叠加地震记录的相移波动方程正演模拟

本科生实验报告

实验课程数值模型模拟

学院名称地球物理学院

专业名称勘测技术与工程（石油物探）学生姓名

学生学号

指导教师熊高君

实验地点5417

实验成绩

2015年5月

成都理工大学

《地震数值模拟》实验报告

实验报告

一、实验题目

叠加地震记录的相移波动方程正演模拟

二、实验目的

掌握各向同性介质任意构造、水平层状速度结构地质模型的相移波动方程正演模拟基本理论、实现方法与程序编制，由正演记录初步分析地震信号的分辨率。

三、原理公式

1、地震波传播的波动方程

设（x,z）为空间坐标，t为时间，地震波传播速度为v(x,z)，则二维介质中任意位置、任意时刻的地震波场为p(z,x,t)：压缩波——纵波。则二维各向同性均匀介质中地震波传播遵循的声波方程：

ð2p(x,z,t)

ðx2+

ð2p(x,z,t)

ðz2

=

1

v2(x,z)

ð2p(x,z,t)

ðt2

(1)

2、傅里叶变换的微分性质

p(t)与其傅里叶变换的P(ω)的关系：

{P(ω)=∫p(t)e−iωt dt

∞

−∞

正傅里叶变换

p(t)=

1

2π

∫P(ω)e iωt dt

∞

−∞

逆傅里叶变换

(2)

则有时间微分性质：

{ (iω)P (ω)=∫dp (t )dt e −iωt dt ∞

−∞ 一阶微分 (iω)2P (ω)=∫d 2p (t )dt 2e −iωt dt ∞−∞

二阶微分 (3) ω为频率，ω=2πT ⁄，T 为周期。

同理有空间微分性质：

{ (ik)P (k )=∫dp (x )dx e −ikx dx ∞−∞ 一阶微分 (ik)2P (k )=∫d 2p (x )dx 2e −ikx dx ∞−∞

二阶微分 (4) k 为波数，k=2πλ⁄， λ为波长 3、地震波传播的相移外推公式

令速度v 不随x 变化，只随z 变化，则利用傅里叶变换微分性质（3）和（4）式，把波动方程(1)式变换到频率‐波数域，得：

(ik )2P (k,z i ,ω)+ð2P(k,z,ω)ðz 2=(iω)2v (z )2

P(k,z,ω) 或：

ð2P(k,z,ω)ðz 2=−(ω2v (z )2−k 2)P (k,z,ω) (5) 令：k z 2=ω2

v (z )2

−k 2 则(5)式的解为： P (k,z,ω)=c 1e −ik z z +

c 2e ik z z (6)

包括上行波和下行波两项，正演模拟取上行波：

P (k,z,ω)=c 1e −ik z z (7)

若Z j和Z j+1间隔为∆z，速度v(z)为在此间隔内不随Z变的常数，(7)式实现波场从Z j+1到Z j的延拓，即：

P(k,z j,ω)=c1e−ik z∆z

在深度Z j+1开始向上延拓到Z j，若延拓深度为零，即：∆Z=Z j+1−Z j，则P(k,z j=z j+1,ω)=c1e−ik z(z j+1−z j)=ce−ik z×0=c (8)

对于任意深度Z j+1到Z j的延拓，可得正演模拟中地震波的传播方程（延拓公式P(k,z j,ω)=P(k,z j+1,ω)c1e−ik z(z j+1−z j) (9)

4、初始条件和边界条件

按照爆炸界面理论，反射界面震源在t=0 时刻同时起爆，此时刻的波场就是震源。根据不同情况，可直接使用反射系数脉冲或子波作震源。如果直接使用反射系数作震源脉冲，则初始条件可表示为：

r(x,z) t=0

p0(x,z,t)={

(10)

0 t=其他

p0(x,z,t)对时间t和空间x做二维傅立叶变换，则得频率-波数域的初始波场p0(k,z,ω)。边界条件：p0(x,z,t)=

r(x,z) t=0,x min

{

(11)

0 t=其他,x=其他,z=其他

其他参数都是在x min

5、边界处理

（1）边界反射问题

把实际无穷空间区域中求解波场的问题化为有穷区域求解时，左右两边使用零边界条件。物理上假设探区距X min与X max两个端点很远，在两个端点上收

到的反射波很弱。但是，上述条件在实际中不能成立，造成零边界条件反而成为绝对阻止波通过的强反射面。在正演模拟的剖面上出现了边界假反射干涉正常界面的反射。

（2）边界强反射的处理

镶边法、削波法、吸收边界都能有效消除边界强反射。

削波法就是在波场延拓过程中，每延拓一次，在其两侧均匀衰减到零，从而消除边界强反射的影响。假设横向总长度为NX ，以两边Lx 道吸波为例，有以下吸波公式：

{Abs (Nx −Ix )=Abs (Ix )=√sin (π2×Lx Lx−1) 0<=Ix

根据数字信号处理的采样定理，把连续的信号变为计算机能处理的数字信号，使相移法正演模拟得以实现。

频域抽样定理：一个频谱受限信号 f(t)，如果时间只占据 −t m −t m 的范围，若在频域以不大于 1/2t m 频率间隔 ∆f ≤1/2t m 对信号f(t)的频谱F(ω)采样，则抽样到的离散信号 F 1(ω) 可以唯一表示原信号。

时域抽样定理：一个时间受限信号 f(t)，如果频谱只占据−ωm −ωm 的范围，则信号 f(t)可以用等间隔的抽样值唯一表示出来，而时间 ∆t 抽样间隔必须不大于1/2f m ，ωm =2πf m ，∆t =1/2f m 。

四、实验内容

削波法相位移正演模拟

（1）点绕射构造和水平层状速度模型（参数如图1所示）的正演数值模拟；