乘法公式
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（3） __________ .（4） ____ ____.
（5） __________ （6） __________.
【例2】已知 ，则式子 的值为_________.
【例3】计算：（1） （2） （3） （4）
【例4】已知 .求下列各式的值.
基础训练
1.利用完全平方公式计算下列各式：
（1） （2） （3） （4）
5.已知 ，则 _____________.
6.若 满足 ，则 等于（）
A. B.0 C. D.1
7.已知 ，那么 的值是（）.
A.2 B.3 C.4 D.6
8.已知 ，则代数式 的值是（）.
A.4 B.3 C.2 D.1
9.已知 （ 为任意实数），则 的大小关系为（）.
A. B. C. D.不能确定
（5） （6） （7） （8）
2. （） （） .
3. ________ _______.
4.若 ，则 ________.
5. ________.
6.如果 是完全平方式，则 _________.
7.若 ，则 ______， ________.
8.若 ，则 ______， ______.
9.在多项式 中，添加一个单项式，使其成为一个完全平凡式，则添加的单项式是_________（只写出一个即可）.
13.观察：
（1）请你写出一个具有普遍性的结论，并给出证明.
（2）根据（1），计算 的结果（用一个最简式子表示）.
能力拓展
14.已知 ， ，则 的值为___________.
15.外圈平方公式 中，右式各项系数一次为1,2,1.那么， 展开后的各项系数有什么规律呢？11世纪中叶，我国数学贾宪给出了直到 的系数表（如图）.贾宪三角中有很多规律.请写出两条：
5.下列多项式惩罚中，可以用平方差公式计算的是（）
A. B.
C. D.
6.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
7.为了应用平方差公式计算 必须先适当变形，下列各变形中正确的是（）
A. B.
C. D.
8.（1）89×91（2）99×101×10001
9.利用平方差公式计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
提高篇
【例1】（1）
（2）
（3）
【例2】计算：
（1）
（2）
【例3】如果 ，求 的值.
提高训练
1.下列计算中，正确的有（）
① ②
③ ④
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.化简 ，得（）
A.0 B.－2 C.2 D.1
3.下列结论正确的是（）
A.
B.
C.
D.
4.化简 .
（2）已知实数 满足 ，求 的值.
总和创新
25.已知 求 的值.
26.某项矩形春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列，如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有多少名同学？
乘法公式
平方差公式
【例1】选择题
（1）下列式中，能用平方差公式运算的是（）
（1）_______________________________________________________；
（2）_______________________________________________________；
16.已知 满足 ，则 的值是________.
17.已知 满足 ， ，则 的值等于_______.
17.先化简，再求值： ，其中 .
三、提高篇
【例1】利用乘法公式计算:
（1） （2）
【例2】计算：（1）
【例3】试说明无论 取何值，代数式 的值总是非负数.
【例4】你能很快计算出 吗？
为了解决这个问题，我们考查个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数字为5的自然数都可以写成 ，即求 的值（ 为自然数），试分析 这些情况探索其规律，猜想结论.
试用代数式表示上述算式的规律：____________.
3.有10为乒乓球选手进行单循环赛，用 顺序表示第1号选手胜与负， 顺序表示第2号选手胜与负的场数 ，用 顺序表示第10选手胜与负的场数，求证： .
4.
5.计算
完全平方公式
【例1】填空题
（1） __________.（2） __________.
【例2】已知 ，求
的值.
竞赛入门训练
1.若 ，则 的值是（）
A.正数B.负数C.非负数D.非正数
2.已知 ，则 的值是（）
A.64 B.60 C.52 D.48
3.设 ，则 __________.
4.如图4.2-2，立方体的每个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为 ，求 的值.
【例5】有 （ 且为整数）个乒乓球选手进行单循环赛，每个参赛选手同其他各选手都进行一场比赛，如果用 和 分别表示第 （ ）个选手在整个赛程中胜与负的局数.求证 .
【例6】乘法公式 的推广公式我们已学过的有：
，
，
由此想到
，
，
应用除法，可得
，
，
由此作出猜想
.
拓广应用
（1）证明： ，且 （ 为正整数），则 .
18.如果 ，且 ，则 的值是（）
A.12 B.14 C.16 D.18
19.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如 ）.已知智慧数按从小到大的顺序构成如下数列：
则第2006个智慧数是（）
A.2672 B.2675 C.2677 D.2680
20.已知 满足等式 ，则 的大小关系是（）.
A.2 B.1004 C.2006 D.2007
【例3】观察下列算式：
①
②ຫໍສະໝຸດ Baidu
③
④_____________________
………
（1）请你按以上规律写出第4个算式.
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来.
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？并说明理由.
【例4】（1）证明：奇数的平方倍8除余1.
（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.
C. D.
【例3】将边长为a的正方形纸片剪出一个边为b（b＜a）的正方形，再将阴影部分剪一道，拼成一个矩形或梯形.
（1）你能完成拼图吗？
（2）根据前后两个图形阴影面积的关系，你能发现什么结论？
【例4】计算：
【例5】运用平方差公式计算：
（1） （2） （3）
（4） （5）
基础训练
利用平方差公式计算
1. （）×（）等于______________.
5.观察下列各式
（1）写出第2005个式子.
（2）写出第 个式子，丙说明你的结论.
A. B. C. D.
8.利用乘法公式计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）
9.如果 ，求 的值.
10.观察下列关于自然数的等式：
①
②
③
根绝上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式： _____ ______；
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并验证其正确性.
四、竞赛入门篇
【例1】已知 且
10.若 为有理数，且 ，则 （）.
A. B. C.8 D.16
11.老师在黑板上写出三个算式： ，王华哲哲有些了两个具有同样规律的算式：
（1）请你再写出两个具有同样规律的算式.
（2）用文字叙述上述算式反映的规律.
（3）证明这个规律的正确性.
12.一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数.
2. __________×_________＝___________.
3.一个大正方形和四个全等的小正方形按图（1）、（2）两种方式摆放，则图（2）的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）.
4.一个长方形的面积是 平方米，其长为 米，用含有 的整式表示它的宽为_________米.
4.应用乘法公式计算 ，下列变形中正确的是（）
A. B.
C. D.
5.计算 结果是（）
A. B. C. D.
6.无论 为何值， 的值总是（）
A.负数B.零C.非负数D.正数
7.有3张边长为 的正方形纸片，4张边长分别为 的矩形纸片，5张边长为 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）
A. B.
C. D.
（2）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（）
A. B.
C. D.
（3）下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
【例2】在边长为a的正方形挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的都部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A. B.
10.已知 ，则 等于（）
A. B. C. D.3
11.要使式子 成为一个真实平方的形式，则应加上（）
A. B. C. D.
12.计算
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
13.已知正方形的面积是 ，用关于 的整式来表示这个正方形的周长.
14.已知 ，求 的值.
15.因式分解： .
16.已知 ，则边长为 的三角形是什么三角形？
（2）求证：当 时，
学力训练
基础夯实
1.已知 ，那么，代数式 的值为_________.
2.设 ，则 安从小到达的顺序排列，结果是____________.
3.计算：
（1） _______________.
（2） ＝____________.
（3） __________________.
4.已知 ， ，则 ___________.
乘法公式
【例1】（1）在2004、2005、2006、2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的是__________.
（2）已知 ，那么， _______.
【例2】（1）已知 满足 ， ， ，则 的值等于（）
A.2 B.3 C.4 D.5
（2） 不全为0，满足 ， ，称使得 ＝0恒成立的正整数 为“好数”，则不超过2007的正整数中“好数”的个数为（）.
（1）通过计算，探索规律：
，
，
，
________，
（2）由第（1）题的结果，归纳猜想得 _______；
（3）根据上面的归纳猜想计算 _______.
提高训练
1.如果 ，则 的值是_____.
2.代数式 最大值为________，取最大值时， 与 的关系式_________.
3.已知 ，则 ______.
A. B. C. D.
21.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ， ，则四边形ABCD面积的最小值是（）.
A.22 B.25 C.28 D.32
22.设 ，证明： 是37的倍数.
23.若 ，且 ，求证： .
24.（1） ， .
任意挑选另外两个类似36、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
5.梯形的上底长为 cm，下底长为 cm，高为 cm，求此梯形的面积.
6. .
7.解方程 .
8.求证两个连续奇数的平方差是8的倍数.
9.观察： ，试求： 的值.
四、竞赛入门篇
例计算：
（1）
（2）
竞赛入门训练
1.若正数 满足 ，则这样的正整数对（ ）的个数是（）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.研究下列算式：
（5） __________ （6） __________.
【例2】已知 ，则式子 的值为_________.
【例3】计算：（1） （2） （3） （4）
【例4】已知 .求下列各式的值.
基础训练
1.利用完全平方公式计算下列各式：
（1） （2） （3） （4）
5.已知 ，则 _____________.
6.若 满足 ，则 等于（）
A. B.0 C. D.1
7.已知 ，那么 的值是（）.
A.2 B.3 C.4 D.6
8.已知 ，则代数式 的值是（）.
A.4 B.3 C.2 D.1
9.已知 （ 为任意实数），则 的大小关系为（）.
A. B. C. D.不能确定
（5） （6） （7） （8）
2. （） （） .
3. ________ _______.
4.若 ，则 ________.
5. ________.
6.如果 是完全平方式，则 _________.
7.若 ，则 ______， ________.
8.若 ，则 ______， ______.
9.在多项式 中，添加一个单项式，使其成为一个完全平凡式，则添加的单项式是_________（只写出一个即可）.
13.观察：
（1）请你写出一个具有普遍性的结论，并给出证明.
（2）根据（1），计算 的结果（用一个最简式子表示）.
能力拓展
14.已知 ， ，则 的值为___________.
15.外圈平方公式 中，右式各项系数一次为1,2,1.那么， 展开后的各项系数有什么规律呢？11世纪中叶，我国数学贾宪给出了直到 的系数表（如图）.贾宪三角中有很多规律.请写出两条：
5.下列多项式惩罚中，可以用平方差公式计算的是（）
A. B.
C. D.
6.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
7.为了应用平方差公式计算 必须先适当变形，下列各变形中正确的是（）
A. B.
C. D.
8.（1）89×91（2）99×101×10001
9.利用平方差公式计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
提高篇
【例1】（1）
（2）
（3）
【例2】计算：
（1）
（2）
【例3】如果 ，求 的值.
提高训练
1.下列计算中，正确的有（）
① ②
③ ④
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.化简 ，得（）
A.0 B.－2 C.2 D.1
3.下列结论正确的是（）
A.
B.
C.
D.
4.化简 .
（2）已知实数 满足 ，求 的值.
总和创新
25.已知 求 的值.
26.某项矩形春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列，如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有多少名同学？
乘法公式
平方差公式
【例1】选择题
（1）下列式中，能用平方差公式运算的是（）
（1）_______________________________________________________；
（2）_______________________________________________________；
16.已知 满足 ，则 的值是________.
17.已知 满足 ， ，则 的值等于_______.
17.先化简，再求值： ，其中 .
三、提高篇
【例1】利用乘法公式计算:
（1） （2）
【例2】计算：（1）
【例3】试说明无论 取何值，代数式 的值总是非负数.
【例4】你能很快计算出 吗？
为了解决这个问题，我们考查个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数字为5的自然数都可以写成 ，即求 的值（ 为自然数），试分析 这些情况探索其规律，猜想结论.
试用代数式表示上述算式的规律：____________.
3.有10为乒乓球选手进行单循环赛，用 顺序表示第1号选手胜与负， 顺序表示第2号选手胜与负的场数 ，用 顺序表示第10选手胜与负的场数，求证： .
4.
5.计算
完全平方公式
【例1】填空题
（1） __________.（2） __________.
【例2】已知 ，求
的值.
竞赛入门训练
1.若 ，则 的值是（）
A.正数B.负数C.非负数D.非正数
2.已知 ，则 的值是（）
A.64 B.60 C.52 D.48
3.设 ，则 __________.
4.如图4.2-2，立方体的每个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为 ，求 的值.
【例5】有 （ 且为整数）个乒乓球选手进行单循环赛，每个参赛选手同其他各选手都进行一场比赛，如果用 和 分别表示第 （ ）个选手在整个赛程中胜与负的局数.求证 .
【例6】乘法公式 的推广公式我们已学过的有：
，
，
由此想到
，
，
应用除法，可得
，
，
由此作出猜想
.
拓广应用
（1）证明： ，且 （ 为正整数），则 .
18.如果 ，且 ，则 的值是（）
A.12 B.14 C.16 D.18
19.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如 ）.已知智慧数按从小到大的顺序构成如下数列：
则第2006个智慧数是（）
A.2672 B.2675 C.2677 D.2680
20.已知 满足等式 ，则 的大小关系是（）.
A.2 B.1004 C.2006 D.2007
【例3】观察下列算式：
①
②ຫໍສະໝຸດ Baidu
③
④_____________________
………
（1）请你按以上规律写出第4个算式.
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来.
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？并说明理由.
【例4】（1）证明：奇数的平方倍8除余1.
（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.
C. D.
【例3】将边长为a的正方形纸片剪出一个边为b（b＜a）的正方形，再将阴影部分剪一道，拼成一个矩形或梯形.
（1）你能完成拼图吗？
（2）根据前后两个图形阴影面积的关系，你能发现什么结论？
【例4】计算：
【例5】运用平方差公式计算：
（1） （2） （3）
（4） （5）
基础训练
利用平方差公式计算
1. （）×（）等于______________.
5.观察下列各式
（1）写出第2005个式子.
（2）写出第 个式子，丙说明你的结论.
A. B. C. D.
8.利用乘法公式计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）
9.如果 ，求 的值.
10.观察下列关于自然数的等式：
①
②
③
根绝上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式： _____ ______；
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并验证其正确性.
四、竞赛入门篇
【例1】已知 且
10.若 为有理数，且 ，则 （）.
A. B. C.8 D.16
11.老师在黑板上写出三个算式： ，王华哲哲有些了两个具有同样规律的算式：
（1）请你再写出两个具有同样规律的算式.
（2）用文字叙述上述算式反映的规律.
（3）证明这个规律的正确性.
12.一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数.
2. __________×_________＝___________.
3.一个大正方形和四个全等的小正方形按图（1）、（2）两种方式摆放，则图（2）的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）.
4.一个长方形的面积是 平方米，其长为 米，用含有 的整式表示它的宽为_________米.
4.应用乘法公式计算 ，下列变形中正确的是（）
A. B.
C. D.
5.计算 结果是（）
A. B. C. D.
6.无论 为何值， 的值总是（）
A.负数B.零C.非负数D.正数
7.有3张边长为 的正方形纸片，4张边长分别为 的矩形纸片，5张边长为 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）
A. B.
C. D.
（2）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（）
A. B.
C. D.
（3）下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
【例2】在边长为a的正方形挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的都部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
A. B.
10.已知 ，则 等于（）
A. B. C. D.3
11.要使式子 成为一个真实平方的形式，则应加上（）
A. B. C. D.
12.计算
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
13.已知正方形的面积是 ，用关于 的整式来表示这个正方形的周长.
14.已知 ，求 的值.
15.因式分解： .
16.已知 ，则边长为 的三角形是什么三角形？
（2）求证：当 时，
学力训练
基础夯实
1.已知 ，那么，代数式 的值为_________.
2.设 ，则 安从小到达的顺序排列，结果是____________.
3.计算：
（1） _______________.
（2） ＝____________.
（3） __________________.
4.已知 ， ，则 ___________.
乘法公式
【例1】（1）在2004、2005、2006、2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的是__________.
（2）已知 ，那么， _______.
【例2】（1）已知 满足 ， ， ，则 的值等于（）
A.2 B.3 C.4 D.5
（2） 不全为0，满足 ， ，称使得 ＝0恒成立的正整数 为“好数”，则不超过2007的正整数中“好数”的个数为（）.
（1）通过计算，探索规律：
，
，
，
________，
（2）由第（1）题的结果，归纳猜想得 _______；
（3）根据上面的归纳猜想计算 _______.
提高训练
1.如果 ，则 的值是_____.
2.代数式 最大值为________，取最大值时， 与 的关系式_________.
3.已知 ，则 ______.
A. B. C. D.
21.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ， ，则四边形ABCD面积的最小值是（）.
A.22 B.25 C.28 D.32
22.设 ，证明： 是37的倍数.
23.若 ，且 ，求证： .
24.（1） ， .
任意挑选另外两个类似36、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
5.梯形的上底长为 cm，下底长为 cm，高为 cm，求此梯形的面积.
6. .
7.解方程 .
8.求证两个连续奇数的平方差是8的倍数.
9.观察： ，试求： 的值.
四、竞赛入门篇
例计算：
（1）
（2）
竞赛入门训练
1.若正数 满足 ，则这样的正整数对（ ）的个数是（）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.研究下列算式：