建模示例投资的收益和风险
投资问题数学建模
投资问题数学建模投资问题的数学建模是将投资问题转化为数学模型，并通过求解模型来得到最优的投资策略。
首先，我们需要定义一些变量：- t：投资期限，表示投资的时间长度。
- I(t)：在t时刻的投资金额。
- R(t)：在t时刻的投资收益率。
- C(t)：在t时刻的现金流。
- X(t)：在t时刻的投资组合，包括不同的投资品种和金额。
然后，我们可以根据投资问题的具体情况，建立数学模型。
以下是一些常见的投资问题数学建模方法：1. 简单的投资决策问题：假设只有一个投资品种，且投资金额恒定，我们可以使用期望收益率来衡量投资的性能。
数学模型如下：```max E[R(t)] - I(t)```该模型表示在投资期限为t的情况下，最大化期望收益率与投资金额的差值。
2. 多个投资品种的优化投资问题：假设有多个不同的投资品种可供选择，并且每个品种有不同的收益率和风险。
我们可以使用资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）或马科维茨组合理论（Markowitz Portfolio Theory）等模型来进行优化投资决策。
3. 动态投资决策问题：假设投资策略随时间变化，我们可以使用动态规划方法来建立模型。
这通常涉及到投资组合的再平衡和资产配置调整等决策。
4. 投资组合优化问题：假设有多个不同的投资品种可供选择，并且每个品种有不同的收益率、风险和相关性。
我们可以使用马科维茨组合理论等模型来建立投资组合的最优权重分配模型。
以上只是一些常见的投资问题数学建模方法，具体的建模方法需要根据具体的投资问题来确定。
需要注意的是，在建立数学模型时，还需要考虑到实际的投资限制和约束条件，如最小投资金额、投资品种的限制和杠杆效应等。
投资的收益和风险的数学建模
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时， 人们就要在深入调查研究、 了解 对 象 信息、 作出简 化假设、 分析内在规律等工作的基础上， 用数学的符号和语言， 把它表述为数学式子， 也 就 是 数 学 模 型， 然 后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题 并 接受 实 际 的 检 验。 这 个 建 立 数 学 模 型 的 全 过 程就 称 为 数学建模。MATLAB 是一种准确、 可靠的科学计算 标 准 软 件， 它具 有 强 大 的 矩阵 运 算 功能 与 函 数 多 样 性 功能， 是数学建模中常用的工具。 一般说来， 在现代商业、 金融投资中， 投资者总是希望实现收益最大化， 关注于采用什么样的投资方式 可以使总收益最大。然而投资是要承担风险的， 而且高收益总是伴随着高风险， 收益与风险之间存在着难 以调和的矛盾。怎样兼顾两者， 寻找切实可行的决策思想， 是投资的收益和风险决策的一个重要问题。 一、 问题的提出 1， 2， ……， n) 可以选择， 市场上有 n 种资产 s i ( i = 0 ， 现 用 数 额 为 M 的 相当大 的 资 金 进 行 一个 时 期的 投资。这 n 种资 产 在这 一 时 期 内 购 买 s i 的 平 均 收益 率 为 r i ， 风险损失率为 qi ， 投 资越 分 散， 总的 风 险 越 小， 总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。 购买 s i 时 要 付 交 易 费 ( 费 率 p i ) ， 当购买额不超过给定值 u i 时， 交 易 费 按 购 买 u i 计 算。 另 外， 假定同 期银行存款利率是 r0 ( r0 = 5 % ) ， 既无交易费又无风险。 已知 n = 4 时相关数据为
x = 0． 000 0 x= 0 x= 0 x = 0． 000 0
11539-数学建模-1998年A题《资产投资收益与风险》题目、论文、点评
1998年A题《资产投资收益与风险》题目、论文、点评投资组合与模糊规划模型王正方,赵文明,倪德娟本文讨论了投资的风险与收益的问题,首先我们给出了一个比较完整的模型,然后,考虑投资数额相当大时的一个近似处理模型,并分别用偏好系数加权法和模糊线性规划法进行了求解,接下来,我们又考虑了如何处理投资额相对较小的情况下的最优投资组合情况,引入了绝对收益率进行了较为有效的解决。
投资组合与模糊规划模型.pdf (275.8 KB)投资组合模型伍仕刚,孟宪丽,胡子昂本文建立了考虑交易费用情况下的市场资产组合投资模型,并采用偏好系数加权法对资产的预期收益和总风险进行评价,给出在不同偏好系数下的模型最优解,然后模型讨论了一般情况下的最优投资求解方法,给出定理,在总金额大于某一量值时,可化为线性规划求解。
投资组合模型.pdf (134.92 KB)风险投资分析程文鑫,苑青,骆文润本文主要研究多种资产的组合投资问题,根据题目所给信息,建立了在一定简化条件下的多目标规划模型和单目标风险约束模型,并对问题一与问题二分别使用上述两模型进行求解得到多种投资组合方案,同时对一般情况进行了讨论,最后模型进行了相应的灵敏度分析,讨论了简化条件的适用情况,结果表明模型是较为符合实际的风险投资分析.pdf (241.54 KB)资产投资收益与风险模型陈定涛,蒋浩,肖红英本文应用多目标决策方法建立模型,并通过简化,成为一个单目标线性规划问题。
计算后得到了一个合乎公司要求的、净收益尽可能大,而总体风险尽可能小的最优方案,如下所示: 问题1的最佳投资方案对表二中的数据进行同样的计算和分析,也获得了一个理想的投资方案;从而证明了我们的模型具有一般性。
资产投资收益与风险模型.pdf (298.22 KB)资本市场的最佳投资组合闫珺,王璐,韩嘉睿市场上有多种可提供投资者选择的资产。
本文试图对各种收益和风险进行分析,在一定的标准下给出全部资产组合的效益前沿,即有效资产组合,为投资者提供参考。
数学建模：投资问题
投资的收益与风险问题摘要对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。
本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略” ，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。
然后分别使用Matlab 的内部函数linprog ，fminmax ，fmincon 对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。
关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好2•问题重述与分析3.市场上有”种资产(如股票、债券、，).：0 丨.小供投资者选择，某公司有数额为匸的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买•「的平均收益率为c，并预测出购买T的风险损失率为％。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的：中最大的一个风险来度量。
购买」要付交易费，费率为;■.，并且当购买额不超过给定值•；..时，交易费按购买■；.计算(不买当然无须付费)。
另外，假定同期银行存款利率是：，且既无交易费又无风险。
(•1、已知" ；时的相关数据如下:试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。
并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。
这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求：净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。
数学建模：第六章建模范例三
103.133872
(3)
101.310287
(3,1)
98.472872
(5)
96.731702
(5,1)
94.787533
(5,2)
92.480158
(5,3)
90.844949
(5,3,1)
4108.656375
(5,5)
*
M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）
3
改为
4
利用
5
软件求解（程序略）M=5000万元，
6
n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）
7
*
M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）
存1年定期
存2年定期
存3年定期
存5年定期
取款数额（到期本息和）
每年发放奖学金数额
第一年初
105.650679
103.527252
220.429705
2.255
*
由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。
由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复） 只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,3,1)九种，
*
根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：
据上公式用
可以求得n=10年，M=5000万元时
基金使用的最优方案：（单位：万元）
每年奖学金：
问题三求解：
方案一：只存款不购买国库券
1
因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，
数学建模—投资的收益和风险问题
数学建模—投资的收益和风险问题投资一直是人们追逐财富增值的方式之一。
然而，投资市场的不确定性和风险给人们带来了很大的挑战。
数学建模作为一种解决问题的工具，可以帮助我们分析和评估投资的收益和风险。
本文将从数学建模的角度探讨投资的收益和风险问题。
一、投资收益的数学建模投资收益是投资者最关心的问题之一，通过数学建模我们可以对投资收益进行评估和预测。
常用的数学模型之一是股票价格的随机过程模型，其中最经典的是布朗运动模型。
布朗运动模型假设股票价格的波动符合随机游走过程，即无论是股票的上涨还是下跌都服从正态分布。
在这个模型中，我们可以通过计算出股票价格的期望回报和标准差，来评估投资的收益和风险。
除了布朗运动模型，我们还可以利用时间序列分析来预测股票价格的变动趋势。
时间序列分析是一种利用历史数据来分析未来走势的方法，通过建立股票价格与时间的数学模型，可以得到股票价格的预测值。
然而，需要注意的是，时间序列分析并不能完全预测未来的变动，因为股票价格受到很多因素的影响，例如市场供求关系、公司业绩等。
二、投资风险的数学建模除了投资收益，投资风险也是投资者非常关注的问题。
投资风险是指投资在市场变动中可能遭受的损失和波动程度，通过数学建模我们可以对投资风险进行量化评估。
常用的风险评估方法之一是价值-at-风险（Value at Risk，VaR）模型。
VaR模型以一定的概率来评估投资可能遭受的最大损失。
该模型通过构建投资组合的收益分布函数，计算出投资组合在给定概率下可能遭受的最大损失。
VaR模型可以帮助投资者合理地控制风险，制定适当的投资策略。
除了VaR模型，我们还可以利用随机模拟方法来评估投资风险。
随机模拟方法通过生成一系列符合规定分布的随机数，来模拟投资组合的收益分布。
通过模拟大量的随机数，我们可以得到投资组合可能的收益和风险情况，进而评估投资的风险。
三、数学建模在投资决策中的应用数学建模在投资决策中有着广泛的应用。
数学建模：投资收益和风险的模型
投资收益和风险的模型摘要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。
而且，大的收益总是伴随着高的风险。
在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。
为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。
随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。
传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。
一 问题的提出某公司有数额为M （较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（i S ）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买i S 的期望收益率（i r ）、交易费率(i p )、风险损失率(i q )以及同期银行存款利率0r （0r =3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受i r ,i p ,i q 影响，不受其他因素干扰 。
现要设计出一种投资组合方案, 使净收益尽可能大, 风险尽可能小.表1投资项目i S 期望收益率(%)i r 风险损失率(%)i q交易费率(%)i p存银行0S3 0 0 1S 27 2.4 1 2S 22 1.6 2 3S 25 5.2 4.5 4S 23 2.2 6.5 5S211.52其中0,1,2,3,4,5.i =二 问题假设及符号说明2.1 问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素, 因此所给的i S 的期望收益率i r 为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险, 即整个资本市场整体性风险, 它依赖于整个经济的运行情况, 投资者无法分散这种风险, 而只考虑非系统风险, 即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。
数学建模—投资的收益和风险问题
学建模二号：名：级：投资的收益和风险问题摘要：某投资公司现有一大笔资金（8000 万），可用作今后一段时间的市场投资，假设可供选择的四种资产在这一段时间的平均收益率分别为 r i ，风险损失率分别为 q i 。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。
另外，假定同期银行存款利率是 r0 =5%。
具体数据如下表：对于第一问，我建立了一个优化的线性规划模型，得到了不错的结果。
假设 5 年的投资时间，我认为五年末所得利润最大可为：37.94 亿。
具体如何安排未来一段时间内的投资，请看下面的详细解答。
如果可供选择的资产有如下15 种，可任意选定投资组合方式，就一般情况对以上问题进行讨论，结果又如何？对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率，通过分析，发现数据中存在着相互的联系。
由此，我建立了一个统计回归模型x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2通过这个模型，我预测了今后5年各个项目的到期利润率。
如第一个项目今后五年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年：0.1572 。
（其他几个项目的预测祥见下面的解答）考虑风险损失率时，定义计算式为：f=d*p;d 为该项目 5 年内的到期利润率的标准差，p 为到期利润率；考虑相互影响各个项目的到期利润率时，我们在第一个模型的基础上建立一新的模型：x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5 y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5 （两个项目互相影响的模型） x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5（三个项目互相影响的模型）通过解方程组，我们可以预测出今后五年的到期利润率。
有关投资的收益与风险的建模
有关投资的收益与风险的建模投资是为了获取收益而承担风险的行为。
通过建立投资的收益与风险的模型，投资者可以更好地理解和管理自己的投资组合。
本文将介绍一种常见的投资的收益与风险的建模方法。
在投资领域，常用的一种收益与风险的模型是资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。
该模型基于市场组合的收益和风险，通过β系数来衡量个体资产与市场的相关性。
β系数越高，代表个体资产的风险相对市场更高，收益也相对更高；反之，β系数越低，个体资产的风险相对市场更低，收益也相对较低。
通过计算个体资产的β系数，投资者可以根据市场风险来评估个体资产的预期收益。
另外，为了更全面地评估投资的收益与风险，投资者还可以使用价值-at-风险模型（Value-at-Risk，VaR）。
VaR是一种根据投资组合的历史数据和相关统计学方法来计算预期最大可能损失的模型。
通过计算VaR，投资者可以估计在特定风险水平下的最大可能损失，并相应地进行风险管理和资产配置。
此外，在投资的收益与风险建模中，还有一些其他方法可以使用。
例如，投资者可以使用相关性分析来评估不同资产之间的相关性，以便在资产配置和投资组合构建中降低风险。
同时，投资者还可以使用蒙特卡洛模拟来模拟不同的市场情况，并评估不同投资策略在不同市场环境下的收益和风险。
总之，投资的收益与风险建模是一种重要的工具，可以帮助投资者更好地理解和管理自己的投资组合。
CAPM、VaR、相关性分析和蒙特卡洛模拟等方法都可以帮助投资者更科学地进行投资决策，并降低投资风险。
然而，由于市场的不确定性和无法预测性，任何建模方法都存在一定的局限性，投资者在使用这些模型时应该谨慎，并结合其他因素来进行综合分析和决策。
投资是一种追求财富增长和实现财务目标的行为，但同时也伴随着风险和不确定性。
为了更好地理解和管理投资中的收益与风险，投资者可以使用各种建模方法来评估和预测投资的潜在回报和风险水平。
建模示例——投资的收益和风险
三、模型的建立与分析
1. 总体风险用所投资的 i中最大的一个风险来衡量 即 总体风险用所投资的S 中最大的一个风险来衡量,即 max{ qixi|i=1，2,…n} ， 2．购买Si所付交易费是一个分段函数 即交易费 pimax{ui, xi}; ．购买 所付交易费是一个分段函数, 即交易费= 3．要使净收益尽可能大 总体风险尽可能小 这是一个多目标规 ．要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小 这是一个多目标规 净收益尽可能大 总体风险尽可能小, n 划模型: 划模型
m Q( x) = ∑(ri − pi )xi ax
n
s.t. qi xi ≤ a0 M, i = 1,2,Ln
i =0
∑(1+ p )x
i =0 i
n
i
=M
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
如取风险水平a 如取风险水平 0＝0:0.001:0.1，可看出净收益的变 ， 化情况如图。 化情况如图。 0.3
m sα − (1− s)∑(ri − pi ) xi in
i =0
n
s.t. qi xi ≤ α, i = 1,2,Ln
∑(1+ p )x
i =0 i
n
i
=M
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
4
2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进 使就一般情况对以上问题进行讨论，
行计算: 行计算
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 元 S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 457 S10 36.8 40 2.9 248 Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 元 S11 11.8 31 5.1) 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 S14 S15 35 9.4 15 46 5.3 23 2.7 4.5 7.6 267 328 131
建模示例——投资的收益与风险
令 max qi xi i 1,2,, n ;则
简化后的模型——双目标线性规划模型
max Q( x ) ri pi xi
n
min P ( x , ) s.t . qi xi , i 1,2, n
i 0
(1 p ) x
i 0 i
n
i
M
xi 0, i 1,2,, n
四、模型求解
解法1 固定风险 水平，极大化净 收益——模型1 解法2 固定净收 益水平,极小化风 险损失——模型2
max Q( x ) ri pi xi
n
min P ( x , ) s.t . qi xi , i 1,2, n
Q( x ) ri xi pi max ui , xi ri pi xi
i 0 i 0
n
n
2) 简化总体风险函数P(x):
min P ( x ) max qi xi i 1,2,, n min P ( x , ) s.t . qi xi , i 1,2, n
S7 S8 S9 S10
40.7 31.2 33.6 36.8
68 33.4 53.3 40
5.6 3.1 2.7 2.9
178 220 457 248
二、基本假设和符号规定
基本假设： 1. 投资数额M相当大, 为了便于计算，假设M=1； 2. 投资越分散，总的风险越小； 3. 总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量； 4. n种资产Si之间是相互独立的； 5. 在投资的这一时期内, ri, pi, qi, r0为定值, 不受意外因素影响; 6. 净收益和总体风险只受 ri, pi, qi影响，不受其他因素干扰。 符号规定： Si -------第i种投资项目，如股票，债券; ri, pi, qiபைடு நூலகம்----分别为Si的平均收益率, 风险损失率, 交易费率; ui ---------Si的交易定额; r0 ---------同期银行利率; xi -------投资项目Si的资金; Q(x) ------总体收益函数; P(x)-------总体风险函数；
数学建模多目标规划
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
u( f (x)) = ∑λi fi (x)
i =1
m
∑λ = 1
i =1 i
m
转化单目标法
3. 极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
x∈ X 1≤ i ≤ m
4. 范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
建模示例——投资的收益和风险
(1 pi )xi M
i0
xi 0, i 1,2,, n
2. 投资越分散，总的风险越小；
3. 总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量；
4. n种资产Si之间是相互独立的；
5. 在投资的这一时期内, ri, pi, qi, r0为定值, 不受意外因素影响;
6. 净收益和总体风险只受 符号规定：
ri,
pi,
qi影响，不受其他因素干扰。
Si -------第i种投资项目，如股票，债券; ri, pi, qi ----分别为Si的平均收益率, 风险损失率, 交易费率; ui ---------Si的交易定额; r0 ---------同期银行利率; xi -------投资项目Si的资金; Q(x) ------总体收益函数;
数学建模示例
（1998A）
——投资的收益和风险
建模示例——投资的收益和风险(1998A)
市场上有n种资产Si(i=1,2……n)可以选择, 现用数额为 M的相当大的资金作一个时期的投资. 这n种资产在这一时
期内购买Si的平均收益率为ri, 风险损失率为qi, 投资越分散,
总的风险越小, 总体风险可用投资的Si中最大的一个风险
S1 28 2.5 1 103 资金M, 有选择地购买若干
S2 21 1.5 2 198 种资产或存银行生息, 使
S3 23 5.5 4.5 S4 25 2.6 6.5
52 净收益尽可能大, 使总体 40 风险尽可能小.
2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进 行计算:
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 457 S10 36.8 40 2.9 248
有关投资的收益与风险的建模
关于投资的收益和风险的建模傅园旭李冲程龙指导教师：刘利斌摘要：1.本文建立了一个关于资产组合的收益最大化风险最小化的数学模型2.本文通过在考虑风险一定时收益最大化，再考虑收益一定时的风险最小化的资产最优组合模型，并对最终的结果进行了优化处理，最终推广到一般的投资之中。
一问题的重现市场上有N种资产Si可供选择，某公司有一笔数额为M的相当大量的资金能够用做一个时期的投资。
公司的财务分析员通过分析估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，风险损失率为：qi。
考虑到投资越分散，总的风险越小，购买额不超过ui时，按交易费购买ui计算。
银行存款利率为ro，无交易费，无风险。
1.已知n=4时的相关数据如下：表一要求设计给该公司设计投资方案，使得既有投资，又有存款，同时使得收益尽可能的大，风险尽可能的小。
2.试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算；表二通过分析可知这是一道属于最优化的问题，要使得投资收益尽量的大，风险尽量的小。
能够分成两类考虑：即：1)风险一定，收益最大化。
2）收益一定，风险最小化。
文中的符号讲明：Si：第i种资产 ri：购买Si的平均收益率 qi：这一时期内购买Si的风险损失率ui：购买Si的给定值 r0同期银行存款率 Qi：购买Si的风险大小M：某公司一笔数额的资金 Q：总体风险 xi：购买Si 的资金x0：用于存款的资金 ci ：交易费 w ：净收益0.312441,*0.07w Q ==第i 种和第i-1种净收益之差 ,1Qi j ∆-：第i 种和第i-1种总体风险之差二 模型假设1、该公司在某一时期是一次性的投资。
2、该公司在购买Si 时不同意，用全部资金购买。
3、不考虑通货膨胀及其它风险情况。
4、银行存款利率不变为：r05、总体风险用最大的那个投资Si 表示。
6、假设净收益为除去所有支出所剩的利润。
三 模型的建立一 差不多模型：1.目标方程：考虑到在风险一定的情况下，总收益的最大化。
建模示例——投资的收益和风险
建模示例——投资的收益和风险引言投资是一种常见的理财方式，可以帮助个人或机构提高财务回报。
然而，投资也伴随着一定的风险。
为了更好地理解投资的收益和风险之间的关系，可以进行建模分析。
本文将介绍一种建模示例，帮助读者更好地理解投资的收益和风险。
数据收集为了进行建模分析，需要收集投资相关的数据。
在这个示例中，我们将以股票投资为例。
收集到的数据包括股票的历史价格、市场指数的历史数据和其他相关经济指标等。
选择适当的模型对于理解投资的收益和风险之间的关系非常重要。
在这个示例中，我们将使用计量经济学中的资本资产定价模型（CAPM）来进行分析。
模型解释CAPM模型是一种经济学理论，用于描述资产预期回报与市场风险之间的关系。
根据CAPM模型，资产的期望回报与其系统风险有关。
系统风险是指与整个市场相关的风险。
CAPM模型的数学表示如下：E(R i)=R f+βi(E(R m)−R f)其中，E(R i)表示资产i的期望回报，R f表示无风险利率，βi表示资产i的风险系数（beta），E(R m)表示市场的期望回报。
使用收集到的数据和CAPM模型，可以进行数据分析，以了解投资的收益和风险之间的关系。
具体步骤如下：步骤1：计算资产的期望回报根据CAPM模型，首先需要计算资产的期望回报。
这可以通过计算股票的历史回报率来实现。
步骤2：计算资产的系统风险资产的系统风险可以通过计算资产的风险系数（beta）来估计。
风险系数反映了资产与市场之间的相关性。
步骤3：计算市场的期望回报市场的期望回报可以通过分析市场指数的历史数据来估计。
步骤4：应用CAPM模型将计算得到的资产的期望回报、系统风险和市场的期望回报带入CAPM模型中，可以得到资产的预期回报。
步骤5：分析结果根据CAPM模型计算得到的结果，可以通过对不同投资组合进行比较，评估不同投资策略的收益和风险。
结论通过建立合适的模型并进行数据分析，可以帮助我们更好地理解投资的收益和风险之间的关系。
数学建模投资问题【精选文档】
某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证劵的收益需按照50%的税率纳税。
此外还有以下限制:（1）政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元；（2）所购证劵的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小,信用程度越高)；（2）如果能够以2。
75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证劵A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证劵C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？2．模型的假设(1）假设该投资为连续性投资，即该经理投资不会受到年限过长而导致资金周转困难的影响；(2）假设证劵税收政策稳定不变而且该经理优先考虑可以免税的市政证劵的情况下再考虑其他证劵种类以节约成本；（3)假设各证劵之间相互独立而且各自的风险损失率为零。
（4）假设在经理投资之后，各证劵的信用等级、到期年限都没有发生改变；(5)假设投资不需要任何交易费或者交易费远远少于投资金额和所获得的收益，可以忽略不计；(6）假设所借贷资金所要支付的利息不会随时间增长,直接等于所给的利率乘上借贷资金。
3．符号说明X1：投资证劵A的金额（百万元)；X2：投资证劵A的金额(百万元）；X3：投资证劵A的金额（百万元）；X4：投资证劵A的金额（百万元）；X5:投资证劵A的金额（百万元）；Y:投资之后所获得的总收益（百万元)；对于该经理根据现有投资趋势,为解决投资方案问题,运用连续性投资模型，根据所给的客观的条件，来确定各种投资方案，并利用线性规划模型进行选择方案，以获得最大的收益。
问题一，该经理优先考虑可以免税的市政证劵的情况下再考虑其他证劵种类以节约成本，我们可以在所提出的假设都成立的前提下(尤其是假设所借贷资金所要支付的利息不会随时间增长,直接等于所给的利率乘上借贷资金）以及综合考虑约束资金和限制条件，将1000万元的资金按照一定的比例分别投资个各种证劵。
1998全国大学生数学建模大赛试题
1998年全国大学生数学建模竞赛题目A题投资的收益和风险( i=1,…n) 供投资者选择，某公司市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这的平均收益率为，并预测出n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si购买S的风险损失率为。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当i中最大的一个风险来用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si度量。
购买S要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购i买计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。
（=5%）1.已知n = 4时的相关数据如下：2.试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
3.试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
B题灾情巡视路线下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。
今年夏天该县遭受水灾。
为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。
巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。
1.若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。
要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
3.在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
4.若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。
1998年全国大学生数学建模竞赛题目A题投资的收益和风险( i=1,…n) 供投资者选择，某公司市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
投资的风险和收益的建模[2]
![投资的风险和收益的建模[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/eeb0387a650e52ea54189850.png)
投资的风险和收益摘要：本题是一个优化问题，对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑好多因素。
投资问题中的投资收益和风险问题，我们总希望利润获要尽可能大而总体风险尽可能小，但是，他并不是意随人愿，在一定意义上是对立的。
模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。
在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a ，使最大的一个风险q i x i /M ≤a ，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划模型二若投资者希望总盈利至少达到水平k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合. 固定盈利水平，极小化风险模型三给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。
【关键字】：多目标规划模型 有效投资方案 赋权 一 问题的提出投资的效益和风险(1998年全国大学生数学建模竞赛A 题)市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数 额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n 种 资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金 购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。
购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算。
另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1998A）
——投资的收益和风险
建模示例——投资的收益和风险(1998A)
市场上有n种资产Si(i=1,2……n)可以选择, 现用数额为 M的相当大的资金作一个时期的投资. 这n种资产在这一时
期内购买Si的平均收益率为ri, 风险损失率为qi, 投资越分散,
总的风险越小, 总体风险可用投资的Si中最大的一个风险
S1 28 2.5 1 103 资金M, 有选择地购买若干
S2 21 1.5 2 198 种资产或存银行生息, 使
S3 23 5.5 4.5 S4 25 2.6 6.5
52 净收益尽可能大, 使总体 40 风险尽可能小.
2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进 行计算:
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 457 S10 36.8 40 2.9 248
通常在分析 问题时，需要 取多组不同的
n
max Q( x) ri pi xi i0
s.t. qi xi a0M , i 1,2,n
风险水平a0，观 察净收益的变
n
(1 pi )xi M
化情况，以便 给出合理的风 险水平a0。
i0
xi 0, i 1,2,, n
如取风险水平a0＝0:0.001:0.1，可看出净收益的变 化情况如图。
简化后的模型——双目标线性规划模型
n
max Q( x) ri pi xi i0
min P( x, )
s.t. qi xi , i 1,2,n
n
(1 pi )xi M
i0
xi 0, i 1,2,, n
四、模型求解
解法1 固定风险 水平，极大化净 收益——模型1
解法2 固定净收 益水平,极小化风 险损失——模型2
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) S11 11.8 31 5.1) 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 35 46 2.7 267 S14 9.4 5.3 4.5 328 S15 15 23 7.6 131
二、基本假设和符号规定
基本假设：
1. 投资数额M相当大, 为了便于计算，假设M=1；
2. 投资越分散，总的风险越小；
3. 总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量；
4. n种资产Si之间是相互独立的；
5. 在投资的这一时期内, ri, pi, qi, r0为定值, 不受意外因素影响;
6. 净收益和总体风险只受 符号规定：
ri,
pi,
qi影响，不受其他因素干扰。
Si -------第i种投资项目，如股票，债券; ri, pi, qi ----分别为Si的平均收益率, 风险损失率, 交易费率; ui ---------Si的交易定额; r0 ---------同期银行利率; xi -------投资项目Si的资金; Q(x) ------总体收益函数;
0.3
1.00 0 0 0.66 0.08 0.13 0.33 0.16 0.27
0 0.24 0.40 0 0.32 0.53 0 0.40 0.58 0 0.48 0.51 0 0.56 0.43 0 0.64 0.35 0 0.72 0.27 0 0.80 0.19 0 0.88 0.11 0 0.96 0.03 0 0.99 0
0 0.04 0.07 0.11 0.13
0 02 0.15 0.004 0.22 0.006
0 0.008 0 0.01 0 0.012 0 0.014 0 0.016 0 0.018 0 0.020 0 0.022 0 0.024 0 0.026
n
max Q( x) ri pi xi i0
min P( x, )
s.t. nqi xi , i 1,2,n
(1 pi )xi M
i0
xi 0, i 1,2,, n
解法3 权衡资产风险和预期净收益两方面, 对风险、 收益赋予权重s和1－s(s称为投资偏好系数)——模型3
模型1 确定风险水平a0，使每一项投资的风险损失 不超过a0*M，并极大化净收益，来得到最优投资组 合——把多目标问题转化为单目标问题
P(x)-------总体风险函数；
三、模型的建立与分析
1. 总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即 2. max{ qixi|i=1，2,…n}
2．购买Si所付交易费是一个分段函数, 即交易费= pimax{ui, xi};
3．要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小, 这是一个多目标规
划模型:
来度量. 购买Si时要付交易费 (费率pi), 当购买额不超过给
定值ui时, 交易费按购买ui计算. 另外, 假定同期银行存款利
率是r0, 既无交易费又无风险(r0=5%). 已知n=4时相关数据
如下：
1)试给设计一种投资
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 组合方案, 即用给定达到
n
n
Q( x) ri xi pi maxui , xi ri pi xi
i0
i0
2) 简化总体风险函数P(x):
令 max qi xi i 1,2,, n ;则
min P( x) maxqi xi i 1,2,, n
min P( x, ) s.t. qi xi , i 1,2,n
n
目 max Q( x) ri xi pi maxui , xi
标
i0
min P( x) max qi xi i 1,2,, n
n
约 束
(1 pi )xi M
i0
条 件
xi 0, i 1,2,, n
4. 模型简化：
1) 简化总收益函数Q(x)
购买Si所付交易费是一个分段函数, 即交易费= pimax{ui, xi}; 而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小, piui更小,可 以忽略不计, 这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi