3精编湖北省“大课改大数据大测评”2021届高三上学期12月联合测评数学试卷
2021年高三上学期12月测试数学试题 Word版含答案
2021年高三上学期12月测试数学试题 Word 版含答案班级 姓名 得分______一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知复数满足（为虚数单位），则= ▲ ．22．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝▲________．{2} 3. 设点是角终边上一点，若，则 ▲ .4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是 ▲ ．5. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ．-16．直线截得的弦AB 的长为 ___8______7. 已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为 2 8. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 ▲ 9．设的内角的对边分别为，若，则 或3 ▲10．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为▲________．311. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为线段的中点，若，则该椭圆的离心率的值为12．过点作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为 ▲ ．13．如图，点C 为半圆的直径AB 延长线上一点，AB=BC=2， 过动点P 作半圆的切线PQ ，若,则的面积的 最大值为14．中，，．若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，，，点D 在BC 边上．（1）若AD 为的平分线，且BD 1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD ，求证：△ABC 为等边三角形． 15．（1）在△ABD 中，，在△ACD 中，，相除得：AC =2AB ． ………………………………………3分 在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，∴AB =，AC =2………………………………………6分 ∴……………………………7分（2）∵，∴()()22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅∴………………………………9分 又，相减得，………………………………………11分 ∴，∴即∶AB =AC ，又∠C =60°，∴三角形ABC 为等边三角形．………………14分B CPQ16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，与交于点且平面平面为棱上一点.（1）求证：（2）若求证：平面（1）因为平面底面，平面底面，，平面，所以平面，又因为平面，所以．……………………6分（2）因为，，与交于，所以，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面．……………………14分17. (本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．解：（1）设⊙M 的方程为，则由题设，得解得2,0,.D E F c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩………………………3分⊙M 的方程为，⊙M 的标准方程为． …………………………………5分 （2）⊙M 与轴的两个交点，，又，，由题设 即 所以………………………7分 解得，即 ．所以椭圆离心率的取值范围为．………………………………………10分 （3）由（1），得．由题设，得．∴，．∴直线MF 1的方程为， ①直线DF 2的方程为． ②…………………………………13分 由①②，得直线MF 1与直线DF 2的交点，易知为定值，∴直线MF 1与直线DF 2的交点Q 在定直线上．…………………14分18．(本小题满分16分)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.（1）若要求米，米，求与的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；（3）若，求的最大值.（参考公式：若，则）（1）因为，解得. …………… 2分此时圆，令，得，所以，将点代入中，解得. ………… 4分（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，则由题意知对恒成立， 8分所以恒成立，而当，即时，取最小值10，故，解得. ………… 10分（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，从而，………… 12分又因为252)()5(2525t tf tt t t t-'==--⋅，令，得，………… 14分当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当时，取最大值为25.答：当米时，的最大值为25米. …………16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）19. (本小题满分16分)已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由． 19．（1）因为，所以，则142242221221n nn n n n n n n na b b b a b a b b b +=-=-=-=++++， ………………………2分 所以，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， ……4分 即，所以． ………………………6分 （2）由（1）知，所以， ①当时，，，，若，，成等差数列，则（）， 因为，所以，，，，所以（）不成立． …………………………9分 ②当时，若，，成等差数列， 则，所以，即，所以， ………………………12分欲满足题设条件，只需，此时， ………………14分 因为，所以，，即． …………………………15分 综上所述，当时，不存在满足题设条件；当时，存在，，满足题设条件．…16分20. (本小题满分16分)已知函数(其中是自然对数的底数)，，． ⑴记函数，当时，求的单调区间；⑵若对于任意的，，，均有成立，求实数的取值范围． 解：⑴，，得或，…………………………………2分 列表如下：（，）的单调增区间为：，，减区间为； ……6分 ⑵设，是单调增函数，，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；…8分①由得：，即函数在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，， 时，；时，； ，； ………………………………12 ②由得：，即函数在上单调递增，在上恒成立， 在上恒成立；函数在上单调递减，当时，， ，综上所述，实数的取值范围为．…………………………16分Zr20543 503F 倿26709 6855 桕23753 5CC9 峉g33576 8328 茨25454 636E 据29111 71B7 熷 vx34469 86A5 蚥S28942 710E 焎。
《精编》湖北省高三数学第一次联考(12月)试题 文 新人教A版.doc
五中八校2021届高三第一次联考数学试题〔文〕命题：黄石二中考试时间：12月21日下午15:00——17:00 试卷总分值：150分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1、复数1iz i=-的实部为〔 〕 A 、12 B 、2i C 、－12 D 、－2i2、集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，那么=⋂BC A R ( ) A.[]32， B.(]21， C.[]83， D.(]83，3、假设命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，那么对命题p 的否认是〔 〕A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()2000-,-33,,210x U x x ∀∈∞+∞++>C. ()()2000-,-33,,210x U x x ∃∈∞+∞++≤ D. []012,3,3-0200<++∈∃x x x4、某实心机器零件的三视图如以下列图，该机器零件的体积为〔 〕A.π236+B.π436+C.π836+D.π1036+5、函数的图象如上图所示，为了得到g 〔x 〕＝sin2x的图象，那么只要将f 〔x0〕的图象〔 〕A 、向右平移6π个单位长度 B 、向右平移12π个单位长度C 、向左平移6π个单位长度 D 、向左平移12π个单位长度6、两个正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，那么a ＋b 的最小值为 A 、1 B 、2 C 、4 D 、22..www zxxk com7、等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，那么36S S =〔 〕 A.2 B.87 C.98学科网 D.45 8、任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么点P 〔a ，b 〕落在区域｜x ｜＋｜y ｜≤3中的概率为 A 、2536 B 、16 C 、14 D 、1129、如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ，假设双曲线以A ，B 为焦点且过C ，D 两点，那么当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为 A 、2＋1 B 、3＋1 C 、2 D 、310、函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，那么实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的〔 〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.〔一〕必做题〔11-14题〕 11、抛物线22y ax =的准线为x ＝－14，那么其焦点坐标为＿＿＿ 12、三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设3a =，b ＝1，∠A ＝3π，那么∠B ＝＿＿＿ 13、长方体的所有棱长之和为48，外表积为94，那么该长方体的外接球的半径为＿＿14、超速行驶已成为马路上最大杀手之一，某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过70km/h,否那么视为违规。
湖北省黄冈市部分普通高中2021届高三上学期12月联考数学试题
湖北省黄冈市部分普通高中2021届高三上学期12月联考数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知集合{}ln(1)M x y x ==-，{}220N x x x =->，则M N =（ ）A.(0,)+∞B.(2,)+∞C.(0,1)D.(1,2)2.复数z 在复平面内对应点的点是(1,1)-，则复数1iz -（i 是虚数单位）的虚部为（ ） A.25i - B.25-C.15-D.15i - 3.ABC △中，“6B π=”是“1sin 2B =”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知2log 5a =，132log 12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 6c =，则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.b a c >>5.公差不为0的等差数列{}n a 中，它的前31项的平均值是12，现从中抽走1项，余下的30项的平均值仍然是12，则抽走的项是（ ） A.12aB.14aC.16aD.18a6.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm ，高8cm （不含杯脚），已知水的高度是4cm ，现往杯子中放入一种直径为1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）A.98颗B.106颗C.120颗D.126颗7.已知函数122,0()log (||1),0x a x f x x a x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩()a R ∈在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.(1,){0}+∞⋃B.(0,)+∞C.(,0]-∞D.(,1]-∞8.已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.2⎫⎪⎪⎣⎭B.0,2⎛ ⎝⎦C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论为（ ）A.直线AM 与1C C 是相交直线B.直线AM 与BN 是平行直线C.直线BN 与1MB 是异面直线D.直线MN 与AC 所成的角为60°10.已知n S 是公比q 的正项等比数列{}n a 的前n 项和，若123a a +=，2416a a =，则下列说法正确的是（ ） A.2q =B.数列{}1n S +是等比数列C.8255S =D.数列{}lg n a 是公差为2的等差数列11.已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A.()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 是周期为2π的函数 C.()f x 有对称轴D.函数()f x 在(0,2)π上有3个零点12.已知函数()aln xf x e x =+，其中正确结论的是（ ） A.当1a =时，()f x 有最大值B.对于任意的0a >，函数()f x 是(0,)+∞上的增函数C.对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值D.对于任意的0a >，都有()0f x >.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a ，b 的夹角为60°，||2a =，||1b =，则2a b -=______.14.已知直线y x m =+与圆224x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，0OA OB ⋅<且AOB △m =______.15.综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A 、B 两点（B 在A 的正西方向），在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______米.16.四棱锥P ABCD -各顶点都在球心为O 的球面上，且PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，4AD =，则球O 的体积是______；设E 、F 分别是PB 、BC 中点，则平面AEF 被球O 所截得的截面面积为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知1,22x m ⎫=⎪⎭，2cos ,12cos 22x x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()f x m n =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点______得到函数()y g x =的图象，当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()g x a =有解，求实数a 的取值范围.在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移4π个单位.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为2n S pn n q =++，p ，q ∈R ，n +∈N ，且36a =.数列{}n b 满足22log n n a b =. （1）求p 、q 的值；（2）设数列(){}(1)n n n a b -+的前2n 项和为2n T ，证明：23n T >.19.在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足22sin cos 212B CA ++=， （1）求角A 的大小；（2）若a =3BA AC ⋅=-，A ∠的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD △为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//DF 平面PEB ；（2）求直线EF 与平面PDC 所成角的正弦值.21.如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，4BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于B ，C 的一点，PQ 与AB 平行，设04PAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低?请说明理由.22.已知曲线()(3)e (2ln )xf x x a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处的切线方程为(1e)y x b =-+. （1）求a ，b 值；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()062e 55f x --<<-.参考答案1.D (1,)M =+∞，(0,2)N =，(1,2)M N ∴=2.B 1z i =-+，(2)1212(2)(2)55i i i i i z i i i --===---+-+--，∴虚部为25- 3.B ABC △中，1sin 26B B π=⇔=或56B π=，∴“6B π=”是“1sin 2B =”的充分不必要条件.4.D 22log 53<<，132log 132⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 62<<.b a c ∴>>5.C ()1313116313131122a a S a +===⨯，1612a ∴=，∵从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是12，则抽走的项163112301212a ⨯-⨯==. 6.D 作出在轴截面图如图，由题意，8OP =，14O P =，3OA =，设11O A x =，则483x=，即32x =.则最大放入珍珠的体积2211338421332V πππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭一颗珍珠的体积是341326ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.由211266ππ=.∴最多可以放入珍珠126颗.7.A 设122,0()log (1),0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，图象如图，已知问题可以转化为()g x 图象与函数y a =图象没有交点， 数形结合可得1a >或0a =8.C 连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由120AFB ∠=︒，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF '为平行四边形，60FAF '∠=︒，在三角形AFF '中，()22222cos 3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''=+-⋅∠=+-⋅，所以()222332AF AF AF AF FF AF AF '+⎛⎫''+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2214AF AF FF ''+≤ 即221444a c ⋅≤，可得1 2c e a =≥，所以椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭9.CD 在A 中，直线AM 与1C C 是异面直线，故A 错误；在B 中，直线AM 与BN 是异面直线，故B 错误；在C 中，直线BN 与1MB 是异面直线，故C 正确；1//MN CD ，1ACD △是等边三角形，∴直线MN 与AC 所成的角为60°，D 正确10.ABC 公比q 为正数34a ∴=，214a q =，又113a a q +=，解得11a =，2q =.12n n a -∴=，()1122112n n n S ⋅-==--.12n n S ∴+=，∴数列{}1n S +是公比为2的等比数列.8821255S =-=.lg (1)lg 2n a n =-，数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列. 11.BD 作出函数cos 2,22()1sin 2,222x k x k f x x k x k πππππππ-≤≤+⎧=⎨--+<≤+⎩的图象，由图，函数()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 错误；(2)()f x f x π+=，所以函数()f x 的周期为2π，故B 正确；无对称轴，C 错误，在(0,2)π上有3个零点，D 正确12.BC 当1a =时，()ln xf x e x =+，易知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值，故A错误，对于任意的0a >，函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，当0x →时，1x e →，ln x →-∞，故()f x →-∞，故B 正确，D 错误，对于任意的0a <，()x af x e x'=+，易知()f x '在(0,)+∞单调递增，当x →+∞时，()f x '→+∞，当0x →时，()f x '→-∞，∴存在()00f x '=， 当00x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，0x x <<+∞，()0f x '>，函数单调递增，()min 0()f x f x ∴=，故C 正确13.2222|2|4444421cos 604a b a b a b -=+-⋅=+-⋅⋅⋅︒=，|2|2a b ∴-=.14.122sin 2AOB S AOB =⋅⋅⋅∠=△，sin AOB ∴∠=，0OA OB ⋅<，120AOB ∴∠=︒，∴圆心O 到直线y x m =+的距离2sin301d =︒=1=，m =15.3根据图形知，ABC △中，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，40AB =， 由正弦定理得，40sin 30sin 45BC =︒︒，解得1402BC ⨯==，在Rt BCD △中，30BDC ∠=︒，所以tan 30CD BC =︒==.16.n （第一空2分），143π（第二空3分）由题设知球心O 为PC 中点，故球O 的直径2R R ==⇒=，故V =球，设球心到平面AEF 的距离为d ，截面圆的半径为r ，由题设球心O 到平面AEF 的距离等于点B 到平面AEF 的距离，在三棱锥B AEF -中，由等体积法得d =222414633r R d ∴=-=-=，故截面面积为143π 17.解：（1）21()3sin cos cos 2222x x x f x m n =⋅=++1sin cos 1sin 1226x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为2π.（2）将()sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象按照变换①：向左平移32π个单位， 再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，可得3()sin 211cos 2266y g x x x πππ⎛⎫⎛⎫==+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 3()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 若方程()g x a =有解，则30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 将()sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象按照变换②：纵坐标保持不变， 横坐标缩小为原来的一半，再向右平移4π个单位， 可得()sin 21sin 21263y g x x x πππ⎛⎫⎛⎫==-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，3()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 若方程()g x a =有解，则30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 18.解：（1）111a S p q ==++，22142(1)31a S S p q p q p =-=++-++=+， 33251a S S p =-=+，3651a p ∴==+，解得1p =.由2132a a a =+得2426q ⨯=++，解得0q =.1p ∴=，0q =.（2）等差数列{}n a 的公差21422d a a =-=-=，22(1)2n a n n ∴=+-=. 22log n n a b =，222log n n b ∴=，解得2n n b =.()(1)(1)2(2)n n n n n a b n ∴-+=-⋅+-.∴数列(){}(1)n n n a b -+的前2n 项和22[(12)(34)(212)]n T n n =-++-+++-++ 2212221(2)222(2)(2)221(2)3n n n n n +⎡⎤----⎣⎦⎡⎤+-+-++-=⨯+=+⎣⎦-- 2n T 关于n 递增，222243n T T ∴≥=+=>.19.解：（1）22sin cos 212B C A ++=，即为cos 2cos()0A B C -+=， 可得22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍去） ， 由0A π<<，可得3A π=；（2）3BA AC ⋅=-，即为2cos33cb π=-，可得6bc =， 由22222cos ()27a b c bc A b c bc bc =+-=+--=，可得5b c +==，由ABC ABT ACT S S S =+△△△得，111sin 60sin 30sin 30222bc b AT c AT ︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒6sin 6021()sin 30552bc AT b c ︒∴===+︒- （1）证明：取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，//FG BC ∴，且12FG BC = ∵E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =.//FG DE ∴，且FG DE =. ∴四边形DEGF 是平行四边形，//DF EG ∴又DF ⊄平面PEB ，EG ⊂平面P E B ，//DF ∴平面PEB .（2）解：E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，PE AD ∴⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ， PE ∴⊥平面ABCD ，∵四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒， ∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.不妨设菱形ABCD 的边长为2，则1AE ED ==，2PA =，PE =BE =，则点(0,0,0)E ，(1,0,0)D -，(C -，P，F ⎛- ⎝⎭，(DC ∴=-，DP =，设平面PDC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1z =，得(3,1,1)n =--；又EF ⎛=- ⎝⎭，设EF 与平面PDC 所成角为θ，sin |cos ,|EF n θ∴=<>==EF ∴与平面PDC 21.（1）证明：由题意，4CAP πθ∠=-，所以4CP πθ=-,又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-，∴观光专线的总长度()1cos cos 144f ππθθθθθ=-+-=--++，04πθ<<，∵当04πθ<<时，()1sin 0f θθ'=-+<，()f θ∴在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小.（2）解：设翻新道路的单位成本为(0)a a >，则总成本 ()22cos 2cos 244g a a ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+-=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，04πθ<<，..g'（0）=a （()(12sin )g a θθ'∴=-+，令()0g θ'=，得1sin 2θ=，因为04πθ<<，所以6πθ=，当06πθ<<时，()0g θ'<，()g θ单调递减；当64ππθ<<时，()0g θ'>，()g θ单调递增，所以，当6πθ=时，()g θ取得最小值，故当6πθ=时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.22.解：（1）()(3)(2ln )x f x x e a x x =-+-，2()(2)1x f x x e a x ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭故(1)1f e a e '=-+=-，解得：1a =，故()(3)2ln x f x x e x x =-+-，(1)21f e =--， 故切线方程是：(1)2y e x e =---，故2b e =--；（2）证明：1()(2)x f x x e x ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，(0)x >， 令1()x h x e x=-，显然()h x 在(0,)+∞递增， 而102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0h >，故01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =， 即001x e x =，则00ln x x =-， 故()00,x x ∈时， ()0f x '>，()f x 递增，()0,2x x ∈时， ()0f x '<，()f x 递减， (2,)x ∈+∞时， ()0f x '>，()f x 递增，故0x 是()f x 唯一的极大值点， 且()()0000000332ln 1315x f x x e x x x x =-+-=--<-=- 令3()13g x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2231 ()0x g x x -'=>， ()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，故16() 6.5225g x g e ⎛⎫>=->-- ⎪⎝⎭， 综上，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()06255e f x --<<-.。
湖北省“大课改大数据大测评”2021届高三第一学期联合测评数学试卷
湖北师大附中2021届高三上学期联合测评数 学本试题卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}02|{2<--=x x x A , }1|||{≤=x x B , 则=B A A ．}11|{<<-x x B ．}11|{≤<-x x C ．}11|{<≤-x xD ．}11|{≤≤-x x2．=-+-i i131 A ．i 21+B ．i -2C ．i +-2D ．i 21-3．已知向量b a ,满足3||=-b a , 6|2|=+b a , 2||=a ，则=||bA ．5B ．6C ．22D ．324．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n 月的从事旅游服务工作的人数)(n f 可以近似用函数4000326cos 3000)(+⎪⎭⎫⎝⎛+=ππn n f 来刻画（其中正整数n 表示一年中的月份）．当该地区从事旅游服务工作人数在5500或5500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有 A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 5．已知等差数列}{n a 对任意正整数n 都有863221+=+-++n a a a n n n ，则=2a A ．1 B ．8 C ．5 D ．4 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个数学问 题：“现有刍甍，下宽3丈，长4丈；上长2丈，无宽，高1丈．问： 有体积多少？”本题中刍甍是如图所示的几何体ABCD EF -，底面 ABCD 是矩形，EF AB //, 4=AB , 3=AD , 2=EF ，直线EF 到底面ABCD 的距离1=h ，则该几何体ABCD EF -的体积是 A ．5B ．10C ．15D ．257．党的十八大要求全面实施素质教育，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，劳动教育受到全社会广泛关注．某学校的某班级将5名同学分配到甲、乙、丙三个村参加劳动锻炼，每个村至少分配一位同学，则甲村恰好分配2位同学的概率为 A ．53 B ．52 C ．51 D ．54 8．已知椭圆124:22=+y x C 的左右顶点分别为B A ,，过x 轴上点)0,4(-M 作一直线PQ 与椭圆交于Q P ,两点（异于B A ,），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为21,k k ，则=21:k kA ．31B ．3C ．21 D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三数学12月校际联合检测试题 理(含解析)
2021年高三数学12月校际联合检测试题理（含解析）【试卷综述】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.【题文】第I卷(共50分)【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B===，则等于A. B. C. D.【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案】【解析】B 解析：,∴ ,又∵ ,∴.故选B.【思路点拨】利用集合的并集定义，求出；利用补集的定义求出．【题文】2.命题“对任意都有”的否定是A.对任意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得【知识点】命题的否定.A2【答案】【解析】D 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意都有”的否定是：存在，使得．故应选D．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可。
【题文】3.设为平面，为直线，则的一个充分条件是A. B.C. D.【知识点】直线与平面垂直的判定．G5【答案】【解析】D 解析：对于选项A：，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于选项B：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于选项C：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于选项D：因为，所以，又因为所以.故选D【思路点拨】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．【题文】4.已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为A. B. C.6 D.【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案】【解析】B 解析：由是定义在上的奇函数得，,故选B.【思路点拨】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项.【题文】5.设的图象是将函数向左平移个单位得到的，则等于A.1B.C.0D.【知识点】函数的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．B1 C4【答案】【解析】D 解析：由向左平移个单位得到的是，则.故选D.【思路点拨】根据函数图象的平移首先得到函数的解析式，然后直接把代入即可得到答案．【题文】6.等差数列中的是函数的极值点，则等于A.2B.3C.4D.5【知识点】函数在某点取得极值的条件．B11【答案】【解析】A 解析：.因为，是函数的极值点,所以，是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以,即,从而,选A.【思路点拨】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．【题文】7.函数的图象大致为【知识点】函数的图象．B8【答案】【解析】A 解析：首先由为奇函数，得图象关于原点对称，排除C、D，又当时，知，选A.【思路点拨】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【题文】8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A.30B.12C.24D.4【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案】【解析】C 解析：由图可得几何体的直观图如右图，可得此几何体的体积等于×3×4×5-××3×4×3=24.【思路点拨】三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可.【题文】9.函数是定义在R上的偶函数，且满足时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【知识点】抽象函数及其应用．B10【答案】【解析】A 解析：由可得函数的周期为2，当时，，又为偶函数，则当时，，由得，作出和的图象，要使方程恰有三个不相等的实数根，则由图象:可得直线的斜率必须满足，由题意可得A（﹣1，0），B（1，2），C（3，2），则，．即有．故选A．【思路点拨】由可得函数的周期为2，当时，，又为偶函数，则当时，，由得，作出和的图象，要使方程恰有三个不相等的实数根，则由图象可得有三个交点，即必须满足，运用斜率公式即可．【题文】10.已知实数满足约束条件若，设表示向量在向量方向上射影的数量，则z的取值范围是A. B. C. D.【知识点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．E5 F3【答案】【解析】C 解析：画出约束条件的可行域，由可行域知：时，向量在方向上的射影的数量最大，此时，所以向量在方向上的射影的数量为；当时，向量在方向上的射影的数量最小，此时，所以向量在方向上的射影的数量为.所以的取值范围是.【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论.【题文】第II卷（共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.向量满足的夹角为60°，则___________.【知识点】平面向量的模的运算.F2【答案】【解析】解析：由得：, , .【思路点拨】先把已知条件平方，展开再利用向量的运算即可。
《精编》湖北省咸宁市高三数学12月联考试题 理 新人教A版.doc
湖北省咸宁市四校2021届高三数学12月联考试题理〔扫描版〕新人教A版高三年级数学〔理科〕参考答案3.B 解答：由题意知该几何体是一个底面半径为,21高为2的圆柱, 根据球与圆柱的对称性, 可得外接球的半径,25)21(122=+=R ∴ππ542==R S .选B 5.C 6.C解答：方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x有解，等价于求134928sin sin +⋅+⋅=x x a 的值域∵]3,31[3sin ∈x∴13492sin sin +⋅+⋅x x ]31,923[∈ 那么a 的取值范围为2372318≤≤a9. B 解答：假设令a ax x x f --=2)( 只要2110)2()21(212<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-⋅--≥a f f a解答：用累加法得1222++-=a an n a n ，据题意易知)27,25(∈a 11.{}210><<x x x 或 12.611 解答：由5672a a a +=得2=q ，又122a a a n m ⋅=⋅，∴5=+n m ∵为n m ,正整数，∴当3,2==n m 时，nm 41+有最小值611.13.50217 解答：∵α为锐角，且54)6cos(=+πα，∴53)6sin(=+πα ∴2323466ππαπππαπ<+<⇒<+<∵252453542)6(2sin )32sin(=⨯⨯=+=+παπα ∴257)32cos(=+πα，50217]4)32sin[()122sin(=-+=+ππαπα 14.232- 15.②③16.解答：(1)由图象知,34,2π==T A 那么,342πωπ⨯=∴23=ω……〔2分〕又0)4sin(2])6(23sin[2)6(=+-=+-⨯=-ϕπϕππf ∴0)4sin(=+-ϕπ，∵20πϕ<<，444ππϕπ<-<-∴404πϕπϕ=⇒=-∴)(x f 的解析式为)423sin(2)(π+=x x f . ………………〔5分〕 (2)由(1)可得]4)12(23sin[2)12(πππ+-=-x x f ),823sin(2π+=x ∴2)43cos(14)]12([)(2ππ+-⨯=-=x x f x g ＝),43cos(22π+-x …〔8分〕 ∵],3,6[ππ-∈x ∴45434πππ≤+≤-x ， ∴当ππ=+43x ，即4π=x 时，4)(max =x g …………………〔12分〕17．解答:(1)由题意:13+=-t kx ，将1,0==x t 代入得2=k ∴123+-=t x , 当年生产x (万件)时，年生产本钱3)123(32332++-⋅=+=t x , 当销售x (万件)时，年销售收入150=％t t 21]3)123(32[+++-⋅⋅, 由题意，生产x 万件产品正好销完 ∴年利润=年销售收入-年生产本钱-促销费即)0()1(235982≥+++-=t t t t y .………〔6分〕(2)∵4216250)13221(50=-≤+++-=t t y (万件) 当且仅当13221+=+t t 即7=t 时，42max =y , ∴当促销费定在7万元时，利润最大. ………〔12分〕18. 解答：(1)过点D 作C A DE 1⊥于E 点，取AC 的中点F ，连EF BF ,.∵面⊥C DA 1面C C AA 11且相交于C A 1，面C DA 1内的直线C A DE 1⊥ ∴直线DE ⊥面C C AA 11 ………3分 又∵面⊥BAC 面C C AA 11且相交于AC ，易知AC BF ⊥， ∴⊥BF 面C C AA 11由此知:DE ∥BF ，从而有B F E D ,,,共面， 又易知1BB ∥面C C AA 11，故有DB ∥EF ，从而有EF ∥1AA ， 又点F 是AC 的中点，所以,212111BB AA EF DB === 所以D 点为棱1BB 的中点； ………6分(2)延长D A 1与直线AB 相交于G ，由题意知⊥CB 面B B AA 11, 过B 作G A BH 1⊥于点H ，连CH 知:CH G A ⊥1,由此知CBH ∠二面角C D A A --1的平面角； ………8分 设;,21a BC AB b AA ===A 1C 1B 1ACBDHEFG在AG A Rt 1∆中，易知BG AB =. 在DBG Rt ∆中,DGBGBD BH ⋅=22ba ab +⋅=，在CHB Rt ∆中，=∠CHB tan =BHBCbb a 22+， 据题意有：360tan 022==+bb a ,解得:22=a b ， 所以=ABAA 12. ………12分19. 〔Ⅰ〕∵44)(+-=x x x f 2)2(-=x (4≥x )，∴)(1x f-2)2(+=x (0≥x )， ……………………………………〔2分〕∴)(11n n a fa -+=2)2(+=n a ，即21=-+n n a a 〔∈n N *〕． ……………………………〔3分〕 ∴数列{}na 是以11=a 为首项，公差为2的等差数列．………〔5分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得：12)1(21-=-+=n n a n ，即2)12(-=n a n 〔∈n N *〕． ……………………………〔7分〕 11=b ，当2≥n 时，1131--⎪⎭⎫⎝⎛=-n n n b b ，∴+-+-+=)()(23121b b b b b b n …)(1--+n n b b+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=231311 (1)31-⎪⎭⎫⎝⎛+n ⎪⎭⎫⎝⎛-=n 31123 因而⎪⎭⎫⎝⎛-=n n b 31123，∈n N *． ……………………………〔8分〕 n n n b a c ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=n n 31123)12(，∴n S ++=21c c …n c +]531[23+++=…+++--+32353331()12(n …)312n n -+令=n T +++32353331…n n 312-+ ①那么=n T 31+++432353331 (131)2332+-+-+n nn n ② ①-②，得=n T 32+++323131(231…1312)31+--+n n n 11312)311(3131+----+=n n n ∴n n n T 311+-=．又+++531…2)12(n n =-+．∴)311(232n n n n S ++-=． ……………………………〔12分〕20. 解：〔Ⅰ〕设M ,N 两点的横坐标分别为1x ,2x ， ∵21)(x t x f -='，∴切线PM 的方程为:))(1()(12111x x x tx t x y --=+-， 又∵切线PM 过点)0,1(P ，∴有)1)(1()(012111x x tx t x --=+-， 即02121=-+t tx x ， ………………………………………………〔1〕 …… 4分 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………〔2〕 由〔1〕、〔2〕，可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，∴⎩⎨⎧-=⋅-=+. ,22121t x x t x x ………………〔 * 〕 ……………………… 6分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=， 把〔 * 〕式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………7分〔Ⅱ〕当点M ,N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，∵21x x ≠，1212)(x x x x t =+∴． ………………〔3〕 …………… 9分 把〔*〕式代入〔3〕，解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………13分 21. 解答：〔1〕由题意：211g (x)0x sin xθ'=-+≥在[)1,+∞上恒成立，即2sin 1sin x x θθ-0≥ (0,),sin 0,xsin 10θπθθ∈∴>≥故-在[)1,+∞上恒成立，只需sin 110,sin 1sin 102πθθθθπθ⋅-≥≥∈即,只有=,结合（，），得=．… 4分〔2〕由〔1〕得x x m mx x g x f ln 2)()(--=-，22mx 2x m(f(x)-g(x))=x -+'，由于)()(x g x f -在其定义域内为单调函数，那么22mx 2x m 0mx 2x m 0-+≥-+≤或者在[)1,+∞上恒成立，即222x 2x m m 1x 1x ≥≤++或者在[)1,+∞上恒成立， 故m 1m 0≥≤或者，综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞． ……9分〔3〕构造函数)()()()(x h x g x f x F --=，m 2eF(x)mx 2ln x x x=---， 当m 0≤时，由[]x 1,e ∈得，m 2emx 0,2ln x 0x x-≤--<， 所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得000f (x )g(x )h(x )->；当m>0时，2222m 22e mx 2x m 2e(F(x))m x x x x-++'=+-+=， 因为[]x 1,e ∈，所以22e 2x 0,mx m 0,F x))>0'-≥+>所以（（在[)1,+∞上恒成 立，故F (x )在[]x 1,e ∈上单调递增，max 2m m 4eF(x)me 4,me 4>0,m>e e e 1=-----只要解得， 故m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭．…… 14分 另法：〔3〕222ln ,1e x x m x +>- 令222ln (),1e x x F x x +=-[]22'22(22)ln (242)()0()1,,(1)x x x ex F x F x e x --+--=<∴-在上递减 min 2244().11e e F x m e e =∴>--。
湖北省部分重点学校联考2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题(含答案解析)
湖北省部分重点学校联考2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}21A x lg x =，{}|210B x x =<<，则A B =（ ） A ．{210}x x << B ．{2}x x > C ．{510}x x << D ．{5}x x >2．若复数|13i |12iz -=-，则i z 的实部为（ ）A ．B ．CD 3．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()||cos f x x x =B ．()sin f x x x =+C ．2()sin f x x x =D ．2()cos f x x x =+4．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论．甲：该圆经过点(2,2)．乙：丙：该圆的圆心为(1,0)．丁：该圆经过点(3,0)．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丙或丁5．已知,,αβγ是三个不同的平面，且m αγ=，n βγ=，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．按照小李的阅读速度，他看完《红楼梦》需要40个小时.2021年10月20日，他开始阅读《红楼梦》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《红楼梦》的日期为（ ）A ．2021年11月8日B ．2021年11月9日C ．2021年11月10日D ．2021年11月11日7．如图，矩形ABCD 与矩形DEFG 全等，且CG GD =，则AC =（ ）A ．2BG DF -+B ．BG DF -+C ．2BG DF -+D ．122BG DF -+8．已知3321.584log 3 1.585,1.584 3.97,1.585 3.98<<≈≈.设()()2334log log 4,log log 2a b ==，()42log log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<二、多选题9．已知曲线C 的方程为()22220ax ay x y a +--=∈R ，则（ ）A ．曲线C 可能是直线B ．当1a =时，直线30x y +=与曲线C 相切C ．曲线C 经过定点D ．当1a =时，直线20x y +=与曲线C 相交10．在正项等比数列{}n a 中，44a =，则（ ） A ．358a a +≥B ．3514a a +的最小值为1 C．2611242aa-⎛⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D411．已知函数()242,0,21,0,x x x x f x x ⎧-+≥=⎨+<⎩则（ ）A ．x ∀∈R ，()2f x ≥-B ．x ∃∈R ，()()f x f x =-C ．直线910y =与()f x 的图象有3个交点 D ．函数()()sin g x f x x =-只有2个零点12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2(32)()x x f x x f x '+<+恒成立，则必有（ ）A ．(3)20(1)f f >B ．(2)6(1)f f <C ．13(1)162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．(3)3(2)f f <三、填空题13．已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：________．（用一般式方程表示）①倾斜角为30︒；②不经过坐标原点．14．若函数()f x ==a ___________.15．若函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与直线1y =只有两个公共点，则ω的取值范围是___________.四、双空题16．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为2，则该正八面体外接球的体积为___________3cm ；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________cm .五、解答题17．已知锐角α满足tan 4sin αα=． （1）求tan α； （2）若3tan()tan 29αβα+=-，求tan tan βα．18．设[]x 表示不大于x 的最大整数.数列{}n a 的通项公式为()*41N 3n n a n +⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. （1）求1a ，2a ，3a ，4a ；（2）设3437n n n b a a ++=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,//,,1ABCD AB CD AB BC PA PD ⊥==，1BC CD ==，2,AB E =为PB 的中点．（1）证明：//CE 平面PAD ． （2）求二面角P AB D --的余弦值．20．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,tan 2tan b c A C ==. （1）求A ；（2）若D 为BC 的中点，AD =ABC 内切圆的半径. 21．已知圆M 经过函数265y x x =-＋的图象与坐标轴的3个交点． （1）求圆M 的标准方程；（2）若点P 为圆N ：22(2)1x y +-=上一动点，点Q 为圆M 上一动点，点A 在直线2y =-上运动，求AP AQ +的最小值，并求此时点A 的横坐标． 22．已知函数()(2)e x f x x a =-. （1）求()f x 的单调区间（2）若()f x 的极值点为12-，且()()()f m f n m n =≠，证明：3()0ef m n -<+<.参考答案1．C 【分析】解对数不等式化简集合A ，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】(){}(){}{}{}lg 21lg 2lg102105A x x x x x x x x ====，{}|210B x x =<<所以{}|510A B x x ⋂=<<. 故选：C 2．A 【分析】先利用复数的除法化简复数z ，再利用复数的乘法结合复数的概念求解. 【详解】因为)()()12i |13i |12i 12i 12i z +-===--+，所以i i z ⎫==⎪⎪⎝⎭，所以i z 的实部为 故选：A 3．A 【分析】根据图象的对称性及特殊点，即可作出判断. 【详解】由图可知，()f x 的图象关于y 轴对称，则()f x 是偶函数，排除B 和C ， 又(0)0f =，排除D . 故选:A . 4．D 【分析】由圆的定义和两点间的距离公式计算可得选项. 【详解】解：当选择甲、乙、丙三位同学的结论时，计算可得点(2,2)到圆心(1,0)的距离为=该圆经过点(2,2)，所以同学甲、乙、丙正确，丁错误；当选择甲、乙、丁三位同学的结论时，存在经过点(2,2)和点(3,0)但点(3,0)到(1,0)的距离为132-=≠(1,0)不是圆心，则同学甲、乙、丁正确，丙错误； 当选择甲、丙、丁三位同学的结论时，可知圆心到两点距离不相等，故此情况不成立；当选择乙、丙、丁三位同学的结论时，点(3,0)到(1,0)的距离为132-=≠成立；综上可得丙或者丁结论是错误的， 故选：D. 5．D 【分析】根据几何模型，结合充分条件和必要条件的定义可判断. 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若11ABC D 为α，11BB D D 为β，11ABB A 为γ，则AB m =，1BB n =，满足m n ⊥，但α不垂直于β，故充分性不成立；若11ABB A 为α，1111D C B A 为β， 11ABC D 为γ，则AB m =，11C D n =，满足αβ⊥，但m 不垂直于n ，故必要性不成立； 故选：D6．B 【分析】由题意，从2021年10月20日开始到读完的前一天，他每天阅读《红楼梦》的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为20，公差为10，进而根据等差数列的求和公式建立不等式，最后解得答案. 【详解】根据题意，从2021年10月20日开始到读完的前一天，他每天阅读《红楼梦》的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为20，公差为10，则(1)201040602n n n -+⨯>⨯，整理得()234800N*n n n +->∈，易知数列()23480N*n b n n n =+-∈是递增数列，且2021200,240b b =-<=>，所以他恰好读完《红楼梦》共需要21天，而10月有31天，故他恰好读完《红楼梦》的日期为2021年11月9日. 故选：B. 7．B 【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设1AD =，再根据题意得其他边长，从而写出各点坐标，表示出向量,,AC BG DF ，即可得三者的等量关系. 【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ， 设1AD =，因为矩形ABCD 与矩形DEFG 全等，且CG GD =， 所以2AB =，则(1,2),(0,2),(1,1),(1,0),(3,1)C B G D F ， 所以(1,2),(1,1),(2,1)AC BG DF ==-=， 故AC BG DF =-+. 故选：B8．B 【分析】通过比较a ，b ，c 与0的大小关系，确定b 为三个数中的最小数，再通过作差法比较()232log 4log 3，的大小关系，由此确定a ，c 的大小，由此确定正确选项.【详解】()()2343421log 0,log log 40,log log 302b ac =<==>>. 因为321.584log 3 1.585,1.585 3.984<<≈<，所以()()()232223222224log 3log 4log 4log 3log 30log 3log 3-⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，所以()232log 4log 3>， ∴ ()24342log log 4log (log 3)>，即c a < 从而b c a <<. 故选：B. 9．ACD 【分析】当0a =时，写出曲线C 的方程，可知表示直线，故A 正确；将曲线C 的方程转化为()2222a x y x y +=+，令220220x y x y ⎧+=⎨+=⎩求出,x y ，即可判断C 选项；当1a =时，得曲线C 的方程()()22112x y -+-=，可知此时曲线C 表示圆，且圆心为()1,1C，半径R 到直线的距离公式，分别求出()1,1C 到直线30x y +=和到直线20x y +=的距离，并与R 比较，从而可判断直线与圆的位置关系，即可判断BD 选项. 【详解】解：当0a =时，曲线C 的方程为：220x y --=，表示直线，故A 正确；由22220ax ay x y +--=，得()2222a x y x y +=+，令220220x y x y ⎧+=⎨+=⎩，得0x y ==，所以曲线C 经过定点()0,0，故C 正确；当1a =时，曲线C 的方程为：22220x y x y +--=，即()()22112x y -+-=， 此时曲线C 表示圆，且圆心为()1,1C，半径R = 因为()1,1C 到直线30x y +=的距离1d =≠ 所以直线30x y +=与曲线C 不相切，故B 错误；()1,1C 到直线20x y +=的距离2d =< 所以直线20x y +=与曲线C 相交，故D 正确. 故选：ACD. 10．AB 【分析】AB 选项，先根据等比数列的性质得到432516a a a ==，再利用基本不等式进行求解，C 选项，先得到226416a a a ==，结合指数运算及指数函数单调性和基本不等式进行求解；D 选项，平方后利用基本不等式，结合226416a a a ==进行求解.【详解】正项等比数列{}n a 中，44a =，故432516a a a ==，由基本不等式得：358a a +≥=，当且仅当354a a ==时，等号成立，此时4n a =，故A 正确；310a >，540a >，由基本不等式得：35141a a +≥，当且仅当3514a a =，32a =，58a =时等号成立，此时公比2q满足题意，B 正确；因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以26264211111242222aaa a +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎝⎭=当262a a =即2a =6a =C 错误；因为20a >，60a >，所以2264416a a a =++≥==，当且仅当26a a =时等号成立，故2442a a qq =，且0q >，解得：1q =，4，的最小值为4，故D 错误. 故选：AB 11．ABD 【分析】先利用二次函数、指数函数的单调性得到每一段上的函数值的取值范围，进而确定()f x 的值域，即选项A 正确；作出()f x 的图象，利用21(0)x y x -=+>、21(0)x y x =+<及242(0)y x x x =-+>的图象判定选项B 正确；直线910y =与()f x 的图象判定选项C 错误；由()f x 与sin y x =的图象的交点个数确定选项D 正确. 【详解】对于A ：当0x ≥时， 2242(2)22x x x -+=--≥-，当0x <时，1212x <+<, 所以()2f x ≥-成立， 即选项A 正确；对于B ：作出()f x 的图象（如图所示），由图象，得21(0)xy x -=+>与21(0)x y x =+<的图象关于y 轴对称，且与242(0)y x x x =-+>有交点，即x ∃∈R ，()()f x f x =-， 即选项B 正确；对于C ：由图象，得直线910y =与()f x 的图象只有2个交点， 即选项C 错误；对于D ：()()sin g x f x x =-的零点个数等于 ()f x 的图象与sin y x =的图象的交点个数，由图可知，()f x 的图象与sin y x =的图象的交点个数为2， 即选项D 正确. 故选：ABD. 12．BD 【分析】首先根据条件构造函数()()32f xg x x x =+，0x >，根据()()()()()()322232320f x x x f x x x g x xx+-'+'+=<得到()g x 在()0,∞+上单调递减，从而得到()()()11232g g g g ⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，再化简即可得到答案. 【详解】由()()()()232x x f x x f x +'+<及0x >，得()()()()32232x x f x x x f x +'+<.设函数()()32f xg x x x=+，0x >， 则()()()()()()322232320f x x x f x x x g x xx+-'+'+=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，从而()()()11232g g g g ⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，即()()()112323212368f f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>>>，所以()()3181f f <，()()261f f <，()131162f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()332f f <.故选：BD13．10x +=（答案不唯一）. 【分析】根据一般式方程与斜率的关系，结合题意，不经过坐标原点即一般式方程中的常数项非零，即可求解. 【详解】由题意得，斜率3tan 303k ==又直线不经过坐标原点，即一般式方程中的常数项非零， 所以，直线的一个一般式方程为10x +=. 故答案为：10x +=（答案不唯一）. 14．2 【分析】先求得定义域，再利用二次函数的性质求得值域求解. 【详解】由240x x -+≥，得()f x的定义域为[0,4].因为02≤=， 所以24a =，即2a =. 故答案为：2 15．[)()17,2527,33【分析】由已知sin 1t =在,12444t ωππωππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上有两个解，数形结合可知52221242913222442k k k k πωππππππωπππππ⎧+<+≤+⎪⎪⎨⎪+≤+<+⎪⎩，求解，根据k 的取值求得结果. 【详解】因为,,0124x ππω⎡⎤∈>⎢⎥⎣⎦，所以,412444x πωππωππω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦， 令4t x πω=+，由已知得()sin 14f x x πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个解，可知sin 1t =在,12444t ωππωππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上有两个解，由题意得522()2124291322()2442k k k k k k πωππππππωπππππ⎧+<+≤+∈⎪⎪⎨⎪+≤+<+∈⎪⎩Z Z ，解得3242724()178258()k k k k k k ωω+<≤+∈⎧⎨+≤<+∈⎩Z Z 当1k ≤-时，2724178k k +<+，不等式组无解.当0k =时，3271725ωω<≤⎧⎨≤<⎩，得1725ω≤<.当1k =时，27512533ωω<≤⎧⎨≤<⎩，得2733ω<<.当2k ≥时，258324k k +<+，不等式组无解. 综上，ω的取值范围是[)()17,2527,33.故答案为：[)()17,2527,3316【分析】由已知求得正八面体的棱长为4，进而求得OA OB OC OD OP =====，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O 在正八面体内，则球O 半径的最大值为O 到平面PBC 的距离，证得OH ⊥平面PBC ，再利用相似可知OE OPOH PE⋅=，即可求得半径. 【详解】如图，记该八面体为PABCDQ ，O 为正方形ABCD 的中心，则OP ⊥平面ABCD设cm AB a =28a ⨯=4a =.在正方形ABCD 中，BD ==，则OA OB OC OD ====在直角BOP △中，知OP =，即正八面体外接球的半径为R =故该正八面体外接球的体积为334cm 3π⨯=. 若球O 在正八面体内，则球O 半径的最大值为O 到平面PBC 的距离. 取BC 的中点E ，连接PE ，OE ，则OE BC ⊥， 又OP BC ⊥，OP OE O ⋂=，BC ∴⊥平面POE过O 作OH PE ⊥于H ，又BC OH ⊥，BC PE E ⋂=，所以OH ⊥平面PBC ，又POEOHE ，OH OE OP PE ∴=，则OE OP OH PE ⋅=，.17．（1（2）2. 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系可求得1cos 4α=，再由同角三角函数的平方关系求得sin α=（2）根据正切函数的和角关系可解得tan β=.解：因为tan 4sin αα=，所以sin 4sin cos ααα=，所以1cos 4α=，所以sin α=所以tan 4α== （2）解：因为3tan()tan 29αβα+=-，所以tan tan 3tan 1tan tan 29αβααβ+=--，又tan α==tan β=所以tan 2tan βα=，故tan 2tan βα=. 18．（1）1；3；4；5. （2）3681n nS n =+.【分析】（1）由()*41N 3n n a n +⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，结合[]x 的定义，准确运算，即可求解； （1）根据题意求得3445n a n +=+，3749n a n +=+，得到111144549n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，结合裂项法求和，即可求解. （1）解：由题意，数列{}n a 的通项公式为()*41N 3n n a n +⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 可得1513a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2933a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，31343a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，41753a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.（2）解：由题意，可得()3443412454533n n a n n +⎡⎤++⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，37249493n a n n +⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 所以()()11111454944549n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 故111111111149131317454949493681n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.（1）证明见详解 （2【分析】（1）作PA 中点F ，连接,EF DF ，证四边形EFDC 为平行四边形可证//EC FD ，进而得证； （2）作AD 中点M ，MN AB ⊥于N ，DQ AB ⊥于Q ，连接PN ，由二面角定义可证PNM ∠为二面角P AB D --的平面角，结合几何关系可求二面角P AB D --的余弦值． （1）证明：作PA 中点F ，连接,EF DF ，因为,E F 为PAB △的中位线，所以1//2EF AB ，又因为//AB DC ，2,1AB CD ==，所以12CD//AB ，所以//EF CD ，所以四边形EFDC 为平行四边形，所以,EC//FD FD ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，所以//EC 平面PAD ；（2）作AD 中点M ，MN AB ⊥于N ，DQ AB ⊥于Q ，连接PN ，因为1BC CD ==，2,AB =//AB DC ，所以Q 为AB 中点，1AQ DQ ==，AD =因为M 为AD 中点，MN AB ⊥，所以12NM =，又因为1PA PD ==，所以PAD △为等腰直角三角形，PM AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PM ⊥底面ABCD ，又因为AB平面ABCD ，所以PM AB ⊥，NMPM M =，所以AB ⊥平面PNM ，又因为PN ⊂平面PNM ，所以AB PN ⊥，即PNM ∠为二面角P AB D --的平面角，2tan 12PM PNM MN ∠===cos PNM ∠P AB D --20． （1）3A π=（2 【分析】（1）由tan 2tan A C =，得sin 2sin cos cos A CA C=，根据两角和差公式化简得sin()3sin cos A C C A +=，再由正弦定理边角互化，两式联立即可求得角A ；（2）由题意，可得2AD AB AC =+，左右平方，代入23b c =，即可求出,b c 的值，再由余弦定理求解出a ，分别计算出ABC 周长与面积，利用内切圆半径计算公式代入求解即可. （1）∵tan 2tan A C =，∴sin 2sin cos cos A CA C=， ∴sin cos 2sin cos A C C A =，∴sin cos cos sin 3sin cos A C A C C A +=， ∴sin()3sin cos A C C A +=，即sin 3sin cos B C A =.∵23b c =，∴2sin 3sin B C =，即3sin sin 2B C =，∴3sin 3sin cos 2C C A =， ∵sin 0C >，∴1cos 2A =， 又(0,)A π∈，∴3A π=.（2）∵2AD AB AC =+，∴22224||()2cos AD AB AC c b bc A =+=++，∵23b c =，∴222331762222c c c ⎛⎫=++⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =，6b =由余弦定理，得2222cos 28=+-=a b c bc A ，则a =从而ABC 的周长为10a b c ++=+1sin 2ABCSbc A ==设ABC 内切圆的半径为r ，则1()2ABCa b c r S++=，故r ==【点睛】一般利用正弦定理边角互化时，需要注意三个内角之间的关系，化简计算时还需要用到三角恒等变换的公式，注意公式的灵活应用. 21．（1）22(3)(3)13x y -+-=（2）最小值为1；点A 的横坐标为43【分析】（1）求得函数的图象与坐标轴的3个交点，设设(3,)M b ，根据MB MC =，求得3b =，进而求得圆的方程；（2）求得圆N 关于直线2y =-对称的圆E 22(6)1x y ++=，设(,2)A x -，得到当A ，E ，M 三点共线时，||||AP AQ +取得最小值，求得其最小值，结合ME AE k k =，即可求解． （1）解：因为函数265y x x =-+的图象与坐标轴的3个交点分别为(0,5)B ，(1,0)C ，(5,0)D ， 根据题意，设圆M 的圆心坐标为(3,)M b ，由MB MC ==3b =，则||MC = 故圆M 的标准方程为22(3)(3)13x y -+-=． （2）解：设圆N 关于直线2y =-对称的圆为圆E ，则圆E 的方程为22(6)1x y ++=． 设(,2)A x -，则当A ，E ，M 三点共线时，||||AP AQ +取得最小值，且||||AP AQ +的最小值为||111ME ==， 此时可得ME AE k k =，即36263x +-+=，解得43x =，故点A 的横坐标为43．22．（1）单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （2）证明见解析 【分析】（1）求导()(22)e x f x x a +-'=，由()0f x '<，()0f x '>求解；（2）由（1）结合()f x 的极值点为12-，由2122a -=-，得到1a =，()(21)e x f x x =-，作出函数()f x 的大致图象，不妨设m n <，根据()()()f m f n m n =≠，得到1122m n <-<<，再由3(1)e f -=-，将证明3()0e f m n -<+<，转化为证明1m n +<-即可.（1）解：()f x 的定义域为R ，()(22)e x f x x a +-'=， 由()0f x '=，得22a x -=. 当2,2a x -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当2,2a x -⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>. 所以()f x 的单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）证明：由（1）可知，由()f x 的极值点为12-，得2122a -=-， 所以1a =，()(21)e x f x x =-.当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则函数()f x 的大致图象，如图所示；不妨设m n <，若()()()f m f n m n =≠，由图象知：1122m n <-<<， 又3(1)ef -=-，所以要证3()0ef m n -<+<，即证1m n +<-，当32m ≤-时，1m n +<-，3(1)()0e f f m n -=-<+<.当3122m -<<-时，111,22m ⎛⎫--∈- ⎪⎝⎭，1()(1)(21)e (23)e m m f m f m m m -----=----，=211(21)e 23e m m m m ++-++，31,22m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 设21()(21)e 23x h x x x +=-++，31,22x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则21()4e 2x h x x +'=+，31,22x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，令()21()4e2x g x h x x +==+'，则21()(48)e 0x g x x +='+<，所以()h x '在31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()02h x h ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭''，()h x 在31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，则1()02h x h ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，所以()(1)()(1)0f m f m f n f m ---=---<，即()(1)f n f m <--，答案第17页，共17页 又因为n ，111,22m ⎛⎫--∈- ⎪⎝⎭，且()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， 所以1n m <--，即1m n +<-， 则3()0ef m n -<+<. 综上，3()0ef m n -<+<.。
2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析
2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=（）A． {x|﹣1≤x≤1} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x≤1} D．φ2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（） A． 2 B． 2 C． 4 D． 83．设函数，则的值为（）A． B． C． D．4．若的值（）A． B． C． D．5．已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A． 9 B． 10 C． 11 D． 126．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 27．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为（）A．或 B． C．或 D．8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．9．若x，y满足不等式，则2x+y的最小值为（）A．﹣4 B． 3 C． 4 D． 010．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（） A． [﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C． [﹣8，+∞） D．（﹣8，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9= ．12．已知=（1，2），=（1，1），且向量与+m垂直，则m= ．13．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的对称中心坐标是．14．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．15．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③已知直线l1：ax+2y﹣1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．已知向量=（2cosx，2sinx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．18．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和T n=b1+b2+…+b n．19．△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、b、c，己知A=，，b=1．（1）求a的长及B的大小；（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣的值域．20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21．已知函数f（x）=e x﹣kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：当k＞ln2﹣1且x＞0时，f（x）＞x2﹣3kx+1．xx学年山东省菏泽市曹县三桐中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=（）A． {x|﹣1≤x≤1} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x≤1} D．φ考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={x|={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y=2x2，x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．点评：本题考查函数的定义域与函数的值域，交集的求法，考查计算能力．2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 8考点：复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．解答：解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．3．设函数，则的值为（）A． B． C． D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：分段函数的求值问题，必须分段考虑，由于，故利用下面一个式子求解．解答：解：由于，∴=．故选D．点评：本题考查分段函数的求值问题，“分段函数”是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，它是一个函数，解决分段函数的基本策略是：分段解决．4．若的值（）A． B． C． D．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用．专题：计算题．分析：利用诱导公式求得cos（α+）=，利用二倍角的余弦公式求得的值．解答：解：∵，∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=．∴=cos2（α+）=2﹣1=，故选A．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．5．已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A． 9 B． 10 C． 11 D． 12考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得 a1a n=a1=3，再由所有项的积为a1•a1q•…=243=35①，倒序可得…•a1q•a1=35②，①②对应项相乘可得 =310，解得 n的值．解答：解：设等比数列的公比等于q，a1a2a3=3，且 a n﹣2a n﹣1a n=9，两式相乘可得 a1a n=a1=3．再由所有项的积为a1•a1q•…=243=35①，…•a1q•a1=35②，把①②对应项相乘可得 =35•35=310，解得 n=10，故选B．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．6．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由等比数列可得x+3y=1，可得+=（+）（x+3y）=2+，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，∴3x•33y=3x+3y=3，即x+3y=1，∴+=（+）（x+3y）=2+≥2+2=4，当且仅当即x=3y=时取等号，∴+的最小值为：4故选：C点评：本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为（）A．或 B． C．或 D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先利用正弦定理将边转化为角，再切化弦，利用和角的正弦公式，化简即可求得角A．解答：解：∵∴∴∴∴∵角A是△ABC的内角∴A=故选D．点评：本题考查正弦定理的运用，考查和角的正弦公式，解题的关键是利用正弦定理将边转化为角．8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（） A． B．C． D．考点：函数的图象与图象变化；函数图象的作法．专题：计算题．分析：根据函数y=a x与y=log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x对称，从而对选项进行判断即得．解答：解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=a x，的图象过（1，0），观察图象知，只有C正确．故选C．点评：本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．9．若x，y满足不等式，则2x+y的最小值为（）A．﹣4 B． 3 C． 4 D． 0考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，设z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线过A（﹣1，﹣2）时，z有最小值，等于2×（﹣1）﹣2=﹣4．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（） A． [﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C． [﹣8，+∞） D．（﹣8，+∞）考点：特称命题．专题：常规题型．分析：题中条件：““∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题”说明只要存在x∈[1，2]，保证x2+2x+a≥0即可，据二次函数的图象与性质得，只要在x=2处的函数值不小于0即可，从而问题解决．解答：解：设f（x）=x2+2x+a，要使∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0，据二次函数的图象与性质得：只要：f（2）≥0即可，∴22+2×2+a≥0，∴a≥﹣8．故选C．点评：本小题主要考查特称命题、特称命题的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9= 45 ．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由数列{a n}为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a7=2a5，由a3+a7的值，求出a5的值，然后利用等差数列的求和公式表示出数列的前9项和S9，利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a3+a7=2a5，又a3+a7=10，∴2a5=10，即a5=5，则该数列的前9项和S9==9a5=45．故答案为：45点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．12．已知=（1，2），=（1，1），且向量与+m垂直，则m= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵向量=（1，2），=（1，1），∴+m=（1，2）+m（1，1）=（1+m，2+m）．∵与+m垂直，∴•（+m）=1+m+2（2+m）=0，解得m=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．13．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的对称中心坐标是（，0），k∈Z ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角将函数进行化简，即可求函数的对称中心．解答：解：y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由2x+=kπ，解得x=，故f（x）的对称中心坐标为（，0），k∈Z故答案为：（，0），k∈Z点评：本题主要考查三角函数的性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．14．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点．专题：数形结合法．分析：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解答：解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，15．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③已知直线l1：ax+2y﹣1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是①④（填上所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定．专题：综合题．分析：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，可由命题的否定的书写规则进行判断；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真，可由不等式的运算规则进行判断；③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），可由函数单调性与导数的关系进行判断．解答：解：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，此是一个正确命题；②由于其逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故逆命题为真不正确；③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立，故不正确；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），由于两个函数是一奇一偶，且在x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，故当x＜0，f′（x）＞g′（x），成立，此命题是真命题．综上①④是正确命题故答案为①④点评：本题考查命题的否定，函数的单调性与导数的关系，及不等式关系的运算，涉及到的知识点较多，解题的关键是对每个命题涉及的知识熟练掌握，且能灵活运用它们作出判断．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）设出公差d，由a1，a3，a9成等比数列得关于d的一元二次方程，解得d=1，d=0，{a n}是公差不为零的等差数列，d=1，再由a1=1，代入通项公式可求解；（2）由（1）知，d=1，又已知a1=1，{a n}是等差数列，选择含有首项a1和公差d等差数列的前n项和公式代入即可．解答：解：（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列，得（1+2d）2=1×（1+8d），即d2﹣d=0，…（4分）解得d=1，d=0（舍去），…（6分）故{a n}的通项a n=1+（n﹣1）×1=n．…（9分）（2）由（Ⅰ）及等差数列前n项和公式得…（14分）点评：本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，已知数列为等差数列，求通项公式，求首项和公差即可；求前n项和时，有两个公式，结合已知，选择一个最易计算的公式．17．已知向量=（2cosx，2sinx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=+．即可得出函数f（x）的最小正周期．．（2）由，解得，k∈Z．即可得出函数f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）函数f（x）=﹣===+．∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）由，解得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．点评：本题考查了向量的数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和T n=b1+b2+…+b n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）令n=1求出首项，然后根据4a n=4S n﹣4S n﹣1进行化简得a n﹣a n﹣1=2，从而得到数列{a n}是等差数列，直接求出通项公式即可；（Ⅱ）确定数列通项，利用错位相减法，可求数列的和．解答：（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）=a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，∴a n=2n﹣1；（Ⅱ）解：=∴T n=b1+b2+…+b n=++…+﹣﹣﹣①∴T n=++…++﹣﹣﹣②①﹣②T n=+2（++…+）﹣=∴T n=1﹣．点评：本题主要考查了数列的递推关系，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．19．△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、b、c，己知A=，，b=1．（1）求a的长及B的大小；（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣的值域．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，利用等边对等角确定出B的度数即可；（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答：解：（1）∵△ABC中，A=，c=，b=1，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+3﹣3=1，即a=1，则A=B=；（2）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由0＜x＜，得到＜2x+＜，即＜sin（2x+）≤1，则函数的值域为（，2]．点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？考点：利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可．解答：解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，．令h'（x）=0，得x=80．当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．21．已知函数f（x）=e x﹣kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：当k＞ln2﹣1且x＞0时，f（x）＞x2﹣3kx+1．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）若k=e，利用导数求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，只需转化为f（x）＞0对任意x ≥0成立即可．（Ⅲ）利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式．解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f'（x）=e x﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=e x﹣k=0得x=lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）=e x﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，lnk） lnk （lnk，+∞）f'（x）﹣ 0 +f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依题意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）由题，f（x）＞x2﹣3kx+1，即e x﹣kx＞x2﹣3kx+1⇔e x﹣x2+2kx﹣1＞0记g（x）=e x﹣x2+2kx﹣1，则g'（x）=e x﹣2x+2k，记h（x）=e x﹣2x+2k则h'（x）=e x﹣2，得h'（x）＞0⇔e x＞2⇔x＞ln2因此，h（x）在（﹣∞，ln2）上递减，在（ln2，+∞）上递增；得h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2+2k；因为，k＞ln2﹣1，可得h（x）min=2﹣2ln2+2k＞0所以，g'（x）＞0，说明g（x）在R上递增，因此，当x＞0时有g（x）＞g（0）=0由上，e x﹣x2+2kx﹣1＞0，因此得f（x）＞x2﹣3kx+1；点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数的应用，考查学生的运算能力．33503 82DF 苟M36713 8F69 轩@*25189 6265 扥-b <33226 81CA 臊36351 8DFF 跿28230 6E46 湆。
湖北山东部分重点中学2021届高三12月教学质量联合检测数学试卷
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湖北山东部分重点中学2021届高三12月教学质量联合检测 数学
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【解析】当
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2021年高三上学期12月联考试题 数学(文) 含答案
2021年高三上学期12月联考试题 数学（文） 含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是 （ ）A ．1B ．C ．D ．2．已知集合，，则( )A ． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）A ．4B ．1C ．D ．4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（ ）A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝5a n ＋1，则数列的公比q ＝（ ）A ．2或12 B. 2 C ．12D ．-2 7．若,则,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。
特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。
在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。
如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 411．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）Array二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年湖北省部分学校高三上学期12月联考数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖北省部分学校高三上学期12月联考数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则()A. B.C.D.2.()A.B.C.D.3.已知向量，满足，且，则()A.1B.2C. D.4.直线关于y 轴对称的直线方程是() A.B.C.D.5.如图，在棱长都相等的正三棱柱中，P 为棱的中点，则直线与直线BP 所成的角为()A. B.C.D.6.已知是第一象限角，且，则()A.B.C.D.7.已知数列的前n 项和为，且，若恒成立，则k 的最小值是()A.B.4C.D.58.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，，若在区间上存在不动点，则a的取值范围是()A. B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则()A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为10.在椭圆中，F 为椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，B 为椭圆C 短轴上的顶点，若椭圆C 的离心率为，则()A.B.C.大于D.11.已知函数的定义域为，，则()A.B.C.为奇函数D.没有极值点12.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则()A.这两个球体的半径之和的最大值为B.这两个球体的半径之和的最大值为C.这两个球体的表面积之和的最大值为D.这两个球体的表面积之和的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三(上)12月月考数学试卷(理科)含解析
2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB 的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简评：求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．27369 6AE9 櫩29240 7238 爸•332196 7DC4 緄x940318 9D7E 鵾F25668 6444 摄038532 9684 隄_37108 90F4 郴T。
2021年高三数学12月校际联合检测试题 理
2021年高三数学12月校际联合检测试题 理本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则等于A. B. C. D.2.命题“对任意都有”的否定是A.对任意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得3.设为平面，为直线，则的一个充分条件是A. B.C. D.4.已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为A. B. C.6 D.5.设的图象是将函数向左平移个单位得到的，则等于A.1B.C.0D.6.等差数列中的是函数的极值点，则等于A.2B.3C.4D.57.函数的图象大致为8.某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于A.30B.12C.24D.49.函数是定义在R上的偶函数，且满足时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D.10.已知实数满足约束条件若，设表示向量在向量方向上射影的数量，则z的取值范围是A. B. C. D.第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.向量满足的夹角为60°，则___________.12.在中，的面积为，则BC 的长为___________.13.由直线，曲线及轴所围成的图形的面积是___________.14.设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________________.15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M ，使得函数的值域包含于区间.例如，当()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，.现有如下命题：①设函数的定义域为D ，则“”的充要条件是“”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则④若函数()()()2ln 22,1x f x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则. 其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知函数.（I ）求函数的单调递减区间；（II ）设时，函数的最小值是，求的最大值.17.（本小题满分12分）已知函数在区间上有最小值1和最大值4，设.（I ）求的值；（II ）若不等式在区间上有解，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE 为矩形，平面平面ABCD ，CF=1.（I ）求证：平面ACFE ；（II ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB所成二面角的平面角为，试求的取值范围.19.（本小题满分12分）已知数列满足，等比数列为递增数列，且.（I ）求；（II ）令，不等式的解集为M ，求所有的和.20.（本小题满分13分）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带.（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（I）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；（II）试确定的值，使得绿化带总长度最大.21.（本小题满分14分）已知二次函数（为常数，）的一个零点是.函数，设函数.（I）求的值，当时，求函数的单调增区间；（II）当时，求函数在区间上的最小值；（III）记函数图象为曲线C，设点是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M 作轴的垂线交曲线C于点N.判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由.xx 年高三校际联合检测理科数学参考答案 xx.12一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.解析：答案B,,∴ ,又∵ ,∴.2.解析：答案D ．因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意都有”的否定是：存在，使得．故应选D ．3.解析:答案D,对于选项D ：因为，所以，又因为所以.4．解析：答案B,由是定义在上的奇函数得，,选B.5. 解析：答案D ，由向左平移个单位得到的是，则.故选D.6.解析：答案A ，.因为，是函数的极值点,所以，是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以, 即,从而,选A.7.解析：答案A. 首先由为奇函数，得图象关于原点对称，排除C 、D ，又当时，知，选A.8.解析：答案C.由图可得几何体的直观图如右图，可得此几何体的体积等于×3×4×5-××3×4×3=24.9.解析：答案A ，由可得函数的周期为2，当时，，又为偶函数，则当时，，由得，作出和的图象，要使方程恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线的斜率必须满足，由题意可得A （﹣1，0），B （1，2），C （3，2），则，．即有．故选A ．10. 解析：答案C,画出约束条件的可行域，由可行域知：时，向量在方向上的射影的数量最大，此时，所以向量在方向上的射影的数量为；当时，向量在方向上的射影的数量最小，此时，所以向量在方向上的射影的数量为.所以的取值范围是. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．解：答案，由得：, , .12．解：答案，由1133sin 6022222S AB AC AC =⨯⋅=⨯⨯=,所以,所以2222cos603BC AB AC AB AC =+-⋅=,所以.13．解：答案，由定积分的几何意义，得围成的面积2ln 24ln 21ln 2ln |ln 1221221==-==⎰x dx x .14．解：答案，由题意得，由得：在R上恒成立，等价于＞0且，可解得，则：，令，（＞0）,24422222tyt t tt==≤=++++故最大值为.15．解析：答案①③④；（1）对于命题①“”即函数值域为R，“，，”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．∴-≤≤．例如：函数满足-2＜＜5，则有-5≤≤5，此时，无最大值，无最小值．∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数，的定义域相同，且∈A，∈B，则值域为R，∈（-∞，+∞），并且存在一个正数M，使得-≤g（x）≤．∴+∈R．则+∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数（＞-2，）有最大值，∴假设＞0，当→时，→0，→，∴→，则→．与题意不符；假设＜0，当→-2时，→，→，∴→，则→．与题意不符．∴=0．即函数=（＞-2）当＞0时，+≥2，∴≤,即0＜≤；当=0时，=0；当＜0时，+≤−2，∴−≤＜0，即−≤＜0．∴−≤≤．即．故命题④是真命题．故答案为①③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．解析：（Ⅰ），令，得，的单调递减区间 . ……6分（Ⅱ），,；，令所以. ……………12分17．解：（Ⅰ），因为，所以在区间上是增函数，故，解得． …………………………6分（Ⅱ）由已知可得，所以,可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是 . …………………………12分18．解：（Ⅰ）证明：在梯形中，∵∥,,∴,∴2222cos603AC AB BC AB BC ︒=+-⋅⋅=,∴,∴,∴平面平面,平面平面,平面,∴平面. …………5分（Ⅱ）由（I ）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则，,∴ .设为平面MAB 的一个法向量，由，得,取，则，…………7分∵ 是平面FCB 的一个法向量,∴ ()()122212||cos ||||133134n n n n θλλ⋅===⋅++-⨯-+…………9分 ∵ , ∴ 当时，有最小值，当时，有最大值,∴ .…………………12分 19.解：（Ⅰ）设的首项为，公比为，所以，解得 …2分又因为，所以则，，解得（舍）或 …………4分所以 …………6分（Ⅱ）则,当为偶数，，即，不成立当为奇数，，即，因为，所以 …………9分则组成首项为，公差为的等差数列;组成首项为，公比为的等比数列则所有的和为 114510110145(11+99)2(14)2204825377247521433--++=+=-…………12分20.解析： （Ⅰ）如图，连接BC ，设圆心为O ，连接CO ，在直角三角形ABC 中，AB=100，，所以.由于，所以弧的长为． ……………………6分所以.（Ⅱ）则 ……………………8分列表如下：所以，当时，取极大值，即为最大值.答：当时，绿化带总长度最大. ……………………13分21.解析：（Ⅰ）由是函数的零点可求得.，因为，，所以，解，得，所以的单调增区间为 ……………………4分（Ⅱ）当时，由，得，，①当，即时，在上是减函数，所以在上的最小值为.②当，即时，在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值为.③当，即时，在上是增函数，所以的最小值为.综上，函数在上的最小值max 13ln 2,12411[f(x)]1ln(2),1a 4211,02a a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩， ……………………8分（Ⅲ）设，则点的横坐标为，直线的斜率22121221121[()(12)()ln ln ]a x x a x x x x x x =-+--+-- ，曲线在点处的切线斜率，假设曲线在点处的切线平行于直线，则，即，所以，不妨设，，则，令，，所以在上是增函数，又，所以，即不成立，所以曲线在点处的切线不平行于直线. ……………………14分21528 5418 吘37964 944C 鑌33052 811C 脜22421 5795 垕21443 53C3 參32244 7DF4 練y27779 6C83 沃27863 6CD7 泗tC。
2021年高三上学期12月联考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期12月联考数学（理）试题 含答案考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一：选择题：（每题5分，共60分）．1.设{}{}R x y y Q R x x y y P x ∈==∈+-==,2,,12，则 （ ） A. B. C.D.2已知为两个命题，则“是真命题”是 “是真命题”的（ ）A ．充分不必要条B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数的大致图象如图所示， 则函数的解析式应为（ ）A. B.C. D.4.已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．5. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB ，则为（ ）A. B. C. D.6. 已知函数在上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. B C. D.7.设，曲线在处的切线与轴的交点的纵坐标为，则( ) A.80 B 32 C. 192 D. 256 8. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）正视图 侧视图2231221俯视图（圆和正方形）A. 4+B. 4+C. 4+D. 4+ 9．已知=(cos π, sin π), , ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）A ．1B ．C ．2D ．10. 在椭圆（ａ＞）中，记左焦点为F,右顶点为A ，短轴上方的端点为B ，若角，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在正三棱柱中，若,则与所成的角的大小是（ ）12．如果直线与圆交于M,N 两点，且M,N 关于直线对称，动点P(a ，b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则点取值范围是（ ） A B C D二：填空题：（每题5分，共20分）． 13.计算定积分=________．14.夹在的二面角内的一个球与二面角的两个面的切点到棱的距离都是6，则这个球的半径为_______． 15.记函数的导数为，的导数为的导数为。
湖北黄冈部分普通高中2021高三数学上12月联考(解析版)
2021届湖北省黄冈市部分普通高中高三上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}ln(1)M x y x ==-，{}220N x x x =->，则M N ⋂=（ ） A ．(0,)+∞ B ．(2,)+∞C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】D【分析】先求解集合,M N ，再运算M N ⋂. 【详解】(1,)M =+∞，(0,2)N =，(1,2)M N ∴=故选：D2．复数z 在复平面内对应点的点是(1,1)-，则复数1iz -(i 是虚数单位)的虚部为（ ） A ．25i - B ．25-C ．15-D ．15i -【答案】B【分析】利用已知条件先得到1z i =-+，再利用复数的运算法则求解即可得出结果. 【详解】利用已知条件可得：1z i =-+，(2)1212(2)(2)55i i i i i z i i i --===---+-+--， ∴ 虚部为25-. 故选：B.3．在三角形ABC 中，“6A π∠=”是“1sin 2A =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题意得，当，可得1sin 2A =，而在三角形ABC 中，当1sin 2A =时，或56A π∠=，所以“”是“1sin 2A =”的充分不必要条件． 【解析】充分不必要条件的判定．4．已知2log 5a =，132log 12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 6c =，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D【分析】利用对数函数的单调性比较求解. 【详解】因为22log 53<<，132log 132⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 62<<，所以b a c >> 故选：D5．公差不为0的等差数列{}n a 中，它的前31项的平均值是12，现从中抽走1项，余下的30项的平均值仍然是12，则抽走的项是（ ） A ．12a B ．14aC ．16aD ．18a【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式及平均数的概念，进行求值即可得解. 【详解】()1313116313131122a a S a +===⨯，1612a ∴=，∵从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是12， 则抽走的项163112301212a ⨯-⨯==. 故选：C.6．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm ，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm ，现往杯子中放入一种直径为1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）A．98颗B．106颗C．120颗D．126颗【答案】D【分析】作出圆锥的轴截面图，利用比例关系，求得水所在的底面半径，分别求得圆锥和水的体积作差，然后再除以珍珠的体积即可.【详解】作出圆锥的轴截面图如图，由题意，8OP=，14O P=，3OA=，设11O A x=，则483x=，即32x=.则最大放入珍珠的体积2211338421332Vπππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯=⎪⎝⎭因为一颗珍珠的体积是341326ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭.由211266ππ=.所以最多可以放入珍珠126颗.故选：D7．已知函数122,0()log(1),0x a xf x x a x⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩()a R∈在R上没有零点，则实数a的取值范围是（）A．(1,){0}+∞B．(0,)+∞C．(,0]-∞D．(,1]-∞【答案】A【分析】将问题转化为122,0()log(1),0x xg x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩与函数y a=的图象没有交点，利用数形结合法求解.【详解】设122,0()log(1),0x xg x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，图象如图，问题转化为()g x图象与函数y a=图象没有交点，由图象可得1a>或0a=.故选：A8．已知F是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点，若直线y kx=与椭圆相交于A，B两点，且120AFB∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A．3⎫⎪⎪⎣⎭B．3⎛⎝⎦C．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】将,A B与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.【详解】连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由120AFB ∠=︒， 由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF '为平行四边形，60FAF '∠=︒，在三角形AFF '中，()22222cos 3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''=+-⋅∠=+-⋅，所以()222332AF AF AF AF FF AF AF '+⎛⎫''+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2214AF AF FF ''+≤即221444a c ⋅≤，可得1 2c e a =≥，所以椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆离心率的取值范围的求解问题，解题方法如下： （1）根据题意，结合椭圆的对称性，连接相应点，得到平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，得到角的大小；（3）根据余弦定理，列出相应等式，结合椭圆定义以及基本不等式求得结果.二、多选题9．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论为（ ）A ．直线AM 与1C C 是相交直线；B ．直线AM 与BN 是平行直线；C ．直线BN 与1MB 是异面直线：D ．直线MN 与AC 所成的角为60︒.【答案】CD【分析】根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可.【详解】结合图形，显然直线AM 与1C C 是异面直线，直线AM 与BN 是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线MN 与AC 所成的角即直线1D C 与AC 所成的角,在等边1AD C ∆中160ACD ∠=︒，所以直线MN 与AC 所成的角为60︒,综上正确的结论为C D.【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题.10．已知n S 是公比q 的正项等比数列{}n a 的前n 项和，若123a a +=，2416a a =，则下列说法正确的是（ ） A ．2qB ．数列{}1n S +是等比数列C ．8255S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC【分析】根据条件即可求出等比数列的首项和公差，然后依次判断每个选项正误即可.【详解】公比q 为正数，且232416a a a ==，34a ∴=，214a q =，又113a a q +=，解得11a =，2q.12n na ，()1122112n n nS ⋅-==--，12nn S ∴+=，∴数列{}1n S +是公比为2的等比数列.8821255S =-=，故ABC 正确，lg (1)lg 2n a n =-，数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误.故选：ABC.11．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确.【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确.当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-，因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确. 若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2711162222226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若32a π=，则21911162222226f f ππ⎛⎫⎛⎛⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD.【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.12．已知函数()ln xf x e a x =+，其中正确结论的是（ ）A ．当1a =时，()f x 有最大值；B ．对于任意的0a >，函数()f x 是()0,∞+上的增函数；C ．对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值；D ．对于任意的0a >，都有()0f x >. 【答案】BC【分析】利用导数研究函数的性质即可. 【详解】()xa f x e x'=+， 当1a =时，()ln xf x e x =+，函数xy e =，ln y x =都是单调递增函数，易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无最大值，故A 错误； 对于任意的0a >，函数xy e =，ln y a x =都是单调递增函数， 则函数()f x 是()0,∞+上的增函数，故B 正确；当0x →时，1x e →，ln x →-∞，故()f x →-∞，D 错误； 对于任意的0a <，()'xaf x e x=+，易知()'f x 在()0,∞+单调递增， 当x →+∞时，()f x →+∞，当0x →时，()f x →-∞， ∴存在()0'0f x =，当00x x <<时，()'0f x <，函数单调递减，0x x <<+∞，()'0f x >，函数单调递增，∴()()0min f x f x =，故C 正确，故选：BC【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，属于中档题.三、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为60°，且2a =，1b =，则2a b -=________.【答案】2【分析】利用平面向量数量积计算得出22a b -的值，进而可求得2a b -的值. 【详解】()222222224444cos 60a b a ba b a b a b a b -=-=+-⋅=+-⋅14442142=+-⨯⨯⨯=， 因此，22a b -=. 故答案为：2.【点睛】本题考查平面向量的模的求法，属于基础题.求平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.14．已知直线y x m =+与圆224x y +=相交于A ､B 两点，O 为坐标原点，0OA OB ⋅<且AOB 则实数m =______.【答案】【分析】根据三角形AOB 的面积求得AOB ∠，根据圆心到直线y x m =+的距离列方程，解方程求得m 的值.【详解】122sin 2AOB S AOB =⋅⋅⋅∠=△sin AOB ∴∠=0OA OB ⋅<，120AOB ∴∠=︒，∴圆心O 到直线y x m =+的距离2sin301d =︒=1=，m =故答案为：15．综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A ､B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______米.【答案】206 3【分析】结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可. 【详解】根据图形知，ABC 中，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，40AB =，由正弦定理得，40sin 30sin 45BC =︒︒，解得14022022BC ⨯==，在Rt BCD 中，30BDC ∠=︒， 所以3206tan 30202CD BC =︒=⨯=. 故答案为：206. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关解三角形的实际应用问题，解题方法如下： （1）根据题意，结合题中条件，将问题转化为解三角形问题； （2）利用正弦定理求得相应边长；（3）结合题中所给的条件，找出相应角的大小，利用三角形边角关系，求得结果.四、双空题16．四棱锥 P ABCD -各顶点都在球心为O 的球面上，且PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，4=AD ，则球O 的体积是__________；设E 、F 分别是PB 、BC 中点，则平面AEF 被球O所截得的截面面积为__________. 【答案】86π143π【分析】利用题意知6R =，利用球的体积公式可得结果；设球心O 到平面AEF 得距离为d ，截面圆半径为r ，由等体积法即可得233d =，利用勾股定理即可得到2r ，即可得出结果. 【详解】由题设知球心O 为PC 中点，AE AF EF ===则222AE EF AF +=，∴球O 直径2R R ===，∴V =球，设球心O 到平面AEF 得距离为d ，截面圆半径为r ，由题设球心O 到平面AEF 的距离等于点B 到平面AEF 的距离， 由等体积法得，O AEF E ABF V V --=，11112213232d ⨯=⨯⨯⨯⨯，求得d =， ∴222414633r R d =-=-=， 故截面面积为143π.故答案为：，143π. 【点睛】本题主要考查了球的表面积和体积公式，属于较易题.五、解答题17．已知1,22x m ⎫=⎪⎭，2cos ,12cos 22x x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()f x m n =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点______得到函数()y g x =的图象，当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()g x a =有解，求实数a 的取值范围.在以下①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①､②都做，则按①给分. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移4π个单位. 【答案】（1）最小正周期为2π；（2）条件选择见解析；30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先利用数量积、倍角公式和两角和的正弦求出()f x ，利用公式可求最小正周期. （2）利用图象变换得到()g x 的解析式，再利用正弦的性质可求其值域，从而得到所求的取值范围. 【详解】解：（1）21()3sin cos cos 2222x x x f x m n =⋅=++1cos 1sin 126x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 故函数的最小正周期为2π. （2）将()sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象按照变换①：向左平移32π个单位， 再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，可得3()sin 21cos 21266y g x x x πππ⎛⎫⎛⎫==+++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，3()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 若方程()g x a =有解，则30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 将()sin 16f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象按照变换②：纵坐标保持不变， 横坐标缩小为原来的一半，再向右平移4π个单位， 可得()sin 21sin 21263y g x x x πππ⎛⎫⎛⎫==-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，3()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若方程()g x a =有解，则30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】易错点点睛：三角函数的图象往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为2n S pn n q =++，p ，q ∈R ，n +∈N ，且36a =.数列{}n b 满足22log n n a b =.（1）求p ､q 的值； （2）设数列(){}(1)nn n a b -+的前2n 项和为2nT，证明：23n T >.【答案】（1）1p =，0q =；（2）证明见解析.【分析】（1）利用前n 项和构建关于,p q 的方程，解方程后可得,p q 的值.（2）先求出{}n b 的通项，分组求和法求出2n T ，利用数列的单调性可证题设中的不等式. 【详解】解：（1）111a S p q ==++，22142(1)31a S S p q p q p =-=++-++=+，33251a S S p =-=+，3651a p ∴==+，解得1p =.由2132a a a =+得2426q ⨯=++，解得0q =.1p ∴=，0q =.（2）等差数列{}n a 的公差21422d a a =-=-=，22(1)2n a n n =+-=∴. 22log n n a b =，222log n n b ∴=，解得2n n b =.()(1)(1)2(2)n n n n n a b n ∴-+=-⋅+-.∴数列(){}(1)nn n a b -+的前2n 项和22[(12)(34)(212)]n T n n =-++-+++-++2212221(2)222(2)(2)221(2)3nn nn n +⎡⎤----⎣⎦⎡⎤+-+-++-=⨯+=+⎣⎦--，又()22211220n n n T T ---=+>，2n T 关于n 递增，222243n T T ∴≥=+=>.【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足22sin cos 212B CA ++=， （1）求角A 的大小； （2）若a =3BA AC ⋅=-，A ∠的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.【答案】（1）3A π=；（2. 【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式可求1cos 2A =，从而可求角A 的大小. （2）先求出6bc =，再利用余弦定理可得5b c +=，由面积公式可求AT 的长. 【详解】解：（1）22sincos 212B CA ++=，即为cos 2cos()0ABC -+=， 可得22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =或cos 1A =-(舍去)， 由0A π<<，可得3A π=；（2）3BA AC ⋅=-，即为2cos33cb π=-，可得6bc =， 由22222cos ()27a b c bc A b c bc bc =+-=+--=，可得5b c +==，由ABC ABT ACT S S S =+△△△得，111sin 60sin 30sin 30222bc b AT c AT ︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒6sin 6021()sin 30552bc AT b c ︒∴===+︒⋅【点睛】方法点睛：（1）在ABC 中，三个内角满足A B C π++=或22A B C π++=，解题中注意角的关系的转化.（2）不同三角形中边角关系的转化，注意利用公共的边或相关联的角来沟通不同三角形中的边角关系. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//DF 平面PEB ；（2）求直线EF 与平面PDC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）65. 【分析】（1）取PB 中点G ，推出//FG BC ，证明四边形DEGF 是平行四边形，得到//DF EG ，然后证明//DF 平面PEB .（2）以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，求出EF ，利用空间向量的数量积求解EF 与平面PDC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，//FG BC ∴，且12FG BC =，E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =， //FG DE ∴，且FG DE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，//DF EG ∴，又DF ⊂/平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，//DF ∴平面PEB .（2）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ，PE∴⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，60BAD∠=︒，∴正三角形BAD中，BE AD⊥，以E为原点，EA，EB，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形ABCD的边长为2，则1AE ED==，2PA=，3PE=223BE AB AE=-=则点33 (0,0,0),(1,0,0),(3,0),3),(E D C P F---，∴(1DC=-30)，(1DP=，03)，设平面PDC的法向量为(n x=，y，)z，则·0·0n DCn DP⎧=⎨=⎩，即3030x zx⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得33xx z⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1z =，得(3n=-，1-，1)；又33(EF=-，设EF与平面PDC所成角为θ，∴36sin|cos|55?2EF nθ=<>=⋅=，.所以EF 与平面PDC 所成角的正弦值为6. 【点睛】对于线面角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角运算，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明. 21．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，4BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设04PAB πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）6πθ=时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低，理由见解析.【分析】（1）先由题意得到4CAP πθ∠=-，所以CP 4πθ=-，得出观光专线的总长度()1cos cos 1,0444f πππθθθθθθ=-+-=--++<<，再由导数的方法判定其单调性，即可证明结论成立；（2）设翻新道路的单位成本为()0a a >，总成本为()g θ，由（1），根据题中条件，得到()2cos 24g a πθθθ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，04πθ<<，对其求导，根据导数的方法求出最值，即可得出结果.【详解】（1）由题意，4CAP πθ∠=-，所以CP 4πθ=-，又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-，所以观光专线的总长度()1cos cos 1,0444f πππθθθθθθ=-+-=--++<<，因为当04πθ<<时，()1sin 0f θθ'=-+<，所以()fθ在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小. （2）设翻新道路的单位成本为()0a a >，总成本为()g θ， 由题意可得，()22cos 2cos 244g a a ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+-=--++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，04πθ<<，()()12sin g a θθ'=-+，令()0g θ'=，得1sin 2θ=，因为04πθ<<，所以6πθ=，当06πθ<<时，()0g θ'<，当64ππθ<<时，()0g θ'>.所以，当6πθ=时，()g θ最小.故当6πθ=时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般思路：（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性； （2）由函数在给定区间的单调性，即可求出最值.22．已知曲线()(3)(2ln )x f x x e a x x =-+-(其中e 为自然对数的底数)在1x =处的切线方程为(1)y e x b =-+.（1）求a ，b 值；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()06255e f x --<<-. 【答案】（1）1a =，2b e =--；（2）证明见解析.【分析】（1）先求()f x 的导函数，结合已知切线及切点上导数的几何意义，即可求a ，同时可得到切点坐标，又由切点在切线上求b ；（2）利用导数讨论()f x 的单调区间，根据各区间上的单调性可证明是否存在唯一极大值点，最后结合函数单调性和均值不等式求极大值点处函数值的范围，即可得出结论成立.【详解】解：（1）()(3)(2ln )xf x x e a x x =-+-，2()(2)1xf x x e a x ⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭由题意可得，(1)1f e a e '=-+=-，解得：1a =，故()(3)2ln xf x x e x x =-+-，(1)21f e =--，因此切线方程是：(1)2y e x e =---，所以2b e =--； （2）证明：由（1）可得，1()(2)xf x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，(0)x >， 令1()xh x e x=-，显然()h x 在(0,)+∞递增， 而102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0h >，故01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =， 即01x ex =，则00ln x x =-， 故()00,x x ∈时，()0'> f x ，()f x 递增；()0,2x x ∈时，()0 f x '<，()f x 递减；(2,)x ∈+∞时，()0'> f x ，()f x 递增；故0x 是()f x 唯一的极大值点，且()()0000000332ln 1315xf x x e x x x x =-+-=--<-=- 令3()13g x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()222313 ()30x g x x x -'=-=>在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故16() 6.5225g x g e ⎛⎫>=->--⎪⎝⎭，第21页 综上，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()06255e f x --<<-. 【点睛】思路点睛： 利用导数的方法判定函数极值（极值点）时，一般需要先对函数求导，解导函数对应的不等式，求出函数单调区间，再结合极值（极值点）的概念，即可求解.。
2021年高三上学期12月联考试题 数学 含答案
2021年高三上学期12月联考试题 数学 含答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ▲ ．2．如果复数为纯虚数，则= ▲ ． 3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面． 他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中 至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样 本方差中较小的一个方差是 ▲ ． 6．已知三个球的半径、、满足， 记它们的表面积分别为、、，若， 则 ▲ ．7．经过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点,记的面积为,则= ▲ ． 8．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若，则= ▲ ．9．在△ABC 中，所对边的长分别为a ，b ，c ． 已知a ＋2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则＝ ▲ ．10．如右图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．(第10题图 )BO CAy x(第4题图 )(第8题图 )（第3题WhileEnd WhilePrint b(第5题图)13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合中的元素个数为 ▲ ． 14．实数，满足如果它们的平方组成公差的等差数列，当 取最小值时，= ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）. （Ⅰ）若，为的内角，当时，求的大小；（Ⅱ）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合.当时，求实数的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1； （Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距ABCDA 1B 1C 1E离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点； （Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值； (2)令,若存在使得,求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的恒成立.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k ，使成等比数列，若数列的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 xx.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，． （Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，. （Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：； （Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围.高三数学质量检测参考答案 xx.12.18一、填空题：1． 3 2． 3． 96 4． 5．23 6． 7． 8． 9．2410． 11． 12． 13． xx 14． 二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x ON OM x f 3分当时，，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=或， . ……7分（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，的值域， ……10分 又的解为，故要使恒成立，只需，所以的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点， 所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF 平面ABC 1，AC 1平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分 同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分 因为DE 平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分 （Ⅱ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分 而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE 平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得，所以 2分，（）． ……4分 （Ⅱ）因为，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分 设，则：，恒成立， ……10分由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得（时取等号）， 恒成立得（时取等号）． ……13分答：的取值范围是． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，，解得则，所以椭圆的方程为． ……4分 （Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为，11由,化简得， 同理．所以是方程的两个不相等的实数根， . ……7分 因为，所以，所以.据,为定值得：. ……10分 （2）由（1）得，，设,则,所以，因为，所以， ……13分 所以，所以，，所以． ……16分 19．解：（Ⅰ）当时，① 若，则恒成立，函数单调递减， 又函数在的值域为，，此方程无解．……2分② 若，则．（i ）若，即时，，此方程组无解； （ii ），即时，，所以c=3； （iii ），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：． ……6分 (Ⅱ) 由，得：，， ……7分 又，对任意的,恒成立．当时，， ……8分 又时，对任意的,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即时，，实数的最小值是1，即． ……10分 (Ⅲ) 法1：由题意可知， 在上恒成立，在上恒成立； ……12分由(Ⅱ)得：在上恒成立， ……13分 ．又因为当时,，)111)(1)1x x -+≤≤-+．()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即，，，……15分 .. ……16分 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分 设，则，由下图得： ， ∴，，． ……16分20．解：（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为.因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令分别得，，，又 所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去.所以. ……4分法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（） ②①②得，又，也符合上式，所以 由于为等差数列，令，则， 因为为等比数列，则（为常数），即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于恒成立， ，所以．又，所以，故． ……4分 （Ⅱ）由，得， 设，则不等式等价于．∵，且，∴，数列单调递增. ……6分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ①当为奇数时，得； ② 当为偶数时，得，即．综上，，由是非零整数，可知存在满足条件． ……9分 （Ⅲ）易知d =0，成立． ……10分 当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-， ，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，， ，，所以公差d 的所有可能取值之和为．……16分高三数学附加题试卷参考答案 xx.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ． ……10分 22．解：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 3分又因为曲线的参数方程为（为参数）， 所以曲线的直角坐标方程为， ……6分 联立解方程组得或．根据的范围应舍去,故点的直角坐标为． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使的实数对（x ，y ）有以下6种： ，所以； ……3分（Ⅱ）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4. 有以下6种：，所以； 有以下2种：，所以； 有以下1种：，所以；有以下1种：，所以； ……7分 所以的分布列为：0 1 2 34()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：的数学期望为． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，则01120()(2)n nnn n n n n a C C C C C nC =+++++++因为，所以，所以=. ……4分 （Ⅱ）令，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑，令，则，所以， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn nn n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+精品文档，所以，……8分将、代入不等式得，，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是. ……10分I29428 72F4 狴gs22730 58CA 壊$22368 5760 坠H.39082 98AA 颪20582 5066 偦a40059 9C7B 鱻U实用文档。
2021年高三上学期12月月考试题 数学 含答案
F E 2021年高三上学期12月月考试题 数学 含答案第I 卷(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．已知复数，则z 的实部为＿＿▲＿＿．2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是______▲_______(填，，)3．命题是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是，，，则该长方体的体积是 ▲ ．5．已知圆：，若直线与圆相切，且切点在第四象限，则＿▲＿＿＿．6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切 线斜率为 ▲ ．7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移___▲______个单位长度得到．8．已知直线平面且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是_____▲_____________．9．已知点满足则点构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．10．以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 ___▲___．11．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ▲ ．12．对任意，函数满足，设 ，数列的前15项的和为，则＿▲＿＿＿＿．13．若实数，满足，则当取得最大值时，的值为 ▲ ．14．已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则___▲___.二、解答题：(本大题6小题，共90分)15．(本题满分14分)在锐角中,角、、所对的边长分别为、、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,,求的值.16．(本题满分14分)在四棱锥中，底面是正方形，为的中点． (1)求证：∥平面；(2)若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．17．(本题满分14分)如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。