平面向量模的求法
如何求解与向量的模有关的问题
解题宝典平面向量是联系几何与代数的“纽带”.在求解与向量的模有关的问题时，往往可以从几何、代数两个角度入手，来寻找解题的思路.与向量的模有关的问题侧重于考查向量的模的公式、向量的运算法则、基本定理、共线定理的应用.本文主要介绍一下与向量的模有关的问题的三种方法：平方法、坐标法、几何性质法.一、平方法由于||a 2=a 2，所以在求解与向量的模有关的问题时，通常可采用平方法.首先根据题意求得所求向量的表达式；然后将其平方，并根据向量的数量积公式、模的公式、数乘运算法则，将目标式化简、变形，从而求得问题的答案.例1.若||a =||b =||a -2b =1，求向量2a +b的模.解：∵||a=||b =||a -2b =1，∴||a 2=1，||b 2=1，||a -2b 2=1，即||a 2-4a ⋅b +4||b 2=1，得4a ⋅b =4，∵4||a 2+4a ⋅b+||b 2=4+4+1=9，∴()2a +b2=9，即||2a +b =9=3，∴向量2a +b的模为3.先将||a -2b =1平方，求得4a ⋅b=4；然后将目标式平方，并根据向量的运算法则展开该平方式；再将||a 2=1、||b 2=1、4a ⋅b =4代入，即可快速求得向量2a +b 的模.例2.已知b =x -2y，c =2x +y ，||b =||c =3，若b 与c的夹角为π3，求向量x 、y 的模.解：∵b =x -2y，c =2x +y ，∴x =b +2c 5，y =c -2b5，∵||b=||c =3，b与c 的夹角为π3，∴||x 2=()b+2c 225=||b 2+4||c 2+4b ⋅c 25=2125,可得||x ||y2=()c -2b225=4||b 2+||c 2-4b ⋅c25=925,可得||y=35.由于已知b 与c 的模和夹角，所以可以联想到向量的数量积公式，于是将b 与c 平方，采用平方法求解.将b =x -2y ，c =2x +y 平方后展开，再将相关的值代入求值，即可解题.运用平方法解题，要注意在求得向量的平方值后对其进行开方.二、几何性质法平面向量往往可以运用平面几何图形表示出来，因而在求解与向量的模有关的问题时，可以采用几何性质法.首先根据向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则、向量的模即为向量所表示的线段的长，构造出平面几何图形；然后将所求的向量的模视为平面几何图形的一条边长，根据图形的特点，运用三角形、平行四边形、圆等性质来求得向量的模.运用几何性质法，可使题目中的数量关系以直观的形式呈现出来，这有利于提升解题的效率.例3.已知||a =||b =1，且a ⋅b=0，若||c +a +b =1，则||c的最大值为_____.解：∵a ⋅b =0，∴a ⊥b，∵||a=||b =1，||c +a +b =||a +b -()-c =1，设a 、b 、c 的起点为O ，则向量-c 的终点A 在以半径为1的圆上，如图1所示.∵||-c =|| OA =()a+b 2=||a 2+||b 2+2a ⋅b =2，∴||c的最大值为2+1.图144首先根据已知条件||c +a +b =1构造单位圆，并根据题意画出如图1所示的图形，便可将问题转化为求圆上的点A 与O 的距离的最值；然后根据圆的性质：圆的弦中直径最长，求得问题的答案.例4.已知∠AOB =120°，|| OA =|| OB =2，点M 是线段OA 上异于点O 、A 的一个动点，若 BM 在MA 上的投影不小于2，求|| OM 的取值范围.解：如图2，过扇形AOB 的顶点B 作BC ⊥OA ，交AO 的延长线于点C .图2则 BM 在MA 上的投影长为|| CM ，在直角三角形OBC 中，∠BOC =180°-∠BOA =60°，所以|| CO =|| OB cos60°=1，当|| CM =2时，|| OM =|| CM -|| CO =2-1=1，所以当|| CM ≥2时，1≤||OM ≤2，故||OM 的取值范围为[]1,2.我们先根据已知条件构造扇形AOB ，并添加辅助线，根据两个向量的数量积的几何意义：一个向量与其在另一个向量上的投影的乘积，将问题转化为求||CM -||CO 的取值范围.利用勾股定理和扇形的性质，即可运用几何性质法求出|| CM -|| CO 的最值.三、坐标法坐标法是指在平面直角坐标系中，求各个点、向量的坐标，通过向量的坐标运算解题.若a =(x ,y ),则向量a的模为||a =x 2+y 2.在解答与向量的模有关的问题时，需先寻找或构造垂直关系，建立平面直角坐标系；然后根据向量的坐标运算法则，利用向量的模的坐标公式||a=x 2+y 2求解.例5.已知a=()cos 32x ,sin 32x ，b =()cos 12x ,-sin 12x ，x ∈éëêùûú0,π2，求||a+b .解：∵a =(cos 32x ,sin 32x ),b=(cos 12x,-sin 12x ),∴a +b=(cos 32x +cos 12x ,sin 32x -sin 12x ),∴||a +b 2=(a +b)2=(cos32x +cos 12x )2+(sin 32x -sin 12x )2=2+2cos2x =4cos 2x ，∵x ∈éëêùûú0,π2,∴||a +b=2||cos x =2cos x ∈[]0,2.由于已知两个向量的坐标，所以可以直接运用坐标法，根据向量坐标的加法法则，求得a +b 的表达式.然后将该式平方，利用向量的模的坐标公式，以及余弦函数的有界性求得问题的答案.例6.已知向量a ，b，c 满足|a |=|b |=a ·b =2，(a -c )·(b -2c )=0，则||b-c 的最小值为_______.解：由|a |=|b |=a ⋅b=2，知a ，b 的夹角为π4，可设a =(2,0)，b =(1,3)，c =(x,y )，∵(a -c )⋅(b -2c )=0，∴(2-x ，-y )·(1-2x ，-2y )=0，即2x 2+2y 2-5x -y +2=0.方程2x 2+2y 2-5x -3y +2=0表示圆心为(54，||b-c =(x -1)2+(y -3)2表示圆2x 2+2y 2-5x -3y +2=0，3)所以||b-c -=7-32.我们根据题意设出a 、b的坐标，便可通过向量坐标的减法运算法则以及数量积公式求得(a -c )⋅(b -2c )的表达式；然后将该式视为圆的方程，将求||b-c 的最小值转化为求圆2x 2＋2y 2-5x -3y ＋2=0上的点到点(1，3)的最小距离.求解与向量的模有关的问题的方法很多，无论运用哪种方法求解，都需运用向量的模的公式、数量积公式、向量的运算法则等向量知识.这就要求我们要熟练掌握并灵活运用向量知识，将问题与向量的模的公式、向量的模的坐标公式、向量的模的几何意义等关联起来，利用平方法、坐标法、几何性质法等求解.（作者单位：广东省珠海市实验中学）解题宝典45。
浅析平面向量求模的两种方法
（ ｘ ， Ｙ ） ， 贝 ０ 晤 ｌ ＿ Ｖｘ ‘ ＋ ｙ ‘ ．
例１ ： 设 向量 （ 一 ２ ， ２ ） ， ＝ （ ２ ， 一 １ ） ， 求 一 的模 ．
解析 ： 一 ｇ ＝ ２ ｘ （ 一 ２ ， ２ ） ＋ （ ２ ， 一 １ ） ＝ （ － － ４ ， ４ ） ＋ （ ２ ， 一 １ ） ＝ （ 一 ２ ， ３ ）
・
．
（ ２ 一 ＋ ） ‘ ＝ １ ２ 一 十 Ｊ
当ｘ ＝ ０ 时 ，吾 ＝ （ １ ， ０ ） ， ＝ （ ３ ， ０ ） ， ． ・ ． 一 ＝ （ 一 ２ ， ０ ） ， ． ・ ． 一 １ ｇ ｌ ＝
・
．
．
Ｉ ２ 吾
ｌ － 、 ／ 可： ３
例２ ： 已知 ＝ ８ ， ＝ ６ ， 且Ｉ ＋ Ｅ ｌ ＿ Ｉ 吾 － ｇ Ｉ ． 求ｌ — ６ Ｉ ．
＝
解析 ： ・ ． ・ 吾 ・ Ｅ ，
’ ． ．
１ ｘ （ 一 ｘ ） ＝ ｘ ｘ （ ２ ｘ ＋ ３ ）
．
４ Ｉ Ｉ ‘ ＋ ｌ ｇ ｌ ＋ ｌ ｅ ｌ ： ４ ＋ ２ ＋ ３ ： ９
・
整理得 ： ｘ ＇ ＋ ２ ｘ ＝ ０， ． ￣ ｌ ｘ ． ＝ ０． ｘ １ —２
Ｖ（ 一 ２ ） ‘ ＋ ０ ‘ ＝ ２ ．
当ｘ ＝ 一 ２ 时， ＝ （ １ ， 一 ２ ） ，Ｅ ＝ （ 一 １ ， ２ ） ， ． ・ ． 吾 — ６ ＝ （ ２ ， 一 ４ ） ， ． ・ ． １ 一 Ｅ ｌ ＝
解析 ： ・ ． ・ ｉ ￣ ＋ ｇ ｉ ＝ ｆ 吾 一 Ｅ ｌ ， ． ・ ． （ 吾 ＋ ６ ） ‘ ＝ （ 一 ）
点 评 ：公式 ｌ ＋ Ｅ 『 ＿ 、 ／ （ ＋ ） ： 、 ／ ＋ ２ ． Ｅ ＋ Ｅ ‘ ：
平面向量的坐标表示与向量模长
平面向量的坐标表示与向量模长在平面几何中，向量是一种具有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
为了描述和计算向量的性质和运算，常常使用它的坐标表示和模长。
本文将探讨平面向量的坐标表示以及如何计算其模长。
一、平面向量的坐标表示平面向量通常由两个不平行的线段表示，其中一个线段表示向量的大小和方向，另一个线段表示向量的方向。
为了方便计算和描述，我们可以使用坐标表示来表示平面向量。
平面坐标系是一个由两条彼此垂直的坐标轴组成的坐标系，通常称为x轴和y轴。
以原点O为起点，x轴和y轴正方向分别为正向和负向。
在平面坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点到y轴的水平距离，y表示点到x轴的垂直距离。
对于平面向量AB，可以使用一个有序对来表示其坐标表示，即(ABx, ABy)，其中ABx表示向量AB在x轴上的投影长度，ABy表示向量AB在y轴上的投影长度。
二、向量的模长向量的模长表示向量的大小，也称为向量的长度。
在平面向量中，向量的模长通常由向量的坐标表示计算而得。
设平面向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，那么向量AB的模长记作|AB|，可以通过勾股定理得到如下公式：|AB| = √(ABx^2 + ABy^2)其中^2表示平方运算，√表示开方运算。
三、示例与应用为了更好地理解平面向量的坐标表示和模长，我们来看一个具体的示例。
示例：已知平面向量AC的坐标表示为(3, 4)，求向量AC的模长。
解析：根据上述公式，我们可以计算向量AC的模长：|AC| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，向量AC的模长为5。
平面向量的坐标表示和模长在几何学和物理学中有着广泛的应用。
它们可以用于描述力和力矩等物理量，计算线段的长度和方向等几何性质。
同时，在向量运算和向量计算中，坐标表示和模长也是必不可少的工具。
结论平面向量的坐标表示和模长是描述和计算向量性质的重要工具。
通过使用坐标表示，我们可以准确地表示向量的方向和大小；通过计算模长，我们可以得到向量的大小。
平面向量模长
平面向量模长平面向量是解决几何问题中常用的工具。
在平面上，向量通常用有向线段来表示，有起点和终点，并且有大小和方向。
在平面向量中，模长表示了向量的大小或长度。
模长是平面向量的一个重要属性，它可以用来计算向量之间的距离和角度，也可以用于向量的运算和判断向量的性质。
平面向量的模长计算方法如下：设向量AB的起点为A，终点为B，向量AB的模长记作|AB|或者∥AB∥。
要求向量AB的模长，可以使用勾股定理或者向量的投影来计算。
方法一：勾股定理计算模长设向量AB的坐标表示为AB = (x,y)，则向量AB的模长可以通过勾股定理计算得到：|AB| = √(x^2 + y^2)方法二：向量的投影计算模长设θ为向量AB与x轴的夹角，则向量AB的模长可以通过向量的投影计算得到：|AB| = |ABx| = AB * cos(θ)其中，ABx表示向量AB在x轴上的投影长度，cos(θ)表示向量AB 与x轴的夹角的余弦值。
平面向量模长的性质如下：1. 如果一个向量的模长为0，则这个向量为零向量，记作0，即|0| = 0。
2. 如果一个向量的模长为正数，则这个向量称为非零向量。
3. 平面上，两个向量的模长相等，当且仅当这两个向量相等。
即如果向量AB和向量CD的模长相等，即|AB| = |CD|，则向量AB和向量CD相等，即AB = CD。
4. 对于一个向量的模长，有如下性质：a. 两个平行向量的模长相等。
b. 一个向量与一个与之平行的向量的模长也相等。
平面向量的模长在几何问题中有着广泛的应用，例如计算距离、角度、面积等等。
在计算中，我们需要根据具体的问题选择适合的计算方法来求解。
例如，如果我们需要计算两个点在平面上的距离，可以将这两个点看作是起点和终点构成的向量，然后计算向量的模长即可。
同样，我们也可以通过计算向量的模长来确定一个三角形的面积。
在向量的运算中，模长也有着重要的意义。
例如，如果我们要计算两个向量的点积，可以通过计算两个向量的模长和它们夹角的余弦值的乘积来实现。
平面向量求模的四种方法
平面向量求模的四种方法
在互联网的广泛应用中，欧几里得的平面向量求模是一般学习及应用过程中不
可或缺的技术之一。
模的定义是二维向量的长度，即向量(x,y)在二维平面上横着
画和竖着画所构成直角三角形的周长，计算二维向量模的方法有四种：
第一种是极坐标表示法，也称为极坐标公式，即|v|＝√(x^2+y^2)，该公式有
其独特的优势，可以理解为圆环边长的计算公式，非常实用。
第二种方法是三角函数，即|v|＝|x|cosθ+|y|sinθ，就是按照竖直线和水平
线的来计算，在实际计算中会使用三角函数以完成此任务。
第三种方法是勾股定理，即|v|＝√(x^2+y^2)，这是一种很容易理解的方法，
只要记住勾股定理中的数学公式，就可以很轻松地计算出模的大小。
第四种方法是解析几何的方法，即|v|＝|x|+|y|，这是比较复杂的一种方法，
对于对解析几何有较好的理解能力的人，通过这种方式可以轻松计算出模。
总结起来，计算平面向量模的方法共有四种，它们分别是极坐标表示法、三角
函数、勾股定理和解析几何的方法，有不同的应用场景，不同的人也有不同的选择方式，在互联网行业的发展中，对模的计算非常重要，可以帮助企业加快发展速度，提升企业的服务品质。
平面向量的模长与向量的夹角
平面向量的模长与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将讨论平面向量的模长与向量的夹角之间的关系。
一、平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
平面向量常用字母加箭头（如→AB）表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
平面向量还可以使用坐标表示法，其中(x, y)表示向量在坐标轴上的投影长度。
当两个平面向量相等的时候，它们具有相同的大小和方向。
二、平面向量的模长平面向量的模长表示向量的大小。
对于一个平面向量→AB，它的模长表示为|→AB|或者AB。
对于一个平面向量→AB(x, y)，它的模长可以通过勾股定理计算得到：|→AB| = √(x² + y²)。
三、平面向量的夹角平面中的两个非零向量→AB和→CD，它们之间的夹角用符号θ表示。
夹角θ可以通过两向量的点积公式计算得到：cosθ = (→AB·→CD) / (|→AB| * |→CD|)。
在平面中，夹角θ的取值范围为0到π（弧度）之间。
四、模长和夹角的关系在平面向量中，模长和夹角之间有以下关系：1. 如果两个向量的模长相等，即|→AB| = |→CD|，则它们之间的夹角θ可能是0度、180度或其他角度。
当且仅当两个向量的方向相同时，夹角为0度；当且仅当两个向量的方向相反时，夹角为180度。
2. 如果两个向量的夹角为90度，即θ = π/2，那么它们之间的模长可能相等，也可能不相等。
3. 如果两个向量的夹角为0度，即θ = 0，那么它们之间的模长必然相等。
综上所述，平面向量的模长与向量的夹角之间的关系是复杂而多样的，取决于具体的向量和夹角大小。
五、案例分析为了更好地理解平面向量的模长与向量的夹角之间的关系，我们举例进行分析。
假设有两个平面向量→AB(3, 4)和→CD(-1, 2)：1. 计算模长：|→AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5|→CD| = √((-1)² + 2²) = √(1 + 4) = √52. 计算夹角：cosθ = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * √5) = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * 5) = (6 - 3) / 25 = 3 / 25由于夹角θ的取值范围为0到π之间，无法通过此结果得到夹角的具体值。
向量模长公式推导
向量模长公式推导
向量模长公式是：比如一个平面向量为a=（x,y）,则模长为|a|=√
（x^2+y^2)；比如一个空间向量为a=（x,y,z）,则模长为|a|=√
（x^2+y^2+z^2)。
资料拓展：
向量AB（AB上面有→）的长度叫做向量的模，记作|AB|(AB上有→）或|a|(a上有→)。
向量的性质：
向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。
多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成后的向量。
模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为就是向量的长度。
推广到高维空间中称为范数。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。
如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。
平面向量模的取值范围
平面向量模的取值范围
首先，让我们来看一下向量的定义。
在二维平面上，一个向量可以用坐标表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和y 轴上的分量。
向量的模可以用勾股定理来计算，即模的平方等于x 分量的平方加上 y 分量的平方。
因此，向量的模可以表示为：
|v| = √(x^2 + y^2)。
根据这个公式，我们可以得出结论，向量的模永远是非负的实数，因为模的平方是两个非负实数的和，开根号后得到的值也是非负的。
因此，向量的模的取值范围是[0, +∞)。
这个结论对于理解向量的性质非常重要。
首先，它告诉我们向量的模永远不会是负数，这与向量的长度的直观理解相符。
其次，它也说明了向量的模可以是任意大的正实数，这意味着我们可以用向量来表示任意长度的线段。
在实际应用中，向量的模的取值范围也给我们提供了重要的信息。
比如在物理学中，速度和加速度可以用向量来表示，它们的模就代表了速度和加速度的大小。
在工程学和计算机图形学中，向量
的模也经常被用来表示距离和长度。
总之，平面向量模的取值范围是[0, +∞)，这个结论不仅对于数学理论具有重要意义，也在实际应用中起着重要的作用。
对于学习和理解向量的同学们来说，理解向量模的取值范围将有助于更深入地理解向量的性质和应用。
2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养． 3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.（三）平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. （四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉． 结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__12211212（六）常用结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.例2．（2017·天津·高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】 【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二：平面向量的坐标运算例3.（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D例4.（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例5.（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),Px y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.例6.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.例8．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】 【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -， 所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--， 因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -. (2)由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =， 所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=， 因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便． 题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC例10.（2019·天津·高考真题（文）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AEBE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D ． 因为AD∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BEy x=-，直线AE的斜率为y =．由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-， 所以1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．例11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解． 题型五：平面向量的模、夹角例12．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量()1,2a =，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】 【分析】先求出||a ，再将8a b +=两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得：2||12a =+，由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=， 即得249,||7b b ==，故选：D例13.（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．√3−1 B ．√3+1 C ．2 D ．2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ， 由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】()21,3a b +=，所以2213a b +=+=例15.（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+．例16.（2017·山东·高考真题（理））已知1e ，2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是_ _．【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1），12e -=1）， 1e +λ2e =（1，λ）；又夹角为60°，12e -）•（1e +λ2e ）=λ＝2cos60°，λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．（2016·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =（ ） A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．例18．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-. 故答案为：34-. 例19．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是_________．【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标，设(,)c x y =，利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)a b ==，设(,)c x y =，由()()20a c b c -⋅-=得：(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=，即2(1)(12)0x x y y ----=，即22115()()2416x y -+-=，则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】 由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.． 【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．。
平面向量的模(原卷版)
专题五 平面向量的模平面向量的模长公式(1)平面向量模长公式的非坐标形式：|a |＝a 2．(2)平面向量模长公式的坐标形式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．考点一 平面向量模的定值问题【方法总结】求向量模的常用方法(1)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |＝a 2．将模长问题转化为数量积问题，通过(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2从而能够与条件中的已知向量(已知模长，夹角的基向量)找到联系．(2)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2．某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出(或表示)出模长．(3)数形结合法，利用模的几何意义．【例题选讲】[例1] (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________．答案 23 解析 解法1 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝23．解法2 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|．又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝23．(2) (2012·全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________．答案 32 解析 依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)． (3)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2B ．2C ．1D ．22答案 B 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b )·a ＝0，(2a ＋b )·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0， ①2a ·b ＋b 2＝0，②将①×2－②得，2a 2－b 2＝0，∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝2．(4)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．2答案 D 解析 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝(±1)2＋(3)2＝2．(5)若|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，则|AB ＋AC |＝________．答案 23 解析 ∵|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴|AB ＋AC|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，∴|AB ＋AC |＝2×2sin π3＝23． (6) (2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为________．答案 12 解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1．∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12． 【对点训练】1．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60˚，则|a ＋3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．42．(2012·全国)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋62 B ．25 C ．30 D ．343．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( ) A ．2 B ．6 C ．23 D ．124．已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( )A ．12B ．1C ．2D ．2 5．已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12．若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________． 6．已知a ，b 为单位向量，且a ⊥(a ＋2b )，则|a －2b |＝________．7．设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( )A ．2B ．23C ．4D ．438．已知平面向量a ，b ，满足a ＝(1，3)，|b |＝3，a ⊥(a －2b )，则|a －b |＝( )A ．2B ．3C ．4D ．69．设x ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A ．5B ．10C ．25D ．1010．已知A (1，0)，B (4，0)，C (3，4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|＝________． 11．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________．12．在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝4，<AB →，AC →>＝60°，则|OA →|＝________．13．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝6，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝－5，则|BD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点二 平面向量模的最值(范围)问题【方法总结】求向量模的最值(范围)的2种方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【例题选讲】[例1] (1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |的取值范围是____． 答案 [1，13] 解析 由题意可得b |b |＝(0，1)，∴⎪⎪⎪⎪a －t b |b |＝|(1，3)－t (0，1)|＝(t －3)2＋1，∵t ∈[－3，2]，∴当t ＝3时，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |取得最小值1，当t ＝－3时，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪a －t b |b |的取值范围是[1，13]．(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA ＋3PB |的最小值为________．答案 5 解析 方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x ．∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5．方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)．∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC→＋12DA →．∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5．(3)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c·a ＝1，c·b ＝1，|c|＝2，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．42答案 B 解析 ⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2t a ·c ＋2t c·b ＋2a·b ＝2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t≥2＋2t 2·1t 2＋22t ·2t ＝8(t ＞0)，当且仅当t 2＝1t 2，2t ＝2t ，即t ＝1时等号成立，∴|c ＋t a ＋1t b |的最小值为22．(4)已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||P A →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．53答案 D 解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3， OA →＋OB →＋OC →＝0，故P A →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →．又||4PO →＋OC →2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75，故||P A →＋PB →＋2PC →≤53，当PO →，OC →同向共线时取最大值．(5)已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则|a |的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，233 解析 在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，则b －a ＝AC →－AB →＝BC →，∵a 与b －a 的夹角为120°，∴∠B ＝60°，由正弦定理得1sin 60°＝|a |sin C ，∴|a |＝sin C sin 60°＝233sin C ，∵0°＜C ＜120°，∴sin C ∈(0，1]，∴|a |∈⎝⎛⎦⎤0，233． (6)已知|AB →|＝1，|BC →|＝2，若AB →·BC →＝0，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为( )A ．255B ．2C ．5D ．25 答案 233 解析 C 由题意可知，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，故四边形ABCD 为圆内接四边形，且圆的直径为AC ，由勾股定理可得AC ＝AB 2＋BC 2＝5，因为BD 为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故|BD →|的最大值为5．故选C ．【对点训练】1．已知向量OA →＝(3，1)，OB →＝(－1，3)，OC →＝mOA →－nOB →(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC →|的最小值为( )A ．52B ．102C ．5D ．10 2．已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．3．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰CD 上的动点，则|3P A →＋BP →|的最小值为________．4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ．2D ．225．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC |的最小值是( )A ．2B ．2C ．6D ．66．已知非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|a －b|，<c －a ，c －b >＝2π3，则|c||a|的最大值为________． 7．已知向量a ，b 的夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b |，则|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪t b －a 2(t ∈R )的最小值 为________．8．已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32 B ．⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C ．⎝⎛⎦⎤0，2＋12D ．⎝⎛⎦⎤0，2＋32。
平面向量的模与方向角
平面向量的模与方向角平面向量是二维平面上的有向量，它有两个重要的属性：模和方向角。
模表示向量的大小，而方向角则表示向量相对于某一确定轴的方向。
一、平面向量的模平面向量的模是指向量的长度。
对于平面向量AB，其模可以用两点之间的距离来表示。
设坐标系中A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，则向量AB的模表示为：|AB| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)二、平面向量的方向角平面向量的方向角是指其相对于某一确定轴的方向。
一般情况下，我们采用与x轴的夹角来表示平面向量的方向角，记为α。
根据向量的方向角，可以将平面向量分为四个象限。
1. 第一象限：0° < α < 90°在第一象限中，向量的x轴分量和y轴分量均为正值。
2. 第二象限：90° < α < 180°在第二象限中，向量的x轴分量为负值，y轴分量为正值。
3. 第三象限：180° < α < 270°在第三象限中，向量的x轴分量和y轴分量均为负值。
4. 第四象限：270° < α < 360°在第四象限中，向量的x轴分量为正值，y轴分量为负值。
三、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标表示，在坐标系中，平面向量的起点放在原点(0,0)上，终点则可以表示为一个点(x, y)。
四、平面向量的基本运算平面向量可以进行一系列的运算，包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加。
设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，它们的和向量C可以表示为：C(x1 + x2, y1 + y2)2. 向量减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减。
设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，它们的差向量D可以表示为：D(x1 - x2, y1 - y2)3. 数量乘法数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个常数。
向量求模方法公式
向量求模方法公式嘿，咱今儿就来唠唠向量求模方法公式这档子事儿！你说向量这玩意儿，就像是在一个大迷宫里找方向的小精灵。
而求模呢，就好比是要知道这个小精灵走了多远的路。
咱先说说最简单的平面向量求模公式哈。
就好像你在平地上走路，要知道走了多远，那就是把它的横坐标和纵坐标的平方加起来，再开个平方根。
这就好比是给这个小精灵量一下身子，看看它到底有多大个儿。
比如说，有个向量（3，4），那它的模咋求呢？嘿，就是 3 的平方加上 4 的平方，等于 25，再开个平方根，那就是 5 啦！是不是挺简单的呀？那要是到了三维空间呢？这就好比小精灵跑到了立体的世界里。
这时候呀，咱就得把三个方向上的数值都考虑进来啦，还是同样的道理，把它们各自的平方加起来，再开个平方根。
咱再想想啊，这向量求模公式就像是给小精灵量身打造的尺子，能精准地量出它的大小。
要是没有这个尺子，咱不就抓瞎啦？你可别小瞧了这求模公式，它用处可大着呢！比如在物理里，那些力呀、速度呀啥的，都能用向量来表示，那求模不就知道它们的大小了嘛！而且哦，这求模公式还能帮咱判断一些关系呢。
两个向量的模之间比较比较，就能知道它们谁大谁小啦，这就像两个小精灵比个儿高一样，多有意思呀！再比如在几何问题里，通过求模咱能知道线段的长度呀，这可不就解决大问题啦？哎呀呀，这向量求模方法公式，真的是数学世界里的宝贝呀！它就像一把钥匙，能打开好多知识的大门呢！咱可得把它学好咯，这样才能在数学的海洋里畅游呀！总之呢，向量求模方法公式那是相当重要，咱得好好琢磨琢磨，把它用得溜溜的！这样咱在面对各种问题的时候，就能轻松应对啦！。
向量的模
02 计算公式 04 运算法则
向量的模，数学术语，norm或 module，向量 AB（AB上面有→）的长度叫做向量的模，记作|AB|(AB上有→） 或|a|(a上有→)。
含义
向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作。
计算公式
空间向量(x,y,z)，其中x,y,z分别是三轴上的坐标，模长是 ： 平面向量（x，y），模长是： 对于向量属于n维复向量空间 =(x1,x2,…,xn) 的模为=
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向量的性质
向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。 多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成后的向量。 模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为就是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。
运算法则
1、模只有大小，是个实数，≥0； 2、=·； 3、=+2·+=·+2·+·； 4、≤≤+； 5、若=(x，y)，则=
分式求模长公式
分式求模长公式
模长的计算公式：向量的模公式空间向量（x，y，z），其中x，y，z分别是三轴上的坐标，模长是：²√x²+y²+z²平面向量（x，y），模长是：²√x²+y²。
向量的模是向量的大小，也就是向量的长度（或称模）。
向量a的模记作|a|。
注：
1、向量的模是非负实数，向量的模是可以比较大小的。
向量a=(x，y) ，向量a的模=√x²+y²。
2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。
对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
例如向量AB＞向量CD是没有意义的。
模长公式是向量的横坐标的平方加上向量纵坐标的平方的和再开平方。
模长是指向量的长度，只有大小数值，没有向量带有的方向性。
模是实数，且恒大于等于0。
向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。
多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成后的向量。
2b向量-c向量的模
2b向量-c向量的模
向量的模公式
空间向量(x,y,z)，其中x,y,z分别是三轴上的坐标，模长是：²√x²+y²+z²
平面向量（x，y），模长是：²√x²+y²
对于向量x属于n维复向量空间
向量的模
向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。
向量a的模记作|a|。
注：
1、向量的模是非负实数，向量的模是可以比较大小的。
向量a=(x，y) ，向量a的模=√x²+y²。
2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。
对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
例如向量AB＞向量CD是没有意义的。
向量AB（AB上面有→）的长度叫做向量的模，记作|AB|(AB上有→）或|a|(a上有→)。
向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。
多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成后的向量。
平面向量最值
平面向量最值
平面向量的最值通常指的是向量的模最大值或最小值。
对于一个平面向量，其模（长度）可以通过计算其坐标的平方和的平方根来获得。
即对于一个向量a = (x, y)，其模的计算公式为|a| = √(x^2 + y^2)。
因此，平面向量的最大值就是在所有向量中模最大的那个向量，而最小值则是在所有向量中模最小的那个向量。
注意，向量的模值是非负数。
要找到一个平面向量的最大值或最小值，需要知道该平面向量所在平面的具体情况，比如向量取值的范围或可能的约束条件。
根据具体的问题，可以使用数学方法（如最优化理论）或计算机算法来求解。
总的来说，平面向量的最值是一个相对概念，需要具体问题具体分析。