋅a 2n−1a 2n ⋅a 2n+1)=log 2(a 2n+2a 2n+1)−log 2(a2na 2n−1) =log 2(2(−1)2n+2+2n +2)−log 2(2(−1)2n+2n)＝log 2（2n +4）﹣log 2（2n +2）所以S n =log 26−log 24+log 28−log 26+⋯+log 2(2n +4)−log 2(2n +2)=log 22n+44， 因为S n ﹣5＞0，所以log 22n+44＞5=log 232，即n+22＞32，解得n ＞62， 因为n ∈N *，所以正整数n 的最小值为63． 故答案为：63．16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 (−53，1) ． 解：由f(x)=2|x+2|+cos(π2x)向右平移2个单位，得g(x)=2|x|+cos(π2x −π)=2|x|−cos(π2x)为偶函数，所以g （x ）关于y 轴对称， 所以f （x ）关于x ＝﹣2对称，当x ≥0时，g ′(x)=2x ln2+π2sin(π2x)，当x ∈[0，2]时，因为sin(π2x)≥0，所以g ′（x ）＞0， 当x ∈（2，+∞）时，g ′(x)＞22ln2−π2＞0，所以g （x ）在上单调[0，+∞）递增，在（﹣∞，0）上单调递减， 所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，由f （x +1）＞f （2x ）得|x +1+2|＞|2x +2|，即（x +3）2＞（2x +2）2，解得−53＜x ＜1， 所以使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是(−53，1)． 故答案为：(−53，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．（1）证明：因为EH →=AH →−AE →=λAD →−λAB →=λBD →， FG →=CG →−CF →=(1−λ)CD →−(1−λ)CB →=(1−λ)BD →， 所以EH →=λ1−λFG →，则EH →∥FG →，因此E 、F 、G 、H 四点共面． （2）解：由（1）知，EH →=13BD →，FG →=23BD →，因此EH →=12FG →，EH 、FG 不在同一条直线上， EH ∥FG ，则EM MG =EH FG =12，则EM →=12MG →，即OM →−OE →=12(OG →−OM →)， 当λ=13时，AE →=13AB →，即OE →−OA →=13(OB →−OA →)，可得OE →=23OA →+13OB →，因为CG →=23CD →，即OG →−OC →=23(OD →−OC →)，可得OG →=13OC →+23OD →，所以，OM →=23OE →+13OG →=23(23OA →+13OB →)+13(13OC →+23OD →)=49OA →+29OB →+19OC →+29OD →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）设差数列{a n }的公差为d ，则由S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)可得{4a 1+6d =8a 1+4d a 1+(2n −1)d =2a 1+2(n −1)d +1，解得{a 1=1d =2，因此a n =2n −1(n ∈N ∗)．（2）由a n ＝2n ﹣1，得a b n =2b n −1，又由{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，得a b n +1=2n ，因此2b n =2n ， 所以b n =2n−1，所以T n =1−2n1−2=2n −1．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ； （2）求二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值．（1）证明：取AC 中点M ，连接A 1M ，BM ，则BM ⊥AC ． ∵AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60°，∴△A 1AC 为等边三角形， ∴A 1M ⊥AC ，∵A 1M =BM =√3，A 1B =√6， ∴A 1M 2+BM 2=A 1B 2，∴A 1M ⊥BM ， ∵AC ∩BM ＝M ，∴A 1M ⊥平面ABC ，∵A 1M ⊂平面A 1ACC 1，∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC ．（2）解：由题可知二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值与二面角A 1﹣AB ﹣C 正弦值相等． ∵A 1M ⊥平面ABC ，过M 作MN ⊥AB 于点N ，连接A 1N ， ∴∠A 1NM 即为所求二面角A 1﹣AB ﹣C 的平面角， ∵A 1M =√3，MN =A 1M ⋅cos60°=√32，∴A 1N =√3+34=√152， ∴sin∠A 1NM =A 1MA 1N =2√55．故二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值为2√55．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001） 单位：人（2）国际友人David 来杭游玩，每日的行程分成M （M ∈N *）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．解：（1）列联表如下：零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，χ2=200(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524＞6.635，根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）①证明：第n段行程上David坐地铁的概率为p n，则当n≥2时，第n﹣1段行程上David坐地铁的概率为p n﹣1，不坐地铁的概率为1﹣p n﹣1，则p n=p n−1⋅0+(1−p n−1)⋅13=−13p n−1+13，从而p n−14=−13(p n−1−14)，又p1−14=34，所以{p n−14}是首项为34，公比为−13的等比数列；②由①可知p n=34(−13)n−1+14，则p5=34(−13)4+14＞14，又q5=13(1−p5)＜14，故p5＞q5．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．（1）求抛物线C的标准方程．（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．①求证：直线CD过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．解：（1）由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，x 1=p2，代入抛物线方程得y 1＝±p ， 则|AB |＝2p ，所以2p ＝2，即p ＝1， 所以抛物线C ：y 2＝2x ．（2）①设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 直线AB ：x =my +12，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2my ﹣1＝0，因此y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣1． 设直线AC ：x ＝ny +1，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2ny ﹣2＝0， 因此y 1+y 3＝2n ，y 1y 3＝﹣2，则y 3=−2y 1．同理可得y 4=−2y 2．所以k CD =y 3−y4x 3−x 4=y 3−y 4y 322−y 422=2y 3+y 4=2−2y 1+−2y 2=−y 1y2y 1+y 2=12m ，因此直线CD ：x ＝2m （y ﹣y 3）+x 3，由对称性知，定点在x 轴上， 令y ＝0得，x =−2my 3+x 3=−2my 3+y 322=−2m −2y 1+12(−2y 1)2=4m y 1+2y 12=2(y 1+y 2)y 1+2y 12=2+2(y 2y 1+1y 12)=2+2⋅y 1y 2+1y 12=2， 所以直线CD 过定点Q （2，0）．②因为S △PAB =12|PF|⋅|y 1−y 2|=14|y 1−y 2|， S △PCD =12|PQ|⋅|y 3−y 4|=12|−2y 1−−2y 2|=|1y 1−1y 2|=|y 1−y 2y 1y 2|=|y 1−y 2|， 所以S △PAB +S △PCD =54|y 1−y 2|=54√4m 2+4=52√m 2+1≥52， 当且仅当m ＝0时取到最小值52．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ． 解：（1）由题意可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣a ， 由切线方程可知其斜率为﹣2， 所以{f ′(0)=−2，f(0)=b ，，解得{a =1b =1．（2）证明：由f （x ）＝0可得（x ﹣1）2e x ﹣x ＝0，所以(x −1)2−xe x =0； 函数f （x ）有两个零点即函数g(x)=(x −1)2−xe x有两个零点． g ′(x)=(x −1)(2+1e x )，当x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增． 又g （0）＝1＞0，g(1)=−1e ＜0，g(2)=1−2e 2＞0， 所以g （0）g （1）＜0，g （1）g （2）＜0， 由零点存在定理可得∃x 1∈（0，1）使得g （x 1）＝0， ∃x 2∈（1，2）使得g （x 2）＝0， 所以函数f （x ）有两个零点．（3）证明：由（1）（2）知f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣x ， 可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣1且0＜x 1＜1＜x 2＜2．要证明f ′(x 1+x 22)＞−a ，即证明((x 1+x 22)2−1)e x 1+x 22−1＞−1，即证明x 1+x 2＞2．令h （x ）＝g （x ）﹣g （2﹣x ）（0＜x ＜1）， 则ℎ′(x)=g ′(x)+g ′(2−x)=(x −1)(2+1e x )+(1−x)(2+1e 2−x )=(1−x)(e x −e 2−x )e 2＜0， 因此h （x ）单调递减，则h （x ）＞h （1）＝0．因此h （x 1）＞0， 即g （x 1）＞g （2﹣x 1），又0＜x 1＜1＜x 2＜2，又g （x 2）＝g （x 1）；所以g （x 2）＞g （2﹣x 1），又x 2，2﹣x 1∈（1，2），且g （x ）在（1，2）上单调递增， 因此x 2＞2﹣x 1，即x 1+x 2＞2．命题得证．。
浙江省杭州市严州中学新安江校区高二数学文下学期期末试卷含解析
浙江省杭州市严州中学新安江校区高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线C：=1的焦距为10 ，点P（2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A．=1 B．=1 C．=1 D．=1参考答案：A2. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（）A．24 B．26 C．27D．28参考答案：B3. 抛物线的准线方程是（）A． B． C． D．参考答案：B略4. 下列语句中：①②③④⑤⑥其中是赋值语句的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：C5. 已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，3）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣6=﹣4∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．故选：D．6. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中A点的坐标是(1，2)。
如果抛物线的焦点为F，那么等于（）A． 5 B．6 C． D．7参考答案：D略7. 命题“?x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．?x≤0，x2＜0 B．?x≤0，x2≥0C．?x0＞0，x02＞0 D．?x0＜0，x02≤0参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x0≤0，使得x02≥0”的否定是?x≤0，x2＜0．故选：A．8. 由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6参考答案：C【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．9. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．－3B．－C. D．2参考答案：D略10. B.C. D.参考答案：D【分析】根据导数的求导法则求解即可.【详解】；；；故选：D【点睛】本题主要考查了求函数的导数，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则___________．参考答案：-1【分析】由分段函数的解析式，先求出的值，从而可得.【详解】∵函数，则f（–1）=3–1=，∴f（f（–1））=f（）==–1，故答案为：–1．【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．12. 在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是．参考答案：甲试题分析：∵相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，又∵甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，0.96＞0.85，∴甲模型的拟合效果好，故填甲．考点：本题主要考查回归分析中对相关系数强弱的认识．点评：在线性回归模型中，R2解释变量对于预报变量变化的贡献率，它的值越接近于1表示回归的效果越好．13. 抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是___________.参考答案：略14. 在中，.如果一个椭圆通过、两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的焦距为．参考答案：略15. 函数在处的切线方程___________参考答案：，又，所以函数在处的切线方程。
杭州市数学高二下期末经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．( ) A ．sin2cos2+ B ．cos2sin2- C ．sin2cos2-D ．cos2sin2±-2．已知函数()()x cos x 0f x ωωω=+>最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 3．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°D ．45°4．将函数()()()()sin 23cos 20f x x x ϕϕϕπ=+++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ等于（ ） A ．6π-B ．6π C ．4π D ．3π 5．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1B ．2C D ．26．在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用,a b 表示为（ ） A ．2CP a b =+B ．CP a b =-C ．12CP a b =- D ．1233CP a b =+ 7．已知函数()(0,0)y sin x ωθθω=+<为偶函数，其图象与直线1y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（ ） A ．2,2πωθ==B ．1,22==πωθ C ．1,24==πωθ D ．2,4==πωθ8．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1)P -，则sin(2)2πα-=（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12-9．已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-10．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+11．若()2sin sinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的个数是（ ） A ．16B ．72C ．86D ．10012．在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH13．已知5sin α=，则44sin cos αα-的值为 A ．35B ．15-C ．15D ．3514．已知非零向量a ⃑ =(t,0),b ⃑ =(−1,√3)，若a ⃑ ⋅b ⃑ =−4，则a ⃑ +2b ⃑ 与b⃑ 的夹角（ ） A ．π3B ．π2C ．π6D ．2π315．已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．512π C ．6π D ．56π 二、填空题16．已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则2cos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.17．求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域____. 18．如图在ABC 中，AC BC =，2C π∠=，点O 是ABC 外一点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．19．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于M ，N 两点，则||MN 的最大值为__________．20．将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________．21．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.22．已知0>ω，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为__________． 23．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________． 24．已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________25．已知A ，B ，C 是圆O 上的三点(点O 为圆的圆心），若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为______. 三、解答题26．已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.27．假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y (万元)有如下表的统计资料(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧∧∧=+的回归系数a ∧，b ∧(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:2122111ˆ,,90,112.3ni in ni i i i ni i ii x y nxyb ay bx x x y xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 28．（1）化简求值：222cos 12tan sin 44x x x ππ-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）化简求值：00000cos40sin5013tan10sin701cos40++++000sin20sin40cos20cos40-- 29．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上，已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即Rt FHE ∆的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.30．设两个向量1e 、2e ，满足12e =，21e =，1e 、2e 的夹角为60︒，若向量2t 127e e +与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．A4．B5．B6．D7．A8．D9．B10．A11．C12．C13．A14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得再由两角差的余弦函数的公式即可求解【详解】由即则又由所以又由【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的17．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的18．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m则由余弦定理把m表示出来利用四边形OAC B面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m则由余19．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值20．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言21．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定22．【解析】由题意令则所以即当；当如图所示由勾股定理得解得23．【解析】由题意得24．【解析】由题意得25．【解析】在圆中若=(+)即=+即+的和向量是过AO的直径则以ABAC为邻边的四边形是矩形则⊥即与的夹角为90°故答案为：90°三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦的二倍角公式和完全平方式结合角在各个象限中的符号化简即可得到答案. 【详解】==，∵22ππ<<，∴sin2cos20->.∴原式sin2cos2=-. 故选C. 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式以及三角函数在各个象限中的符号的应用，属于基础题.2．D解析：D 【解析】分析：先化简函数f(x)=2sin()6wx π+,再根据周期求出w ，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=2sin()6wx π+，因为2,2,()2sin(2).6w f x x w πππ=∴=∴=+对于选项A,把12x π=代入函数得(=2sin()21266f πππ+=≠±），所以选项A 是错误的；对于选项B, 把512x π=代入函数得55(=2sin()021266f πππ+=≠±），所以选项B 是错误的；对于选项C,令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-无论k 取何整数，x 都取不到12π,所以选项C 是错误的. 对于选项D, 令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-当k=1时，512x π=，所以函数的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.3．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-22222||a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．B解析：B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值.【详解】()()()sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈， 得()116k k Z ϕπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，2k ∴=，6π=ϕ. 故选：B.本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 构造函数，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦函数求出其最值，即可得到答案．则可知2()sin cos sin 4F x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，F（x 2,故|MN|2,故选B6．D解析：D 【解析】 【分析】利用向量三角形法则得到：1212++3333CP CA CB a b ==得到答案. 【详解】利用向量三角形法则得到：221212++()++333333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB a b =+==-==故选：D 【点睛】本题考查了向量的表示，也可以利用平行四边形法则得到答案.7．A解析：A 【解析】分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2πθ=，因为函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所以其周期为T π=，即2=ππω，所以=2ω，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.8．D【解析】 试题分析：因,则,故sin(2)2πα-,选D ．考点：三角函数的定义．9．B解析：B 【解析】 【分析】由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合诱导公式可得：4sin cos 25παα⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 则2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】 解：y ＝cos （2x 2π+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确； y ＝sin2x +cos2x 2=（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cos x 2=（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．考点：三角函数的性质. 11．C 解析：C 【解析】 【分析】【详解】 令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.12．C解析：C 【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y x α=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.13．A解析：A 【解析】44sin cos αα-()()2222sin cos sin cos αααα=-+22sin cos αα=-22sin 1α=-35=-，故选A.点睛：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的，用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论.14．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件容易求出t=4，从而得出a ⃑ =(4,0)，从而得出a ⃑ +2b ⃑ =(2,2√3)可设a ⃑ +2b⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，这样根据cosθ=(a ⃑ +2b ⃑ )·b ⃑ |a⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ | 即可求出cosθ，进而得出θ的值．【详解】因a ⃑ ⋅b⃑ =−4=−t ∴t=4；∴a ⃑ =(4,0)，b ⃑ =(−1,√3)，a ⃑ +2b⃑ =(2,2√3) 设a ⃑ +2b ⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，则：cosθ=(a ⃑ +2b⃑ )·b ⃑ |a ⃑ +2b ⃑ ||b ⃑ |=-2+64×2=12， ∴θ=π3 故答案为A ． 【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是a ⃑ ⋅b ⃑ =|a ⃑ ||b ⃑ |cosθ，二是a ⃑ ⋅b ⃑ =x 1x 2+y 1y 2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cosθ=a⃑ ·b ⃑ |a ⃑ |·|b ⃑ | （此时a⃑ ·b ⃑ 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a ⃑ 在b ⃑ 上的投影是a⃑ ⋅b ⃑ |b ⃑ |；（3）a ⃑ ,b ⃑ 向量垂直则a ⃑ ⋅b ⃑ =0;(4)求向量ma ⃑ +nb ⃑ 的模（平方后需求a ⃑ ⋅b ⃑ ）. 15．B解析：B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+， 因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.二、填空题16．【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得再由两角差的余弦函数的公式即可求解【详解】由即则又由所以又由【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的解析：75【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解． 【详解】 由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=， 则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=， 又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的解析：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数()f x 在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域。
2022届浙江省杭州市高二第二学期数学期末综合测试试题含解析
2022届浙江省杭州市高二第二学期数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．35C ．22D ．452．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（） A ．49B ．827C ．29D ．1274．已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设为取得红球的次数，则A ．B ．C ．D ．5．对于实数a 和b ，定义运算“*”： 2221,, a ab a ba b b ab a b⎧-+-≤⎪*=⎨->⎪⎩设()()()211f x x x =-*-，且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根1x 、2x 、3x ，则321x x x ⋅⋅的取值范围是（ ） A.1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()y f x =的导数是()'y f x =，若()0,x ∀∈+∞，都有()()'2xf x f x <成立，则( )A ．(2332ff > B ．()212f f<C 4332f f <D7．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若q ＝2，且a 2与2a 4的等差中项为18，则S 5＝( ) A ．－62 B ．62C ．32D ．－328．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． y =D ．y =10．若随机变量ξ服从正态分布(4,9)N ，则(113)P ξ<≤=（ ） 参考数据：若()2~,N ξμδ，则()0.6826P μδξμδ-<<+=,(22)0.9544P μδξμδ-<<+=，(33)0.9974P μδξμδ-<<+=A ．0.84B ．0.9759C ．0.8185D ．0.682611．下面是22⨯列联表：则表中a b ，的值分别为（ ） A ．84，60B ．42，64C ．42, 74D ．74, 4212．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．点(1,A 2，1)，(3,B 3，2)，(1,C λ+4，3)，若,AB AC u u u r u u u r的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．14．已知复数z 满足(2)1z i i -=+，则z =________.15．直角三角形ABC 中，两直角边分别为a b 、，则ABC △外接圆面积为221()a b π+．类比上述结论，若在三棱锥ABCD 中，DA 、DB 、DC 两两互相垂直且长度分别为,,a b c ，则其外接球的表面积为________．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当12x ≤<时，()99x f x =-，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，展开式21()m x y ++的二项式系数的最大值为b ，a 与b 满足137a b = （1）求m 的值； （2）求2()()m x y x y +-+的展开式中27x y 的系数。
浙江省杭州市2019-2020学年度高二第二学期期末教学质量检测试题 数学【含解析】
浙江省杭州市2019-2020学年度高二第二学期期末教学质量检测试题数学【含解析】一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1. 已知集合{}0,1,2,3,5A =，{}1,3,5B =，则A B =（ ）A. {}1,3B. {}3,5C. {}3,1,5D. {}0,1,2,3,5【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得AB .【详解】依题意可知，{}3,1,5A B ⋂=. 故选：C【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知()2231f x x x =-+，则()1f =（ ）A. 15B. 21C. 3D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用函数解析式，求得函数值.【详解】根据()f x 的解析式，有()21213112310f =⨯-⨯+=-+=.故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题. 3. 125log 2516+=（ ）A.94B. 6C.214D. 9【答案】B 【解析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.【详解】112222555log 2516log 5(4)2log 546+=+=+=故选：B【点睛】本题考查指数运算法则以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 若α是钝角，2cos 3α=-，则()sin πα-=（ ） A.23B. 23-C. 5-D.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数关系求得结果. 【详解】()sin πsin αα-=,又α是钝角，2cos 3α=-，所以25sin 1cos αα=-= 因此()sin πα-=53， 故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）2 2 C. 2D. 22【答案】C【分析】由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，由此可计算体积．【详解】把三棱柱旋转为下图，由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，几何体的体积为122222V =⨯⨯⨯=， 故选：C.【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积，由三视图得出原几何体中的线段的长度是解题关键．6. 若圆22104x y mx ++-=与直线1y =-相切，则m =（ ） A. 22±32 D. 3±【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心，根据直线与圆相切，建立方程，即可求出m .【详解】由22104x y mx ++-= 可得：2221()24m m x y +++=，故圆心为,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭21m +，又因为直线1y =-与圆相切，所以圆心到直线1y =-的距离等于半径，即2112m +=，解得3m =±， 故选：D【点睛】本题主要考查了直线与圆相切，圆的一般方程与标准方程，考查了运算能力，属于中档题. 7. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A. 3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8. 已知不等式组y xy x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】C 【解析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.9. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若m α⊥，//m n ，βn//，则αβ⊥ C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m α⊥，//m n ，∴n α⊥，又∵//n β，∴αβ⊥，故B 正确； 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或m ，n 异面，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面有关的命题的判定，熟记线面、面面位置关系即可，属于常考题型. 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20210S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的前n 项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项.【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以2021111n q S a q -=⋅-，由于101nq q ->-，所以 2021111001nq S a a q-=⋅>⇔>-，所以“10a >”是“20210S >”的充要条件. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题. 11. 下列不可能．．．是函数()()ln f x x x αα=∈Z 的图象是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊值确定不可能的图象.【详解】当1x >时，0,ln 0x x α>>，所以此时()0f x >，故C 选项图象不可能成立.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 12. 已知1a =，4a b a b ++-=，则b 的最大值是（ ） 2 B. 26 D. 22【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值不等式化简已知条件，由此求得b 的最大值【详解】依题意()422a b a b a b a b b b =++-≥+--==，所以2b ≤， 也即b 的最大值是2. 故选：B【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题.13. 以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点A 为圆心作半径为a 的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O 及另一点B ，且存在直线y kx =使得B 点和右焦点F 关于此直线对称，则双曲线的离心率为（ ） 623 D. 3【答案】B 【解析】【分析】由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点(),0A a -到by x a=-的距离22222c d b a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，得a ，c 的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，由题意可得，OB OF c ==，设点(),0A a -到by x a=-的距离为d ，则222OB a d =- 所以22222c d b a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，整理得222a c =，所以离心率2ce a==故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程和焦点坐标和离心率的求法，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.14. 设,x y ∈R （ ）A. 若1124239x yxy⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -> B. 若1124239x yx y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -< C. 若1122943yxx y ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -< D. 若1122943yxxy ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -> 【答案】B 【解析】 【分析】把相同变量整理在一起，然后构造函数，利用函数的单调性可判断.【详解】解：由1124239x y x y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2211124222393x y yx y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以222111220333x y yx y⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以22112233xyx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1()23xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在R 上为增函数，所以2x y <，即20x y -<，所以B 正确，由1122943y x xy ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2211122922343x y yx y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22112233x yx y --⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1()23xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上为增函数，所以2x y <-，即20x y +<，所以C,D 不正确故选：B【点睛】此题考查了利用函数的单调性判断变量间的关系，关键是构造函数，属于中档题.15. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E 是棱BC 上的动点，F 是棱11B C 上靠近1C 点的三分点，M 是棱1CC 上的动点，则二面角A FM E --的正切值不可能．．．是（ ）31521565【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角A FM E --的余弦值，进而求得二面角A FM E --的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【详解】取BC 的中点O ，连接OA ，根据等边三角形的性质可知OA BC ⊥，根据直三棱柱的性质，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()()0,33,0,1,0,2A F ，设()()3,0,02M t t ≤≤. 则()()1,33,2,2,0,2AF FM t =-=-. 设平面AMF 的一个法向量为(),,m x y z =，则()3320220m AF x y z m FM x t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，得633363,1,66t m t t ⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭. 平面FME 的一个法向量是()0,1,0n =，所以222cos ,28120252633363166m n m n m nt t t t t ⋅===⋅-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以2sin ,1cos ,m n m n =-222710821628120252t t t t -+=-+所以二面角A FM E --的正切值为()()22sin ,271082166cos ,m n t t f t t m n-+==-()2115402162766t t =⋅+⋅+--因为02t ≤≤，所以111466t -≤≤--，216125405-=-⨯ 结合二次函数的性质可知当1165t =--时，()f t 有最小值1131554021627255⨯-⨯+=； 当1166t =--时，()f t 有最大值为11540216276366⨯-⨯+=， 所以()315,6f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣，所以二面角A FM E--的正切值不可能是2155. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16. 已知()2,0,22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为__________． 【答案】1【解析】【分析】画出()f x 的图象，由此判断()f x 零点的个数.【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由图可知，()f x 有1个零点.故答案为：1【点睛】本小题主要考查分段函数零点的判断，属于基础题.17. 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为33BC 的长是____．13【解析】 由题可知：13sin 33sin 2AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 132b c a A a BC bc+-=⇒== 18. 若正数a ，b 满足225ab a b =++，则ab 的最小值是__________．【答案】25【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得ab 的最小值.【详解】依题意,a b 为正数，且225245ab a b ab =++≥， 所以450ab ab -≥， 即()510ab ab ≥525ab ab ≥⇒≥， 当且仅当5a b ==时等号成立.所以ab 的最小值是25.故答案为：25【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19. 已知数列{}n a 和{}n b ，满足21n n b a =-，设{}n b 的前n 项积为2n a ，则14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n S =__________． 【答案】1122n -+ 【解析】【分析】 根据21n n b a =-及前n 项积为2n a 可得递推关系121n n na a a --=，整理可知{}n a 为等差数列，利用裂项相消法即可求解.【详解】设{}n b 的前n 项积为n T ，则2n n T a =则1n =时，1111221b T a a =-==，解得14a =， 当2n ≥时，11n n n n nT a b T a --==， 又21n nb a =-， 所以121n n na a a --=， 化简得12n n a a --=（2n ≥），所以{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，42(1)22n a n n ∴=+-=+114112n n n n a a a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11111111111112=2=466881042422n n n a a n n S +⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--- ⎪ ⎪++⎝⎭∴⎝⎭， 故答案为：1122n -+ 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，考查了运算能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运算过程．20. 已知函数()ππ23cos cos 2cos 233f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． （Ⅱ）求函数()f x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）最大值2，最小值3-【解析】【分析】（1）运用三角恒等变换将函数化为()2sin(2)6f x x π=-，代入可求得其函数值； （2）由x 的范围，求得26x π-的范围，根据正弦函数的图象与性质可求得函数()f x 在给定区间上的最值. 【详解】（Ⅰ）()ππ23sin cos cos 2cos 233f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 2(cos 2cos sin 2sin )(cos 2cos +sin 2sin )3333x x x x x ππππ=--- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-． 所以5()2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭． （Ⅱ）由（1）得()2sin(2)6f x x π=-，因为π5π1212x -≤≤，所以22363x πππ-≤-≤． 所以 当226x ππ-=，即3x π=时，max 2y =；当263x ππ-=-，即12x π=-时，min 3y =-． 所以当3x π=时，max 2y =；当12x π=-时，min 3y =-．【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的最值，运用到余弦的和差角公式，二倍角公式，以及正弦函数的图象与性质，属于中档题.21. 如图，已知三棱锥P ABC -，PC AB ⊥，ABC 是边长为2的正三角形，4PB =，60PBC ∠=︒，点F 为线段AP 的中点．（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2. 【解析】【分析】 （Ⅰ）在△PBC 中，根据余弦定理可求得PC ＝23，再由勾股定理可知，PC ⊥BC ，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；（Ⅱ）以C 为原点，CA 的垂线所在的直线为y 轴，CA 和CP 分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，写出向量CB 、CP 和BF ，再根据法向量的性质求出平面PBC 的法向量n →，设直线BF 与平面PBC 所成角为α，则sinα＝|cos BF,n |<>＝||||||BF n BF n ⋅⋅，最后利用空间向量数量积的坐标运算即可得解． 【详解】（Ⅰ）证明：PBC 中，60PBC ∠=︒，2BC =，4PB =由余弦定理可得23PC =，因为222PC BC PB +=，所以PC BC ⊥，又PC AB ⊥，AB BC B ⋂=，所以PC ⊥面ABC ．（Ⅱ）在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以C 为原点，CA →，CM →，CP →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，(0,0,23P ，()2,0,0A ，()3,0B ，(3F ，所以()13,0CB →=，(0,0,23CP →=，(0,3,3BF →=-，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z →=， 则30,230,CB n x y CP n z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 取3x =，则1y =-，0z =，即()3,1,0n =-， 所以sinα＝2cos ,4BF nBF n BF n →→→→⋅==⋅， 故直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值24． 【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、线面的夹角问题，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量求线面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22. 等差数列{}n a 的公差不为0，13a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设()111n n n n b a a ++=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．【答案】（Ⅰ）63n a n =-；（Ⅱ）227236=--n n T n .【解析】【分析】（I ）根据等比中项的性质列方程，并转化为1,a d 的形式，由此求得d ，进而求得数列{}n a 的通项公式. （II ）利用分组求和法求得2n T .【详解】（I ）由于1a ，2a ，5a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114a d a a d +=⋅+，即()()23334d d +=⋅+，由于0d ≠，所以解得6d =，所以数列{}n a 的通项公式是()31663n a n n =+-⨯=-.（II ）依题意()()()()111116363n n n n n b a a n n +++=-⋅=-⋅-+ ()()()()11122136913619n n n n n +++=-⋅-=-⋅--⋅.所以()()()()()2222222361234212999999n T n n ⎡⎤=⨯-+-++----+-++-⎣⎦ ()()()()()()3612123434212212n n n n =⨯+-++-++-+--⎡⎤⎣⎦ ()361234212n n =-+++++-+()()221223636272362n n n n n n +⨯=-⨯=-⨯+=--. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的计算，考查等差中项的性质，考查分组求和法，属于中档题. 23. 如图所示，圆()221:11C x y +-=，抛物线22:C x y =，过点()0,P t 的直线l 与抛物线2C 交于点M ，N 两点，直线OM ，ON 与圆1C 分别交于点E ，D ．（1）若1t =，证明：OM ON ⊥；（2）若0t >，记OMN ，OED 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值（用t 表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）()21124++t t . 【解析】【分析】（1）设直线:1l y kx =+，()211,M x x ，()222,N x x ，将l 与抛物线22:C x y =联立，根据根与系数的关系证明1OM ON k k ⋅=-，证得OM ON ⊥；（2）设直线:l y kx t =+，()211,M x x ，()222,N x x ，将l 与抛物线22:C x y =联立，得到根与系数的关系，且有OM ON k k t ⋅=-，再将,OM ON 与圆1C 联立，求得,M N 的横坐标，又121sin 21sin 2M N E D OM ON MON x x S S x x OE OD MON ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠代入化简，求得最小值. 【详解】（1）设直线:1l y kx =+，()211,M x x ，()222,N x x ， 由21y kx y x=+⎧⎨=⎩得：21x kx =+，所以121x x =-． 而221212121OM ONx x k k x x x x ⋅=⋅==-． （2）同（Ⅰ）设直线:l y kx t =+，()211,M x x ，()222,N x x ， 可得：12x x t =-，22121212OM ON x x k k x x t x x ⋅=⋅==-， 由()2211OM y k x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩得：()22120OM OM k x k x +-=， 解得：12212211OM E OM k x x k x ==++， 同理可得22222211ON D ON k x x k x ==++， 所以121sin 21sin 2M N E D OM ON MON x x S S x x OE OD MON ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠()()2212121122111142211x x x x x x x x ++==⋅++， 因为12x x t =-， 所以()()()()2212222211221111112444x x S t x x t t S ++⎡⎤==+++≥++⎣⎦， 当且仅当12x x t =-=-12x x t =-=--【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，三角形面积公式，基本不等式求最值，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，还考查了学生的分析能力，运算能力，难度较大.24. 已知函数()()f x x a x b c =--+，x ∈R ．（Ⅰ）当1a =，0b =时，函数()y f x =有且只有两个零点，求c 的取值范围．（Ⅱ）若0a =，0c <，且对任意[]0,1x ∈，不等式()0f x ≤恒成立，求2b c +的最大值．【答案】（Ⅰ）0c 或14c =；（Ⅱ）12. 【解析】 【分析】（I ）当1,0a b ==时，令()0f x =，转化为()1y x x =-与y c =-有两个交点，由此求得c 的取值范围. （II ）当0x =时，不等式()0f x ≤恒成立.当(]0,1x ∈时，将不等式()0f x ≤恒成立转化为max min c c x b x x x --⎧⎫⎧⎫-≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，根据函数的单调性求得max c x x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，对c 进行分类讨论，求得b 与c 的不等关系式，由此求得2b c +的取值范围，进而求得2b c +的最大值.【详解】（Ⅰ）()()1f x x x c =-+有且仅有两个零点等价于函数()()()()21,01,01111,0,024x x x x x x y x x x x x x x ⎧--<⎧--<⎪⎪=-==⎨⎨⎛⎫-≥--≥⎪⎩⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象与直线y c =-有两个点. 由图易知：0c 或14c =．（Ⅱ）当0a =，0c <时，()f x x x b c =-+.当0x =时，不等式()0f x ≤显然成立.当(]0,1x ∈时，0c c c c c x x b c x b x b x b x x x x x x----+≤⇔-≤⇔≤-≤⇔-≤-≤-，故c c x b x x x---≤≤+， 等价于max min c c x b x x x --⎧⎫⎧⎫-≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 对于函数c y x x -=-，在(]0,1x ∈上递增，故max1c x c x -⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭， 对于函数c y x x -=+，在(x c ∈-上递减，在),x c ⎡∈-+∞⎣上递增， ①当1c ≤-时，c y x x -=+在(]0,1x ∈上递减，故min 1c x c x -⎧⎫+=-⎨⎬⎩⎭， 即1b c ≤-，所以2121110b c c c c +≤-+=+≤-=．②当10c -<<时，c y x x -=+在(x c ∈-上递减，在),1x c ∈-上递增， 故min2c x c x -⎧⎫+=-⎨⎬⎩⎭， 此时，要使b 存在，则12c c +≤- 解得：1223c -<≤，则2b c ≤- 所以21112222222b c c c c ⎫+≤-=--+≤⎪⎭， 12c -=时取等号， 综上所述，2b c +最大值为12，当14c =-，1b =时满足要求． 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。
【精选试卷】杭州数学高二下期末经典测试题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13883]函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为( ) A ．[32-，32] B ．[32-，3] C ．[332-，332] D ．[332-，3] 2．(0分)[ID ：13855]已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（ ）A ．45-B ．35 C ．35D ．453．(0分)[ID ：13894]非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°D ．45°4．(0分)[ID ：13893]已知,αβ为锐角，且，5sin 13α=，则cos β的值为（ ） A ．5665B ．3365C ．1665D ．63655．(0分)[ID ：13892]已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，若ππ,612x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()f x 的图象恒在直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( )A ．ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭ 6．(0分)[ID ：13888]平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( ) A 3B 2C ．2D ．37．(0分)[ID ：13871]已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56πB ．53πC ．116πD ．23π 8．(0分)[ID ：13870]在锐角ABC 中，4sin 3cos 5,4cos 3sin 23A B A B +=+=，则角C 等于（ ）A ．150B ．120C ．60D ．309．(0分)[ID ：13836]已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．4-B ．3-C ．12 D ．3410．(0分)[ID ：13919]函数()0,0,2()(||)f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．(0分)[ID ：13908]已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于A ．43-B ．34-C ．34D ．4312．(0分)[ID ：13907]如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-13．(0分)[ID ：13904]设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） A ．79-B ．19-C ．19D ．7914．(0分)[ID ：13902]已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π215．(0分)[ID ：13898]已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ） A ．310B ．35 C ．65-D ．125-二、填空题16．(0分)[ID ：14019]已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____．17．(0分)[ID ：14013]已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 18．(0分)[ID ：14011]设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则(0)f =_____.19．(0分)[ID ：14000]求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域____. 20．(0分)[ID ：13974]已知ABC ∆中角,,A B C 满足2sin sin sin B A C =且2sin cos cos 1242C Cπ+=,则sin A =__________. 21．(0分)[ID ：13973]已知角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，则cos 21sin 2θθ=+________________．22．(0分)[ID ：13950]设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数m n -=_____．23．(0分)[ID ：13946]已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且4tan 3A =，若(,)AO x AB y AC x y R =+∈，则x y + 的最大值是__________．24．(0分)[ID ：13945]为得到函数2y sin x =的图象,要将函数24y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移至少__________个单位.25．(0分)[ID ：13933]若将函数sin y x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin y x x =-的图象，则ϕ的最小值为________________.三、解答题26．(0分)[ID ：14128] 已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 27．(0分)[ID ：14092]已知函数f(x)=sin(ωx +φ)（其中ω>0,0<φ<2π3）的最小正周期为π（1）求当f(x)为偶函数时φ的值； （2）若f(x)的图像过点(π6,√32)，求f(x)的单调递增区间 28．(0分)[ID ：14033]已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为1x =-，直线l 与抛物线相交于不同的A 、B 两点． （1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（3）如果4OA OB ⋅=-，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．29．(0分)[ID ：14043]（1）化简求值：222cos 12tan sin 44x x x ππ-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2000cos40sin501+++000sin20sin40cos20cos40--30．(0分)[ID ：14038]设两个向量1e 、2e ，满足12e =，21e =，1e 、2e 的夹角为60︒，若向量2t 127e e +与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．A3．A4．A5．C6．C7．B8．D9．B10．D11．A12．B13．A14．A15．B二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的17．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；18．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础19．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的20．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力21．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求22．8【解析】由题意得23．【解析】延长AO与BC相交于点D作OA1∥DA2∥ABOB1∥DB∥AC设(m>0n>0)易知x>0y>0则∴又BDC三点共线∴∴只需最小就能使x+y最大∴当OD最小即可过点O作OM⊥BC于点M从而24．【解析】函数的解析式：则要将函数的图象向右平移至少个单位点睛：由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0ω＞0)(x∈R)的图象要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序25．【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象而所以可得故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【详解】 分析：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.详解：[]0,,20,2x x ππ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦， 52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦， 12,162sin x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()332,362f x sin x π⎛⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.2．A解析：A 【解析】 ∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11tan α3tan α12-==+，.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选A3．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A 【解析】 解：根据题意，α，β为锐角，若sinα=513，则cosα=1213， 若cos （α+β）=35，则（α+β）也为锐角， 则sin （α+β）=45， 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα=35×1213+45×513=5665， 点睛：由cos （α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin （α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα.5．C解析：C 【解析】分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围．详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤⎪⎝⎭，ππ,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，324x ππϕϕϕ+∈-++（，），又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，2223333042cos x cos x ππϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，解得04πϕ≤≤；∴ϕ的取值范围是π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=-⨯+⨯=-， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．7．B解析：B 【解析】【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos6x π==x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，两式相加即可求出sin()A B +，进而求出A B +，角C 得解.【详解】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=，2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=，两式相加得：()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=，1sin()2A B +=，所以1sin sin(())2C A B π=-+=，且C 为锐角， 所以30C =. 故选：D 【点睛】此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用，考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值. 【详解】依题意可知1tan 2α=-，11sin cos tan 1231sin sin tan 112αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题. 10．D解析：D 【解析】 【分析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512x π=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】由题意可知52,4,212()6A T πππω==-==， 因为:当512x π=时取得最大值2， 所以:5222)2(1sin πϕ=⨯+， 所以:522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 解得:2,Z 3k k πϕπ=-∈，因为:||2ϕπ<， 所以:可得3πϕ=-，可得函数()f x 的解析式:()(2)23f x sin x π=-．故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11．A解析：A 【解析】 【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案 【详解】 ∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝ ， ∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3παα+==-. 故选A ． 【点睛】本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．12．B解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=- ∴2239AP AB BP AB AC =+=+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B.13．A解析：A 【解析】 试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.考点：三角函数14．A解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值 【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题15．B解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的 解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =()1,b c x k y -=-- ，1b c -=()()2211x y k ∴-+-=，∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.17．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】 【分析】 将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++；因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()43πθ+==-，故cos 22sin()cos()44ππθθθ=++= 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.18．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础 解析：32【解析】 【分析】由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果 【详解】由图可知：A =由741234T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==.将点7,12π⎛⎝7212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ 即7sin 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3πϕ=.所以3(0)2f ϕ===. 【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础19．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的解析：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数()f x 在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域。
2022届杭州市高二第二学期数学期末检测试题含解析
2022届杭州市高二第二学期数学期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等式的正整数的最小值是.其中正确的序号是（）A．①③B．①④C．①③④D．②③④【答案】B【解析】【分析】找出数列的规律：分母为的项有项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，使得第有项，每项的分母均为，并计算出每行各项之和，并计算出数列的前项和，结合这些规律来判断各题的正误。
【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉三角数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如下所示：对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为，命题①正确；对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，且数列的前项之和为，当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为，第行最后一项位于数列的项数为，且，则位于数阵第行第项（即），所以，，命题③错误；由①知，，且，则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，则有，可得出，由于，，则，，因此，满足的最小正整数，命题④正确。
故选：B. 【点睛】本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题。
2．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,1C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】 【详解】试题分析：令()f a t =，则()2tf t =，当1t <时，312t t --，由()312tg t t =--的导数为()32ln 2t g t =-'，当1t <时，在(,1)-∞递增，即有()()10g t g <=，则方程无解；当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，即311a -≥，解得23a ≥且1a <；或1,21aa ≥≥解得0a ≥，即为1a ≥，综上所述实数a 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选C. 考点：分段函数的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数()312tg t t =--，利用新函数的性质是解答的关键.3．若圆()()221:3425O x y -+-=和圆()()()2222:28510O x y r r +++=<<相切，则r 等于( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得r 的值并验证510r <<即可得结果.【详解】圆()()221:3425O x y -+-=的圆心()13,4O ，半径为5；圆()()2222:28O x y r +++=的圆心()22,8O --，半径为r.()()223248+++＝|r －5|，求得r ＝18或－8，不满足5<r<10. ()()223248+++＝|r ＋5|，求得r ＝8或－18(舍去)，故选C ． 【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题. 两圆半径为,R r ，两圆心间的距离为d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系. 4．已知离散型随机变量X 的分布列如图，则常数c 为（ ）A ．3B ．3C ．13或23D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据所给的随机变量的分布列写出两点分步的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0，二是两个概率之和是1，解出符合题意的c 的值． 【详解】由随机变量的分布列知，290c c -≥，380c -≥，29381c c c -+-=， ∴13c =，故选A ． 【点睛】本题主要考查分布列的应用，求离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．5．已知函数()f x 在区间[)0+∞，上是增函数，且()()g x f x =-.若()()lg 1g x g >，则x 的取值范围是（ ）A ．[)110， B ．110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．11010⎛⎫⎪⎝⎭， D ．()111010⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦，， 【答案】C 【解析】 【分析】 由()()g x fx =-，得到()g x 为偶函数，再由()f x 是[)0,+∞上的增函数，得到()g x 是[)0,+∞上的减函数，根据()()lg 1g x g >，转化为()()lg 1g x g >，即可求解. 【详解】由题意，因为()()()g x fx g x -=-=，所以()g x 为偶函数，又因为()f x 是[)0,+∞上的增函数，所以()g x 是[)0,+∞上的减函数， 又因为()()lg 1g x g >，所以()()lg 1g x g >， 所以lg 1x <，解得11010x <<，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对称区间上的函数的单调性的应用，同时解答中涉及到对数函数的图象与性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 6．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20 B ．24C ．28D ．32【答案】A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号. x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”. 7．已知函数()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭和(1,)+∞B ．(0,1)和(2,)+∞C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞ D ．()1,2【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x 的范围，继而得到函数的单调递增区间． 【详解】函数f(x)＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x －5＋2x ＝2252x x x -+＝()()221x x x--＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f(x)的单调递增区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，，(2，＋∞)． 故选C 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题． 8．已知命题p ：若复数()()12,.,z a bi a b R z c di c d R +∈=+∈，则“a cb d =⎧⎨=⎩”是“12z z =”的充要条件；命题q ：若函数()f x 可导，则“()0'0f x =”是“x 0是函数()f x 的极值点”的充要条件．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等和函数极值点的概念可判断p ，q 的真假；利用真值表判断复合命题的真假． 【详解】由复数相等的概念得到p ：真；若函数()f x 可导，则“()0'0f x =”是“x 0是函数()f x 的极值点”是错误的，当0x 是导函数的变号零点，即在这个点附近，导函数的值异号，此时才是极值点，故q ：假，q ⌝为真. ∴由真值表知，()p q ∧⌝为真， 故选C ． 【点睛】本题考查真值表，复数相等的概念，求极值的方法．由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真，则p 真，q 也真；若p 或q 真，则p ，q 至少有一个真；若p 且q 假，则p ，q 至少有一个假．9．已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ） A ．2[1,]3- B ．1[1,]3-C ．[1,1]-D ．1[,1]3【答案】B 【解析】()f x 是定义在[]21b b -+，上的偶函数， ()()210b b ∴-++=，即10b -+=，1b =则函数的定义域为[]22，- 函数在[]20-，上为增函数， ()()12f x f x -≤故12x x -≥两边同时平方解得113x -≤≤， 故选B10．已知函数()f x ，满足()y f x =-和(2)y f x =+均为偶函数，且(1)2f π=，设()g x()()f x f x =+-，则(2019)g =A ．2π B ．23π C ．πD ．43π 【答案】C 【解析】分析：根据函数的奇偶性和周期性求出()()201921g f =，然后即可得到答案 详解：由题意可得：()()f x f x -=()()()222f x f x f x +=-+=- 故()()4f x f x =+，周期为4 ()()()()()()()()2019?20192019331121?g f f f f f f f π=+-=+-=-+==故选C点睛：本题考查了函数的奇偶性和周期性，运用周期性进行化简，结合已知条件求出结果，本题的解题方法需要掌握。
杭州市名校2022届数学高二第二学期期末经典试题含解析
杭州市名校2022届数学高二第二学期期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12B ．12-C ．18-D ．58【答案】C 【解析】 【分析】根据切线方程计算1'(2)2f =，3(2)2f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=1'(2)2f ⇒=3(2)2f = ()()2'()()'()f x f x x f x h x h x x x-=⇒= ()3112248h -'==- 故答案选C 【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.2．若22(0,),(22)8ln x x x x e x a x ∃∈+∞--+-<，则a 的取值范围为 （ ） A ．(13,)e -+∞ B ．3(98ln 3,)e +-+∞ C ．(24,)e -+∞D ．2(248ln 2,)e -+-+∞【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由()22228ln x x x e x a x --+-<，得()22228ln x x x e x x a --+-<，设()()()22228ln 0x g x x x e x x x =--+->，()()()()2282'4240x x g x x e x x e x xx ⎛⎫=-+-=-+> ⎪⎝⎭，当02x <<时，()()'0,g x g x <递减；当2x >时，()()'0,g x g x >递增，()()2min 2248ln 2g x g e ∴==-+-，2248ln 2a e ∴>-+-，故选D.【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得a 的范围.3．如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选4．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．175B ．275C ．375D ．475【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再列举出所得的两条直线相互平行但不重合的个数，利用古典概型公式即可得解. 【详解】甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有22661515225C C ⋅=⨯=种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有//,//,//,AC DB AD CB AE BF //,//,//AF BE CE FD CF ED 共12对，所以所求概率为12422575p ==，选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型的计算，涉及空间直线平行的判断，属于中档题. 5．设a ，b ，c 都为正数，那么，用反证法证明“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ） A ．这三个数都不大于2 B ．这三个数都不小于2 C ．这三个数至少有一个不大于2 D ．这三个数都小于2【答案】D 【解析】分析：利用反证法和命题的否定分析解答. 详解：“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”， 所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c 至少有一个不小于m 的否定是三个数都小于m.6．曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.详解：曲线33y x x =-和直线y x =的交点坐标为（0,0）,(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形，曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是 3322=2[(3)]2(4)00S x x x dx x x dx ⎰--=⎰-24212(2)2(84)804x x =-⎰=-=.故选C.点睛：该题所考查的是求曲线围成图形的面积问题，在解题的过程中，首先正确的将对应的图形表示出来，之后应用定积分求得结果，正确求解积分区间是解题的关键.7．已知复数z 满足(2)12,i z i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．i B ．i -C ．455i- D ．455i+ 【答案】A 【解析】 【分析】利用等式把复数z 计算出来，然后计算z 的共轭复数得到答案. 【详解】122iz i i-==-+，则z i =.故选A 【点睛】本题考查了复数的计算和共轭复数,意在考查学生对于复数的计算能力和共轭复数的概念,属于简单题.8．在ABC ∆中， 2cos 22B a c c+=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式代入cos 22B =2a cc+求得cosB=a c ，进而利用余弦定理化简整理求得a 2+b 2=c 2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形． 【详解】因为21cosB cos 22B +=,，所以1cosB 22a c c ++=，有222cosB 2a a c b c ac+-==． 整理得222a b c +=，故C 2π=, ABC ∆的形状为直角三角形．故选：B ． 【点睛】余弦的二倍角公式有三个，要根据不同的化简需要进行选取．22222αsi 12si 2α1cos cos n n cos ααα=-=-=-．在判断三角形形状的方法中，一般有，利用正余弦定理边化角，角化边，寻找关系即可 9．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）A ．990B ．1320C ．1430D ．1560【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为，于此可求出的值。
浙江省杭州市2022届数学高二第二学期期末调研试题含解析
浙江省杭州市2022届数学高二第二学期期末调研试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数11()ln 22f x x a x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭至少有1个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．[0,1)C ．1(,]e-∞D ．1[0,]e【答案】C 【解析】 【分析】 令12t x =-+，则函数11()ln 22f x x a x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭至少有1个零点等价于函数()ln (0)g t t at t =->至少有1个零点，对函数()g t 求导，讨论0a ≤和0a >时，函数()g t 的单调性，以及最值的情况，即可求出满足题意的实数a 的取值范围。
【详解】由题可得函数11()ln 22f x x a x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 令12t x =-+，则0t >，函数11()ln 22f x x a x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭至少有1个零点等价于函数()ln ln (0)g t t a t t at t =--=->至少有1个零点；11()(0)atg t a t t t-'=-=>；（1）当0a ≤时，则1()0atg t t -'=>在(0,)+∞上恒成立，即函数()g t 在(0,)+∞单调递增，当0x →时，()g t →-∞，当x →+∞时，()g t →+∞，由零点定理可得当0a ≤时，函数()g t 在(0,)+∞有且只有一个零点，满足题意；（2）当0a >时，令()0g t '<，解得：1x a >，令()0g t '>，解得：10x a <<，则函数()g t 在1(0,)a上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，当0x →时，()g t →-∞，所以要使函数()g t 至少有1个零点，则111()ln ln 10g a a a a a =-⋅=--≥，解得：10a e<≤ 综上所述：实数a 的取值范围是：1(,]e-∞ 故答案选C 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点个数的问题，由导数研究函数的单调区间以及最值是解题的关键，属于中档题。
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2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1.本试卷分试题看和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题长指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3.考试结束，只需上交答题卡。
一.选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分。
1.设集合()1,2,4A ，()3,4B .则集合A B =（ ）A.{}4B.{}1,4C.{}2,3D.{}1,2,3,42.直线340x y ++=的斜率为（ ） A.13-B.13C.3-D.33.函数()22log 1y x =-的定义城是（ ） A.{}1x x >B.{}1x x <C.{}1x x ≠D.R4.在ABC ∆中，222a b c =+，则A ∠=（ ） A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒5.一个空间几何体的三规图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视力A.23B.43C.83D.46.若四边形ABCD 满足0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则该四边形是（ ） A.正方形 B.矩形C.菱形 D .直角梯形7.已知1-，a ，b ，5-成等差数列，1-，c ，4-成等比数列，则a b c ++=（ ）A.8-B.6-C.6-或4-D.8-或4-8.设a ，b R ∈，则“a b ≥”是“a b >”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.函数()()22x f x x x c =-的图象可能．．是（ ）A.B.C.D.10.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m α，//m β，则//αβ C.若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D.若//m α，αβ⊥，则m β⊥11.设实数x ，y 满足不等式组2,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则3x y +的最小值是（ ）A.2B.3C.4D.512.若α是第四象限角，5sin 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.15B.15-C.1213D.1213-13.已知椭圆222:14x y E a +=，设直线():1l y kx k R =+∈交椭圆E 所得的弦长为L .则下列直线中，交椭圆E 所得的弦长不可能．．．等于L 的是（ ） A.0mx y m ++= B.0mx y m +-=C.10mx y --=D.20mx y --=14.设(),22a ba b F a b -+=-.若函数()f x ，()g x 的定义域是R .则下列说法错误．．的是（ ） A.若()f x ，()g x 都是增函数，则函数()()(),F f x g x 为增函数B.若()f x ，()g x 都是减函数，则函数()()(),F f x g x 为减函数C.若()f x ，()g x 都是奇菌数，则函数()()(),F f x g x 为奇函数 D.若()f x ，()g x 都是偶函数，则函数()()(),F f x g x 为偶函数15.长方体1111ABCD A B C D -中，P 是对角线1AC 上一点，Q 是底面ABCD 上一点，若AB =，11BC AA ==，则1PB PQ +的最小值为（ ）A.32D.2二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16.若双曲线22:154y x C -=的渐近线与圆()()22230x y r r -+=>相切，则r =_________. 17.已知a ，b 是单位向量.若2a b b a +≥-，则向量a ，b 夹角的取值范围是_________. 18.已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，数列{}n n a b 的前n 项和为13n n +⋅.若13a =，则数列{}n a 的 通项公式为_________.19.如图，已知正三棱锥ABCD ，BC CD BD ===，2AB AC AD ===，点P ，Q 分别在核BC ，CD 上（不包含端点），则直线AP ，BQ 所成的角的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运革过程，20.设函数()2sin cos f x x x x =+.（I ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 21.如图，已知三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥底面ABC，1AA AB ==，AB AC ⊥，D 为AC 的中点.（I ）证明：1//B C 面1BA D ；（Ⅱ）求直线1B C 与平面1BA D 所成角的正弦值，22.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =.若1a ，2a ，5a 成等比数列.（I ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设()2111n n b n N a*+=∈-， 求数列{}n b 的前n 项和nT .23.已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于M ，N 两点，点Q 为线段MN 的中点。
（I ）当直线l 经过抛物线C 的焦点，6MN =时，求点Q 的横坐标； （Ⅱ）若5MN =，求点Q 横坐标的最小值，井求此时直线l 的方程.24.设a ，k R ∈，已知函数()2f x x x a ka =--+. （I ）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若对于任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 至少有三个零点。
求实数k 的取值范围.2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题 1-5：AACDB 6-10：CDDBC11-15：BCDCA二、填空题17.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦18.21n a n =+19.,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题20.解：（Ⅰ）()1cos 2sin 222x xf x -=+1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭， 所以T π=.（Ⅱ）因为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 因为5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域为0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 21.（Ⅰ）证明：连接AB ，交1A B 于N ，所以N 为1AB 的中点， 又因为D 为AC 的中点，所以1//DN B C ， 因为DN 在面1BA D 内，1B C 不在面1BA D 内， 所以1//B C 面1BA D .（Ⅱ）以AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（不妨设1AC =）.所以)B，10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，(1A ，(1C ，设面1BA D 的法向量为(),,m x y z =， 则10n BD n BA ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得()1,n =.因为(1BC =，记直线1BC 平面1BA D 所成角为θ.所以111sin cos ,7BC n BC n BC nθ⋅=<>=⋅，. 22.解：（Ⅰ）由题意，得12151a a a a =⎧⎨=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-，2n S n =.（Ⅱ）因为()11114141n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()41n nT n =+.23.解（Ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ， 所以1226MN x y =++=. 所以1222Qx x x +=； （Ⅱ）设直线:l ty m +，由24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty m --=.所以124y y t +=，124y y m =-. 所以MN =5=.所以()2225161m t t =-+， 所以()12122x x t y y m +=++=()22225422381t m t t +=+≥+，所以12322Q x x x +=≥，此时12t =±，1m =. 所以:220l x y --=或220x y +-=.24.解（Ⅰ）当1a =时，()()()2221,111,1x x k x f x x x k x x k x ⎧-++≥⎪=--+=⎨++-<⎪⎩，所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）因为()()()()()2221,1,x x a k x a f x x x a k x x a k x a ⎧-+⋅+≥⎪=--+=⎨++⋅-<⎪⎩，且10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.若()0f a <，则()f x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，由()f x 的单调性及零点的存在性定理可知，()f x 至多有两个零点.故()0f a ≥，即20a ak +≥对任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，可知0k ≥.当()0f a ≥时，若102f ⎛⎫>⎪⎝⎭或102f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭成立，则由()f x 的单调性及零点的存在性定理可知()f x 至多有两个零点，故102102f f ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()11041104a k a k ⎧-++≤⎪⎪⎨⎪-+-≤⎪⎩成立，注意到，()()111144a k a k -++≥-+-，故()1104a k -++≤，即114k a ≤-对任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，可知12k ≤， 综上可知，102k ≤≤. 因为20x x a ka --+=，所以2x a ka x --=.设3y x a ka =--，其顶点(),A a ka -在y kx =-，10,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（即线段OB ）上运动.若0k <，显然存在V 字图与抛物线2y x =只有两个交点的情况，不符合题意，故0k ≥，如图画出草图.显然 当点A 自点O 向点B 运动时，两个图象总有M ，N 两个交点，故只需要V 字形图象右支y x a ka =--与抛物线有()2y xx a =>交点即可，即()20x x a ka -++=有两个正根，满足()1400a ka a ka -+≥⎧⎪⎨+>⎪⎩，即1014k a <+≤对任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立， 即112k -<≤， 又0k ≥，所以102k ≤≤.。