(新)高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题

Ⅰ ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程．

Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求|PA|的最大值与最小值． 参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 坐标系和参数方程．

（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 l

的普通 方程；

（Ⅱ）设曲线 C 上任意一点 P （ 2cosθ， 3sinθ）．由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以

sin30°进一步得到 |PA|，化积后由三角函数的范围求得

对于直线 l ：

由① 得： t=x ﹣2，代入 ② 并整理得： 2x+y ﹣6=0； （Ⅱ ）设曲线 C 上任意一点 P （ 2cosθ， 3sinθ）．

其中 α为锐角．

当 sin （ θ+α）=﹣1时， |PA|取得最大值，最大值为

当 sin （ θ+α）=1 时， |PA|取得最小值，最小值为

本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．

2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为：

，曲线 C 的参数方程为：

（ α为参数）．

（ I ）写出直线 l 的直角坐标方程；

（ Ⅱ ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值． 考点 ： 参数方程化成普通方程．

1．

已知曲线 C ： + =1，直线 t 为参数）

考点： 专题 ： 解答：

y=3sin θ， 故曲线 C 的参数方程为 ，（ θ为参数）． |PA|的最大值与最小值．

．

．

． ．

点评：

解：（ Ⅰ）对于曲线 C ：

=1，可令 x=2cos θ

P 到直线 l 的距离

专题：坐标系和参数方程．

分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；

（2）首先，化简曲线C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．

得

（x ﹣ 2） 2

+y 2

=4 ，

它表示一个以（ 2，0）为圆心，以 2 为半径的圆， 圆心到直线的距离为：

d= ，

本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．

1）化 C 1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

最小值．

考点 ： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程． 专题 ： 计算题；压轴题；转化思想．

分析： （1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线

C 1 表示一个圆；曲线 C 2 表示

一个椭圆；

（2）把 t 的值代入曲线 C 1的参数方程得点 P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线 C 2的 参数方程设出 Q 的坐标， 利用中点坐标公式表示出 M 的坐标， 利用点到直线的距离公式表示出 M 到已知直线 的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．

解答：

把 C 2：

焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆；

（2）把 t= 代入到曲线 C 1的参数方程得： P （﹣ 4，4），

解答：

解：（ 1） ∵直线 l 的极坐标方程为：

ρ( sinθ﹣

，

=，

=，

（2）根据曲线 C 的参数方程为： α为参数）．

∴曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值

=．

点评： 3．已知曲线 C 1：

t 为参数），C 2： θ为参数）．

2）若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C 2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C 3：

（t 为参数）距离的

解：（ 1）把曲线 C 1：

t 为参数）化为普通方程得：

22

x+4)2+(y ﹣3) 2=1，

所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣ 4， 3），半径 =1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，

cosθ∴x ﹣ y+1=0 ．

θ为参数） 化为普通方程

得：

把直线 C 3： （t 为参数）化为普通方程得： x ﹣ 2y ﹣7=0，

设Q 的坐标为 Q （8cos θ，3sin θ），故 M （﹣ 2+4cos θ， 2+ sin θ）

所以 M 到直线的距离 d= = ，（其中 sinα= ，cosα= ） 从而当 cosθ= ， sinθ= ﹣ 时，d 取得最小值

．

点评： 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题， 灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化 简求

值，是一道综合题．

4．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 C 的极坐标方程为

，直线 l 的参数方程为

（ t 为参数），直线 l 和圆 C 交于 A ， B 两点， P 是圆 C

上不同于 A ， B 的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求 △PAB 面积的最大值．

∴圆心到直线 l 的距离 ，

点 P 直线 AB 距离的最大值为

考点： 专题 ：

参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方

程． Ⅰ ）由圆 C 的极坐标方程为

，化为 ρ2

=

，把

代入即可得出．

（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离 可得 |AB|=2 ，利用三角形的面积计算公式即可得出．

d ，再利用弦长公式

解答：

解：（ Ⅰ ）由圆 C 的极坐标方程为

，化为 ρ2

=

代入可得：圆 C 的普通方程为 ∴圆心坐标为（ x 2

+y 2

﹣ 2x+2y=0 ，即（ x ﹣1）2

+（y+1）2

=2．

∴圆心极坐标为

1，﹣ 1）， ；

Ⅱ ）由直线 l

的参数方程 t 为参数），把 t=x 代入 y=﹣1+2 t 可得直线 l 的普通方程：

=

=

∴|AB|=2

=