高考中的数学建模问题(18页)

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《数学建模 建立函数模型解决实际问题》试卷及答案_高中数学必修第一册_人教A版

《数学建模 建立函数模型解决实际问题》试卷及答案_高中数学必修第一册_人教A版

《数学建模建立函数模型解决实际问题》试卷(答案在后面)一、单选题(本大题有8小题,每小题5分,共40分)1、某公司每小时生产零件的数量与时间的关系可以用下面哪个函数模型来表示?每天工作8小时,且生产数量随着工龄增加而增加。

A、f(t) = 100 + 2tB、f(t) = 100 + 2t^2C、f(t) = 100 + 2t^3D、f(t) = 100 + 2e^t2、一个城市为了改善交通状况,计划拓宽一条现有道路。

现有道路的宽度为10米,经过调查发现,道路的宽度每增加1米,道路的日均车流量会减少100辆。

设道路宽度从10米增加到x米,日均车流量减少的辆数为(100(x−10))。

根据上述情况,下列哪个函数模型描述了道路宽度与日均车流量之间的关系?A.(y=1000x)B.(y=1000(10−x))C.(y=1000(x+10))D.(y=1000(10−x))3、已知某工厂生产某种产品,每增加一个工人的工作效率,每天能多生产50个产品。

现有10名工人,每天能生产1000个产品。

设工人人数为x,每天生产的产品数量为y,根据题意可建立函数模型为()A. y = 50x + 1000B. y = 50x + 100C. y = 50x + 50D. y = 50x - 10004、某次数学建模活动中,参与者需要根据给定的数据建立一个线性函数模型来描述某种商品的销售量与价格之间的关系。

已知当价格为10元时,销售量为200件;当价格为15元时,销售量为150件。

若设销售量为y,价格为x,则建立的线性函数模型为()。

x)A、(y=200−53x)B、(y=−200+53C、(y=−200+5x)D、(y=−200+10x)5、在研究某种商品的需求关系时,研究人员得到一组数据如下:商品价格(元)为10, 15, 20, 25, 30,商品销售量(件)为500, 450, 400, 350, 300。

为了建立商品价格与销售量之间的关系,最适合采用的数学模型是:A. 二次函数模型B. 线性函数模型C. 几何模型D. 对数函数模型6、在解决实际问题时,以下哪个函数模型最适合描述某城市人口随时间的变化?A、一次函数模型C、对数函数模型D、幂函数模型7、若一家工厂每天生产x件产品,每件产品的成本为c元,售价为p元,每天的固定成本为f元,则该工厂的日利润y与x的关系式为:A)y = x(p - c) - fB)y = x(c - p) - fC)y = x(c - p) + fD)y = x(p - c) + f8、已知某工厂生产一批产品,根据实验数据得出每增加一个工时,产品的合格率增加2%,生产x个工时后,产品的合格率为y%,那么函数模型可以表示为:A、y = 2x + 1B、y = 2x² + 1C、y = x + 2D、y = 2x² + 2(x + 1)二、多选题(本大题有3小题,每小题6分,共18分)1、以下哪些函数模型可以用来描述现实生活中的实际问题?A. 线性函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型2、一个直角三角形的两直角边长分别为a和b,斜边长为c。

高考试题中数学建模的考查趋势分析及其教学建议

高考试题中数学建模的考查趋势分析及其教学建议
2
出面积的最大值.
二、数学建模在高中数学内容的渗透
(3)指数函数模型
例 3:(必修 1 第 57 页例 8)截住到 1999 年底,我国 人口约 13 亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确 到亿)?
二、数学建模在高中数学内容的渗透
(3)指数函数模型
一、数学建模素养的意义
(四)数学建模能力的构成 1、阅读理解能力 2、抽象概括能力 3、符号表示能力 4、模型选择能力 5、数学运算能力
一、数学建模素养的意义
1、阅读理解能力。
阅读理解能力是学生按照一定思路、步骤感知实际 问题的信息,在对信息分析和思考后,获得对问题感性 认识的能力。阅读理解能力较好的学生,读得准、读得 快、理解快、理解深,这是数学建模的前提。如,1999 年上海高考卷第22题的问题情境是冷轧钢板的过程,题 中出现了“减薄率”这一专门术语,并给出了即时定义 。能否深刻理解该定义,取决于学生阅读理解能力,这 将直接影响该问题的数学建模。
一、数学建模素养的意义
2、抽象概括能力。
如,将银行计息的“复利公式”类比和推 广到计算细胞分裂、人口增长等实际问题, 这不仅给了学生解决实际问题一把通用的钥 匙,也是培养和提高学生抽象概括能力的重 要方式。
一、数学建模素养的意义
3、符号表示能力。
把实际问题中表示数量关系的文字、图像 “翻译”成数学符号语言,即数、式子、方 程、函数、不等式等的能力。这种“翻译” 是数学建模的基础性工作。
二、数学建模在高中数学内容的渗透
数学建模的教学重点在新课程中规定的应用:
1、初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法,能应用导数等 解决一些简单的实际问题。

高中数学建模试题及答案

高中数学建模试题及答案

高中数学建模试题及答案一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 数学建模的一般步骤不包括以下哪一项?A. 问题提出B. 模型假设C. 模型求解D. 数据收集答案:D2. 在数学建模中,模型的验证通常不包括以下哪一项?A. 模型的逻辑性检验B. 模型的适用性检验C. 模型的稳定性检验D. 模型的美观性检验答案:D3. 以下哪一项不是数学建模中常用的方法?A. 微分方程B. 线性规划C. 概率论D. 文学创作答案:D4. 在数学建模中,以下哪一项不是模型的要素?A. 模型的假设B. 模型的变量C. 模型的参数D. 模型的结论答案:D5. 数学建模中,以下哪一项不是模型的分类?A. 确定性模型B. 随机性模型C. 静态模型D. 动态模型答案:C6. 在数学建模中,以下哪一项不是模型的构建过程?A. 模型的假设B. 模型的建立C. 模型的求解D. 模型的发表答案:D7. 数学建模中,以下哪一项不是模型的分析方法?A. 数值分析B. 符号计算C. 图形分析D. 文字描述答案:D8. 在数学建模中,以下哪一项不是模型的优化方法?A. 线性规划B. 非线性规划C. 动态规划D. 统计分析答案:D9. 数学建模中,以下哪一项不是模型的应用领域?A. 工程技术B. 经济管理C. 生物医学D. 音乐艺术答案:D10. 在数学建模中,以下哪一项不是模型的评估标准?A. 模型的准确性B. 模型的简洁性C. 模型的可解释性D. 模型的复杂性答案:D二、填空题(每题4分,共20分)1. 数学建模的一般步骤包括:问题提出、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型验证和______。

答案:模型报告2. 在数学建模中,模型的假设应该满足______、______和______。

答案:科学性、合理性、可行性3. 数学建模中,模型的求解方法包括解析方法和______。

答案:数值方法4. 数学建模中,模型的分析方法包括______、______和______。

高二数学数学建模练习题及答案

高二数学数学建模练习题及答案

高二数学数学建模练习题及答案一、简答题1. 什么是数学建模?数学建模是将现实问题抽象为数学模型,通过数学方法进行分析、求解并得出相应结论的过程。

它将数学知识与实际问题相结合,帮助我们理解问题的本质,预测和优化相关情况。

2. 数学建模的步骤有哪些?数学建模通常包括以下步骤:(1)问题的理解和描述:明确问题的背景、目标和限制条件,并对问题进行适当的简化和抽象。

(2)建立数学模型:将问题转化为数学表达式,建立合适的数学模型。

(3)模型的求解:利用数学方法对模型进行求解,得到定量的结果或结论。

(4)模型的验证和分析:对模型的结果进行检验,分析结果的合理性和可靠性。

(5)结果的解释与应用:解释模型结果,为实际问题提供有效的解决方案,并给出具体的应用建议。

3. 数学建模的意义是什么?数学建模在许多领域都具有重要意义:(1)在科学研究中,数学建模可以帮助解决实际问题,推动科学发展。

(2)在工程技术中,数学建模可以优化设计,提高效率和质量。

(3)在经济管理中,数学建模可以帮助决策者制定合理的策略和政策。

(4)在社会科学中,数学建模可以辅助分析社会问题,提供决策依据。

(5)数学建模还培养了学生的创新思维和解决问题的能力。

4. 数学建模过程中需要的数学知识有哪些?数学建模需要的数学知识包括但不限于:(1)数学分析:微分方程、积分、极限等。

(2)线性代数:矩阵运算、特征值与特征向量等。

(3)概率与统计:概率分布、统计推断等。

(4)最优化理论:线性规划、非线性规划等。

(5)图论与网络优化:最短路径、最小生成树等。

二、应用题1. 盒子问题已知一长方体盒子的长为20cm,宽为15cm,高为10cm。

现在要将一个边长为2cm的小正方体放入该盒子中,问最多可以放多少个小正方体?解答:盒子的体积为20 cm × 15 cm × 10 cm = 3000 cm³。

小正方体的体积为2 cm × 2 cm × 2 cm = 8 cm³。

2024年高考数学建模案例解析

2024年高考数学建模案例解析

2024年高考数学建模案例解析2024年高考学科综合能力考试数学建模案例解析随着社会的不断发展和教育的改革,数学建模成为高中数学教育的重要组成部分。

尤其在2024年的高考中,数学建模案例成为考试的一部分。

本文将以2024年高考数学建模案例为例,进行详细解析,并探讨数学建模在培养学生综合能力方面的作用。

案例背景及要求:假设2024年某城市掀起了共享单车的热潮,共享单车数量不断增加。

由于路网条件的限制,城市规划局希望求解出一种合理的摆放方案,以保证尽可能多的市民能够方便地使用单车,并且降低管理成本。

要求学生考虑单车摆放位置、数量分布、市民的需求等因素,通过数学建模给出一种最优解,并提出相应的调整策略。

解题思路及方法:1. 研究市民需求:首先,我们需要了解市民对共享单车的需求情况,通过问卷调查、数据分析等手段,了解市民骑车的频率、时间段、出行距离等信息,从而确定出行热点区域和高峰时段。

2. 路网分析:对城市的路网进行分析,确定主要道路、交通流量等信息,了解交通状况,为后续的摆放方案提供基础数据。

3. 摆放方案优化:针对市民需求和路网状况,我们可以运用图论算法、最优化算法等数学工具,建立一个数学模型,以求解出最优的摆放方案。

可以考虑的因素包括:单车数量、摆放位置、覆盖范围、容量等。

4. 调整策略提出:根据实际情况和模型结果,我们可以提出相应的调整策略。

例如,可以针对交通拥堵区域增加摆放数量,调整单车的分布密度,以满足市民需求,并减少单车的管理成本。

案例解析:在实际解决这个问题的过程中,首先需要对市民需求进行充分了解。

通过问卷调查,我们得知市民在上下班高峰期间对共享单车的需求较大,出行热点集中在市中心和商圈周边。

同时,我们还发现了一些特殊需求,如学生、游客等群体对单车的需求量也较大。

在进行路网分析时,我们发现了一些瓶颈路段和拥堵区域。

这些信息为摆放方案的优化提供了依据。

在建立数学模型时,我们可以使用最小费用流算法来求解。

2023高考数学数学模型复习 题集附答案

2023高考数学数学模型复习 题集附答案

2023高考数学数学模型复习题集附答案在2023高考数学考试中,数学模型是一个重要的考点。

通过解决实际问题,并建立数学模型,能够提高学生对数学知识的应用能力和解决实际问题的能力。

为了帮助同学们复习数学模型,我们为大家准备了一套题集,包括题目和答案。

请同学们认真思考和解答,加深对数学模型的理解和掌握。

题目一:某电子商务公司准备组织一次促销活动,销售一种商品。

根据历史数据统计,每天该商品的销售量与其标价存在一定的函数关系。

已知当商品标价为x时,该商品的销售量为f(x)=10000/x,其中x为商品的标价。

1. 如果该公司希望促销活动中卖出商品的总价值最大,应该如何设置商品的标价?答案一:为了使卖出商品的总价值最大,我们应该最大化f(x)*x,即最大化10000。

由于商品的标价x必须为正数,所以商品的标价应当尽可能地接近0,但不能等于0。

因此,该公司应该将商品的标价设置为0。

题目二:某城市的道路交通状况严重拥堵,市政府决定建设一个地下交通网络以改善交通状况。

该地下交通网络由n个车站和m条隧道组成,每个车站之间至多有一条隧道相连。

已知每条隧道的建设与维护费用为c,每个车站的客流量为p。

现在市政府希望在不超过预算B的情况下,最大化城市内的客流量。

2.如何确定建设地下交通网络的方案,使得客流量最大?答案二:为了最大化城市内的客流量,我们需要确定建设地下交通网络的方案。

由于每个车站之间至多有一条隧道相连,我们可以将问题简化为一个图论问题。

将每个车站看作图中的节点,每条隧道看作图中的边。

那么,建设地下交通网络的方案实际上就是在图中选择一些边,使得连接的节点尽可能多,且不超过预算B。

这个问题是一个最大流问题,可以使用网络流算法来解决。

首先,我们可以将每个车站的客流量作为节点的权重,然后根据这些权重构建一个有向图。

接下来,可以使用最大流算法,如Edmonds-Karp算法或Ford-Fulkerson算法,来找到从汇点s到源点t的最大流量。

数学建模与优化模型考核试卷

数学建模与优化模型考核试卷
A.约束条件是线性的
B.约束条件是非线性的
C.决策变量x和y之间是线性关系
D.决策变量x和y之间是非线性关系
5.以下哪个数学工具常用于求解优化问题?()
A. MATLAB
B. Excel
C. SPSS
D. Photoshop
6.在非线性规划模型中,若目标函数为“f(x, y) = x^2 + y^2”,则该模型属于以下哪种类型?()
标准答案
一、单项选择题
1. D
2. C
3. D
4. A
5. A
6. A
7. A
8. B
9. D
10. A
11. D
12. A
13. B
14. A
15. D
16. A
17. D
18. D
19. C
20. C
二、多选题
1. ABCD
2. ABCD
3. ABCD
4. ABC
5. ABC
6. ABC
7. AD
16.以下哪些情况下,非线性规划问题可能存在多个最优解?()
A.目标函数为凸函数
B.目标函数为凹函数
C.约束条件为凸集
D.约束条件为凹集
17.在数学建模中,以下哪些方法可以用于模型验证?()
A.残差分析
B.灵敏度分析
C.拟合优度检验
D.回归分析
18.以下哪些软件工具可以用于统计分析?()
A. MATLAB
A.模型建立
B.模型求解
C.模型分析
D.数据可视化
19.在数学建模过程中,以下哪个步骤是模型建立阶段的内容?()
A.提出问题
B.分析问题
C.求解模型

高考数学数学建模练习题及答案

高考数学数学建模练习题及答案

高考数学数学建模练习题及答案一、综合分析题某城市2019年的二氧化硫(SO2)和氮氧化物(NOx)排放量分别为15.2万吨和20.8万吨。

根据监测数据,该城市出现了严重的空气污染,为了改善空气质量,政府制定了下列措施:1. 实施尾气治理方案,使汽车尾气排放的SO2和NOx总量每年减少10%。

2. 推广清洁能源车辆,使其占机动车保有量的比例增加4%。

3. 建设新的绿化景观,增加每年吸收的SO2和NOx总量3%。

根据以上措施,解答以下问题:1. 计算2023年该城市汽车尾气排放的SO2和NOx总量。

2. 估计2023年该城市机动车保有量。

3. 计算新绿化景观每年吸收的SO2和NOx总量。

解答:1. 计算2023年汽车尾气排放的SO2和NOx总量:2019年汽车尾气排放的SO2总量:15.2万吨2019年汽车尾气排放的NOx总量:20.8万吨汽车尾气排放的SO2和NOx总量每年减少10%,即每年剩余原量的90%。

2023年汽车尾气排放的SO2总量:15.2万吨 * 0.9 = 13.68万吨 2023年汽车尾气排放的NOx总量:20.8万吨 * 0.9 = 18.72万吨因此,2023年该城市汽车尾气排放的SO2总量为13.68万吨,NOx总量为18.72万吨。

2. 估计2023年该城市机动车保有量:假设2019年该城市机动车保有量为A辆。

推广清洁能源车辆,使其占机动车保有量的比例每年增加4%。

这可以表示为公式:A * (1 + 0.04)^4 = 1.04^4 * A2023年该城市机动车保有量:1.04^4 * A因此,估计2023年该城市机动车保有量为1.1699A辆。

3. 计算新绿化景观每年吸收的SO2和NOx总量:新绿化景观每年吸收的SO2和NOx总量增加3%。

假设2019年新绿化景观每年吸收的SO2总量为B吨,NOx总量为C吨。

2023年新绿化景观每年吸收的SO2总量:B * (1 + 0.03)^42023年新绿化景观每年吸收的NOx总量:C * (1 + 0.03)^4因此,2023年新绿化景观每年吸收的SO2总量为B * 1.1255吨,NOx总量为C * 1.1255吨。

高考数学专题06 函数建模问题(第六篇)(解析版)

高考数学专题06 函数建模问题(第六篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题06 函数建模问题【典例1】【江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届月考】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x (百辆),需另投入成本()C x 万元,且()21010004010000501450040x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩,,.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2018年的利润L (x )(万元)关于年产量x (百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本) (2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润. 【思路引导】(1)根据利润的定义,结合投入成本是分段函数,分类讨论求得利润函数.(2)根据第一问利润函数,分040x <<和40x ≥两种情况进行分类讨论,当040x <<时2()10(20)1500L x x =--+,用二次函数法求最值,当40x ≥时10000()2000()=-+L x x x,用基本不等式法求最值,然后这两段中取最大的为函数的最大值即最大利润,此时x 的取值为最大利润时的产量. 【详解】(1)当040x <<时,()225100101002500104002500L x x x x x x =⨯---=-+-;当40x ≥时,1000010000()5100501450025002000()L x x x x x x=⨯--+-=-+; ∴()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.(2)当040x <<时,2()10(20)1500L x x =--+, ∴当20x =时,()()201500max L x L ==;当40x ≥时,10000()2000()200020002001800L x x x =-+≤-=-=, 当且仅当10000x x=,即100x =时,()()10018001500max L x L ==>; ∴当100x =时,即2018年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1800万元.【典例2】【2020届上海市闸北区高三模拟】有一块铁皮零件,其形状是由边长为30cm 的正方形截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE ,其中8,AF cm =6BF cm =,如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN ,使得矩形相邻两边分别落在,CD DE 上,另一顶点P 落在边CB 或BA 边上.设DM xcm =,矩形DMPN 的面积为2ycm .(1)试求出矩形铁皮DMPN 的面积y 关于x 的函数解析式,并写出定义域; (2)试问如何截取(即x 取何值时),可使得到的矩形DMPN 的面积最大? 【思路引导】(1)分类讨论,当点P 分别落在线段CB 或线段BA 上.根据矩形面积即可求得y 关于x 的函数解析式及其定义域.(2)根据(1)由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时x 的值,即可知截取矩形的方式. 【详解】(1)依据题意并结合图形,可知: ①当点P 落在线段CB 上 即024x <≤时,30y x =; ②当点P 在线段BA 上,即2430x <≤时,由PQ BFQA FA=, 得4403QA x =-. 于是y DM PM =⋅DM EQ =⋅24623x x =-. 所以230,024462,24303x x y x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩, 定义域(0,30]D =.(2)由(1)知,当024x <≤时,0720y <≤;当3040x <≤时,24623y x x =-2493288328833444x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当934x =时,等号成立. 因此,y 的最大值为28834. 答:先在DE 上截取线段934DM cm =,然后过点M 作DE 的垂线交BA 于点P ,再过点P 作DE 的平行线交DC 于点N ,最后沿MP 与PN 截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为228834cm .【典例3】【上海市上海外国语大学附属上外高中2020届月考】某林场现有木材存量为a ,每年以25%的增长率逐年递增,但每年年底要砍伐的木材量为b ,经过n 年后林场木材存有量为y (1)求()y f n =的解析式(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量不应少于79a ,如果1972b a =,那么该地区会发生水土流失吗?若会,要经过几年?(取lg 20.30=) 【思路引导】(1)根据前三年木材存量,归纳出解析式,再用数学归纳法进行证明即可; (2)根据(1)中所求函数关系式,结合参考数据,解不等式即可. 【详解】(1)1年后,木材存量()514f a b =-, 2年后,木材存量()25555214444f a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3年后,木材存量()3255531444f a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦根据以上数据归纳推理得:()15555514144444n n nn f n a b a b -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L用数学归纳法证明如下: ①当1n =时,()514f a b =-,显然成立; ②假设当(),2,n k k k N =≥∈时,()554144kk f k a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦成立,则当1n k =+时,()()55551414444kk f k f k b a b b ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=-=---⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭115554444k k a b b ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11554144k k a b ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即证,当n N +∈时,()554144nn f n a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(2)当1972b a =时,若该地区今后发生水土流失,则木材存量必须小于79a 则551974144729n n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⨯<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,解得554n ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 两边取对数得554nlglg > 即()1257522132lg lg n lg lg lg ->=≈--故:经过8年后,该地区就会发生水土流失.【典例4】【四川省树德中学2020届入学考试】如图,A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点,且45AOB ∠=︒,1OE =,EF=AOE α∠=.(1)写出AOB ∆的面积关于α的函数关系式()f α;(2)写出函数()f α的取值范围.【思路引导】(1)分为:当B 在EF 上运动,即[]0,15α∈︒和当B 在GF 上运动,即()15,45a ︒∈︒两段进行分别讨论即可;(2)α在不同段的函数表达式根据三角函数有界性即可较易求解。

高考试题中数学建模素养的融入——以“数列”专题为例

高考试题中数学建模素养的融入——以“数列”专题为例

高考试题中数学建模素养的融入——以“数列”专题为例刘凯月
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2023()1
【摘要】数学建模是六大数学核心素养之一.本文选取近五年(2018—2022年)高考数学试题中的数列试题,分析其中能体现数学建模素养的题目的分布、难度及出题角度,感受数学建模素养在日常数列教学中的渗入,为指导课堂教学以及数列专题的备考提供建议.
【总页数】4页(P51-54)
【作者】刘凯月
【作者单位】华东师范大学教师教育学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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2021年高中数学建模(应用)能力展示活动测试题及参考解答
命努力.即便如此,未必如愿.如果有甲、乙两个区分度良好的评价维度,基于人才选拔的需要,
不仅在甲、乙维度上分别评出优秀者,还关注甲乙兼得的优秀者,这样优秀者的数量就会增多.
在一个总分不超过正整数 p 的评价体系中,被评价者所得总评分可能是 0,1,2,…, p, 满分 p 即为
优秀.若只有一个评价维度,便有且只有一种总评分的得分方式;如果有甲、乙两个维度的评价体
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12
者,特别是 n 充分大时, r 趋于 1,这意味着,评价维度充分多,每个人都有机会成为优秀者,正所
谓“多一把尺子就多一批好学生”.………………………………………………………………(26 分)
【注】这个结论从另一个角度揭示了一个有趣的结果:超高维多面体包含的格点数几乎全部集
中在多面体的表面.
4.
这样的三维数组(a,b,c)对应的几何图形是三维直角坐标系中的直四面体 O-ABC 内部及各面上的
所有整数格点,其中 OA=OB=OC=p,如下图所示.
2021 年高中数学建模(应用)能力展示活动测试题及参考解答
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这样的(a,b,c)个数可以从顶点 A 开始向下计算,在每个整数坐标处做平行
所以三次接种产生的抗体都曾经到达最高峰,然后开始按照 1−p%的速率衰减.
2.
(满分 12 分)东方红一号卫星是我国 1970 年 4 月 24 日发射的第一颗人造地球卫星,它标志
着我国成为世界上第五个独立自主研制和发射人造地球卫星的国家.这颗卫星主要任务是试验、探
测电离层和大气层密度,实际工作寿命是 28 天.为了使地面“听得见”,卫星运行期间连续向地球
体滴度能够继续维持较高水平.如果某人在接种了第一针疫苗之后的第 22 天接种了第二针疫苗,在

2023高中数学数学建模与应用复习 题集附答案

2023高中数学数学建模与应用复习 题集附答案

2023高中数学数学建模与应用复习题集附答案2023高中数学数学建模与应用复习题集附答案本文为高中数学数学建模与应用复习题集,涵盖了相关题目及其解答。

以下是题目与解答的具体内容:一、单选题1. 已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2+3x+2$,则$f(-3)=$A. 4B. 5C. 6D. 7解答:将$x=-3$代入函数$f(x)$,得到:$$f(-3)=\frac{1}{2}(-3)^2+3(-3)+2=7$$因此,答案为D. 7。

2. 设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+5$,则$a_5=$A. 11B. 14D. 25解答:将$n=5$代入数列通项公式,得到:$$a_5=5^2-3\times5+5=11$$因此,答案为A. 11。

二、多选题1. 函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续,则必定在该区间上必存在一点$c$,使得$f(c)$等于下列哪些值?A. $f(a)$B. $f(b)$C. $\frac{f(a)+f(b)}{2}$D. $f(\frac{a+b}{2})$解答:根据连续函数的性质,若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续,则必定在该区间上存在介于最大值和最小值之间的所有值。

因此,答案为A、B、C、D。

2. 以下哪些数对应的立方根是有理数?A. 2C. 8D. 27解答:立方根是有理数的条件是原数是一个整数的立方。

根据选项,只有8是另一个整数的立方,因此答案为C. 8。

三、填空题1. 若正方形的面积为16平方米,则它的边长是\_\_\_米。

解答:设该正方形的边长为$x$,根据题意可得:$$x^2=16$$解得$x=4$,因此答案为4米。

2. 已知函数$f(x)$的定义域为$[-1, 1]$,则$f(-1)=$\_\_\_。

解答:将$x=-1$代入函数$f(x)$,得到:$$f(-1)=-1$$因此,答案为-1。

四、解答题1. 某校有男生和女生各500人,其中30%的男生和20%的女生是学习数学建模的,那么同时学习数学建模的学生有多少人?解答:男生学习数学建模的人数为$0.3\times500=150$人,女生学习数学建模的人数为$0.2\times500=100$人,因此,同时学习数学建模的学生共有150+100=250人。

高考试题里的数学建模

高考试题里的数学建模

A BO O 2 b a (图) 数学建模问题1.某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴,设淡水鱼的市场价格为元x ,政府补贴为千克元t ,根据市场调查,当148≤≤x 时,淡水鱼的市场供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系:()81000-+=t x P ()0,8≥≥t x ,()2840500--=x Q ()148≤≤x .当Q P =时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?(1995年高考题)2.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?(1996年高考题)3.甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过C 千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比,比例系数为b ;固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?(1997年高考题)4.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出.设箱体的长度为a 米,高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60平方米.问当a ,b 为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ,B 孔的面积忽略不计).(1998年高考题)5.右图为一台冷轧机的示意图.若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.Ⅰ.输入带钢的厚度为α,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过0r ,问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?⎪⎭⎫ ⎝⎛-=输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度一对轧辊减薄率 Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm.若第k 对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为k L ,为了便于检修,请计算321,,L L L 并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗).(99年高考题,广东卷)6. 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.Ⅰ.写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()t f P =;写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()t g Q =;Ⅱ.认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(00年高考题,广东卷)(注:市场售价和种植成本的单价:kg 210元,时间单位:天)7 .设计一幅宣传画,要求画面面积为24840cm ,画面的宽与高的比为()1 λλ,画面的上、下各留cm 8空白,左、右各留cm 5空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,32λ,那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?(01年高考题,广东卷)8.某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?(02年高考题,全国卷)9.(Ⅰ)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;(Ⅱ)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小;(Ⅲ)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明.(02年高考题,B 卷)10.相距40公里的两个城镇A,B 之间有一个圆形湖泊,它的圆心落在AB 连线的中点O ,半径为10公里,如图所示.现要修建一条连结两城镇的公路,问应如何选择公路的路线,使公路最短,并给出证明.11.在一边长为9m ,一边长为16m 的长方形的土地内,任意种植49颗树,试证明其中总有两颗树之间的距离不大于2.5m .12.某矿石基地A 和冶炼厂B 在铁路MN 的两侧,A 距铁路m 公里,B 距铁路n 公里,在铁路上要建造两火车站C ,D ,A 地矿石先用汽车由公路运到火车站C ,然后用火车运输到火车站D ,再用汽车运到B 地,如图所示,A 、B 在铁路MN 上投影B A ''距离长l 公里,若汽车速度每小时u 公里,火车速度每小时v 公里,这里u v >,要使运输矿石的时间最短,火车站C ,D 应该建立在什么地方?C B M N AD nA 'B ' m13.A ,B 两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨,而D 、E 、F 三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨,每千吨的运价表如下:(万元) 到D 到E 到F从A 4 5 6从B 5 2 4怎样确定调运方案,使总的运费为最小?14.四个工厂A 、B 、C 、D ,且a AB =(公里)、a BC 32=(公里)、∠ABC =450、∠BCD =1200,现在要找一个供应站H 的位置,使它到四个工厂距离和HA +HB +HC +HD 为最小,说明道理,并求出最小值.15.某工厂生产A 、B 两种产品,分别需要原材料2千克、3千克;消耗能源每件1百元、6百元;劳动力每件需要4个人工、2个人工;获利每件5千元、6千元.但库存原材料有1750千克;能源消耗总额不超过2405百元;全厂满员2500人.试问怎样安排生产任务使获得利润最大?并求出最大利润额.16.在长为60cm 、宽为40cm 的矩形铁皮中要切成长为10.2cm 、宽为9.3cm 的长方形单件,怎样截法才能使材料的利用率最高,具体画出落料方案图,并求出材料利用率的最大值.17.某学校请了30名木工,要制作200张椅子和100张课桌,已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10:7,问30名工人应如何分组(一组制作课桌,另一组制作椅子)能使完成全部任务最快.18.某食品店每天顾客需求100、150、200、250、300只蛋糕的可能性分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1,每个蛋糕的进货价为2.5元,销售价为4元,若当天不能售完,剩下的以每只2元的价格处理,问该店每天进货多少只蛋糕为宜(进货量必须是50的倍数)?19.乘夏利出租汽车,行程不超过4公里时,车费为10.40元,行程大于4公里但不超过15公里时,超出4公里部分,每公里车费1.60元.行程大于15公里后,超出15公里的部分,每公里车费2.40元,途中因红灯等原因而停车等候,每等候5分钟收车费1.60元,又计程器每半公里计一次价,例如,当行行驶路程x (公里)满足5.1212<≤x 时,按12.5公里计价;当135.12<≤x 时,按13公里计价.等候时间每2.5分钟计一次价,例如,等候时间t (分钟)满足55.2<≤t 时,按2.5分钟计价;当5.75<≤t 时,按5分钟计价.请回答下列问题:(1) 若行驶12公里,停车等候3分钟,应付多少车费?(2) 若行驶23.7公里,停车等候7分钟,应付多少车费?(3) 若途中没有停车等候,所付车费y (元)就是行程x (公里)的函数)(x f y =,画出)70()(<<=x x f y 的图像.20.年初小王承包了一个小商店,一月初向银行贷款10000元作为投入资金用于进货.每月月底可售出全部货物,获得毛得(当月销售收入与投入资金之差)是该月月初投入资金的20%.每月月底需要支出税款等费用共占该月毛利的60%.此外小王每月还要支出生活费300元.余款作为下月投入资金用于进货.如此继续,问到年底小王拥有多少资金?若货款年利率为10.98%,问小王的收入为多少?数学建模问题参考解答1. (1995年高考题)解:(1)由市场供求平衡价格定义知,当Q P =,即()()284050081000--=-+x t x 时,可得供求平衡价格.上式化简得()()0701********=+-+-+t t x t x ,其中216800t -=∆时,可得25052548t t x -±-=,由0≥t ,上式中850525482 t t ---,由148≤≤x 知,所求函数应为25052548t t x -+-=,定义域为)[10,0 . (2)为使10≤x ,应有050525482≤-+-t t ,即0542≥-+t t ,又0≥t ,知1≥t ,即政府补贴至少每千克1元.2. (1996年高考题)解:设耕地平均每年至多只能减少x 公顷,又设该地区现有人口为p 人,粮食单产为公顷吨M ,由题意有()()()()%10110%111010%2214104+⋅⋅≤+⋅-⋅+⋅p M p xM , 化简得()1.422.101.011.1110103≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-⋅≤x ,即每年至多只能减少4公顷。

高中数学建模题

高中数学建模题

高中数学建模题高中数学建模题:最优饮食计划背景:随着生活水平的提高,人们对饮食的要求也越来越高。

不仅要美味,还要健康、营养。

现在,我们需要为一个家庭制定一周的饮食计划,确保他们获得足够的营养,同时不超出预算。

问题:1. 为这个家庭制定一份营养均衡的饮食计划,包括早、中、晚三餐。

2. 考虑家庭成员的年龄、性别、体重、身高和日常活动量等因素。

3. 预算为每周1000元,确保不超出此预算。

4. 考虑食物的季节性、地域性和可获得性。

建模步骤:1. 数据收集:收集家庭成员的基本信息,如年龄、性别、体重、身高和日常活动量。

同时,了解当地的食物价格、季节性、地域性和可获得性。

2. 目标设定:确保家庭成员每天获得足够的蛋白质、碳水化合物、脂肪、维生素和矿物质。

同时,确保饮食计划的成本不超过每周1000元。

3. 变量定义:o x1, x2, ..., xn:代表不同的食物或食材。

o y1, y2, ..., ym:代表不同的营养素,如蛋白质、碳水化合物、脂肪等。

o c:代表饮食计划的总成本。

4. 约束条件:o 营养约束:每种营养素的摄入量应在推荐范围内。

o 预算约束:总成本不超过1000元。

o 食物可获得性约束:选择的食物或食材应在当地可获得。

5. 目标函数:最小化饮食计划的总成本,同时确保满足所有约束条件。

6. 求解:使用线性规划或其他优化方法求解此问题,得到最优的饮食计划。

结论:根据上述建模步骤,我们可以为这个家庭制定一份营养均衡且成本合理的饮食计划。

这不仅可以满足家庭成员的营养需求,还可以帮助他们更好地管理家庭预算。

高中数学模型试题及答案

高中数学模型试题及答案

高中数学模型试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 已知函数f(x)=2x^2-3x+1,下列说法正确的是:A. 函数在x=1处取得最小值B. 函数在x=1处取得最大值C. 函数在x=-1处取得最小值D. 函数在x=-1处取得最大值答案:A2. 一个等差数列的前三项分别为2,5,8,那么这个数列的第五项是:A. 11B. 12C. 13D. 14答案:B3. 若a,b,c是三角形的三边,且满足a^2+b^2=c^2,则三角形的形状是:A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案:B4. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+24=0,圆心坐标为:A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的导数是_______。

答案:3x^2-6x+46. 已知等比数列的前三项分别为1,2,4,则该数列的通项公式为_______。

答案:2^(n-1)7. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,那么斜边的长度是_______。

答案:58. 已知直线y=2x+1与抛物线y=x^2-2x+3相交于两点,这两点的横坐标之和为_______。

答案:2三、解答题(每题10分,共60分)9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1,求函数的极值点。

答案:函数的一阶导数为f'(x)=3x^2-6x+2,令f'(x)=0,解得x=1和x=2/3。

计算二阶导数f''(x)=6x-6,当x=1时,f''(1)=0,无法判断极值;当x=2/3时,f''(2/3)>0,因此x=2/3是极小值点,函数在x=2/3处取得极小值。

10. 已知等差数列{an}的前三项分别为1,4,7,求该数列的前n项和Sn。

答案:等差数列的通项公式为an=1+3(n-1)=3n-2,前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2=n(1+3n-2)/2=(3n^2-n)/2。

高考试题里的数学建模

高考试题里的数学建模

A BO O 2 b a (图) 数学建模问题1.某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴,设淡水鱼的市场价格为元x ,政府补贴为千克元t ,根据市场调查,当148≤≤x 时,淡水鱼的市场供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系:()81000-+=t x P ()0,8≥≥t x ,()2840500--=x Q ()148≤≤x .当Q P =时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?(1995年高考题)2.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?(1996年高考题)3.甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过C 千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比,比例系数为b ;固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?(1997年高考题)4.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出.设箱体的长度为a 米,高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60平方米.问当a ,b 为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ,B 孔的面积忽略不计).(1998年高考题)5.右图为一台冷轧机的示意图.若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.Ⅰ.输入带钢的厚度为α,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过0r ,问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?⎪⎭⎫ ⎝⎛-=输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度一对轧辊减薄率 Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm.若第k 对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为k L ,为了便于检修,请计算321,,L L L 并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗).(99年高考题,广东卷)6. 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.Ⅰ.写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()t f P =;写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()t g Q =;Ⅱ.认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(00年高考题,广东卷)(注:市场售价和种植成本的单价:kg 210元,时间单位:天)7 .设计一幅宣传画,要求画面面积为24840cm ,画面的宽与高的比为()1 λλ,画面的上、下各留cm 8空白,左、右各留cm 5空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,32λ,那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?(01年高考题,广东卷)8.某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?(02年高考题,全国卷)9.(Ⅰ)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;(Ⅱ)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小;(Ⅲ)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明.(02年高考题,B 卷)10.相距40公里的两个城镇A,B 之间有一个圆形湖泊,它的圆心落在AB 连线的中点O ,半径为10公里,如图所示.现要修建一条连结两城镇的公路,问应如何选择公路的路线,使公路最短,并给出证明.11.在一边长为9m ,一边长为16m 的长方形的土地内,任意种植49颗树,试证明其中总有两颗树之间的距离不大于2.5m .12.某矿石基地A 和冶炼厂B 在铁路MN 的两侧,A 距铁路m 公里,B 距铁路n 公里,在铁路上要建造两火车站C ,D ,A 地矿石先用汽车由公路运到火车站C ,然后用火车运输到火车站D ,再用汽车运到B 地,如图所示,A 、B 在铁路MN 上投影B A ''距离长l 公里,若汽车速度每小时u 公里,火车速度每小时v 公里,这里u v >,要使运输矿石的时间最短,火车站C ,D 应该建立在什么地方?C B M N AD nA 'B ' m13.A ,B 两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨,而D 、E 、F 三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨,每千吨的运价表如下:(万元) 到D 到E 到F从A 4 5 6从B 5 2 4怎样确定调运方案,使总的运费为最小?14.四个工厂A 、B 、C 、D ,且a AB =(公里)、a BC 32=(公里)、∠ABC =450、∠BCD =1200,现在要找一个供应站H 的位置,使它到四个工厂距离和HA +HB +HC +HD 为最小,说明道理,并求出最小值.15.某工厂生产A 、B 两种产品,分别需要原材料2千克、3千克;消耗能源每件1百元、6百元;劳动力每件需要4个人工、2个人工;获利每件5千元、6千元.但库存原材料有1750千克;能源消耗总额不超过2405百元;全厂满员2500人.试问怎样安排生产任务使获得利润最大?并求出最大利润额.16.在长为60cm 、宽为40cm 的矩形铁皮中要切成长为10.2cm 、宽为9.3cm 的长方形单件,怎样截法才能使材料的利用率最高,具体画出落料方案图,并求出材料利用率的最大值.17.某学校请了30名木工,要制作200张椅子和100张课桌,已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10:7,问30名工人应如何分组(一组制作课桌,另一组制作椅子)能使完成全部任务最快.18.某食品店每天顾客需求100、150、200、250、300只蛋糕的可能性分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1,每个蛋糕的进货价为2.5元,销售价为4元,若当天不能售完,剩下的以每只2元的价格处理,问该店每天进货多少只蛋糕为宜(进货量必须是50的倍数)?19.乘夏利出租汽车,行程不超过4公里时,车费为10.40元,行程大于4公里但不超过15公里时,超出4公里部分,每公里车费1.60元.行程大于15公里后,超出15公里的部分,每公里车费2.40元,途中因红灯等原因而停车等候,每等候5分钟收车费1.60元,又计程器每半公里计一次价,例如,当行行驶路程x (公里)满足5.1212<≤x 时,按12.5公里计价;当135.12<≤x 时,按13公里计价.等候时间每2.5分钟计一次价,例如,等候时间t (分钟)满足55.2<≤t 时,按2.5分钟计价;当5.75<≤t 时,按5分钟计价.请回答下列问题:(1) 若行驶12公里,停车等候3分钟,应付多少车费?(2) 若行驶23.7公里,停车等候7分钟,应付多少车费?(3) 若途中没有停车等候,所付车费y (元)就是行程x (公里)的函数)(x f y =,画出)70()(<<=x x f y 的图像.20.年初小王承包了一个小商店,一月初向银行贷款10000元作为投入资金用于进货.每月月底可售出全部货物,获得毛得(当月销售收入与投入资金之差)是该月月初投入资金的20%.每月月底需要支出税款等费用共占该月毛利的60%.此外小王每月还要支出生活费300元.余款作为下月投入资金用于进货.如此继续,问到年底小王拥有多少资金?若货款年利率为10.98%,问小王的收入为多少?数学建模问题参考解答1. (1995年高考题)解:(1)由市场供求平衡价格定义知,当Q P =,即()()284050081000--=-+x t x 时,可得供求平衡价格.上式化简得()()0701********=+-+-+t t x t x ,其中216800t -=∆时,可得25052548t t x -±-=,由0≥t ,上式中850525482 t t ---,由148≤≤x 知,所求函数应为25052548t t x -+-=,定义域为)[10,0 . (2)为使10≤x ,应有050525482≤-+-t t ,即0542≥-+t t ,又0≥t ,知1≥t ,即政府补贴至少每千克1元.2. (1996年高考题)解:设耕地平均每年至多只能减少x 公顷,又设该地区现有人口为p 人,粮食单产为公顷吨M ,由题意有()()()()%10110%111010%2214104+⋅⋅≤+⋅-⋅+⋅p M p xM , 化简得()1.422.101.011.1110103≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-⋅≤x ,即每年至多只能减少4公顷。

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高考中的数学建模问题【一】数学应用题的分析和处理(A)解应用题的基本程序:解应用题,首先要在阅读材料、理解题意的基础上,把实际问题抽象成数学问题,就是从实际出发,经过去粗取精、抽象概括,利用学过的数学知识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论后返回到实际问题中去验证。

思路如下图:实际问题转化为数学问题数学问题问题解决数学解答实际问题结论回到实际问题数学问题结论(B)解应用题的一般程序(1)读阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础(2)建将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型熟悉基本数学模型,正确进行建“模”是关键的一关(3)解求解数学模型,得到数学结论一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙作,优化过程(4)答将数学结论还原给实际问题的结果( C ) 中学数学中常见应用问题与数学模型(1)优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决(2)预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决(3)最(极)值问题工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值(4)等量关系问题建立“方程模型”解决(5)测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决典型题例示范讲解题1:1.某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ,C ,D ,E ,F , G ,H ,I 之间拟建立信息联网工程,实际测算的费用如图所示 (单位:万元)。

请观察图形,可以不建部分网线,而使得中心 与各部门、院系彼此都能连通(直接或中转),则最少的建网费 用(万元)是B A .12 B .13 C .14 D .162. 某商场在元旦促销期间规定,商场内所有商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如,购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为:400×0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为1000元的商品,则所能得到的优惠额为BA .130元 B.330元 C.360元 D.800元3. 我国发射的神舟6号飞船开始运行的轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆,测得近地点A 距地面200公里,远地点B 距地面350 公里,地球的半径为6371公里,则从椭圆轨道上一点看地球的最大 视角为 ( B ) (A )67216371arcsin 2 (B )65716371arcsin 2 (C )67216371arccos 2 (D )65716371arccos 24. 一张报纸的厚度为a ,面积为b ,现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次,这时报纸的厚度和面积分别为YCY ( C )A .b a 81,8B .b a 641,64 C .b a 1281,128 D .b a 2561,2565. 2006年度某学科能力测试共有12万考生参加,成绩采用15级分,测试成绩分布图如下:人在6000,10000,14000,18000这四个数据中, 与成绩高于11级分的考生数最接近的是BA .6000B .10000C .14000D .180006.正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4.将3个这样均匀的四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为 C A .641 B . 6413 C. 6437D . 64617.已知A ,B ,C 是平面上不共线上三点,O 为ABC ∆外心,动点P 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的DA 内心B 垂心C 重心D AB 边的中点8.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若这组新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来一组数据的平均数和方差分别是 AA .81.2,4.4B .78.8,4.4C .81.2,84.4D .78.8,75.6题2.(06广西重点中学)某家用电器厂根据其产品在市场上的销售情况,决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价,并按新单价的八折优惠销售。

结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。

已知该产品每件的成本是原销售价的60%。

(1)求调价后这种产品的新单价是每件多少元?让利后的实际销售价是每件多少元?(2)为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元,今年至少应销售这种产品多少件?(每件产品利润=每件产品的实际销售价一每件产品的成本价)解:(1)设每件产品的新单价为x 元…………………………………………1分由已知:该产品的成本是2000×60%=1200元………………………………2分 由题意:x ·80%-1200=20%(80%·x )……………………………………3分 解得:x=1875(元)……………………………………………………………4分 ∴80%·x=1500元………………………………………………………………5分所以,该产品调价后的新单价是每件1875元,让利后实际售价为每件1500元.……6分(2)设今年至少应生产这种电器m 件,则由题意,得m(1500-1200)≥200000…………………………………………………… 8分 解得:m ≥66632……………………………………………………………… 9分 ∵m ∈N ,∴m 的最小值应为667件…………………………………………11分 答:今年至少售出667件产品,才能使利润总额不低于20万元.……… 12分题3.(06北京海淀区)如图,a 是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a 上一点A 处有一个水声监测点,另两个监测点B ,C 分别在A 的正东方20km 和54km 处。

某时刻,监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波,8s 后监测点A ,20s 后监测点C 相继收到这一信号。

在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ,用x 表示B ,C 到P 的距离,并求x 的值; (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(结果精确到0.01km )。

(1)依题意,有PA-PB=1.5×8=12(km). PC-PB=1.5×20=30(km) ∴PB=(x-12)(km),PC=30+(x-12)=(18+x)(km). 在△PAB 中,AB=20kmAB PA PB AB PA PAB ⋅-+=∠2cos 222xx x x x 5323202)12(20222+=⋅--+=同理,xxPAC 372cos -=∠ ∵,cos cos PAC PAB ∠=∠∴xxx x 3725323-=+ 解之,得)(7132km x = (2)作PD D ,a 于⊥在△ADP 中,).(71.17532713235323cos km xx x APD PA PD ≈+⨯=+⋅=∠= 答:静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71km题4(06山东省潍坊)某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数. ① f(x)=p · q x ; ② f(x)=px 12++qx ;③ f(x)=x(x-q)2+p.(以上三式中p 、q 均为常数,且q >1). (1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数,为什么?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数的定义域是[0,5],其中x=0表示4月1日,x=1表示5月1日,…,以此类推);(3)为保证果农的收益,打算在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌.(1)应选f(x)=x(x-q)2+p.因为①f(x)=p ·q x 是单调函数;②f(x)=px 2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征;③f(x)=x(x-q)2+p 中,f ′(x)=3x 2-4qx+q 2, 令f ′(x)=0,得x=q,x=3q,f(x)有两个零点. 可以出现两个递增区间和一个递减区间.(2)由f(0)=4,f(2)=6得⎩⎨⎧+-==,)2(26,42p q p 解之得⎩⎨⎧==,3,4q p (其中q=1舍去).∴函数f(x)=x(x-3)2+4,即f(x)=x 49623++-x x (0≤x <5)(3)由f(x) <0,解得1<x <3∴函数f(x)=x 49623++-x x 在区间(1,3)上单调递减, ∴这种果品在5月,6月份价格下跌.题5(06广西钦州)已知有三个居民小区A 、B 、C 构成△ABC ,AB =700m 、BC =800m 、AC =300m .现计划在与A 、B 、C 三个小区距离相等处建造一个工厂,为不影响小区居民的正常生活和休息,需在厂房的四周安装隔音窗或建造隔音墙.据测算,从厂房发出的噪音是85分贝,而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝.每安装一道隔音窗噪音降低3分贝,成本3万元,隔音窗不能超过3道;每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝,成本10万元;距离厂房平均每25m 噪音均匀降低1分贝.(1)求∠C 的大小;(2)求加工厂与小区A 的距离.(精确到1m );(3)为了不影响小区居民的正常生活和休息且花费成本最低,需要安装几道隔音窗,建造几堵隔音墙?(计算时厂房和小区的大小忽略不计) 解:(1)由余弦定理得cos ∠C =12,∠C =60º; ··············································· 3分 (2)由题设知,所求距离为△ABC 外接圆半径R , ··································· 4分由正弦定理得R =7002sin C∠=404. ················································· 6分答:加工厂与小区A 的距离约为404m ; ········································· 7分 (3)设需要安装x 道隔音窗,建造y 堵隔音墙,总成本为S 万元,由题意得:40485315150,2503,0,,N .x y x y x y *⎧---⨯≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≥⎪∈⎪⎩即5 6.28,03,0,,N .x y x y x y *+≥⎧⎪≤≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩ ·································· 9分 其中S =3x +10y ,当x =2,y =1时,S 最小值为16万元. ············· 11分 答:需安装2道隔音窗,建造1堵隔音墙即可. ······························ 12分题6(06上海徐汇区))人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题。

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