高考中的数学建模问题(18页)

高考中的数学建模问题

【一】数学应用题的分析和处理

（A）解应用题的基本程序：

解应用题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际出发，经过去粗取精、抽象概括，利用学过的数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论后返回到实际问题中去验证。思路如下图：

实际问题转化为数学问题数学问题

问题解决数学解答

实际问题结论回到实际问题数学问题结论

（B）解应用题的一般程序

（1）读阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础

（2）建将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关

（3）解求解数学模型，得到数学结论一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程

（4）答将数学结论还原给实际问题的结果

( C ) 中学数学中常见应用问题与数学模型

（1）优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决

（2）预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决

（3）最（极）值问题工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值

（4）等量关系问题建立“方程模型”解决

（5）测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决

典型题例示范讲解

题1:

1.某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ， G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示 （单位：万元）。请观察图形，可以不建部分网线，而使得中心 与各部门、院系彼此都能连通（直接或中转），则最少的建网费 用（万元）是B A ．12 B ．13 C ．14 D ．16

2. 某商场在元旦促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为B

A ．130元 B.330元 C.360元 D.800元

3. 我国发射的神舟6号飞船开始运行的轨道是以地球的中心F 为一个

焦点的椭圆，测得近地点A 距地面200公里，远地点B 距地面350 公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大 视角为 （ B ） （A ）67216371arcsin 2 （B ）65716371arcsin 2 （C ）67216371arccos 2 （D ）6571

6371

arccos 2

4. 一张报纸的厚度为a ，面积为b ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面

积分别为YCY （ C ）

A ．b a 81,8

B ．b a 64

1,

64 C ．b a 1281,

128 D ．b a 256

1,256

5. 2006年度某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如下：

人

在6000，10000，14000，18000这四个数据中, 与成绩高于11级分的考生数最接近的是B

A ．6000

B ．10000

C ．14000

D ．18000

6.正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4.将3个这样均匀的四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为 C A .

641 B . 6413 C. 6437

D . 64

61

7．已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，O 为ABC ∆外心，动点P 满足

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++-+-=→→→→

OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的D

A 内心

B 垂心

C 重心

D AB 边的中点

8.一组数据中的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则

原来一组数据的平均数和方差分别是 A

A ．81.2，4.4

B ．78.8，4.4

C ．81.2，84.4

D ．78.8，75.6

题2．(06广西重点中学)某家用电器厂根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售。结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。已知该产品每件的成本是原销售价的60%。

（1）求调价后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？

（2）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？（每

件产品利润=每件产品的实际销售价一每件产品的成本价）

解：（1）设每件产品的新单价为x 元…………………………………………1分

由已知：该产品的成本是2000×60%=1200元………………………………2分 由题意：x ·80%－1200=20%（80%·x ）……………………………………3分 解得：x=1875（元）……………………………………………………………4分 ∴80%·x=1500元………………………………………………………………5分

所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后实际售价为每件1500元.……6分